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7.3图形的对称（折叠、对称、平移、旋转）
一、平移
1、定义:把一个图形整体沿
移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的
和
完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移.
注意：平移的两要素：平移的
和平移的
.
2、性质：（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动，平移前后的两个图形是
形；
（2）连接各组对应点的线段
（或在
）且
.
二、轴对称
1、定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形
，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做
.
2、性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是
形.
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的
.
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在
上.
3、判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线
，那么这两个图形关于这条直线对称.
4、轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相
，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
三、旋转
1、定义：把一个图形绕某一点O转动一个
的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
注意：旋转三要素：旋转
、旋转
、旋转
.
2、性质：（1）对应点到旋转中心的距离
.
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
.
四、中心对称
1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转
，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的
.
2、性质：（1）关于中心对称的两个图形是
.
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过
，并且被对称中心平分.
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段
（或在
）且
.
3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点
，那么这两个图形关于这一点对称.
4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相
，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心.
命题点1、对称图形的认识
1、（2020广东深圳）下列图形中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是(　　　)
A.
B.
C.
D.
2、（2020广东广州）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（
）
A.
该圆锥的主视图是轴对称图形
B.
该圆锥的主视图是中心对称图形
C.
该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D.
该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
命题点2、图形的折叠
3、（2020青海）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　）
A．
B．
C．
D．
4、（2020上海）如图，在中，，，，点在边上，，联结．如果将沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为　　．
5、（2020广东）如题9图，在正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在边AB、CD上，∠EFD=60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（
）
A．1?
B．
C．
?
D．2
6、（2020广东深圳）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上。连接BG，交CD于点K,FG交CD于点H。给出以下结论：
EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°
其中正确的结论共有(　　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7、（2020湖北武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是　
　．
命题点3、图形的平移
8、（2020广东广州）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．
命题点4、图形的旋转
9、（2020广东广州）如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，若，则的值为_______．
10、（2020山东滨州）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2、、4，则正方形ABCD的面积为　
　．
基础过关
1、（2020黑龙江黑河）下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2、（2020山东枣庄）如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3、（2020黑龙江黑河）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
4、（2020江苏连云港）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于（
）．
A.
B.
C.
D.
5、（2020湖北黄石）在平面直角坐标系中，点G的坐标是（﹣2，1），连接OG，将线段OG绕原点O旋转180°，得到对应线段OG'，则点G'的坐标为（　　）
A．（2，﹣1）
B．（2，1）
C．（1，﹣2）
D．（﹣2，﹣1）
6、（2020天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AC＝DE
B．BC＝EF
C．∠AEF＝∠D
D．AB⊥DF
7、（2020山东青岛）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（0，4）
B．（2，﹣2）
C．（3，﹣2）
D．（﹣1，4）
8、（2020浙江衢州）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（　　）
A．
B．
C．
D．
9、（2020湖南邵阳）将一张矩形纸片按如图所示操作：
（1）将沿向内折叠，使点A落在点处，
（2）将沿向内继续折叠，使点P落在点处，折痕与边交于点M．
若，则的大小是（
）
A.
135°
B.
120°
C.
112.5°
D.
115°
10、（2020四川眉山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至
△A1B1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，则CC1的长为　
　．
11、（2020湖南常德）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为　
　．
12、（2020辽宁丹东）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3），先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1．使它与△ABC位似，且相似比为2：1，然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
（2）画出△A2B2C2，直接写出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．
能力提升
13、（2020山东枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（　　）
A．（﹣，3）
B．（﹣3，）
C．（﹣，2+）
D．（﹣1，2+）
14、（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′＝（　　）
A．
B．2
C．
D．
15、（2020重庆A卷）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（　　）
A．
B．
C．
D．
16、（2020四川凉山州）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为　
　．
17、（2020黑龙江牡丹江）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F．若A'E⊥AE，cosA=，则=　　．
18、（2020湖南衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OPn（n为正整数），则点P2020的坐标是　
　．
19、（2020湖南长沙）在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：
（2）若，求EC的长；
（3）若，记，求的值．
20、（2020重庆A卷）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF＝AD；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
21、（2020江苏常州）如图1，点B在线段上，Rt△≌Rt△，，，．
（1）点F到直线的距离是_________；
（2）固定△，将△绕点C按顺时针方向旋转30°，使得与重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；
②如图2，在旋转过程中，线段与交于点O，当时，求的长．
创新思维
22、（2020内蒙古鄂尔多斯）（1）【操作发现】
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′．连接BB′；
②在①中所画图形中，∠AB′B＝　45　°．
（2）【问题解决】
如图2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．
知识回顾
真题在线
分层精练
27.3图形的对称（折叠、对称、平移、旋转）
一、平移
1、定义:把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移.
