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5.1.1　数列的概念　
必备知识·素养奠基
1.数列及其相关概念
(1)定义:按照_________排列的一列数称为数列.
(2)项:数列中的_________都称为这个数列的项.项数:组成数列的数的_____称
为数列的项数.
(3)通项:a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an},其中an表示数列的第__项(也称n为an
的序号,其中n为正整数,即n∈N+),称为数列的通项.
一定次序
每一个数
个数
n
【思考】
(1)如果组成两个数列的数相同但排列次序不同,那么它们是相同的数列吗?
提示:从数列的定义可以看出,组成数列的数是按一定顺序排列的,如果组成数列的数相同但排列次序不同,那么它们就不是同一数列.
(2)同一个数在数列中可以重复出现吗?
提示:在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.例如:1,-1,1,-1,1,…;2,2,2,….
2.数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数_____的数列
无穷数列
项数_____的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起,每一项都_____它的前一项的数列
递减数列
从第2项起,每一项都_____它的前一项的数列
常数列
各项都_____的数列
摆动数列
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
有限
无限
大于
小于
相等
3.数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用_______来表
示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列
的一个通项公式.
4.函数与数列的关系
数列{an}可以看成定义域为_______________的函数,数列中的数就是自变量从
小到大依次取正整数值时对应的_______,而数列的通项公式就是相应函数的解
析式.
an=f(n)
正整数集的子集
函数值
【思考】
函数y=2x与数列{an}的通项公式an=2n有什么区别?
提示:函数y=2x的自变量是连续变化的,图象是连续的直线.an=2n的自变量是离散的,图象是由离散的点构成.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列.
(　　)
(2){an}与an是一样的,都表示数列.
(　　)
(3)所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的.
(　　)
(4)数列3,1,-1,-3,-5,-10的通项公式为an=5-2n.(　　)
提示:(1)×.两个数列相同,每一项都必须相同,而且数列具有顺序性.
(2)×.因为{an}代表一个数列,而an只是这个数列中的第n项,故{an}与an是不一样的.
(3)×.有的数列就没有通项公式,而且有的数列的通项公式不唯一.
(4)×.
第六项为-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此数列的通项公式.
2.数列3,4,5,6,…的一个通项公式为
(　　)　　　　　
A.an=n,n∈N+
B.an=n+1,n∈N+
C.an=n+2,n∈N+
D.an=2n,n∈N+
【解析】选C.这个数列的前4项都比序号大2,所以,它的一个通项公式为an=n+2,n∈N+.
3.已知数列{an}的通项公式是an=n2+1,则122是该数列的
(　　)
A.第9项
B.第10项
C.第11项
D.第12项
【解析】选C.令n2+1=122,则n2=121,所以n=11或n=-11(舍去).
4.已知数列{an}的通项公式是an=2n-1,则a8=________.?
【解析】a8=2×8-1=15.
答案:15
关键能力·素养形成
类型一　数列的概念以及分类
【典例】1.下列说法错误的是
(　　)
A.数列4,7,3,4的首项是4
B.数列{an}中,若a1=3,则从第2项起,各项均不等于3
C.数列1,2,3,…就是数列{n}
D.数列中的项不能是三角形
2.已知下列数列:
①2
011,2
012,2
013,2
014,2
015,2
016;
②1,
,
,…,
,…;
③1,-
,
,…,
,…;
④1,0,-1,…,
,…;
⑤2,4,8,16,32,…;
⑥-1,-1,-1,-1.
其中,有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,常数列是________,摆动数列是________(填序号).?
【思维·引】1.依据数列的定义逐项判断.
2.依据数列分类中有关数列的定义,逐个判断.
【解析】1.选B.由数列的相关概念可知,数列4,7,3,4的首项是4,故A正确.
同一个数在数列中可以重复出现,故B错误.
按一定顺序排列的一列数称为数列,所以数列1,2,3,…就是数列{n},故C正确.
数列中的项必须是数,不能是其他形式,故D正确.
2.①为有穷数列且为递增数列;②为无穷数列、递减数列;③为无穷数列、摆动数列;④是摆动数列,也是无穷数列;⑤为递增数列,也是无穷数列;⑥为有穷数列,也是常数列.
答案:①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④
【内化·悟】
1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性质具有哪些特点?
提示:(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性;
(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性);
(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性);
(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.
2.如何判断两个数列是相同数列?
提示:组成数列的数相同,且排列次序也相同的两个数列才是相同的数列.
