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第1章　功和机械能
学法指导课　动能定理的综合应用
题型一　应用动能定理求变力的功
题组过关
典例1????如图所示,某人利用跨过定滑轮的轻绳拉质量为10
kg的物体。定滑轮
的位置比A点高3
m。若此人缓慢地将绳从A点拉到同一水平高度的B点,
且A、B两点处绳与水平方向的夹角分别为37°和30°,则此人拉绳的力做了多
少功?(g取10
m/s2,sin
37°=0.6,cos
37°=0.8,不计滑轮的摩擦)
答案　100
J
解析　取物体为研究对象,设绳的拉力对物体做的功为W。根据题意有h=3
m
物体升高的高度Δh=?-??①
对全过程应用动能定理W-mgΔh=0?②
由①②两式联立并代入数据解得W=100
J
则人拉绳的力所做的功W人=W=100
J。
°
°
学法指导
利用动能定理求变力做的功是最常用的方法,当物体受到一个变力和几个恒
力作用时,可以用动能定理间接求变力做的功,即W变+W其他=ΔEk。
针对训练1　一质量为m的小球,用长为l的轻绳悬挂于O点。小球在水平力F作
用下,从平衡位置P点缓慢地移动到Q点,如图所示,则力F所做的功为?(　　)
A.mgl
cos
θ　　????
B.Fl
sin
θ
C.mgl(1-
cos
θ)　　????D.Fl
cos
θ
?C
解析　小球的运动过程是缓慢的,因而任一时刻都可看成是平衡状态,因
此F的大小不断变大,F做的功是变力功。小球上升过程只有重力mg和F这两
个力做功,由动能定理得WF-mgl(1-
cos
θ)=0。所以WF=mgl(1-cos
θ),C正确。
题型二　动能定理在多过程中的应用
题组过关
典例2　如图所示,ABCD为一竖直平面内的轨道,其中BC水平,A点比BC高出10
m,BC长1
m,AB和CD轨道光滑。一质量为1
kg的物体,从A点以4
m/s的速度沿轨
道AB开始下滑,经过BC后滑到高出C点10.3
m的D点速度为0。求:(取g=10
m/s2)
?
(1)物体与BC轨道间的动摩擦因数;
(2)物体第5次经过B点时的速度大小;
(3)物体最后停止的位置(距B点多少米)。
答案　(1)0.5　(2)13.3
m/s　(3)0.4
m
解析　(1)由动能定理得-mg(h-H)-μmgsBC=0-?m?,解得μ=0.5;
(2)物体第5次经过B点时,物体在BC上滑动了4次,由动能定理得mgH-μmg·4sBC=
?m?-?m?,
解得v2=4?
m/s≈13.3
m/s;
(3)分析整个过程,由动能定理得
mgH-μmgs=0-?m?,
解得s=21.6
m。
所以物体在轨道上来回运动了10次后,还有1.6
m,故距B点的距离为2
m-1.6
m=
0.4
m。
学法指导
(1)应用动能定理求解多过程问题的两种方法
物体的运动过程可分为几个运动性质不同的阶段(如加速、减速的阶段)时,可
以分段分析应用动能定理,也可以对全过程整体分析应用动能定理,但当题目
不涉及中间量时,选择全过程整体分析应用动能定理会更简单、更方便。
(2)全过程应用动能定理时的注意事项
①当物体的运动过程中涉及多个力做功时,各力对应的位移可能不相同,计算
各力做功时,应注意各力对应的位移。计算总功时,应计算整个过程中出现过
的各力做功的代数和。
②研究初、末动能时,只需关注初、末状态,不必关心运动过程的细节。
针对训练2　某游乐场的滑梯可以简化为如图所示竖直面内的ABCD轨道,AB
为长L=6
m、倾角α=37°的斜轨道,BC为水平轨道,CD为半径R=15
m、圆心角β
=37°的圆弧轨道,轨道AB段粗糙,其余各段均光滑。一小孩(可视为质点)从A点
以初速度v0=2?
m/s下滑,沿轨道运动到D点时的速度恰好为零(不计经过B点
时的能量损失)。已知该小孩的质量m=30
kg,sin
37°=0.6,cos
37°=0.8,取g=10
m
/s2,不计空气阻力,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,求:
?
