资源简介

7.2尺规作图
一、尺规作图
1、定义：在数学中，我们常限定用________的直尺和________作图，这就是尺规作图.
2、尺规作图的基本步骤：
(1)已知：写出已知的线段和角，画出________；
(2)________：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；
(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的________；
(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形________题设条件；
(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；
(6)结论：对所作图形下________．
二、基本作图
1、作一条线段等于已知线段，以及线段的和与差；
2、作一个角等于已知角，以及角的和与差；
3、过一点作已知直线的垂线；
4、作角的平分线；
5、作线段的垂直平分线．
三、复杂作图
1、利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
2、与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；
(2)作三角形的内切圆；
(3)作圆的内接正方形和正六边形．
命题点1、与三角形相关的作图
1、（2020广东广州）如图，中，．
（1）作点关于的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接，，连接，交于点．
①求证：四边形是菱形；
②取的中点，连接，若，，求点到的距离．
命题点2、利用角平分线、线段的垂直平分线作图
2、（2020河北）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（
）
A.
，均无限制
B.
，的长
C.
有最小限制，无限制
D.
，的长
3、（2020广东深圳）如图，已知AB=AC，BC=6，山尺规作图痕迹可求出BD=(　　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
4、（2020甘肃金昌）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作∠ABC的角平分线交AD于点E；
②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．
（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．
命题点3、与圆相关的作图
5、（2020内蒙古通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6、（2020青海）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作Rt△ABC的外接圆⊙O；作∠ACB的角平分线交⊙O于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC＝6，BC＝8，求AD的长．
基础过关
1、（2020广西北海）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（　　）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
2、（2020浙江衢州）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3、（2020浙江台州）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（　　）
A．AB平分∠CAD
B．CD平分∠ACB
C．AB⊥CD
D．AB＝CD
4、（2020吉林长春）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；
②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．
下列说法不一定正确的是（　　）
A．∠BDN＝∠CDN
B．∠ADC＝2∠B
C．∠ACD＝∠DCB
D．2∠B+∠ACD＝90°
5、（2020湖南湘西）已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线，分别交于D，交于G．那么，一定是（
）
A.
锐角三角形
B.
钝角三角形
C.
等腰三角形
D.
直角三角形
6、（2020贵州贵阳）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）
A．无法确定
B．
C．1
D．2
7、（2020辽宁丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠B＝60°，AD＝8，分别以B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，直线PQ与BA延长线交于点E，连接CE，则△BCE的内切圆半径是（　　）
A．4
B．4
C．2
D．2
8、（2020新疆）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA=OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a-3），则a的值为_____．
9、（2020湖南邵阳）如图，线段，用尺规作图法按如下步骤作图．
（1）过点B作的垂线，并在垂线上取；
（2）连接，以点C为圆心，为半径画弧，交于点E；
（3）以点A为圆心，为半径画弧，交于点D．即点D为线段的黄金分割点．
则线段的长度约为___________（结果保留两位小数，参考数据：）
10、（2020广东）如题15图，在菱形ABCD中，∠A=30°，取大于AB的长为半径，分别以点A、B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE、BD，则∠EBD的度数为___________．
11、（2020宁夏）如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝　　度．
12、（2020海南）如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝4，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为　
　．
13、（2020河南）如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．6
B．9
C．6
D．3
14、（2020湖南长沙）我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：
求作：的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
①
②
③
④
（2）请你证明OC为的平分线．
15、（2020山东青岛）已知：△ABC．
求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．
16、（2020陕西）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
17、（2020四川达州）如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．
18、（2020江苏盐城）如图，点是正方形，的中心．
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接求证：．
能力提升
19、（2020内蒙古鄂尔多斯）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（　　）
A．4
B．2
C．6
D．8
20、（2020湖南郝洲）如图，在矩形中，．分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和．作直线分别与交于点，则__________．
21、（2020浙江绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形中，分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连结．若的长为，则的值为　
　．
22、（2020江苏苏州）如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝　
　．
23、（2020福建）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．
创新思维
24、（2020山西）下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日
星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为．
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
任务：
（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）
知识回顾
真题在线
分层精练
27.2尺规作图
一、尺规作图
1、定义：在数学中，我们常限定用没有刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
2、尺规作图的基本步骤：
(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；
(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；
(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；
(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；
(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；
(6)结论：对所作图形下结论．
二、基本作图
1、作一条线段等于已知线段，以及线段的和与差；
2、作一个角等于已知角，以及角的和与差；
3、过一点作已知直线的垂线；
4、作角的平分线；
5、作线段的垂直平分线．
三、复杂作图
1、利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．
2、与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；
(2)作三角形的内切圆；
(3)作圆的内接正方形和正六边形．
命题点1、与三角形相关的作图
1、（2020广东广州）如图，中，．
（1）作点关于的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接，，连接，交于点．
①求证：四边形是菱形；
②取的中点，连接，若，，求点到的距离．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析：②．
【解析】
【分析】
（1）过点做的垂线交于点，在的延长线上截取，即可求出所作的点关于的对称点；
（2）①利用，得出，利用，以及得出四边形是菱形；
②利用为中位线求出的长度，利用菱形对角线垂直平分得出的长度，进而利用求出的长度，得出对角线的长度，然后利用面积法求出点到的距离即可．
【详解】（1）解：如图：点即为所求作的点；
（2）①证明：
∵，，
又∵，
∴；
∴，
又∵，
∴四边形是菱形；
②解：∵四边形是菱形，
∴，，
又∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∵，
∴，
∴菱形的边长为13，
∵，
在中，由勾股定理得：，即：，
∴,
设点到的距离为，利用面积相等得：
，
解得：，
即到的距离为．
【点睛】本题考查了对称点的作法、菱形的判定以及菱形的面积公式的灵活应用，牢记菱形的判定定理，
命题点2、利用角平分线、线段的垂直平分线作图
2、（2020河北）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（
）
A.