【类题·通】
数列概念的三个注意点
(1)数列{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,不是表示一个集合,与集合表示有本质的区别.
(2)从数列的定义可以看出,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;在定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.
(3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性,是理解、把握数列的关键.
【习练·破】
下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是
(　　)
A.1,
,
,
,…
B.sin
,sin
,sin
,sin
,…
C.-1,-
,-
,-
,…
D.1,2,3,4,…,30
【解析】选C.数列1,
,
,
,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减
数列;数列sin
,sin
,sin
,sin
,…是无穷数列,但它既不是递增
数列,又不是递减数列;数列-1,-
,-
,-
,…是无穷数列,也是递增数列;
数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.
【加练·固】
下列数列
(1)1,2,22,23,…,263;
(2)0,10,20,30,…,1
000;
(3)2,4,6,8,10,…;
(4)-1,1,-1,1,-1,…;
(5)7,7,7,7,…;
(6)
,
,
,
,….
其中有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,摆动数列是________,常数列是________.(填序号)?
【解析】根据数列的概念知有穷数列是(1)(2),无穷数列是
(3)(4)(5)(6),递增数列是(1)(2)(3),递减数列是(6),摆动数列是
(4),常数列是(5).
答案:(1)(2)　(3)(4)(5)(6)　(1)(2)(3)　(6)　(4)　(5)
类型二　观察法写出数列的通项公式
【典例】1.(2020·徐州高一检测)数列3,6,11,20,…的一个通项公式为
(　　)　
　　　　　　
A.an=3n
B.an=n(n+2)
C.an=n+2n
D.an=2n+1
2.写出下列数列的一个通项公式:
(1)
,2,
,8,
,…;
(2)1,-3,5,-7,9,…;
(3)9,99,999,9
999,…;
(4)
,
,
,
,…;
(5)
,
,
,
,…;
(6)4,0,4,0,4,0,….
【思维·引】1.根据特点,观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系,归纳出一个通项公式即可.
2.首先要熟悉一些常见数列的通项公式,然后对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.
【解析】1.选C.依题意,a1=3=1+21;a2=6=2+22;a3=11=3+23;a4=20=4+24;…,
所以an=n+2n.
2.(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观
察:
,
,
,
,
,…,所以,它的一个通项公式为an=
.
(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;
考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).
(3)各项加1后,分别变为10,100,1
000,10
000,…此数列的通项公式为10n,可得
原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;
分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,分子的后一部分是减去一个从1开
始的自然数,综合得原数列的一个通项公式为an=
.
(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,
偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·
.
(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形
式表示通项公式,即
又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示
为an=2+2×(-1)n+1.
【素养·探】
在与观察法写出数列的通项公式有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推
理,通过研究数列的前几项与项的序号之间的关系,归纳出数列的通项公式.
将本例2(6)的数列改为“3,5,3,5,3,5,…”,如何写出其通项公式?
【解析】此数列的奇数项为3,偶数项为5,故通项公式可写为an=
此数列两项3与5的平均数为
=4,
奇数项为4-1,偶数项为4+1,
故通项公式还可写为an=4+(-1)n.
【类题·通】
　(1)用观察法求数列通项公式的策略
(2)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号问题.
(3)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.
【习练·破】
写出下列数列的一个通项公式:
(1)0,3,8,15,24,…;
(2)
,
,
,
,…;
(3)1,11,111,1
111,….
【解析】(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=
25-1,…,所以它的一个通项公式是an=n2-1(n∈N+).
(2)此数列的整数部分1,2,3,4,…恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为
,故所求的数列的一个通项公式为an=
(n∈N+).
(3)原数列的各项可变为
×9,
×99,
×999,
×9
999,…,易知数列9,99,
999,9
999,…的一个通项公式为an=10n-1,所以原数列的一个通项公式为
an=
(10n-1)(n∈N+).
【加练·固】
根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)
3,5,7,9,11,13,…;
(2)
,
,
,
,
,
…;
(3)
0,
1,
0,
1,
0,
1,…;
(4)
1,
3,
3,
5,
5,
7,
7,
9,
9,…;
(5)
2,
-6,
12,
-20,
30,
-42,….
【解析】(1)从3开始的奇数列,an=2n+1.
(2)分子为偶数,分母为相邻两奇数的积an=
;
(3)an=
或an=
;
(4)将数列变形为1+0,
2+1,
3+0,
4+1,
5+0,
6+1,
7+0,
8+1,
…,
所以an=
;
(5)将数列变形为1×2,
-2×3,
3×4,
-4×5,
5×6,…,
所以an=(-1)n+1n(n+1).
