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课时素养评价
八　等比数列的性质
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
1.已知数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,若a1=1,a2
019=3,则a1
010的值为
(　　)
A.9
B.
C.±
D.3
【解析】选B.因为数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,a1=1,a2
019=3,
所以,所以a1
010=1×q1
009=.
2.(2020·郑州高二检测)记等比数列{an}满足2a2-5a3=3a4,则公比q=
(　　)
A.
B.或-2
C.2
D.
【解析】选B.因为等比数列{an}满足2a2-5a3=3a4,
依题意,2a2-5a2q=3a2q2,
即3q2+5q-2=0,故(3q-1)(q+2)=0,
解得q=或q=-2.
3.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,则成等比数列,则此未知数是
(　　)
A.3或27
B.36
C.9　
D.15
【解析】选A.设此三数为3,a,b,
则解得或
所以这个未知数为3或27.
4.(多选题)(2020·连云港高二检测)已知等比数列{an}中,满足a1=1,公比q=-2,则
(　　)
A.数列{2an+an+1}是等比数列
B.数列{an+1-an}是等比数列
C.数列{anan+1}是等比数列
D.数列{log2|an|}是递减数列
【解析】选BC.因为等比数列{an}中,满足a1=1,公比q=-2,
所以an=1×(-2)n-1=(-2)n-1.
由此可得2an+an+1=2·(-2)n-1+(-2)n=0,A错误;
an+1-an=(-2)n-(-2)n-1=-3·(-2)n-1,故数列{an+1-an}是等比数列,B正确;
anan+1=(-2)n-1(-2)n=(-2)2n-1,故数列{anan+1}是等比数列,C正确;
log2|an|=log22n-1=n-1,故数列{log2|an|}是递增数列,D错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{an}满足log2an+1-log2an=1,则=________.?
【解析】因为log2an+1-log2an=1,所以=2,
所以数列{an}是公比q为2的等比数列,
所以=q2=4.
答案:4
【加练·固】
已知数列{an}满足an+1=3an,且a2·a4·a6=9,则log3a5+log3a7+log3a9=
(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.11
【解析】选D.根据题意,数列{an}满足an+1=3an,则数列{an}为等比数列,且其公比q=3,
若a2·a4·a6=9,则(a4)3=a2·a4·a6=9,
则log3a5+log3a7+log3a9=log3(a5·a7·a9)
=log3(a7)3=log3(a4q3)3=11.
6.已知公比为q的等比数列{an}中,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则公比q=________.?
【解析】由已知可得a2+a3+a4=14,
a2+a4=2a3+2,所以a3=4,a2+a4=10,所以=,即2q2-5q+2=0解得q=2或q=.
答案:2或
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.
(1)若d=1且S5=a1a9,求数列{an}的通项公式;
(2)若a1,a3,a4成等比数列,求公比q.
【解析】(1)因为d=1且S5=a1a9,
所以5a1+×1=a1(a1+8),
解得a1=-5,或a1=2,
当a1=-5时,an=-5+n-1=n-6,
当a1=2时,an=2+n-1=n+1.
(2)因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1a4,
所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),整理可得d(a1+4d)=0,则d=0或a1=-4d,当d=0时,公比q为1,
当d≠0,a1=-4d时,
q====.
8.(2020·武汉高二检测)若等比数列{an}的前n项和为Sn,满足a4-a1=S3,a5-a1=15.
(1)求数列{an}的首项a1和公比q;
(2)若an>n+100,求n的取值范围.
【解析】(1)因为a4-a1=S3,a5-a1=15.显然公比q≠1,
所以,解得q=2,a1=1.
(2)由(1)可得an=2n-1,因为an>n+100,即2n-1>n+100,验证可得,n≥8,n∈N+.
(15分钟·30分)
1.(5分)(2020·崇左高二检测)在等比数列{an}中,若a2+a5=3,a5+a8=6,则a11=
(　　)
A.4
B.8
C.16
D.32
【解析】选B.因为a2+a5=3,a5+a8=6,
所以q3==2,
因为a2+a5=a2(1+q3)=3,
所以a2=1,则a11=a2q9=1×23=8.
2.(5分)两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn,若=2,则=
(　　)
A.512
B.32
C.8
D.2
【解析】选A.因为A9=a1a2a3…a9=,
B9=b1b2b3…b9=,所以==512.
3.(5分)在正项等比数列{an}中,an+1【解析】因为数列{an}是正项等比数列,
且a2·a8=6,a4+a6=5,
所以a4a6=a2a8=6,a4+a6=5,
联立得a4=2,a6=3或a4=3,a6=2,
因为an+1所以q2==,所以==.