，均无限制
B.
，的长
C.
有最小限制，无限制
D.
，的长
【答案】B
【解析】
【分析】
根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
3、（2020广东深圳）如图，已知AB=AC，BC=6，山尺规作图痕迹可求出BD=(　　　)
A.2
B.3
C.4
D.5
【考点】等腰三角形的三线合一
【答案】B
【解析】由作图痕迹可知AD为的角平分线，而AB=AC，由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，BD=3，故选B。
4、（2020甘肃金昌）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作∠ABC的角平分线交AD于点E；
②作线段DC的垂直平分线交DC于点F．
（2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．
【分析】（1）根据尺规作基本图形的方法：
①作∠ABC的角平分线交AD于点E即可；
②作线段DC的垂直平分线交DC于点F即可．
（2）连接EF，根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理，即可写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．
解：（1）如图，①BE即为所求；
②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F．
（2）∵BD＝BA，BE平分∠ABD，
∴点E是AD的中点，
∵点F是CD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴线段EF和AC的数量关系为：EF＝AC，
位置关系为：EF∥AC．
命题点3、与圆相关的作图
5、（2020内蒙古通辽）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用基本作图和三角形内心的定义进行判断．
解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个交的平分线．
故选：B．
6、（2020青海）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作Rt△ABC的外接圆⊙O；作∠ACB的角平分线交⊙O于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC＝6，BC＝8，求AD的长．
【分析】（1）作AB的垂直平分线，即可作Rt△ABC的外接圆⊙O；再作∠ACB的角平分线交⊙O于点D，连接AD即可；
（2）根据AC＝6，BC＝8可得AB＝10，再根据CD是∠ACB的平分线即可求AD的长．
解：（1）如图，Rt△ABC的外接圆⊙O即为所求；
（2）连接BD，
∵∠C＝90°．
∴AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠DBA＝∠ACD＝45°，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∴AD＝BD＝AB?sin45°＝10×＝5．
答：AD的长为5．
基础过关
1、（2020广西北海）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为（　　）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ACB的度数，观察作图过程可得，进而可得∠DCE的度数．
解：∵BA＝BC，∠B＝80°，
∴∠A＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝130°，
观察作图过程可知：
CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝ACD＝65°，
∴∠DCE的度数为65°
故选：B．
2、（2020浙江衢州）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
解：A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，
故选：D．
3、（2020浙江台州）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（　　）
A．AB平分∠CAD
B．CD平分∠ACB
C．AB⊥CD
D．AB＝CD
【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．
解：由作图知AC＝AD＝BC＝BD，
∴四边形ACBD是菱形，
∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，
不能判断AB＝CD，
故选：D．
4、（2020吉林长春）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：
①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；
②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．
下列说法不一定正确的是（　　）
A．∠BDN＝∠CDN
B．∠ADC＝2∠B
C．∠ACD＝∠DCB
D．2∠B+∠ACD＝90°
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴DB＝DC，MN⊥BC，
∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，
∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴2∠B+∠ACD＝90°，
故选项A，B，D正确，
故选：C．
5、（2020湖南湘西）已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线，分别交于D，交于G．那么，一定是（
）
A.
锐角三角形
B.
钝角三角形
C.
等腰三角形
D.