类型三　数列通项公式的简单应用
【典例】已知数列{an}的通项公式为an=
.
(1)求a10.
(2)判断
是否为该数列中的项.若是,它为第几项?若不是,请说明理由.
(3)求证:0【思维·引】(1)将n=10代入{an}的通项公式即可求a10.
(2)令an=
,若n为正整数,则
是{an}的项,否则,不是{an}的项.
(3)分离常数后可证.
【解析】(1)根据题意可得a10=
.
(2)令an=
,即
,解得n=3,
所以
为数列{an}中的项,为第3项.
(3)由题知an=
,
因为n∈N+,所以3n+1>3,所以0<
<1,
所以0<1-
<1,即0【类题·通】
1.利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.
2.判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数则是数列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的一项.
【习练·破】
数列{an}的通项公式为an=30+n-n2.
(1)-60是否是{an}中的一项?
(2)当n分别取何值时,an=0,an>0,an<0?
【解析】(1)假设-60是{an}中的一项,则-60=30+n-n2.
解得n=10或n=-9(舍去).
所以-60是{an}的第10项.
(2)分别令30+n-n2=0;30+n-n2>0;30+n-n2<0,
解得n=6;06,
即n=6时,an=0;
当00;
当n>6且n∈N+时,an<0.
【加练·固】
已知数列{an}的通项公式为an=
.
(1)写出数列的第4项和第6项.
(2)试问
是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由.
【解析】(1)因为an=
,
所以a4=
,a6=
(2)令
,则n2+3n-40=0,
解得n=5或n=-8,注意到n∈N+,
故将n=-8舍去,所以
是该数列的第5项.
1.有下列命题:
①数列
,
,
,
,…的一个通项公式是an=
;
②数列的图象是一群孤立的点;
③数列1,-1,1,-1,…与数列-1,
1,-1,1,…是同一数列;
④数列
,
,…,
是递增数列.
其中正确命题的个数为
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.0
课堂检测·素养达标
【解析】选A.由通项公式知a1=
,故①不正确;易知②正确;由于两数列中
数的排列次序不同,因此不是同一数列,故③不正确;④中的数列为递减数列,
所以④不正确.
2.数列
,
,
,
,…的一个通项公式是
(　　)
【解析】选B.因为数列
,
,
,
,…的第三项可写成
,这样,每一
项都是含根号的数,且每一个被开方数比前一项的被开方数多3,所以an=
.
3.在数列{an}中,an=51-n,则a3等于________.?
【解析】由已知得a3=51-3=
.
答案:
4.(2020·南通高一检测)在数列{an}中,已知an=
,n∈N+,则
是数列中
的第________项.?
【解析】根据题意,数列{an}中,已知an=
,
若
,即n2+n-1=19,解得:n=4或-5(舍).
答案:4
【新情境·新思维】
大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,求该数列的第18项.
【解析】由题意得,偶数项分别为2,8,18,32,50,…可发现规律为:
2=2×1=2×12=2×
,
8=2×4=2×22=2×
,
18=2×9=2×32=2×
,
32=2×16=2×42=2×
,
50=2×25=2×52=2×
,…
则该数列第18项为2×
=2×92=2×81=162.
课时素养评价
一　数列的概念
【基础练】(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,
有选错的得0分)
1.下列叙述正确的是
(　　)
A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}
C.数列0,1,0,1,…是常数列
D.数列
是递增数列
【解析】选D.对于A,数列1,3,5,7与7,5,3,1不是相同的数列,故A错误;对于B,数
列0,1,2,3,…可以表示为{n-1},n∈N+,故B错误;对于C,数列0,1,0,1,…是摆动
数列,故C错误;对于D,数列
,
>0,故数列
是递增数列,故D正确.
2.数列
…的一个通项公式是
(　　)
【解析】选C.因为
所以推断an=
【加练·固】
数列0,
…的一个通项公式是
(　　)
【解析】选C.已知数列可化为:0,
…,故an=
.
3.已知数列{an}的通项公式是an=
则a2·a3等于
(　　)
A.70
B.28
C.20
D.8
【解析】选C.因为a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2·a3=20.
4.(多选题)已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n+15,则
(　　)
A.3不是数列{an}中的项
B.3是数列{an}的第2项
C.3是数列{an}的第6项
D.a3<0
【解析】选BC.令n2-8n+15=3,解此方程可得n=2或n=6,所以3可以是该数列的第2项,也可以是该数列的第6项.a3=9-24+15=0.
