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江苏盐城2021年中考备战策略（19）《三角形及其全等三角形》专题强化提优
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考点一。三角形的定义与分类
1．由三条线段_____________所围成的平面图形，叫做三角形．
2．三角形按边可分为：不等边三角形和等腰三角形；按角可分为_____三角形、_______三角形和_______三角形．
1．三角形的内角和是______，三角形的外角等于与它________的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．
2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
3．三角形中的重要线段
(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．
(2)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．
(3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心．
(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等．
(5)中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
考点三。全等三角的定义和性质
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的性质
(1)全等三角形的_______、________分别相等；
(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等、周长相等、面积相等．
考点四。三角形全等的判定
1．一般三角形全等的判定
(1)如果两个三角形的三条边分别________，那么这两个三角形全等，简记为(SSS)；
(2)如果两个三角形有两边及其______分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(SAS)；
(3)如果两个三角形的两角及其______分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(ASA)；
(4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(AAS)．
2．直角三角形全等的判定
(1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等；
(2)一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(3)如果两个直角三角形的斜边及一条__________分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为(HL)．
3．证明三角形全等的思路
(1)已知两边
(2)已知一边一角
(3)已知两角
考点五。定义 命题 定理 公理
有关概念
(1)定义是能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密．
(2)命题：判断一件事情的语句．
①命题由题设和结论两部分组成．
②命题的真假：正确的命题称为________；_______的命题称为假命题．
③互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．
(3)定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理．
(4)公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理．
考点六。证明
1．证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这一推理过程称为证明．
2．证明的一般步骤：①审题，找出命题的题设和结论；②由题意画出图形，具有一般性；③用数学语言写出_____、________；④分析证明的思路；⑤写出________，每一步应有根据，要推理严密．
经典例题
例1.(1)现在四根木棒，长度分别为4 cm、6 cm、8 cm、10 cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为(　　)
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
(2)如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°，∠A的度数是(　　)
A．61°　 B．60°　 C．37°　 D．39°

例1(2)题 例1(3)题
(3)如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝80°，∠ACB＝60°，那么∠BDC＝(　　)
A．80°　　　　　　 B．90° C．100°　　　　　　 D．110°
(4)在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是(　　)
A．2.5 B．5 C．10 D．15
(5)若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
例2.(1)如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是(　　)
A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DF
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF
(2)下列命题中，错误的是(　　)
A．三角形两边之差小于第三边
B．三角形的外角和是360°
C．三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分
D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
例3.如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC＝FD，AB＝EF.
①请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使△ABC≌△EFD，你添加的条件是________；
②根据所添加的条件，证明△ABC≌△EFD.

(2)如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE.
①求证：△ACD≌△BCE；
②若∠D＝50°，求∠B的度数
《当堂过关检测》
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是(　　)
A．1 cm，2 cm，3.5 cm　　 B．4 cm，5 cm，9 cm
C．5 cm，8 cm，15 cm D．6 cm，8 cm，9 cm
2．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是(　D　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
3．下面的命题中，真命题的是(　　)
A．有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
C．有一条边对应相等的两个等腰三角形全等
D．有一条高对应相等的两个等边三角形全等
4．如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，则∠B等于(　　)
A．50° B．40° C．25° D．20°
5．现有2 cm、4 cm、5 cm、8 cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE.
《课后强化提优》
1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列结论中不一定成立的是(　　)
A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP．
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　）
A、∠A=∠C B、AD=CB C、BE='DF' D、AD∥BC
3.如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列条件后，不能判定△ABE≌△ACD的是(?? )
A、AD=AE　　 B、BE=CD C、∠AEB=∠ADC D、AB=AC
4.如图，点P是AB上任意一点，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD.从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是(　　)
A．BC＝BD B．AC＝AD
C．∠ACB＝∠ADB D．∠CAB＝∠DAB
5.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（　　）?
A.△ABD和△CDB的面积相等 B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D.AD∥BC，且AD=BC
6.如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（　　）
A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC，BD=DC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
7.如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为(　　)
A．20°　　　　　　 B．30° C．35°　　　　　　 D．40°