直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意知EF垂直平分OC，由此证明△OMD≌△ONG，即可得到OD=OG得到答案.
【详解】如图，连接CD、CG，
∵分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F
∴EF垂直平分OC，
设EF交OC于点N，
∴∠ONE=∠ONF=90°，
∵OM平分，
∴∠NOD=∠NOG，
又∵ON=ON，
∴△OMD≌△ONG，
∴OD=OG，
∴△ODG是等腰三角形，
故选：C.
【点睛】此题考查基本作图能力：角平分线的做法及线段垂直平分线的做法，还考查了全等三角形的判定定理及性质定理，由此解答问题，根据题意得到EF垂直平分OC是解题的关键.
6、（2020贵州贵阳）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）
A．无法确定
B．
C．1
D．2
【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．
解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故选：C．
7、（2020辽宁丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠B＝60°，AD＝8，分别以B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，直线PQ与BA延长线交于点E，连接CE，则△BCE的内切圆半径是（　　）
A．4
B．4
C．2
D．2
解答】解：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，
由作图过程可得EB＝EC，
∵∠B＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴△BCE的内切圆半径是×8××＝4．
故选：A．
8、（2020新疆）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA=OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a-3），则a的值为_____．
解:∵OA=OB，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，
∴点P在∠BOA的角平分线上，
∴点P到x轴和y轴的距离相等，
又∵点P在第一象限，点P的坐标为(
a，2a-3)，
∴a=2a-3，
∴a=3.
故答案为:3.
9、（2020湖南邵阳）如图，线段，用尺规作图法按如下步骤作图．
（1）过点B作的垂线，并在垂线上取；
（2）连接，以点C为圆心，为半径画弧，交于点E；
（3）以点A为圆心，为半径画弧，交于点D．即点D为线段的黄金分割点．
则线段的长度约为___________（结果保留两位小数，参考数据：）
【答案】6.18
【解析】
【分析】
根据作图得△ABC为直角三角形，，AE=AD,
根据勾股定理求出AC，再求出AE，即可求出AD．
【详解】解：由作图得△ABC为直角三角形，，AE=AD,
∴cm，
∴cm，
∴cm．
故答案为：6.18
【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键．
10、（2020广东）如题15图，在菱形ABCD中，∠A=30°，取大于AB的长为半径，分别以点A、B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE、BD，则∠EBD的度数为___________．
【答案】45°
【解析】菱形的对角线平分对角，∠ABC=150°，∠ABD=75°
【考点】垂直平分线的性质、菱形的性质
11、（2020宁夏）如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝　32　度．
【分析】由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得∠A＝∠ABD＝∠CBD，再根据三角形内角和定理即可得解．
解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴AD＝BD，，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，且∠C＝84°，
∴∠A+2∠ABD＝180°﹣∠C，
即3∠A＝180°﹣84°，
∴∠A＝32°．
故答案为：32．
12、（2020海南）如图，在△ABC中，BC＝9，AC＝4，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为　
　．
【解答】解：根据作图过程可知：MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△ACD的周长＝AD+DC+AC＝BD+DC+AC＝BC+AC＝9+4＝13．
故答案为：13．
13、（2020河南）如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．6
B．9
C．6
D．3
【分析】连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据等边三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝60°，求得AD＝CD＝AB＝3，于是得到结论．
解：连接BD交AC于O，
∵AD＝CD，AB＝BC，
∴BD垂直平分AC，
∴BD⊥AC，AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∵AC＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝60°，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，
∵AB＝BC＝，
∴AD＝CD＝AB＝3，
∴四边形ABCD的面积＝2×＝3，
故选：D．
14、（2020湖南长沙）我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：
求作：的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
①
②
③
④
（2）请你证明OC为的平分线．
【答案】（1）①；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由“SSS”可以证得△EOC≌△DOC；
（2）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线．
【详解】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线；
故答案为：①；
（2）如图，
连接MC、NC．
根据作图的过程知，
在△MOC与△NOC中，
，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∠AOC=∠BOC，
∴OC为的平分线．
【点睛】本题考查了作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
15、（2020山东青岛）已知：△ABC．
求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．
【分析】作出∠A的平分线和线段BC的垂直平分线，找到它们的交点，即为圆心O，再以OB为半径画出⊙O，得出答案．
解：如图所示：⊙O即为所求．
【点评】此题主要考查了复杂作图，正确掌握角平分线和垂直平分线的作法是解题关键．
16、（2020陕西）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可．
【解答】解：如图，点P即为所求．