【加练·固】
在数列-1,0,
…,
,…中,0.08是它的
(　　)
A.第100项　　　　　　B.第12项
C.第10项
D.第8项
【解析】选C.因为an=
,令
=0.08,解得n=10或n=
(舍去).
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.数列
…的第10项是________.?
【解析】由数列的前4项可知,数列的一个通项公式为an=
,当n=10时,a10=
答案:
6.已知数列{an}的通项公式an=19-2n,则使an>0成立的最大正整数n的值为
________.?
【解析】由an=19-2n>0,得n<
.
因为n∈N+,所以n≤9.
答案:9
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知数列{an}的通项公式an=
n∈N+.
(1)写出它的第10项.
(2)判断
是不是该数列中的项.
【解析】(1)a10=
(2)①当n为偶数时,an=
令
化简得8n2-33n-35=0,
解得n=5
而n=5为奇数,
所以
不是该数列中的偶数项.
②当n为奇数时,an=
令
化简得8n2+33n+31=0,
解得n=
不是整数,所以
不是该数列中的奇数项.
综上,
不是该数列中的项.
8.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项.
(2)-49是否是该数列的一项?如果是,应是哪一项?68是否是该数列的一项呢?如果是,应是哪一项?
【解析】(1)a4=3×42-28×4=-64;
a6=3×62-28×6=-60.
(2)由3n2-28n=-49得n=7或n=
(舍去),
所以-49是该数列的第7项;
由3n2-28n=68得n=-2或n=
,均不合题意,所以68不是该数列的项.
【能力练】(15分钟·30分)
1.(5分)对任意的an∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an(n∈N+),则函数y=f(x)的图象可能是
(　　)
【解析】选A.据题意,由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an,即该函数y=f(x)的图象上任一点(x,y)都满足y>x,结合图象,只有A满足.
2.(5分)已知数列{an},an=kn-5,且a8=11,则an=________,a17=________.?
【解析】由已知得a8=8k-5=11,解得k=2,
所以an=2n-5,所以a17=2×17-5=29.
答案:2n-5　29
3.(5分)数列-1,1,-2,2,-3,3,…的一个通项公式为________.?
【解析】注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得an=
答案:an=
【加练·固】
数列
…的一个通项公式为________.?
【解析】此数列各项都是分式,且分母都减去1为1,4,9,16,25,…故分母可用
n2+1表示,若分子各项都加1为:16,25,36,49,64,…故分子可用(n+3)2-1表示,故
其通项公式可为an=
答案:an=
4.(5分)如图所示的图案中,白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项,则这个数列的一个通项公式为________.?
【解析】我们把图案按如下规律分解:
这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6+4,6+4×2,所以这个数列的一个通项公式为an=6+4(n-1)=4n+2.
答案:an=4n+2
【加练·固】
图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:
通过观察可以发现:在第n个图形中,火柴棒有________根.?
【解析】第1个图形中,火柴棒有4根;
第2个图形中,火柴棒有4+3根;
第3个图形中,火柴棒有4+3+3=4+3×2根;
第4个图形中,火柴棒有4+3+3+3=4+3×3根;
…
第n个图形中,火柴棒有4+3(n-1)=3n+1根.
答案:3n+1
5.(10分)在数列{an}中,an=
(1)求数列的第7项.
(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内.
(3)区间
内有没有数列中的项?若有,有几项?
【解析】(1)a7=
(2)因为an=
所以0(3)令
则
故n=1,即在区间
内有且只有1项a1.
【培优练】
1.已知数列{an}的通项公式为an=5n+1,数列{bn}的通项公式为bn=n2,若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{cn},则c6的值为________.?
【解析】数列{an}的通项公式为an=5n+1,
其数据符合平方的数有:16,36,81,121,196,256,…,
数列{bn}的通项公式为bn=n2,
当n=4,6,9,11,14,16,…时符合上面各个数.
数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{cn},则c6的值为256.
答案:256
2.已知数列{an}的通项公式为an=pn+q(p,q∈R),且a1=-
,a2=-
.
(1)求{an}的通项公式;
(2)
是{an}中的第几项?
(3)该数列是递增数列还是递减数列?
【解析】(1)因为an=pn+q,又a1=-
,a2=-
,
因此{an}的通项公式是an=
-1(n∈N+).
(2)令an=
,即
-1=
,
所以
=
,n=8.故
是{an}中的第8项.