答案:
【加练·固】
已知数列{an}为等比数列,且a3a11+2=4π,则tan(a1a13)的值为________.?
【解析】由等比数列{an}的性质可得,a3a11=,
由a3a11+2=4π,得3a3a11=4π,则a3a11=.
则tan(a1a13)=tan=tan=.
答案:
4.(5分)在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等比数列,则x+y+z的值为________.?
【解析】因为=,所以x=1.
因为第一行中的数成等差数列,首项为2,公差为1,故后两格中数字分别为5,6.
同理,第二行后两格中数字分别为2.5,3.
所以y=5×,z=6×.
所以x+y+z=1+5×+6×==2.
答案:2
5.(10分)已知等比数列{an},a1a2=-,a3=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:对任意k∈N+,ak,ak+2,ak+1成等差数列.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,
若a1a2=-,则q=-,
若a3=,则a1q2=,变形可得=-2,
解可得:=1,则a1=1,则有q=-,
故an=.
(2)根据题意,an=,
则ak=,ak+1=,
ak+2=;则有
ak+ak+1-2ak+2=+-
2==0,
则有ak+ak+1=2ak+2,故ak,ak+2,ak+1成等差数列.
1.在等比数列{an}中,a1=8,+16=8,则a9的值为________.?
【解析】=a5a7,由+16=8可得+16=8a5a7,所以+16·=8,
即+16q2=8,解得q2=,
所以a9=a1q8=8×=.
答案:
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N+).
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)设bn=an+3,证明数列{bn}为等比数列,并求通项公式an.
【解析】(1)因为数列{an}的前n项和为Sn,
且Sn=2an-3n(n∈N+).
所以n=1时,由a1=S1=2a1-3×1,解得a1=3,
n=2时,由S2=2a2-3×2,得a2=9,
n=3时,由S3=2a3-3×3,得a3=21.
(2)因为Sn=2an-3×n,
所以Sn+1=2an+1-3×(n+1),
两式相减,得an+1=2an+3,
bn=an+3,bn+1=an+1+3,
所以===2,
得bn+1=2bn(n∈N+),且b1=6,
所以数列{bn}是以6为首项,2为公比的等比数列,
所以bn=6×2n-1,
所以an=bn-3=6×2n-1-3=3(2n-1).
【加练·固】
已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{bn}满足bn=anan+1(n∈N+).
(1)若{an}是等差数列,且b3=12,求a的值及{an}的通项公式;
(2)当{bn}是公比为a-1的等比数列时,{an}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.
【解析】(1)因为{an}是等差数列,a1=1,a2=a,bn=ana
n+1,b3=12,
所以b3=a3a4=(a1+2d)(a1+3d)=(1+2d)(1+3d)=12,即d=1或d=-,
又因为a=a1+d=1+d>0,得d>-1,
所以d=1,a=2,所以an=n.
(2){an}不能为等比数列,理由如下:
因为bn=anan+1,{bn}是公比为a-1的等比数列,
所以===a-1,
所以a3=a-1,
假设{an}为等比数列,
由a1=1,a2=a得a3=a2,
所以a2=a-1,
所以此方程无解,
所以数列{an}一定不为等比数列.
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第2课时　等比数列的性质　
必备知识·素养奠基
1.如果x,G,y是等比数列,那么G为x与y的等比中项,且G2=xy,G=±
.
2.等比数列的项之间的关系
等比数列{an},m,n,p,q∈N+
两项关系
an=_____
三项关系
若
m+n=2p
an·am=_____
四项关系
若m+n=p+q,则am·an=____
amqn-m
ap·aq
【思考】
等比数列两项之间的关系an=amqn-m中,当n≤m时成立吗?
提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=
.
3.等比数列的单调性
递增数列
a1>0
____
____
0递减数列
a1>0
______
a1<0
____
a1<0
q>1
0q>1
【思考】
当q=1,q<0时,分别是什么数列?
提示:当q=1时是常数列;当q<0时是摆动数列.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)等比数列{an}中a2·a6=
.
(　　)
(2)若G是a与b的等比中项,则G=
.
(　　)
(3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列.
(　　)
提示:(1)×.a2·a6=
.
(2)×.G=±
.
(3)×.如0,0,0满足02=0×0,但不是等比数列.
2.若三个正数1,b,16成等比数列,则b=________.?
【解析】因为三个正数1,b,16成等比数列,所以b=
=4.
答案:4
3.在等比数列{an}中,已知a7·a12=10,则a8·a9·a10·a11=________.?
【解析】因为a7·a12=a8·a11=a9·a10=10,
所以a8·a9·a10·a11=102=100.