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图
8.已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）
A.72° B.60° C.50° D.58°
9.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=12AC?BD，其中正确的结论有（　　）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
10.如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11.如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（?? ）
A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE
12.如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（?? ）
A.∠M=∠N B.AM=CN C.AB=CD D.AM∥CN

第12题图 第14题图 第15题图 第16题图
13.已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=75°，则∠F的大小为（?? ）
A.50° B.55° C.65° D.75°
14.如图，在△ABC和△DEF中，给出以下六个条件中，以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC和△DEF全等的是（?? ） ①AB=DE；②BC=EF；③AC=DF；④∠A=∠D；⑤∠B=∠E；⑥∠C=∠F． A、①⑤② B、①②③ C、④⑥① D、②③④
15.如果，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，其中能使△ABC≌△AED的条件是(　　)
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
16.如图，△ABC≌△ADE，∠B＝100°，∠BAC＝30°，那么∠AED＝________°．
17.如图所示，已知△ABC≌△ADE ， ∠C=∠E ， AB=AD ， 则另外两组对应边为________，另外两组对应角为________．

第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18.如图，△ACE≌△DBF，点A、B、C、D共线，若AC=5，BC=2，则CD的长度等于________．
19.如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是________．
20.如图，观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有________个．
21.如图，AB=AD，只需添加一个条件________，就可以判定△ABC≌△ADE．

第21题图 第22题图 第23题图 第24题图 第26题图
22.△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为________．
23.如图，已知△ABC≌△DCB，∠BDC=35°，∠DBC=50°，则∠ABD=________．
24.如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D，给出下列结论：①∠AFC＝∠C；②DF＝CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD＝∠CAF.其中正确的结论是________(填写所有正确结论的序号)．
25.在△.ABC中，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动时间为t，那么当t＝________秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．．
26.如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度．
如图，已知AB＝CD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，则图中的全等三角形有________对.

第27题图 第28题图 第29题图 第30题图
28.如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是________ cm.
29.如图，△ABC≌△DEF，点F在BC边上，AB与EF相交于点P．若∠DEF=40°，PB=PF，则∠APF=________°．
30.如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是________．
31.如图，已知△ABC≌△BAD，AC与BD相交于点O，求证：OC=OD．
?

32.图中所示的是两个全等的五边形，∠β=115°，d=5，指出它们的对应顶点?对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值．
?

如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
34．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF＝CE.
求证：AC＝DF.
35.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F
(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．
36.已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF．判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．
37.如图，已知点C是线段AB上一点，直线AM⊥AB，射线CN⊥AB，AC=3，CB=2．分别在直线AM上取一点D，在射线CN上取一点E，使得△ABD与△BDE全等，求CE2的值．

38.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等．
若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度同时从点B出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的一条边上相遇？
39.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG.点E、F分别在AG上，连结BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF；
(2)若∠AGB＝30°，求EF的长．
40.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．
性质：“朋友三角形”的面积相等．
如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线．
那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且S△ACD=S△BCD ．
应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=4，BC=6，点E在BC上，点F在AD上，BE=AF，AE与BF交于点O．
(1)求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
(2)连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积．
拓展：如图3，在△ABC中，∠A=30°，AB=8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的1/4，则△ABC的面积是______（请直接写出答案）．
教师样卷
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考点一。三角形的定义与分类
1．由三条线段首尾顺次相接所围成的平面图形，叫做三角形．
2．三角形按边可分为：不等边三角形和等腰三角形；按角可分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．
1．三角形的内角和是180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．
2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
3．三角形中的重要线段
(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．
(2)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．
(3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心．
(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等．
(5)中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
考点三。全等三角的定义和性质
1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边、对应角分别相等；
(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等、周长相等、面积相等．
考点四。三角形全等的判定
1．一般三角形全等的判定
(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(SSS)；
(2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(SAS)；
(3)如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(ASA)；
(4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(AAS)．
2．直角三角形全等的判定
(1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等；
(2)一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
(3)如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为(HL)．
3．证明三角形全等的思路
(1)已知两边
(2)已知一边一角
(3)已知两角
考点五。定义 命题 定理 公理
有关概念
(1)定义是能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密．
(2)命题：判断一件事情的语句．
①命题由题设和结论两部分组成．
②命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
③互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．
(3)定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理．
(4)公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理．
考点六。证明
1．证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这一推理过程称为证明．
2．证明的一般步骤：①审题，找出命题的题设和结论；②由题意画出图形，具有一般性；③用数学语言写出已知、求证；④分析证明的思路；⑤写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．
经典例题
例1.(1)现在四根木棒，长度分别为4 cm、6 cm、8 cm、10 cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为(　　)
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
(2)如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°，∠A的度数是(　　)
A．61°　 B．60°　 C．37°　 D．39°