(3)由于an=
-1,且
随n的增大而减小,
因此an的值随n的增大而减小,故{an}是递减数列.“课时素养评价”
一　数列的概念
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.下列叙述正确的是
(　　)
A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列
B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}
C.数列0,1,0,1,…是常数列
D.数列是递增数列
【解析】选D.对于A,数列1,3,5,7与7,5,3,1不是相同的数列,故A错误;对于B,数列0,1,2,3,…可以表示为{n-1},n∈N+,故B错误;对于C,数列0,1,0,1,…是摆动数列,故C错误;对于D,数列,-==>0,故数列是递增数列,故D正确.
2.数列,,,,…的一个通项公式是
(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.an=
B.an=
C.an=-
D.an=1-
【解析】选C.因为=1-,=-,
=-,=-.所以推断an=-.
【加练·固】
数列0,,,,,…的一个通项公式是
(　　)
A.an=　　　　　
B.an=
C.an=
D.an=
【解析】选C.已知数列可化为:0,,,,,…,故an=.
3.已知数列{an}的通项公式是an=则a2·a3等于
(　　)
A.70
B.28
C.20
D.8
【解析】选C.因为a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2·a3=20.
4.(多选题)已知数列{an}的通项公式为an=n2-8n+15,则
(　　)
A.3不是数列{an}中的项
B.3是数列{an}的第2项
C.3是数列{an}的第6项
D.a3<0
【解析】选BC.令n2-8n+15=3,解此方程可得n=2或n=6,所以3可以是该数列的第2项,也可以是该数列的第6项.a3=9-24+15=0.
【加练·固】
在数列-1,0,,,…,,…中,0.08是它的
(　　)
A.第100项　　　　B.第12项
C.第10项
D.第8项
【解析】选C.因为an=,令=0.08,解得n=10或n=(舍去).
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.数列,,,,…的第10项是________.?
【解析】由数列的前4项可知,数列的一个通项公式为an=,当n=10时,a10==.
答案:
6.已知数列{an}的通项公式an=19-2n,则使an>0成立的最大正整数n的值为________.?
【解析】由an=19-2n>0,得n<.
因为n∈N+,所以n≤9.
答案:9
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知数列{an}的通项公式an=,n∈N+.
(1)写出它的第10项.
(2)判断是不是该数列中的项.
【解析】(1)a10==.
(2)①当n为偶数时,an=,
令=,化简得8n2-33n-35=0,
解得n=5.而n=5为奇数,
所以不是该数列中的偶数项.
②当n为奇数时,an=-,
令-=,化简得8n2+33n+31=0,
解得n=不是整数,所以不是该数列中的奇数项.
综上,不是该数列中的项.
8.已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项.
(2)-49是否是该数列的一项?如果是,应是哪一项?68是否是该数列的一项呢?如果是,应是哪一项?
【解析】(1)a4=3×42-28×4=-64;
a6=3×62-28×6=-60.
(2)由3n2-28n=-49得n=7或n=(舍去),
所以-49是该数列的第7项;
由3n2-28n=68得n=-2或n=,均不合题意,所以68不是该数列的项.
(15分钟·30分)
1.(5分)对任意的an∈(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an(n∈N+),则函数y=f(x)的图象可能是
(　　)
【解析】选A.据题意,由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an,即该函数y=f(x)的图象上任一点(x,y)都满足y>x,结合图象,只有A满足.
2.(5分)已知数列{an},an=kn-5,且a8=11,则an=________,a17=________.?
【解析】由已知得a8=8k-5=11,解得k=2,
所以an=2n-5,所以a17=2×17-5=29.
答案:2n-5　29
3.(5分)数列-1,1,-2,2,-3,3,…的一个通项公式为________.?
【解析】注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得an=
答案:an=
【加练·固】
数列,,,,,…的一个通项公式为________.?
【解析】此数列各项都是分式,且分母都减去1为1,4,9,16,25,…故分母可用n2+1表示,若分子各项都加1为:16,25,36,49,64,…故分子可用(n+3)2-1表示,故其通项公式可为an=.
答案:an=
4.(5分)如图所示的图案中,白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项,则这个数列的一个通项公式为________.?
【解析】我们把图案按如下规律分解:
这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6+4,6+4×2,所以这个数列的一个通项公式为an=6+4(n-1)=4n+2.
答案:an=4n+2
【加练·固】
图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方形组成:
通过观察可以发现:在第n个图形中,火柴棒有________根.?