注意：平移的两要素：平移的方向和平移的距离.
2、性质：（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动，平移前后的两个图形是全等形；
（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等.
二、轴对称
1、定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴.
2、性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形.
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
3、判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
4、轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
三、旋转
1、定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
注意：旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.
2、性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等.
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
四、中心对称
1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
2、性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形.
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等.
3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.
4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心.
命题点1、对称图形的认识
1、（2020广东深圳）下列图形中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是(　　　)
A.
B.
C.
D.
【考点】轴对称和中心对称
【答案】B
【解析】A图既不是轴对称也不是中心对称；C图为轴对称，但不是中心对称；D图为中心对称，但不是轴对称，故选B。
2、（2020广东广州）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（
）
A.
该圆锥的主视图是轴对称图形
B.
该圆锥的主视图是中心对称图形
C.
该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D.
该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【答案】A
【解析】
【分析】
首先判断出圆锥的主视图，再根据主视图的形状判断是轴对称图形，还是中心对称图形，从而可得答案．
【详解】解：圆锥的主视图是一个等腰三角形，
所以该圆锥的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A正确，
该圆锥的主视图是中心对称图形，故B错误，
该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C错误，
该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D错误，
故选A．
【点睛】本题考查的简单几何体的三视图，同时考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，掌握以上知识是解题的关键．
命题点2、图形的折叠
3、（2020青海）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．
解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：
．
故选：A．
4、（2020上海）如图，在中，，，，点在边上，，联结．如果将沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为　　．
解：如图，过点作于．
，，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
到直线的距离为，
故答案为．
5、（2020广东）如题9图，在正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在边AB、CD上，∠EFD=60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为
A．1?
B．
C．
?
D．2
【答案】D
【解析】解法一：排除法
过点F作FG∥BC交BE与点G，可得∠EFG=30°，∵FG=3，由三角函数可得EG=，
∴BE＞．
解法二：角平分线的性质
延长EF、BC、B’C’交于点O，可知∠EOB=∠EOB’=30°，可得∠BEO=∠B’EO=60°，
∴∠AEB’=60°．设BE=B’E=2x，由三角函数可得AE=x，由AE+BE=3，可得x=1，∴BE=2．
【考点】特殊平行四边形的折叠问题、辅助线的作法、三角函数．
6、（2020广东深圳）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上。连接BG，交CD于点K,FG交CD于点H。给出以下结论：
EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°
其中正确的结论共有(　　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【考点】几何综合
【答案】C
【解析】由折叠易证四边形EBFG为菱形，故EF⊥BG，GE=GF，∴①②正确；KG平分，,,∴,,故③错误；当点F与点C重合时，BE=BF=BC=12=2AB，∴，，故④正确。综合，正确的为①②④，选C。
7、（2020湖北武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是　
　．
解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，
设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，
∵AE2+AM2＝EM2，
∴（2﹣x）2+t2＝x2，
解得x＝+1，
∴DE＝+1，
∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，
∴EF⊥DM，
∠ADM+∠DEF＝90°，
∵EG⊥AD，
∴∠DEF+∠FEG＝90°，
∴∠ADM＝∠FEG，
∴tan∠ADM＝，
∴FG＝，
∵CG＝DE＝+1，
∴CF＝+1，
∴S四边形CDEF＝（CF+DE）×1＝t+1．
故答案为：t+1．
命题点3、图形的平移
8、（2020广东广州）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．
【答案】(4，3)
【解析】
【分析】
过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案.
【详解】过点A作AH⊥x轴于点H，
∵A（1,3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AC=BD，
∵，
∴BD=3，
∴AC=3，
∴C(4，3)
故答案：(4，3).
【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系.
