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由角平分线定理得;
cD
sinx,S形A0B2t、SAC2nx,
形一:设∠AOB=x,SAOB
DB
OB
AACD
tan
x--x
AACD
2
△OBC
扇形AOB
△ABL
扇形AOB
=x-sinx,得sinx+tanx>2x(Vx∈(0,°)
an
形二:取AT的中点E,由tanx
>anx.AE>AD,则线段BE在圆O
1-tan
外,四边形OAEB的面积大于扇形OAB的面积
△OAEB
2
A40B+Sor)=6O
OBsin
x+OA.
AT)=(sin
x+
tan
x)>x
得sinx+tanx>2x(wx∈(0)
变式1:已知x∈(0,),求证:f(x)=sinx+4tanx>x
2x
分析:x∈(0,-),丌2sinx+4tanx>:x+4x
故sinx>=>
证法三:构造函数
设函数f(x)=snx+tanx-2x,x∈(0,。),则
f(x)=cosx+secx-222vcos
x
sec
x-2=2vsecx-220
于是∫(x)=sinx+tanx-2x>f(0)=0.x∈(0x
证法四:运用泰勒公式
设g(x)=imx+tanx,x∈(0,x),则g(x)=cosx+sec0x,gf(0)=2,
(r)=-sin
x+2sec
xsec
x
tan
x2-sin
x+2
tanx>x>0
函数g(x)在x=0处泰勒展开得g(x)=g(0)+g(0)x+
2x+
g"()
x2>2x
其中ξ∈(0,x)三(0,。)
变式2:已知x∈(0,),求证:sinx+tanx>2x+.(加强不等式)
分析:设h(x)=sinx+tanx-2x-.x∈(0,
因为x∈(0,2)→tan2x>x2,sin2x∠?4
故
h(x)=cOsx+secx-2、小
>cosx+x-1
coSx+
x
x
sIn
22
于是,h(x)=sinx+tanx-2x-在x∈(0,)上单调递增
x∈(0,)→h(x)>h(0)=0,→sinx+tanx>2x+->2x
反思:若a>b>c>0,猜测a+c>2b,(算数平均猜想)
也可以几何平均猜想(甚至加权平均):若a>b>c>0,猜测ac>b2,或ac猜想1:已知x∈(0,),求证:
sin
x
tan
x>x2(几何平均猜想)
猜想2:已知x∈(0,-),求证:sin2
r
tan
x>x3(加权几何平均猜想)
猜想3:已知x∈(-1,+∞),求证:x+sinx≥2ln(+x)(算数平均猜想)
注1:x∈(-1,+∞)→x≥ln(1+x),x∈(2,+∞)→x≥ln(1+x)>ln3>1>sinx
猜想4:已知x∈(-1,),求证:sinx≥ln(1+x)

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