【解析】第1个图形中,火柴棒有4根;
第2个图形中,火柴棒有4+3根;
第3个图形中,火柴棒有4+3+3=4+3×2根;
第4个图形中,火柴棒有4+3+3+3=4+3×3根;
…
第n个图形中,火柴棒有4+3(n-1)=3n+1根.
答案:3n+1
5.(10分)在数列{an}中,an=.
(1)求数列的第7项.
(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内.
(3)区间内有没有数列中的项?若有,有几项?
【解析】(1)a7==.
(2)因为an==1-,
所以0(3)令<<,则故n=1,即在区间内有且只有1项a1.
1.已知数列{an}的通项公式为an=5n+1,数列{bn}的通项公式为bn=n2,若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{cn},则c6的值为________.?
【解析】数列{an}的通项公式为an=5n+1,
其数据符合平方的数有:16,36,81,121,196,256,…,
数列{bn}的通项公式为bn=n2,
当n=4,6,9,11,14,16,…时符合上面各个数.
数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{cn},则c6的值为256.
答案:256
2.已知数列{an}的通项公式为an=pn+q(p,q∈R),且a1=-,a2=-.
(1)求{an}的通项公式;
(2)-是{an}中的第几项?
(3)该数列是递增数列还是递减数列?
【解析】(1)因为an=pn+q,又a1=-,a2=-,
所以解得
因此{an}的通项公式是an=-1(n∈N+).
(2)令an=-,即-1=-,
所以=,n=8.故-是{an}中的第8项.
(3)由于an=-1,且随n的增大而减小,
因此an的值随n的增大而减小,故{an}是递减数列.第五章　数　　列
5.1　数
列
基
础
新版课程标准
学业水平要求
1.通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)2.了解数列是一种特殊函数
1.借助教材实例了解数列的相关概念.(数学抽象)2.了解数列的函数特性、数列的通项公式、数列的前n项和.(数学抽象)3.借助教材实例理解递推公式的含义,能根据递推公式写出数列的前几项.(数学运算)4.能根据数列的前几项写出数列的通项公式.能利用数列的前n项和求数列的通项公式.(数学建模)
5.1.1　数列的概念
必备知识·素养奠基
1.数列及其相关概念
(1)定义:按照一定次序排列的一列数称为数列.
(2)项:数列中的每一个数都称为这个数列的项.项数:组成数列的数的个数称为数列的项数.
(3)通项:a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an},其中an表示数列的第n项(也称n为an的序号,其中n为正整数,即n∈N+),称为数列的通项.
(1)如果组成两个数列的数相同但排列次序不同,那么它们是相同的数列吗?
提示:从数列的定义可以看出,组成数列的数是按一定顺序排列的,如果组成数列的数相同但排列次序不同,那么它们就不是同一数列.
(2)同一个数在数列中可以重复出现吗?
提示:在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.例如:1,-1,1,-1,1,…;2,2,2,….
2.数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
摆动数列
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
3.数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用an=f(n)来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式.
4.函数与数列的关系
数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式就是相应函数的解析式.
函数y=2x与数列{an}的通项公式an=2n有什么区别?
提示:函数y=2x的自变量是连续变化的,图象是连续的直线.an=2n的自变量是离散的,图象是由离散的点构成.
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列.
(　　)
(2){an}与an是一样的,都表示数列.
(　　)
(3)所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的.
(　　)
(4)数列3,1,-1,-3,-5,-10的通项公式为an=5-2n.(　　)
提示:(1)×.两个数列相同,每一项都必须相同,而且数列具有顺序性.
(2)×.因为{an}代表一个数列,而an只是这个数列中的第n项,故{an}与an是不一样的.
(3)×.有的数列就没有通项公式,而且有的数列的通项公式不唯一.
(4)×.
第六项为-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此数列的通项公式.
2.数列3,4,5,6,…的一个通项公式为
(　　)
A.an=n,n∈N+
B.an=n+1,n∈N+
C.an=n+2,n∈N+
D.an=2n,n∈N+
【解析】选C.这个数列的前4项都比序号大2,所以,它的一个通项公式为an=n+2,n∈N+.
3.已知数列{an}的通项公式是an=n2+1,则122是该数列的
(　　)
A.第9项
B.第10项
C.第11项
D.第12项
【解析】选C.令n2+1=122,则n2=121,所以n=11或n=-11(舍去).
4.已知数列{an}的通项公式是an=2n-1,则a8=________.?
【解析】a8=2×8-1=15.