例1(2)题 例1(3)题
(3)如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝80°，∠ACB＝60°，那么∠BDC＝(　　)
A．80°　　　　　　 B．90° C．100°　　　　　　 D．110°
(4)在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是(　　)
A．2.5 B．5 C．10 D．15
(5)若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【解答】(1)根据“两边之和大于第三边”得4、6、8；6、8、10；4、8、10能组成三角形，故选C.
(2)如图，延长BD交AC于E.因为∠BDC＝∠C＋∠BEC，而∠BEC＝∠A＋∠B，∴∠BDC＝∠C＋∠A＋∠B，∴∠A＝∠BDC－∠C－∠B＝98°－38°－23°＝37°，故选C.
(3)∵∠ACB＝60°，CD是∠ACB的平分线．
∴∠ACD＝30°，∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝80°＋30°＝110°，故选D.
(4)∵D、E是AB、AC的中点
∴DE＝BC＝×5＝2.5，故选A.
(5)∵最大角为180°×＝80°　∴该三角形为锐角三角形，故选B.
例2.(1)如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是(　　)
A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DF
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF
(2)下列命题中，错误的是(　　)
A．三角形两边之差小于第三边
B．三角形的外角和是360°
C．三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分
D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
【解答】(1)D　(2)D
【点拨】判断一个命题是假命题，可采用举反例的方法．
例3.图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC＝FD，AB＝EF.
①请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使△ABC≌△EFD，你添加的条件是________；
②根据所添加的条件，证明△ABC≌△EFD.