(1)该小孩第一次经过圆弧轨道C点时的速度大小;
(2)该小孩与AB段间的动摩擦因数;
(3)该小孩在轨道AB上运动的总路程s。
答案　(1)2?
m/s　(2)0.25　(3)21
m
解析　(1)由C到D速度减为0,由动能定理可得
-mg(R-R
cos
β)=0-?m?
得vC=2?
m/s
(2)小孩从A运动到D的过程中,由动能定理得
mgL
sin
α-μmgL
cos
α-mgR(1-
cos
β)=0-?m?
可得μ=0.25
(3)在AB轨道上,μmg
cos
αsin
α,小孩不能静止在斜轨道上,则小孩从A点以
初速度v0滑下,最后静止在BC轨道B处,由动能定理得mgL
sin
α-μmgs
cos
α=0-?
m?
解得s=21
m学法指导课　动能定理的综合应用
题型一　应用动能定理求变力的功
典例1　如图所示,某人利用跨过定滑轮的轻绳拉质量为10
kg的物体。定滑轮的位置比A点高3
m。若此人缓慢地将绳从A点拉到同一水平高度的B点,且A、B两点处绳与水平方向的夹角分别为37°和30°,则此人拉绳的力做了多少功?(g取10
m/s2,sin
37°=0.6,cos
37°=0.8,不计滑轮的摩擦)
答案　100
J
解析　取物体为研究对象,设绳的拉力对物体做的功为W。根据题意有h=3
m
物体升高的高度Δh=-①
对全过程应用动能定理W-mgΔh=0②
由①②两式联立并代入数据解得W=100
J
则人拉绳的力所做的功W人=W=100
J。
学法指导
　　利用动能定理求变力做的功是最常用的方法,当物体受到一个变力和几个恒力作用时,可以用动能定理间接求变力做的功,即W变+W其他=ΔEk。
　　针对训练1　一质量为m的小球,用长为l的轻绳悬挂于O点。小球在水平力F作用下,从平衡位置P点缓慢地移动到Q点,如图所示,则力F所做的功为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.mgl
cos
θ
B.Fl
sin
θ
C.mgl(1-
cos
θ)
D.Fl
cos
θ
答案　C　小球的运动过程是缓慢的,因而任一时刻都可看成是平衡状态,因此F的大小不断变大,F做的功是变力功。小球上升过程只有重力mg和F这两个力做功,由动能定理得WF-mgl(1-
cos
θ)=0。所以WF=mgl(1-cos
θ),C正确。
题型二　动能定理在多过程中的应用
典例2　如图所示,ABCD为一竖直平面内的轨道,其中BC水平,A点比BC高出10
m,BC长1
m,AB和CD轨道光滑。一质量为1
kg的物体,从A点以4
m/s的速度沿轨道AB开始下滑,经过BC后滑到高出C点10.3
m的D点速度为0。求:(取g=10
m/s2)
(1)物体与BC轨道间的动摩擦因数;
(2)物体第5次经过B点时的速度大小;
(3)物体最后停止的位置(距B点多少米)。
答案　(1)0.5　(2)13.3
m/s　(3)0.4
m
解析　(1)由动能定理得-mg(h-H)-μmgsBC=0-m,解得μ=0.5;
(2)物体第5次经过B点时,物体在BC上滑动了4次,由动能定理得mgH-μmg·4sBC=m-m,
解得v2=4
m/s≈13.3
m/s;
(3)分析整个过程,由动能定理得
mgH-μmgs=0-m,
解得s=21.6
m。
所以物体在轨道上来回运动了10次后,还有1.6
m,故距B点的距离为2
m-1.6
m=0.4
m。
学法指导
　　(1)应用动能定理求解多过程问题的两种方法
物体的运动过程可分为几个运动性质不同的阶段(如加速、减速的阶段)时,可以分段分析应用动能定理,也可以对全过程整体分析应用动能定理,但当题目不涉及中间量时,选择全过程整体分析应用动能定理会更简单、更方便。
(2)全过程应用动能定理时的注意事项
①当物体的运动过程中涉及多个力做功时,各力对应的位移可能不相同,计算各力做功时,应注意各力对应的位移。计算总功时,应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和。