答案:100
关键能力·素养形成
类型一　等比中项及其应用
【典例】1.若三个实数a,b,c成等比数列,其中a=3-
,c=3+
,则b=(　　)
　A.2　
B.-2
C.±2
D.4
2.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等(　　)
A.2
B.4
C.6　
D.8
【思维·引】1.利用b是a,c的等比中项求值.
2.将ak,a2k用d表示出来,再利用等比中项列式求值.
【解析】1.选C.三个实数a,b,c成等比数列,
则b2=ac=(3-
)(3+
)=9-5=4,则b=±2.
2.选B.因为an=(n+8)d,又因为
=a1·a2k,
所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,
解得k=-2(舍去)或k=4.
【内化·悟】
等比数列中,a1和a5的等比中项是哪一项?a2和a8呢?
提示:a1和a5的等比中项是a3,a2和a8的等比中项是a5.
【类题·通】
应用等比中项解题的两个关注点
(1)如果出现等比数列两项的乘积时,就要注意考虑是否能转化为等比中项表示;
(2)等比中项一般不唯一,但是如果在等比数列中,还要关注项的关系,如a4是a2,a6的等比中项,而a4=a2q2,因此a4与a2的符号相同.
【习练·破】
-1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=________.?
【解析】设该等比数列的公比为q,
因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项,
所以b2=-1×(-25)=25,所以b=±5,
又因为b=-1×q2<0,所以b=-5,所以abc=b3=-125.
答案:-125
【加练·固】
已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,求
的值.
【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,
则a2-a1=d=
×[(-4)-(-1)]=-1,
因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,
所以=(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.
若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.
所以b2=-2,所以
=
=
.
类型二　等比数列性质的应用
【典例】1.若数列{an}是递增的等比数列,a2a5=20,a1+a6=9,则a11=
(　　)
A.5
B.
C.
D.
2.已知各项都为正数的等比数列{an}满足:a3a7=2
,a3=1,则a2=
(　　)
A.
B.
C.
D.2
【思维·引】1.利用a2a5=a1a6转化求值.
2.利用a3a7=
求出q,进而求出a2.
【解析】1.选C.因为数列{an}是递增的等比数列,
a2a5=20,a1+a6=9,所以a1a6=a2a5=20,
所以a1,a6是一元二次方程x2-9x+20=0的两个根,
且a1所以q5=
,a11=a1q10=4×
=
.
2.选B.各项都为正数的等比数列{an}满足:
a3a7=
,所以
=
,
所以q=
,
因为a3=1
,
所以a2=
=
.
【内化·悟】
用数列项的哪个要素的关系来确定所用的性质?
提示:需要用数列项的下标关系,即项数的关系.
【类题·通】
1.解答等比数列问题的基本方法——基本量法
(1)基本步骤:运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,解出a1和q,然后利用通项公式求解.
(2)优缺点:适用面广,入手简单,思路清晰,但有时运算稍繁.
2.利用等比数列的性质解题
(1)基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.
(2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.
【习练·破】
(2020·眉山高二检测)已知数列{an}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,则=
(　　)
A.5
B.10
C.25
D.510
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q.
因为数列{an}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,
所以
解得a1=2,
q=
,
所以
=
=
=q10=25.
【加练·固】
(2020·惠州高二检测)已知数列{an}是等比数列,函数y=x2-5x+3的两个零点是
a1,a5,则a3=
(　　)
A.1
B.-1
C.
D.
【解析】选D.由根与系数的关系可知a1+a5=5,a1·a5=3,则a1>0,a5>0,从而a3>0,
且
=a1·a5=3,所以a3=
.
类型三　等比数列的实际应用
【典例】朱载堉(1536-1611),明太祖九世孙,音乐家、数学家、天文历算家,在
他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名,在西方人眼中他是大百科全
书式的学者王子.他对文艺的最大贡献是创建了“十二平均律”,此理论被广泛
应用在世界各国的键盘乐器上,包括钢琴,故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻
祖”.“十二平均律”是指一个八度有13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,
且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍,设第二个音的频率为f2,第八个音的
频率为f8,则
等于
(　　)
A.
B.
C.
D.
【思维·引】化归成数列中项、公比的问题求解.
【解析】选A.依题意13个音的频率成等比数列,记为{an},
设公比为q,则a13=a1q12,且a13=2a1,所以q=
,
所以
=q6=(
)6
=
.
【内化·悟】
在应用性问题中,判断是否为等比数列模型的关键是什么?
提示:关键是看增长(缩减)是否按照同一比例.
【类题·通】
关于等比数列在应用问题中的应用
首先根据题意判断是否是等比数列模型,其次分析等比数列的首项、公比、项数,最后利用等比数列的通项公式计算解题.
　【习练·破】
　(2020·延庆高二检测)某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10
万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计
改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过_____
年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量(参考数据:lg
2≈0.3010)
(　　)?