(2)如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE.
①求证：△ACD≌△BCE；
②若∠D＝50°，求∠B的度数
【解答】(1)①∠B＝∠F(或AB∥EF或AC＝ED)，答案不唯一．
②证明：当∠B＝∠F时
在△ABC和△EFD中，AB＝EF，∠B＝∠F，BC＝FD.
∴△ABC≌△EFD(SAS)．
(2)①证明：∵C是线段AB的中点，∴AC＝BC.
∵CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.
又∵CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．
②证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴∠3＝60°.
由△ACD≌△BCE，得∠D＝∠E.
∵∠D＝50°，∴∠E＝50°.
则∠B＝180°－∠E－∠3＝180°－50°－60°＝70°.
《当堂过关检测》
1．下列长度的三条线段能组成三角形的是(　D　)
A．1 cm，2 cm，3.5 cm　　 B．4 cm，5 cm，9 cm
C．5 cm，8 cm，15 cm D．6 cm，8 cm，9 cm
2．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是(　D　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
3．下面的命题中，真命题的是(　D　)
A．有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
C．有一条边对应相等的两个等腰三角形全等
D．有一条高对应相等的两个等边三角形全等
4．如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，则∠B等于(　D　)
A．50° B．40° C．25° D．20°
5．现有2 cm、4 cm、5 cm、8 cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为(　B　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE(全等三角形对应边相等)
《课后强化提优》
1.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列结论中不一定成立的是(　　)
A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
【答案】D 【解析】依据角平分线的性质和全等三角形的判定性质得D不一定成立．
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图
如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　）
A、∠A=∠C B、AD=CB C、BE='DF' D、AD∥BC
【答案】B 【解答】∵AE=CF∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∵∠A=∠C，AF=CE，∠AFD=∠CEB，∴△ADF≌△CBE（ASA）∵BE=DF，∠AFD=∠CEB，AF=CE，∴△ADF≌△CBE（SAS）∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵∠A=∠C，AF=CE，∠AFD=∠CEB，∴△ADF≌△CBE（ASA）故A、C、D均可以判定△ADF≌△CBE，不符合题意B、AF=CE，AD=CB，∠AFD=∠CEB无法判定△ADF≌△CBE，本选项符合题意.
3.如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列条件后，不能判定△ABE≌△ACD的是(?? )
A、AD=AE　　 B、BE=CD C、∠AEB=∠ADC D、AB=AC
【答案】C 【解析】A、根据AAS（∠A=∠A，∠C=∠B，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；B、根据AAS（∠A=∠A，∠B=∠C，BE=CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；C、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；D、根据ASA（∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；故选C．
4.如图，点P是AB上任意一点，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD.从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是(　　)
A．BC＝BD B．AC＝AD
C．∠ACB＝∠ADB D．∠CAB＝∠DAB
【答案】B 【解析】依据A条件先证△ABC≌△ABD(SAS)，再推出△APC≌△APD.依据C条件先证△ABC≌△ABD(AAS)，再推出△APC≌△APD；依据D条件先证△ABC≌△ABD(ASA)，再推出△APC≌△APD，而B的条件不能推出．
5.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（　　）?
A.△ABD和△CDB的面积相等 B.△ABD和△CDB的周长相等
C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D.AD∥BC，且AD=BC
【答案】C 【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项错误；B、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项错误；C、∵△ABD≌△CDB，∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB，∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项正确；D、∵△ABD≌△CDB，∴AD=BC，∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，故本选项错误；故选C．
6.如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（　　）
A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC，BD=DC
C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
【答案】D 【解答】解：A、∵在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），故本选项错误；B、∵在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SAS），故本选项错误；C、∵在△ABD和△ACD中?∴△ABD≌△ACD（AAS），故本选项错误；D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；故选D．
7.如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为(　　)
A．20°　　　　　　 B．30° C．35°　　　　　　 D．40°
【答案】B 【解析】∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB＝∠A′CB′，∴∠ACA′＝∠BCB′＝30°.

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图
8.已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）
A.72° B.60° C.50° D.58°
【答案】D 【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2=180°﹣50°﹣72°=58°．
∵图中的两个三角形全等，∴∠1=∠2=58°．故选：D．
9.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AC⊥BD；③四边形ABCD的面积=12AC?BD，其中正确的结论有（　　）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】D 【解答】解：在△ABD与△CBD中，AD=CDAB=BCDB=DB ， ∴△ABD≌△CBD（SSS），故①正确；∴∠ADB=∠CDB，在△AOD与△COD中，，
∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，∴AC⊥DB，故②正确；
四边形ABCD的面积=S△ADB+S△BDC=12DB×OA+12DB×OC=12AC·BD故③正确；
故选D
10.如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D 【解析】与△ABC全等的有4个，分别是△CDA、△BAD、△DCB、△DEC.
11.如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，不正确的等式是（?? ）
A.AB=AC B.∠BAE=∠CAD C.BE=DC D.AD=DE
【答案】D 【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C， ∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=DC，AD=AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．
故选D．
12.如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（?? ）
A.∠M=∠N B.AM=CN C.AB=CD D.AM∥CN
【答案】B 【解答】解：A、∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意； B、根据条件AM=CN，MB=ND，∠MBA=∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故B选项符合题意；C、AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；D、AM∥CN，得出∠MAB=∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．故选：B．