答案:15
关键能力·素养形成
类型一　数列的概念以及分类
【典例】1.下列说法错误的是
(　　)
A.数列4,7,3,4的首项是4
B.数列{an}中,若a1=3,则从第2项起,各项均不等于3
C.数列1,2,3,…就是数列{n}
D.数列中的项不能是三角形
2.已知下列数列:
①2
011,2
012,2
013,2
014,2
015,2
016;
②1,,,…,,…;
③1,-,,…,,…;
④1,0,-1,…,sin,…;
⑤2,4,8,16,32,…;
⑥-1,-1,-1,-1.
其中,有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,常数列是________,摆动数列是________(填序号).?
【思维·引】1.依据数列的定义逐项判断.
2.依据数列分类中有关数列的定义,逐个判断.
【解析】1.选B.由数列的相关概念可知,数列4,7,3,4的首项是4,故A正确.
同一个数在数列中可以重复出现,故B错误.
按一定顺序排列的一列数称为数列,所以数列1,2,3,…就是数列{n},故C正确.
数列中的项必须是数,不能是其他形式,故D正确.
2.①为有穷数列且为递增数列;②为无穷数列、递减数列;③为无穷数列、摆动数列;④是摆动数列,也是无穷数列;⑤为递增数列,也是无穷数列;⑥为有穷数列,也是常数列.
答案:①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④
【内化·悟】
1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性质具有哪些特点?
提示:(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性;
(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性);
(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性);
(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.
2.如何判断两个数列是相同数列?
提示:组成数列的数相同,且排列次序也相同的两个数列才是相同的数列.
　【类题·通】
数列概念的三个注意点
(1)数列{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,不是表示一个集合,与集合表示有本质的区别.
(2)从数列的定义可以看出,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;在定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.
(3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性,是理解、把握数列的关键.
【习练·破】
下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是
(　　)
A.1,,,,…
B.sin
,sin
,sin
,sin
,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,2,3,4,…,30
【解析】选C.数列1,,,,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sin
,sin
,sin
,sin
,…是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1,-,-,-,…是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.
【加练·固】
下列数列
(1)1,2,22,23,…,263;
(2)0,10,20,30,…,1
000;
(3)2,4,6,8,10,…;
(4)-1,1,-1,1,-1,…;
(5)7,7,7,7,…;
(6),,,,….
其中有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,摆动数列是________,常数列是________.(填序号)?
【解析】根据数列的概念知有穷数列是(1)(2),无穷数列是
(3)(4)(5)(6),递增数列是(1)(2)(3),递减数列是(6),摆动数列是
(4),常数列是(5).
答案:(1)(2)　(3)(4)(5)(6)　(1)(2)(3)　(6)　(4)　(5)
类型二　观察法写出数列的通项公式
【典例】1.(2020·徐州高一检测)数列3,6,11,20,…的一个通项公式为
(　　)
A.an=3n
B.an=n(n+2)
C.an=n+2n
D.an=2n+1
2.写出下列数列的一个通项公式:
(1),2,,8,,…;
(2)1,-3,5,-7,9,…;
(3)9,99,999,9
999,…;
(4),,,,…;
(5),,,,…;
(6)4,0,4,0,4,0,….
【思维·引】1.根据特点,观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系,归纳出一个通项公式即可.
2.首先要熟悉一些常见数列的通项公式,然后对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.
【解析】1.选C.依题意,a1=3=1+21;a2=6=2+22;a3=11=3+23;a4=20=4+24;…,
所以an=n+2n.
2.(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察:,,,,,…,所以,它的一个通项公式为an=.
(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).
(3)各项加1后,分别变为10,100,1
000,10
000,…此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,分子的后一部分是减去一个从1开始的自然数,综合得原数列的一个通项公式为an==.
(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n·.
(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即an=
又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表示为an=2+2×(-1)n+1.
【素养·探】
在与观察法写出数列的通项公式有关的问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,通过研究数列的前几项与项的序号之间的关系,归纳出数列的通项公式.
将本例2(6)的数列改为“3,5,3,5,3,5,…”,如何写出其通项公式?
【解析】此数列的奇数项为3,偶数项为5,故通项公式可写为an=此数列两项3与5的平均数为=4,
奇数项为4-1,偶数项为4+1,
故通项公式还可写为an=4+(-1)n.
【类题·通】
　(1)用观察法求数列通项公式的策略
(2)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号问题.
(3)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.