A.6
B.7
C.8
D.9
【解析】选B.设经过n年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量,则10×(1+50%)n>40×(1+20%)n,化为:
>4,取对数可得:n>
=
≈
≈6.2.
所以至少经过7年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量.
【加练·固】
某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍,那么该单位此年的月平均
增长率是________.?
【解析】由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,因为
=m,所以
月平均增长率为
-1.
答案:
类型四　等比数列与等差数列的综合应用
角度1　灵活设项解题
【典例】三个数成等比数列,其积为64,如果第一个数与第三个数各减去1,则这三个数成等差数列,求这三个数.
【思维·引】利用等比数列设出前三项,表示出等差数列后求未知数.
【解析】因为三个数成等比数列,
设三个数为
,a,aq,则
×a×aq=a3=64,
所以a=4,所以三个数为
,4,4q,
第一个数与第三个数各减去1为
-1,4,4q-1,
则
-1+4q-1=8,即2q2-5q+2=0,
解得q=2或
,所以这三个数为2,4,8或8,4,2.
【素养·探】
在利用等比数列设项解题过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过解方程求公比解题.
本例中的条件若改为“其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2”,试求这三个数.
【解析】设三个数依次为
,a,aq,
因为
·a·aq=512,所以a=8.
因为
+(aq-2)=2a,
所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=
,
所以这三个数为4,8,16或16,8,4.
角度2　等差、等比数列性质
【典例】已知{an}是等差数列,{bn}是正项等比数列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+
a5,b5=a4+2a6,则a2
018+b9=
(　　)
A.2
274
B.2
074
C.2
226
D.2
026
【思维·引】分别用等差数列的首项a1、公差d、等比数列的公比q表示出已知条件,求出a1,d,q后求a2
018+b9.
【解析】选A.设等差数列{an}的公差为d,正项等比数列{bn}的公比为q>0,
因为b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,
所以q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,
解得q=2,a1=d=1,则a2
018+b9=1+2
017+28=2
274.
【类题·通】
等比数列项的设法
(1)三数成等比数列常设成
,a,aq或a,aq,aq2.
(2)若四个数成等比数列,可设为
,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,可设
为
,
,aq,aq3.
　【习练·破】
　设公差不为零的等差数列{an}满足a3=7,且a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则a10等于________.?
【解析】设等差数列{an}的公差为d,则d≠0,
则a1=a3-2d=7-2d,a2=a3-d=7-d,
a4=a3+d=7+d,由于a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,
则(a2-1)2=(a1-1)(a4-1),
即(6-d)2=(6-2d)(6+d),化简得d2-2d=0,由于d≠0,解得d=2,
因此,a10=a3+7d=7+7×2=21.
答案:21
【加练·固】
已知数列{an}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则{an}的公比为________.?
【解析】因为数列{an}是由实数构成的等比数列,
a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,
所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,
整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{an}的公比q=2.
答案:2
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是
(　　)
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
【解析】选D.设等比数列的公比为q,因为
=
=q3,即
=a3a9,所以a3,a6,a9
成等比数列.
课堂检测·素养达标
2.已知数列{an}是等比数列,若
=4,则a5=(　　)
A.2
B.4
C.2
D.
【解析】选B.根据题意,数列{an}是等比数列,设其公比为q,
若
=4,则
=a3q2=a5=4.
3.(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=
(　　)
A.12
B.24
C.30
D.32
【解题指南】根据已知条件求得q的值,再由a6+a7+a8
=a1q5(1+q+q2)可求得结果.
【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,
则a1+a2+a3=a1
=1,
a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q
=q=2,
因此,a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5
=
q5=32.
4.(2020·景德镇高二检测)在正项等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则
sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为________.?
【解析】在正项等比数列{an}中,若a3a4a5=3π=
,
所以a4=
.
所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)
=sin[log3(a1a2·…·a7)]
=sin(log3
)=sin(log3
)
=sin
=sin
=
.
答案:
【新情境·新思维】
已知数列
是等比数列,公比为q,则数列{an}
(　　)
A.是等差数列,公差为log3q
B.是等差数列,公差为3q
C.是等比数列,公比为log3q　
D.既不是等差数列,也不是等比数列
【解析】选A.因为数列
是等比数列,
所以
=
=q,
所以an+1-an=log3q(常数),
所以数列{an}
是等差数列,公差为log3q.
课时素养评价
八　等比数列的性质
【基础练】(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,
有选错的得0分)
1.已知数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,若a1=1,a2
019=3,则a1
010的值
为
(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A.9
B.
C.±
D.3
【解析】选B.因为数列{an}是等比数列,且每一项都是正数,a1=1,a2
019=3,
所以
,所以a1
010=1×q1
009=
.