第12题图 第14题图 第15题图 第16题图
13.已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=75°，则∠F的大小为（?? ）
A.50° B.55° C.65° D.75°
【答案】B 【解答】解：∵∠A=50°，∠B=75°， 又∵∠A+∠B+C=180°，∴∠C=55°，
∵△ABC≌△DEF，∴∠F=∠C，即：∠F=55°．故选B．
14.如图，在△ABC和△DEF中，给出以下六个条件中，以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC和△DEF全等的是（?? ） ①AB=DE；②BC=EF；③AC=DF；④∠A=∠D；⑤∠B=∠E；⑥∠C=∠F． A、①⑤② B、①②③ C、④⑥① D、②③④
【答案】D 【解答】解：在△ABC和△DEF中， ，∴△ABC≌△DEF（SAS）；
∴A不符合题意；在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；∴B不符合题意；在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴C不符合题意；在△ABC和△DEF中，D②③④不能判断△ABC和△DEF全等，故选D．
15.如果，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，其中能使△ABC≌△AED的条件是(　　)
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
【答案】A 【解析】增加①AB＝AE，则△ABC≌△AED(SAS)；增加③∠C＝∠D，则△ABC≌△AED(ASA)；增加④∠B＝∠E，则△ABC≌△AED(AAS)
16.如图，△ABC≌△ADE，∠B＝100°，∠BAC＝30°，那么∠AED＝________°．
【答案】50 【解答】因为∠B＝100°，∠BAC＝30°所以∠ACB＝50°；又因为△ABC≌△ADE，所以∠ACB＝∠AED ＝50°；
17.如图所示，已知△ABC≌△ADE ， ∠C=∠E ， AB=AD ， 则另外两组对应边为________，另外两组对应角为________．
?【答案】BC=DE、AC=AE；∠B=∠ADE、∠BAC=∠DAE 【解答】∵△ABC≌△ADE，∠C=∠E，AB=AD，∴AC=AE，BC=DE；∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE．

第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18.如图，△ACE≌△DBF，点A、B、C、D共线，若AC=5，BC=2，则CD的长度等于________．
?【答案】3 【解答】解：∵△ACE≌△DBF，∴AC=BD=5，∴CD=BD﹣BC=5﹣2=3．
故答案为：3．
19.如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是________．
【答案】∠C＝∠E(或AB＝FD等) 【解析】答案不唯一．
20.如图，观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有________个．
【答案】121【解析】第1个图中1个，第2个图中4个，第3个图中13个，第4个图中40个，第5个图中121个．
21.如图，AB=AD，只需添加一个条件________，就可以判定△ABC≌△ADE．
【答案】∠B=∠D 【解答】解：添加条件∠B=∠D， ∵在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（ASA），故答案为：∠B=∠D．