②研究初、末动能时,只需关注初、末状态,不必关心运动过程的细节。
　　针对训练2　某游乐场的滑梯可以简化为如图所示竖直面内的ABCD轨道,AB为长L=6
m、倾角α=37°的斜轨道,BC为水平轨道,CD为半径R=15
m、圆心角β=37°的圆弧轨道,轨道AB段粗糙,其余各段均光滑。一小孩(可视为质点)从A点以初速度v0=2
m/s下滑,沿轨道运动到D点时的速度恰好为零(不计经过B点时的能量损失)。已知该小孩的质量m=30
kg,sin
37°=0.6,cos
37°=0.8,取g=10
m/s2,不计空气阻力,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,求:
(1)该小孩第一次经过圆弧轨道C点时的速度大小;
(2)该小孩与AB段间的动摩擦因数;
(3)该小孩在轨道AB上运动的总路程s。
答案　(1)2
m/s　(2)0.25　(3)21
m
解析　(1)由C到D速度减为0,由动能定理可得
-mg(R-R
cos
β)=0-m
得vC=2
m/s
(2)小孩从A运动到D的过程中,由动能定理得
mgL
sin
α-μmgL
cos
α-mgR(1-
cos
β)=0-m
可得μ=0.25
(3)在AB轨道上,μmg
cos
αsin
α,小孩不能静止在斜轨道上,则小孩从A点以初速度v0滑下,最后静止在BC轨道B处,由动能定理得mgL
sin
α-μmgs
cos
α=0-m
解得s=21
m
1.一人用力踢质量为100
g的皮球,使球由静止以20
m/s的速度飞出,假定人踢球瞬间对球的平均作用力是200
N,球在水平方向运动了20
m停止。则人对球所做的功为(　　)
A.20
J
B.2
000
J
C.500
J
D.4
000
J
答案　A　根据题意可知,人踢球过程中,球的初状态速度为零,末状态速度为20
m/s,由动能定理可知W=mv2-0=×0.1×202
J=20
J,A正确。
2.质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动,起始点A与一轻弹簧O端相距s,如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ,物体与弹簧相碰后,弹簧的最大压缩量为x,重力加速度为g,则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短(弹簧始终在弹性限度内),物体克服弹簧弹力所做的功为(　　)
A.m-μmg(s+x)
B.m-μmgx
C.μmgs
D.μmg(s+x)
答案　A　设物体克服弹簧弹力做功为W,由动能定理得-W-μmg(s+x)=0-m,W=m-μmg(s+x),A正确,B、C、D错误。
3.如图所示,物体沿曲面从A点无初速度滑下,滑至曲面的最低点B时,下滑的高度为5
m,速度为6
m/s,若物体的质量为1
kg。则下滑过程中物体克服阻力所做的功为(g取10
m/s2)(　　)
A.50
J
B.18
J
C.32
J
D.0
答案　C　由动能定理得mgh-Wf=mv2,故Wf=mgh-mv2=1×10×5
J-×1×62
J=32
J,C正确。
4.(多选)如图所示,质量为m的小车在水平恒力F的推动下,从山坡(粗糙)底部A处由静止开始运动至高为h的坡顶B,获得的速度为v,A、B之间的水平距离为x,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A.小车克服重力所做的功是mgh
B.合外力对小车做的功是mv2
C.推力对小车做的功是mv2+mgh
D.阻力对小车做的功是mv2+mgh-Fx