【习练·破】
写出下列数列的一个通项公式:
(1)0,3,8,15,24,…;
(2)1,2,3,4,…;
(3)1,11,111,1
111,….
【解析】(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以它的一个通项公式是an=n2-1
(n∈N+).
(2)此数列的整数部分1,2,3,4,…恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为,故所求的数列的一个通项公式为an=n+=(n∈N+).
(3)原数列的各项可变为×9,×99,×999,×9
999,…,易知数列9,99,999,
9
999,…的一个通项公式为an=10n-1,所以原数列的一个通项公式为an=(10n-1)(n∈N+).
【加练·固】
根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)
3,5,7,9,11,13,…;
(2),
,,,,
…;
(3)
0,
1,
0,
1,
0,
1,…;
(4)
1,
3,
3,
5,
5,
7,
7,
9,
9,…;
(5)
2,
-6,
12,
-20,
30,
-42,….
【解析】(1)从3开始的奇数列,an=2n+1.
(2)分子为偶数,分母为相邻两奇数的积
an=;
(3)an=或an=;
　(4)
将数列变形为1+0,
2+1,
3+0,
4+1,
5+0,
6+1,
7+0,
8+1,
…,
所以an=n+;
(5)
将数列变形为1×2,
-2×3,
3×4,
-4×5,
5×6,…,
所以an=(-1)n+1n(n+1).
类型三　数列通项公式的简单应用
【典例】已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)求a10.
(2)判断是否为该数列中的项.若是,它为第几项?若不是,请说明理由.
(3)求证:0【思维·引】(1)将n=10代入{an}的通项公式即可求a10.
(2)令an=,若n为正整数,则是{an}的项,否则,不是{an}的项.
(3)分离常数后可证.
【解析】(1)根据题意可得a10==.
(2)令an=,即=,解得n=3,
所以为数列{an}中的项,为第3项.
(3)由题知an==1-,
因为n∈N+,所以3n+1>3,所以0<<1,
所以0<1-<1,即0【类题·通】
1.利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.
2.判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数则是数列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的一项.
【习练·破】
数列{an}的通项公式为an=30+n-n2.
(1)-60是否是{an}中的一项?
(2)当n分别取何值时,an=0,an>0,an<0?
【解析】(1)假设-60是{an}中的一项,
则-60=30+n-n2.
解得n=10或n=-9(舍去).
所以-60是{an}的第10项.
(2)分别令30+n-n2=0;30+n-n2>0;
30+n-n2<0,
解得n=6;06,
即n=6时,an=0;
当00;
当n>6且n∈N+时,an<0.
【加练·固】
已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)写出数列的第4项和第6项.
(2)试问是该数列的项吗?若是,是第几项?若不是,请说明理由.
【解析】(1)因为an=,
所以a4==,a6==.
(2)令=,则n2+3n-40=0,
解得n=5或n=-8,注意到n∈N+,
故将n=-8舍去,所以是该数列的第5项.
课堂检测·素养达标
1.有下列命题:
①数列,,,,…的一个通项公式是an=;
②数列的图象是一群孤立的点;
③数列1,-1,1,-1,…与数列-1,
1,-1,1,…是同一数列;
④数列,,…,是递增数列.
其中正确命题的个数为
(　　)
A.1
B.2
C.3
D.0
【解析】选A.由通项公式知a1=≠,故①不正确;易知②正确;由于两数列中数的排列次序不同,因此不是同一数列,故③不正确;④中的数列为递减数列,所以④不正确.
2.数列,,2,,…的一个通项公式是
(　　)
A.an=
B.an=
C.an=
D.an=
【解析】选B.因为数列,,2,,…的第三项可写成,这样,每一项都是含根号的数,且每一个被开方数比前一项的被开方数多3,所以an=.
3.在数列{an}中,an=51-n,则a3等于________.?
【解析】由已知得a3=51-3=.
答案:
4.(2020·南通高一检测)在数列{an}中,已知an=,n∈N+,则是数列中的第________项.?
【解析】根据题意,数列{an}中,已知an=,
若=,即n2+n-1=19,解得:n=4或-5(舍).
答案:4
【新情境·新思维】
大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和,它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,求该数列的第18项.
【解析】由题意得,偶数项分别为2,8,18,32,50,…可发现规律为:
2=2×1=2×12=2×,
8=2×4=2×22=2×,
18=2×9=2×32=2×,
32=2×16=2×42=2×,
50=2×25=2×52=2×,…
则该数列第18项为2×=2×92=2×81=162.

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