第21题图 第22题图 第23题图 第24题图 第26题图
22.△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为________．
【答案】2或3 【解答】解：当BD=PC时，△BPD与△CQP全等， ∵点D为AB的中点，∴BD= 12 AB=6cm，∵BD=PC，∴BP=8﹣6=2（cm），∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，∴运动时间时1s，∵△DBP≌△PCQ，∴BP=CQ=2cm，∴v=2÷1=2；当BD=CQ时，△BDP≌△QCP，∵BD=6cm，PB=PC，∴QC=6cm，∵BC=8cm，∴BP=4cm，∴运动时间为4÷2=2（s），∴v=6÷2=3（m/s），故答案为：2或3．
23.如图，已知△ABC≌△DCB，∠BDC=35°，∠DBC=50°，则∠ABD=________．
【答案】45° 【解答】解：∵∠BDC=35°，∠DBC=50°， ∴∠BCD=180°﹣∠BDC﹣∠DBC=180°﹣35°﹣50°=95°，∵△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠BCD=95°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=95°﹣50°=45°．故答案为：45°．
24.如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D，给出下列结论：①∠AFC＝∠C；②DF＝CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD＝∠CAF.其中正确的结论是________(填写所有正确结论的序号)．
【答案】①③④ 【解析】∵AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝EF，∴△AEF≌△ABC，∴AF＝AC，∴∠AFC＝∠C，即①正确；∵∠ADE＝∠FDB，∠E＝∠B，∴△ADE∽△FDB，∴③正确；∵△ADE∽△FDB，∴∠BFD＝∠EAD.∵△AEF≌△ABC，∴∠EAF＝∠BAC，∴∠EAD＝∠CAF，∴∠BFD＝∠CAF，∴④正确．
25.在△.ABC中，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动时间为t，那么当t＝________秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
【答案】7或17 【解析】分两种情况：①当点P在AB上时，2(3＋t)＝3＋12＋12－t，∴t＝7；②当点P在AC上时，3＋t＝2[3＋12－(t－12)]，∴t＝17.故综上两种情况得t＝7或17秒．
26.如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度．
【答案】 120O【解析】∵△OAD≌△OBC，∴∠D＝∠C＝25°，∴∠DAC＝∠D＋∠O＝25°＋70°＝95°，∴∠AEB＝∠C＋∠DAC＝95°＋25°＝120°.
如图，已知AB＝CD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，则图中的全等三角形有________对.
【答案】3对 【解析】△ABE≌△CDF，△AED≌△CFD，△ABD≌△CDB.

第27题图 第28题图 第29题图 第30题图
28.如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是________ cm.
【答案】5 【解析】∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABP＝∠DBP，∠ACP＝∠PCE.又∵PD∥AB，PE∥AC.∴∠BPD＝∠DBP，∠PCE＝∠EPC.∴PD＝BD，PE＝EC，即PD＋DE＋PE＝BD＋DE＋EC＝BC＝5 cm.
29.如图，△ABC≌△DEF，点F在BC边上，AB与EF相交于点P．若∠DEF=40°，PB=PF，则∠APF=________°．
【答案】80 【解答】解： ∵△ABC≌△DEF，∴∠B=∠DEF=40°，∵PB=PF，∴∠PFB=∠B=40°，∴∠APF=∠B+∠PFB=80°，故答案为：80．
30.如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是________．
【答案】DC=BC或∠DAC=∠BAC 【解答】解：添加条件为DC=BC， 在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；若添加条件为∠DAC=∠BAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）．故答案为：DC=BC或∠DAC=∠BAC
三．解答题（共10小题 共60分）
31.如图，已知△ABC≌△BAD，AC与BD相交于点O，求证：OC=OD．
?
证明：∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，AC=BD，∴OA=OB，∴AC﹣OA=BD﹣OB，即：OC=OD．
32.图中所示的是两个全等的五边形，∠β=115°，d=5，指出它们的对应顶点?对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值．
?
解：对应顶点：A和G，E和F，D和J，C和I，B和H，
对应边：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，CD和JI，BC和HI；
对应角：∠A和∠G，∠B和∠H，∠C和∠I，∠D和∠J，∠E和∠F；
∵两个五边形全等，
∴a=12，c=8，b=10，e=11，α=90°．
33.如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF，在△ABE与△CBF中，
AB=CB∠ABE=∠CBFBE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．
34．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF＝CE.
求证：AC＝DF.
证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF.
∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE.∵BF＝EC，∴BC＝EF.
∴△ABC≌△DEF(ASA)．∴AC＝DF.
35.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F
(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．
解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝CA.在△ABE和△CAD中，AB＝CA，∠BAE＝∠C，AE＝CD，∴△ABE≌△CAD(SAS)．
(2)解：∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAD，又△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD，∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°.
36.已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF．判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．
解：是假命题． 以下任一方法均可：①添加条件：AC=DF．证明：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠FDE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SAS）；②添加条件：∠CBA=∠E．证明：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE．在△ABC和△DEF中，∠A=∠FDE，AB=DE，∠CBA=∠E，∴△ABC≌△DEF（ASA）；③添加条件：∠C=∠F．证明：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE．在△ABC和△DEF中，∠A=∠FDE，∠C=∠F，AB=DE，∴△ABC≌△DEF（AAS）
37.如图，已知点C是线段AB上一点，直线AM⊥AB，射线CN⊥AB，AC=3，CB=2．分别在直线AM上取一点D，在射线CN上取一点E，使得△ABD与△BDE全等，求CE2的值．