答案　ABD　小车克服重力做功W=mgh,A正确;由动能定理可知,小车受到的合力所做的功等于小车动能的增量,即W合=ΔEk=mv2,B正确;由动能定理可知,W合=W推+W重+W阻=mv2,所以推力做的功W推=mv2-W阻-W重=mv2+mgh-W阻,C错误;阻力对小车做的功W阻=mv2-W重-W推=mv2+mgh-Fx,D正确。
5.如图所示,假设在某次比赛中运动员从H=10
m高处的跳台跳下,设水的平均阻力约为其重力的3倍,在粗略估算中,把运动员当作质点处理,为了保证运动员的人身安全,池水深度至少为(不计空气阻力)(　　)
A.5
m
B.3
m
C.7
m
D.1
m
答案　A　设水深h,对全程运用动能定理mg(H+h)-fh=0,f=3mg,即mg(H+h)=3mgh。所以h=5
m,A正确。
6.如图所示,运输机器人水平推着小车沿水平地面从静止开始运动,机器人对小车和货物做功的功率恒为40
W,已知小车和货物的总质量为20
kg,小车受到的阻力为小车和货物重力的0.1,小车向前运动了10
s达到最大速度,重力加速度取10
m/s2。则(　　)
A.小车运动的最大速度为2
m/s
B.该过程小车的加速度不变
C.小车向前运动的位移20
m
D.机器人对小车和货物做的功为200
J
答案　A　当牵引力等于阻力时小车的速度达到最大,故vm==
m/s=2
m/s,选项A正确;由P=Fv得功率不变,速度增大,力F减小,由牛顿第二定律得F-f=ma,故小车运动的加速度逐渐减小,选项B错误;由W=Pt=400
J,选项D错误;根据动能定理得Pt-fs=m,解得s=18
m,C错误。
7.如图所示,AB为固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道,轨道的B点与水平地面相切,其半径为R。质量为m的小球由A点静止释放,求:
(1)小球滑到最低点B时,小球速度vB的大小;
(2)小球通过光滑的水平面BC滑上固定曲面,恰到达最高点D,D到地面的高度为h(已知h答案　(1)　(2)mg(R-h)
解析　(1)小球从A滑到B的过程中,由动能定理得mgR=m-0
解得vB=
(2)从A到D的过程,由动能定理可得mg(R-h)-Wf=0
解得克服摩擦力做的功Wf=mg(R-h)
8.把质量为1
kg的石块从10
m高处以30°角斜向上方抛出,初速度为8
m/s,不计空气阻力,取g=10
m/s2。求:
(1)人对石块做的功;
(2)石块落地时的速度大小。
答案　(1)32
J　(2)2
m/s
解析　(1)根据动能定理得,石块抛出过程中人对石块做功为W=m=×1×64
J=32
J;
(2)过程中只有重力做功,根据动能定理得:mgh=mv2-m
代入数据解得v=2
m/s。
9.如图所示,AB为圆弧轨道,BC为水平直轨道,在B点两轨道相切,圆弧的半径为R,BC的长度也是R。一质量为m的物体,与两个轨道间的动摩擦因数都为μ,当它由轨道顶端A从静止开始下滑时,恰好运动到C处停止,重力加速度为g,那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.mgR
D.(1-μ)mgR
答案　D　设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB,BC段摩擦力做功为-μmgR。故物体从A运动到C的全过程,由动能定理得mgR-WAB-μmgR=0,解得WAB=mgR-μmgR=(1-μ)mgR,D正确。
10.如图所示,小球以初速度v0从A点沿粗糙的轨道运动到高为h的B点后自动返回,其返回途中仍经过A点,重力加速度为g,则经过A点的速度大小为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B　在从A点到B点的过程中,重力和摩擦力都做负功,根据动能定理可得-mgh-Wf=0-m,从B点到A点过程中,重力做正功,摩擦力做负功(因为是沿原路返回,所以两种情况摩擦力做功大小相等),根据动能定理可得mgh-Wf=mv2,两式联立得再次经过A点的速度大小为,B正确。