2.(2020·郑州高二检测)记等比数列{an}满足2a2-5a3=3a4,则公比q=
(　　)
A.
B.
或-2
C.2
D.
【解析】选B.因为等比数列{an}满足2a2-5a3=3a4,
依题意,2a2-5a2q=3a2q2,
即3q2+5q-2=0,故(3q-1)(q+2)=0,
解得q=
或q=-2.
3.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,则成等比数列,则此未知数是
(　　)
A.3或27
B.36
C.9　
D.15
【解析】选A.设此三数为3,a,b,
则
解得
或
所以这个未知数为3或27.
4.(多选题)(2020·连云港高二检测)已知等比数列{an}中,满足a1=1,公比q=-2,则
(　　)
A.数列{2an+an+1}是等比数列
B.数列{an+1-an}是等比数列
C.数列{anan+1}是等比数列
D.数列{log2|an|}是递减数列
【解析】选BC.因为等比数列{an}中,满足a1=1,公比q=-2,
所以an=1×(-2)n-1=(-2)n-1.
由此可得2an+an+1=2·(-2)n-1+(-2)n=0,A错误;
an+1-an=(-2)n-(-2)n-1=-3·(-2)n-1,故数列{an+1-an}是等比数列,B正确;
anan+1=(-2)n-1(-2)n=(-2)2n-1,故数列{anan+1}是等比数列,C正确;
log2|an|=log22n-1=n-1,故数列{log2|an|}是递增数列,D错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知数列{an}满足log2an+1-log2an=1,则
=________.?
【解析】因为log2an+1-log2an=1,所以
=2,
所以数列{an}是公比q为2的等比数列,
所以
=q2=4.
答案:4
【加练·固】
已知数列{an}满足an+1=3an,且a2·a4·a6=9,则log3a5+log3a7+log3a9=
(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.11
【解析】选D.根据题意,数列{an}满足an+1=3an,则数列{an}为等比数列,且其公比q=3,
若a2·a4·a6=9,则(a4)3=a2·a4·a6=9,
则log3a5+log3a7+log3a9=log3(a5·a7·a9)
=log3(a7)3=log3(a4q3)3=11.
6.已知公比为q的等比数列{an}中,前4项的和为a1+14,且a2,a3+1,a4成等差数列,则公比q=________.?
【解析】由已知可得a2+a3+a4=14,
a2+a4=2a3+2,所以a3=4,a2+a4=10,所以
,即2q2-5q+2=0解得q=2或q=
.
答案:2或
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d.
(1)若d=1且S5=a1a9,求数列{an}的通项公式;
(2)若a1,a3,a4成等比数列,求公比q.
【解析】(1)因为d=1且S5=a1a9,
所以5a1+
×1=a1(a1+8),
解得a1=-5,或a1=2,
当a1=-5时,an=-5+n-1=n-6,
当a1=2时,an=2+n-1=n+1.
(2)因为a1,a3,a4成等比数列,所以
=a1a4,
所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),整理可得d(a1+4d)=0,则d=0或a1=-4d,当d=0时,公比
q为1,
当d≠0,a1=-4d时,
q=
.
8.(2020·武汉高二检测)若等比数列{an}的前n项和为Sn,满足a4-a1=S3,a5-a1=15.
(1)求数列{an}的首项a1和公比q;
(2)若an>n+100,求n的取值范围.
【解析】(1)因为a4-a1=S3,a5-a1=15.显然公比q≠1,
所以
,解得q=2,a1=1.
(2)由(1)可得an=2n-1,因为an>n+100,即2n-1>n+100,验证可得,n≥8,n∈N+.
【能力练】　(15分钟·30分)
1.(5分)(2020·崇左高二检测)在等比数列{an}中,若a2+a5=3,a5+a8=6,则
a11=
(　　)
A.4
B.8
C.16
D.32
【解析】选B.因为a2+a5=3,a5+a8=6,
所以q3=
=2,
因为a2+a5=a2(1+q3)=3,
所以a2=1,则a11=a2q9=1×23=8.
2.(5分)两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn,
若
=2,则
=
(　　)
A.512
B.32
C.8
D.2
【解析】选A.因为A9=a1a2a3…a9=
,
B9=b1b2b3…b9=
,所以
=
=512.
3.(5分)在正项等比数列{an}中,an+1=________.?
【解析】因为数列{an}是正项等比数列,
且a2·a8=6,a4+a6=5,
所以a4a6=a2a8=6,a4+a6=5,
联立得a4=2,a6=3或a4=3,a6=2,
因为an+1所以q2=
,所以
.
答案:
【加练·固】
已知数列{an}为等比数列,且a3a11+
=4π,则tan(a1a13)的值为________.?