17、（2020四川达州）如图，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．
【分析】（1）根据要求，利用尺规作出图形即可．
（2）证明直线AE是⊙O的切线即可解决问题．
解：（1）如图，⊙O，射线BM，直线DE即为所求．
（2）直线DE与⊙O相切，交点只有一个．
理由：∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴AE⊥OD，
∴直线AE是⊙O的切线，
∴⊙O与直线AE只有一个交点．
18、（2020江苏盐城）如图，点是正方形，的中心．
（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）作BC的垂直平分线即可求解；
（2）根据题意证明即可求解．
【详解】如图所示，点即为所求．
连接
由得：
是正方形中心，
在和中，
．
【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质．
能力提升
19、（2020内蒙古鄂尔多斯）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝8，BC＝6，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（　　）
A．4
B．2
C．6
D．8
【分析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF＝FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝6，等量代换得到FC＝AF＝6，利用线段的和差关系求出FD＝AD﹣AF＝2．然后在Rt△FDC中利用勾股定理即可求出CD的长．
【解答】解：如图，连接FC，
由题可得，点E和点O在AC的垂直平分线上，
∴EO垂直平分AC，
∴AF＝FC，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠BCO，
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝6，
∴FC＝AF＝6，FD＝AD﹣AF＝2．
在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
即CD2+22＝62，
解得CD＝．
故选：A．
20、（2020湖南郝洲）如图，在矩形中，．分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和．作直线分别与交于点，则__________．
【答案】2．
【解析】
【分析】
连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD的垂直平分线，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．
【详解】如图，连接DN，
在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，
∴BD=，
根据作图过程可知：
MN是BD的垂直平分线，
∴DN=BN，OB=OD=2，
∴AN=AB-BN=AB-DN=8-DN，
Rt△ADN中，根据勾股定理，得
DN2=AN2+AD2，
∴DN2=（8-DN）2+42，
解得DN=5，
在Rt△DON中，根据勾股定理，得
ON=，
∵CD∥AB，
∴∠MDO=∠NBO，
∠DMO=∠BNO，
∵OD=OB，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM=ON=，
∴MN=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
21、（2020浙江绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形中，分别以点，为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连结．若的长为，则的值为　2或　．
解：由作图知，点在的垂直平分线上，
是等边三角形，
点在的垂直平分线上，
垂直平分，
设垂足为，
，
，
当点、在的两侧时，如图，
，
，
，
；
当点、在的同侧时，如图，
，
，
，
，
综上所述，的值为2或，
故答案为：2或．
22、（2020江苏苏州）如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E．设OA＝10，DE＝12，则sin∠MON＝　　．
【分析】如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H．首先证明四边形AOBD是菱形，解直角三角形求出DH即可解决问题．
解：如图，连接DB，过点D作DH⊥ON于H．
由作图可知，∠AOD＝∠DOE，OA＝OB，
∵AD∥EO，
∴∠ADO＝∠DOE，
∴∠AOD＝∠ADO，
∴AO＝AD，
∴AD＝OB，AD∥OB，
∴四边形AOBD是平行四边形，
∵OA＝OB，
∴四边形AOBD是菱形，
∴OB＝BD＝OA＝10，BD∥OA，
∴∠MON＝∠DBE，∠BOD＝∠BDO，
∵DE⊥OD，
∴∠BOD+∠DEO＝90°，∠ODB+∠BDE＝90°，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BD＝BE＝10，
∴OE＝2OB＝20，
∴OD＝＝＝16，
∵DH⊥OE，
∴DH＝＝＝，
∴sin∠MON＝sin∠DBH＝＝＝．
故答案为．
23、（2020福建）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．
解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；
（2）如图，
∵CD∥AB，
∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP，
∴△ABP∽△CDP，
∴＝，
∵AB，CD的中点分别为M，N，
∴AB＝2AM，CD＝2CN，
∴＝，
连接MP，NP，
∵∠BAP＝∠DCP，
∴△APM∽△CPN，
∴∠APM＝∠CPN，
∵点P在AC上，
∴∠APM+∠CPM＝180°，
∴∠CPN+∠CPM＝180°，
∴M，P，N三点在同一条直线上．
创新思维
24、（2020山西）下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日
星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为．
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
任务：
（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）
【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）详见解析；（3）①详见解析；②答案不唯一，详见解析
【解析】
（1）利用说明△DCE是直角三角形，说明，进而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可；
（2）由作图的方法可以得出：，，得出，，利用三角形内角和得出，即，说明垂直即可；
（3）①以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直．
【详解】（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）；
（2）证明：由作图方法可知：，，
，．
又，
．
．
即．
（3）解：①如图，直线即为所求；
图③
②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．
知识回顾
真题在线
分层精练
2

展开更多......

收起↑