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第八章 平行线的有关证明
5 平行线的性质定理
知识点一 平行线的性质定理

性质1
性质2
性质3
平行线的性质
图例
符号
语言
温馨
提示
知识点一 平行线的性质定理

性质1
性质2
性质3
平行线的性质
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行内错角相等
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补
图例



符号
语言
如果AB∥CD，那么
∠1＝∠2
如果AB∥CD，那么∠2＝∠3
如果AB∥CD，那么∠2＋∠4＝180°
温馨
提示
（1）不要忽略两条直线平行这个前提条件，只有两直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；
（2）运用平行线的性质，可推出某些角相等或者互补的关系
例1 如图所示，AB∥CD，AB⊥MN，垂足为点E，CD与MN相交于点F，FG平分∠CFM，交AB于点G，求∠EGF的度数.


例1 如图所示，AB∥CD，AB⊥MN，垂足为点E，CD与MN相交于点F，FG平分∠CFM，交AB于点G，求∠EGF的度数.


解析 ∵AB⊥MN，垂足为点E，∴∠AEM＝90°，
∵AB∥CD，∴∠CFM＝∠AEM＝90°.
∵FG平分∠CFM，
∴∠CFG＝ ∠CFM＝ ×90°＝45°，
∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠CFG＝45°.
知识点二 平行线的性质定理与判定定理的关系
平行线的性质和平行线的判定正好是把条件和结论对调，它们的这种互逆关系可表示为:
例2 如图，∠1＝70°，∠2＝70°，∠3＝105°，求∠4的度数.



例2 如图，∠1＝70°，∠2＝70°，∠3＝105°，求∠4的度数.



解析 ∵∠1＝70°，∠2＝70°，∴∠1＝∠2，
∴a∥b，∴∠3＝∠5.
又∠3＝105°，∴∠5＝105°，
∴∠4＝∠5＝105°.
经典例题
题型一 巧添平行线解题
例1 如图所示，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数.


解析 如图所示，过点C作GH∥DE，
则∠DCH＋∠CDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）因为∠CDE＝140°（已知），
所以∠DCH＝180°-∠CDE＝40°.
因为AB∥DE（已知），且GH∥DE，
所以AB∥GH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）.
所以∠BCH＝∠ABC＝80°（两直线平行，内错角相等）.
所以∠BCD＝∠BCH-∠DCH＝40°.
点拨
在有关图形的计算和推理中，常见“折线拐角”型问题，解决这类问题的方法:经过拐点作平行线，沟通已知角和未知角，从而化“未知”为“可知”这种方法应熟练掌握如“ ”型，要引起注意.
题型二 平行线的性质在折叠问题中的运用
例2 如图所示，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于多少度？


题型二 平行线的性质在折叠问题中的运用
例2 如图所示，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于多少度？


解析 ∵∠AGE＝32°，
∴∠DGE＝180°-32°＝148°，
由折叠可得∠DGH＝∠DGE＝74°，
∵AD∥BC，∴∠GHC＝180°-∠DGH＝106°.
易错易混
易错点 在利用平行线的性质时，忽略两直线平行的条件
只有在两直线平行的前提下，才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，有时无平行的条件，会因思维定式的影响而误认为同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.
易错点 在利用平行线的性质时，忽略两直线平行的条件
只有在两直线平行的前提下，才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，有时无平行的条件，会因思维定式的影响而误认为同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.
例 如图所示，直线a，b被直线c所截，则①∠4＝∠5；②∠1＝∠2；③∠1＝∠3；④∠1＋∠4＝180°，其中结论一定正确的有（ ）



A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 由题图可知∠4＝∠5，∠2＝∠3，∠2＋∠4＝180°因为直线a，b不一定平行，所以∠1＝∠2，∠1＝∠3，∠1＋∠4＝180°不一定成立故只有①一定正确.
答案 A
解析 由题图可知∠4＝∠5，∠2＝∠3，∠2＋∠4＝180°因为直线a，b不一定平行，所以∠1＝∠2，∠1＝∠3，∠1＋∠4＝180°不一定成立故只有①一定正确.
答案 A
易错分析 本题易误认为a∥b，得出四个结论都正确，但题中并没有a∥b这个条件，故不能利用平行线的性质求解.

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