11.如图所示,长为L的木板水平放置,在木板的A端放置一个质量为m的小物块,现缓慢地抬高A端,使木板以左端为轴转动,当木板转到与水平面的夹角为α时,小物块开始滑动,此时停止转动木板,小物块滑到底端的速度为v,重力加速度为g,则在整个过程中,下列说法不正确的是(　　)
A.木板对小物块做功为mv2
B.摩擦力对小物块做功为mgL
sin
α
C.支持力对小物块做功为mgL
sin
α
D.滑动摩擦力对小物块做功为mv2-mgL
sin
α
答案　B　在抬高A端的过程中,小物块受到的摩擦力为静摩擦力,其方向和小物块的运动方向时刻垂直,故在抬高阶段,摩擦力并不做功,这样在抬高小物块的过程中,由动能定理得WN-WG=0,即WN-mgL
sin
α=0,所以WN=mgL
sin
α。在小物块下滑的过程中,支持力不做功,滑动摩擦力和重力做功,由动能定理得WG+Wf=mv2,即Wf=mv2-mgL
sin
α,B错,C、D正确。在整个过程中,设木板对小物块做的功为W,则小物块在整个过程中,由动能定理得W=mv2,A正确。
12.如图所示,在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A,若将小球A从弹簧原长位置由静止释放,小球A能够下降的最大高度为h。若将小球A换为质量为3m的小球B,仍从弹簧原长位置由静止释放,则小球B下降h时的速度为(重力加速度为g,不计空气阻力)(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B　小球A下降h过程,设克服弹簧弹力做功为W1,根据动能定理,有mgh-W1=0;小球B下降过程,由动能定理有3mgh-W1=×3mv2-0,解得v=,B正确。
13.如图所示,右端连有一个光滑弧形槽的水平桌面AB长L=1.5
m,一个质量为m=0.5
kg的木块在F=1.5
N的水平拉力作用下,从桌面上的A端由静止开始向右运动,木块到达B端时撤去拉力F,木块与水平桌面间的动摩擦因数μ=0.2,取g=10
m/s2。求:
(1)木块沿弧形槽上升的最大高度(木块未离开弧形槽);
(2)木块沿弧形槽滑回B端后,在水平桌面上滑行的最大距离。
答案　(1)0.15
m　(2)0.75
m
解析　(1)设木块沿弧形槽上升的最大高度为h,木块在最高点时的速度为零。从木块开始运动到沿弧形槽上升到最大高度处,由动能定理得FL-FfL-mgh=0
其中Ff=μFN=μmg=0.2×0.5×10
N=1.0
N
所以h==
m=0.15
m
(2)设木块滑回B端后,在水平桌面上滑行的最大距离为x,由动能定理得:mgh-Ffx=0
所以x==
m=0.75
m
创新拓展
14.如图所示,一个小球的质量m=2
kg,能沿倾角θ=37°的斜面由顶端B从静止开始下滑,小球滑到底端时与A处的挡板碰触后反弹(小球与挡板碰撞过程中无能量损失),若小球每次反弹后都能回到原来的处,已知A、B间距离为s0=2
m,sin
37°=0.6,cos
37°=0.8,取g=10
m/s2,求:
(1)小球与斜面间的动摩擦因数μ;
(2)小球由开始下滑到最终静止的过程中所通过的总路程和克服摩擦力做的功。
答案　(1)0.15　(2)10
m　24
J
解析　(1)小球第一次由静止从B处下滑到碰撞弹回上升到速度为零的过程,由动能定理得
mg
sin
37°-μmgs0+s0
cos
37°=0
解得μ=0.15
(2)球最终一定停在A处,小球从B处由静止下滑到最终停在A处的全过程
由动能定理得
mgs0
sin
37°-μmgs
cos
37°=0
解得s=10
m
克服摩擦力做的功Wf=μmgs
cos
37°=24
J
10
/
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