【解析】由等比数列{an}的性质可得,a3a11=
,
由a3a11+
=4π,得3a3a11=4π,则a3a11=
.
则tan(a1a13)=tan
=tan
.
答案:
4.(5分)在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等比数列,则x+y+z的值为________.?
【解析】因为
,所以x=1.
因为第一行中的数成等差数列,首项为2,公差为1,故后两格中数字分别为5,6.
同理,第二行后两格中数字分别为2.5,3.
所以y=5×
,z=6×
.
所以x+y+z=1+5×
+6×
=2.
答案:2
5.(10分)已知等比数列{an},a1a2=-
,a3=
.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:对任意k∈N+,ak,ak+2,ak+1成等差数列.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,
若a1a2=-
,则
q=-
,
若a3=
,则a1q2=
,变形可得
=-2,
解可得:
=1,则a1=1,则有q=-
,
故an=
.
(2)根据题意,an=
,
则ak=
,ak+1=
,
ak+2=
;则有
ak+ak+1-2ak+2=
-
2
=0,
则有ak+ak+1=2ak+2,故ak,ak+2,ak+1成等差数列.
【培优练】
1.在等比数列{an}中,a1=8,
+16
=8
,则a9的值为________.?
【解析】
=a5a7,由
+16
=8
可得
+16
=8a5a7,所以
+16·
=8,
即
+16q2=8,解得q2=
,
所以a9=a1q8=8×
.
答案:
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N+).
(1)求a1,a2,a3的值;
(2)设bn=an+3,证明数列{bn}为等比数列,并求通项公式an.
【解析】(1)因为数列{an}的前n项和为Sn,
且Sn=2an-3n(n∈N+).
所以n=1时,由a1=S1=2a1-3×1,解得a1=3,
n=2时,由S2=2a2-3×2,得a2=9,
n=3时,由S3=2a3-3×3,得a3=21.
(2)因为Sn=2an-3×n,
所以Sn+1=2an+1-3×(n+1),
两式相减,得an+1=2an+3,
bn=an+3,bn+1=an+1+3,
所以
=2,
得bn+1=2bn(n∈N+),且b1=6,
所以数列{bn}是以6为首项,2为公比的等比数列,
所以bn=6×2n-1,
所以an=bn-3=6×2n-1-3=3(2n-1).
【加练·固】
已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{bn}满足bn=anan+1(n∈N+).
(1)若{an}是等差数列,且b3=12,求a的值及{an}的通项公式;
(2)当{bn}是公比为a-1的等比数列时,{an}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.
【解析】(1)因为{an}是等差数列,a1=1,a2=a,bn=ana
n+1,b3=12,
所以b3=a3a4=(a1+2d)(a1+3d)=(1+2d)(1+3d)=12,即d=1或d=-
,
又因为a=a1+d=1+d>0,得d>-1,
所以d=1,a=2,所以an=n.
(2){an}不能为等比数列,理由如下:
因为bn=anan+1,{bn}是公比为a-1的等比数列,
所以
=a-1,
所以a3=a-1,
假设{an}为等比数列,
由a1=1,a2=a得a3=a2,
所以a2=a-1,
所以此方程无解,
所以数列{an}一定不为等比数列.第2课时　等比数列的性质
必备知识·素养奠基
1.如果x,G,y是等比数列,那么G为x与y的等比中项,且G2=xy,G=±.
2.等比数列的项之间的关系
等比数列{an},m,n,p,q∈N+
两项关系
an=amqn-m
三项关系
若m+n=2p,则an·am=
四项关系
若m+n=p+q,则am·an=ap·aq
　等比数列两项之间的关系an=amqn-m中,当n≤m时成立吗?
提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=.
3.等比数列的单调性
递增数列
a1>0
q>1
a1<0
0递减数列
a1>0
0a1<0
q>1
　当q=1,q<0时,分别是什么数列?
提示:当q=1时是常数列;当q<0时是摆动数列.
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)等比数列{an}中a2·a6=.
(　　)
(2)若G是a与b的等比中项,则G=.
(　　)
(3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列.
(　　)
提示:(1)×.a2·a6=.
(2)×.G=±.
(3)×.如0,0,0满足02=0×0,但不是等比数列.
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
2.若三个正数1,b,16成等比数列,则b=________.?
【解析】因为三个正数1,b,16成等比数列,所以b==4.
答案:4
3.在等比数列{an}中,已知a7·a12=10,则a8·a9·a10·a11=________.?
【解析】因为a7·a12=a8·a11=a9·a10=10,
所以a8·a9·a10·a11=102=100.