解： 如图，当△ABD≌△EBD时，BE=AB=5，
∴CE2=BE2﹣BC2=25﹣4=21．
38.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等．
若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度同时从点B出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的一条边上相遇？
解：(1)①∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝3×1＝3.∵AB＝10，点D为AB的中点，∴BD＝5，又∵PC＝BC－BP，BC＝8，∴PC＝8－3＝5.∴PC＝BD.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△BPD≌△CQP(SAS)；②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ.又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，则BP＝PC＝4，CQ＝BD＝5.∴点P和点Q运动的时间t＝＝秒，∴vQ＝＝＝(厘米/秒)．
(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x＝3x＋2×10，解得x＝(秒)，∴点P共运动了×3＝80(厘米)．∵80＝2×28＋24，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过秒点P与点Q第一次在AB边上相遇．
39.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG.点E、F分别在AG上，连结BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF；
(2)若∠AGB＝30°，求EF的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD.在△ABE和△DAF中，
∴△ABE≌△DAF(ASA)．
(2)解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠1＋∠4＝90°.∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝90°.在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠1＝∠AGB＝30°.在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2，∴AF＝，DF＝1.由(1)得△ABE≌△DAF.∴AE＝DF＝1.∴EF＝AF－AE＝
40.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．
性质：“朋友三角形”的面积相等．
如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线．
那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”，并且S△ACD=S△BCD ．
应用：如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=AD=4，BC=6，点E在BC上，点F在AD上，BE=AF，AE与BF交于点O．
(1)求证：△AOB和△AOF是“朋友三角形”；
(2)连接OD，若△AOF和△DOF是“朋友三角形”，求四边形CDOE的面积．
拓展：如图3，在△ABC中，∠A=30°，AB=8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的1/4，则△ABC的面积是______（请直接写出答案）．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠OAF=∠OEB，在△AOF和△EOB中， ，∴△AOF≌△EOB（AAS），∴OF=OB，则AO是△ABF的中线．∴△AOB和△AOF是“朋友三角形”
（2）解：∵△AOF和△DOF是“朋友三角形”，∴S△AOF=S△DOF ， ∵△AOF≌△EOB，∴S△AOB=S△EOB ， ∵△AOB和△AOF是“朋友三角形”∴S△AOB=S△AOF ， ∴S△AOF=S△DOF=S△AOB=S△EOB ， = ×4×2=4，∴四边形CDOE 的面积=S梯形ABCD﹣2S△ABE= ×（4+6）×4﹣2×4=12；
拓展：解：分为两种情况：①如图1所示：∵S△ACD=S△BCD ． ∴AD=BD= AB=4，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D= AB= ×8=4，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，∴S△DOC= S△ABC= S△BDC= S△ADC= S△A′DC ， ∴DO=OB，A′O=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC=A′D=4，过B作BM⊥AC于M，∵AB=8，∠BAC=30°，∴BM= AB=4=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC= =4 ，∴△ABC的面积= ×BC×AC= ×4×4 =8 ；②如图2所示：∵S△ACD=S△BCD ． ∴AD=BD= AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D= AB= ×8=4，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，∴S△DOC= S△ABC= S△BDC= S△ADC= S△A′DC ， ∴DO=OA′，BO=CO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴A′C=BD=4，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=4，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ= A′C=2，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2× ×A′D×CQ=2× ×4×2=8；即△ABC的面积是8或8 ；故答案为：8或8 ．

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