答案:100
关键能力·素养形成
类型一　等比中项及其应用
【典例】1.若三个实数a,b,c成等比数列,其中a=3-,c=3+,则b=
(　　)
A.2　
B.-2
C.±2
D.4
2.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于
(　　)
A.2
B.4
C.6　
D.8
【思维·引】1.利用b是a,c的等比中项求值.
2.将ak,a2k用d表示出来,再利用等比中项列式求值.
【解析】1.选C.三个实数a,b,c成等比数列,
则b2=ac=(3-)(3+)=9-5=4,则b=±2.
2.选B.因为an=(n+8)d,又因为=a1·a2k,
所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,
解得k=-2(舍去)或k=4.
【内化·悟】
　等比数列中,a1和a5的等比中项是哪一项?a2和a8呢?
提示:a1和a5的等比中项是a3,a2和a8的等比中项是a5.
【类题·通】
应用等比中项解题的两个关注点
(1)如果出现等比数列两项的乘积时,就要注意考虑是否能转化为等比中项表示;
(2)等比中项一般不唯一,但是如果在等比数列中,还要关注项的关系,如a4是a2,a6的等比中项,而a4=a2q2,因此a4与a2的符号相同.
【习练·破】
　-1,a,b,c,-25是等比数列,则abc=________.?
【解析】设该等比数列的公比为q,
因为b是a,c的等比中项,也是-1,-25的等比中项,
所以b2=-1×(-25)=25,所以b=±5,
又因为b=-1×q2<0,所以b=-5,所以abc=b3=-125.
答案:-125
【加练·固】
已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,求的值.
【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,
则a2-a1=d=×[(-4)-(-1)]=-1,
因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,
所以=(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.
若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.
所以b2=-2,所以==.
类型二　等比数列性质的应用
【典例】1.若数列{an}是递增的等比数列,a2a5=20,a1+a6=9,则a11=
(　　)
A.5
B.
C.
D.
2.已知各项都为正数的等比数列{an}满足:a3a7=2,a3=1,则a2=
(　　)
A.
B.
C.
D.2
【思维·引】1.利用a2a5=a1a6转化求值.
2.利用a3a7=求出q,进而求出a2.
【解析】1.选C.因为数列{an}是递增的等比数列,
a2a5=20,a1+a6=9,所以a1a6=a2a5=20,
所以a1,a6是一元二次方程x2-9x+20=0的两个根,
且a1所以q5=,a11=a1q10=4×=.
2.选B.各项都为正数的等比数列{an}满足:
a3a7=2,所以=2,
所以q=,
因为a3=1,
所以a2==.
【内化·悟】
　用数列项的哪个要素的关系来确定所用的性质?
提示:需要用数列项的下标关系,即项数的关系.
【类题·通】
1.解答等比数列问题的基本方法——基本量法
(1)基本步骤:运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,解出a1和q,然后利用通项公式求解.
(2)优缺点:适用面广,入手简单,思路清晰,但有时运算稍繁.
2.利用等比数列的性质解题
(1)基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.
(2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.
【习练·破】
　(2020·眉山高二检测)已知数列{an}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,则=
(　　)
A.5
B.10
C.25
D.510
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q.
因为数列{an}为正项的递增等比数列,a1+a6=12,a2a5=20,
所以
解得a1=2,q=,
所以===q10=25.
【加练·固】
　　(2020·惠州高二检测)已知数列{an}是等比数列,函数y=x2-5x+3的两个零点是a1,a5,则a3=
(　　)
A.1
B.-1
C.±
D.
【解析】选D.由根与系数的关系可知a1+a5=5,a1·a5=3,则a1>0,a5>0,从而a3>0,且=a1·a5=3,所以a3=.
类型三　等比数列的实际应用
【典例】朱载堉(1536-1611),明太祖九世孙,音乐家、数学家、天文历算家,在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名,在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子.他对文艺的最大贡献是创建了“十二平均律”,此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上,包括钢琴,故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”.“十二平均律”是指一个八度有13个音,相邻两个音之间的频率之比相等,且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍,设第二个音的频率为f2,第八个音的频率为f8,则等于
(　　)
A.
B.
C.
D.
【思维·引】化归成数列中项、公比的问题求解.
【解析】选A.依题意13个音的频率成等比数列,记为{an},
设公比为q,则a13=a1q12,且a13=2a1,所以q=,
所以=q6=()6=.
【内化·悟】
　在应用性问题中,判断是否为等比数列模型的关键是什么?
提示:关键是看增长(缩减)是否按照同一比例.
【类题·通】
　关于等比数列在应用问题中的应用
首先根据题意判断是否是等比数列模型,其次分析等比数列的首项、公比、项数,最后利用等比数列的通项公式计算解题.
【习练·破】
　(2020·延庆高二检测)某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过________年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量(参考数据:lg
2≈0.301
0)
(　　)?
A.6
B.7
C.8
D.9
【解析】选B.设经过n年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量,则10×(1+50%)n>40×(1+20%)n,化为:>4,取对数可得:n>=≈≈6.2.
所以至少经过7年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量.
【加练·固】
　　　某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍,那么该单位此年的月平均增长率是________.?
【解析】由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,因为=m,所以月平均增长率为-1.
答案:-1
类型四　等比数列与等差数列的综合应用
角度1　灵活设项解题
【典例】三个数成等比数列,其积为64,如果第一个数与第三个数各减去1,则这三个数成等差数列,求这三个数.
【思维·引】利用等比数列设出前三项,表示出等差数列后求未知数.
【解析】因为三个数成等比数列,
设三个数为,a,aq,则×a×aq=a3=64,
所以a=4,所以三个数为,4,4q,
第一个数与第三个数各减去1为-1,4,4q-1,
则-1+4q-1=8,即2q2-5q+2=0,
解得q=2或,所以这三个数为2,4,8或8,4,2.
【素养·探】
　在利用等比数列设项解题过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过解方程求公比解题.
本例中的条件若改为“其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2”,试求这三个数.
【解析】设三个数依次为,a,aq,
因为·a·aq=512,所以a=8.
因为+(aq-2)=2a,
所以2q2-5q+2=0,所以q=2或q=,
所以这三个数为4,8,16或16,8,4.
角度2　等差、等比数列性质
【典例】已知{an}是等差数列,{bn}是正项等比数列,且b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,
b5=a4+2a6,则a2
018+b9=
(　　)
A.2
274
B.2
074
C.2
226
D.2
026
【思维·引】分别用等差数列的首项a1、公差d、等比数列的公比q表示出已知条件,求出a1,d,q后求a2
018+b9.
【解析】选A.设等差数列{an}的公差为d,正项等比数列{bn}的公比为q>0,
因为b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6,
所以q2=q+2,q3=2a1+6d,q4=3a1+13d,
解得q=2,a1=d=1,则a2
018+b9=1+2
017+28=2
274.
【类题·通】
等比数列项的设法
(1)三数成等比数列常设成,a,aq或a,aq,aq2.
(2)若四个数成等比数列,可设为,a,aq,aq2.若四个正数成等比数列,可设为,,aq,aq3.
【习练·破】
　设公差不为零的等差数列{an}满足a3=7,且a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,则a10等于________.?
【解析】设等差数列{an}的公差为d,则d≠0,
则a1=a3-2d=7-2d,a2=a3-d=7-d,
a4=a3+d=7+d,由于a1-1,a2-1,a4-1成等比数列,
则(a2-1)2=(a1-1)(a4-1),
即(6-d)2=(6-2d)(6+d),化简得d2-2d=0,由于d≠0,解得d=2,
因此,a10=a3+7d=7+7×2=21.
答案:21
【加练·固】
　　　已知数列{an}是由实数构成的等比数列,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则{an}的公比为________.?
【解析】因为数列{an}是由实数构成的等比数列,
a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,
所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3,
整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{an}的公比q=2.
答案:2
课堂检测·素养达标
1.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是
(　　)
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2,a3,a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
【解析】选D.设等比数列的公比为q,因为==q3,即=a3a9,所以a3,a6,a9成等比数列.
2.已知数列{an}是等比数列,若=4,则a5=
(　　)
A.2
B.4
C.2
D.
【解析】选B.根据题意,数列{an}是等比数列,设其公比为q,
若=4,则=a3q2=a5=4.
3.(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=
(　　)
A.12
B.24
C.30
D.32
【解题指南】根据已知条件求得q的值,再由a6+a7+a8
=a1q5(1+q+q2)可求得结果.
【解析】选D.设等比数列的公比为q,
则a1+a2+a3=a1=1,
a2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q=q=2,
因此,a6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5=
q5=32.
4.(2020·景德镇高二检测)在正项等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+
log3a2+…+log3a7)的值为________.?
【解析】在正项等比数列{an}中,若a3a4a5=3π=,
所以a4=.
所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)
=sin[log3(a1a2·…·a7)]
=sin(log3)=sin(log3)
=sin=sin=.
答案:
【新情境·新思维】
　已知数列{}是等比数列,公比为q,则数列{an}
(　　)
A.是等差数列,公差为log3q
B.是等差数列,公差为3q
C.是等比数列,公比为log3q　
D.既不是等差数列,也不是等比数列
【解析】选A.因为数列{}是等比数列,
所以==q,
所以an+1-an=log3q(常数),
所以数列{an}
是等差数列,公差为log3q.

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