命题点4、图形的旋转
9、（2020广东广州）如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，若，则的值为_______．
【答案】16
【解析】
【分析】
根据正方形及旋转的性质可以证明，利用相似的性质即可得出答案．
【详解】解：在正方形中，，
∵绕点逆时针旋转到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
10、（2020山东滨州）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2、、4，则正方形ABCD的面积为　14+4　．
【分析】如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．首先证明∠PMC＝90°，推出∠CMB＝∠APB＝135°，推出A，P，M共线，利用勾股定理求出AB2即可．
解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．
∵BP＝BM＝，∠PBM＝90°，
∴PM＝PB＝2，
∵PC＝4，PA＝CM＝2，
∴PC2＝CM2+PM2，
∴∠PMC＝90°，
∵∠BPM＝∠BMP＝45°，
∴∠CNB＝∠APB＝135°，
∴∠APB+∠BPM＝180°，
∴A，P，M共线，
∵BH⊥PM，
∴PH＝HM，
∴BH＝PH＝HM＝1，
∴AH＝2+1，
∴AB2＝AH2+BH2＝（2+1）2+12＝14+4，
∴正方形ABCD的面积为14+4．
故答案为14+4．
基础过关
1、（2020黑龙江黑河）下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2、（2020山东枣庄）如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据平移，旋转的性质判断即可．
解：由题意，选项A，C，D可以通过平移，旋转得到，选项B可以通过翻折，平移，旋转得到．
故选：B．
3、（2020黑龙江黑河）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
【分析】由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．
解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
4、（2020江苏连云港）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据矩形的性质得到∠ABD=66°，再根据折叠的性质得到∠EBA’=33°，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°-=66°，
∵将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处，
∴∠EBA’=∠ABD
=33°，
∴=90°-∠EBA’=，
故选C．
【点睛】此题主要考查矩形内的角度求解，解题的关键是熟知矩形及折叠的性质．
5、（2020湖北黄石）在平面直角坐标系中，点G的坐标是（﹣2，1），连接OG，将线段OG绕原点O旋转180°，得到对应线段OG'，则点G'的坐标为（　　）
A．（2，﹣1）
B．（2，1）
C．（1，﹣2）
D．（﹣2，﹣1）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得两个点关于原点对称，即可得到结果．
详解】根据题意可得，与G关于原点对称，
∵点G的坐标是，
∴点的坐标为．
故选A．
【点睛】本题主要考察了平行直角坐标系中点的对称变换，准确理解公式是解题的关键．
6、（2020天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AC＝DE
B．BC＝EF
C．∠AEF＝∠D
D．AB⊥DF
【解答】解：由旋转可得，△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，故A选项错误，
BC＝EC，故B选项错误，
∠AEF＝∠DEC＝∠B，故C选项错误，
∠A＝∠D，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠D+∠B＝90°，
∴∠BFD＝90°，即DF⊥AB，故D选项正确，
故选：D．
7、（2020山东青岛）如图，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（0，4）
B．（2，﹣2）
C．（3，﹣2）
D．（﹣1，4）
【分析】根据平移和旋转的性质，将△ABC先向上平移1个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，即可得点A的对应点A′的坐标．
解：如图，
△A′B′C′即为所求，
则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，4）．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
8、（2020浙江衢州）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先判断出∠ADE＝45°，进而判断出AE＝AD，利用勾股定理即可得出结论．
解：
由折叠补全图形如图所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，
由第一次折叠得：∠DAE＝∠A＝90°，∠ADE＝∠ADC＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴AE＝AD＝1，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得，DE＝AD＝，
故选：A．
9、（2020湖南邵阳）将一张矩形纸片按如图所示操作：
（1）将沿向内折叠，使点A落在点处，
（2）将沿向内继续折叠，使点P落在点处，折痕与边交于点M．
若，则的大小是（
）
A.
135°
B.
120°
C.
112.5°
D.
115°
【答案】C
【解析】
【分析】
由折叠前后对应角相等且可先求出，进一步求出，再由折叠可求出，最后在中由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵折叠，且，
∴，即，
∵折叠，
∴，
∴在中，，
故选：C．
【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题．
10、（2020四川眉山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2．将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至
△A1B1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，则CC1的长为　
　．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，
∴AB1＝BC，BB1＝B1C，AB＝AB1，
∴BB1＝AB＝AB1，
∴△ABB1是等边三角形，
∴∠BAB1＝∠B＝60°，
∴∠CAC1＝60°，
∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转至△A1B1C1的位置，
∴CA＝C1A，
∴△AC1C是等边三角形，
∴CC1＝CA，
∵AB＝2，
∴CA＝2，
∴CC1＝2．
故答案为：2．
11、（2020湖南常德）如图1，已知四边形ABCD是正方形，将△DAE，△DCF分别沿DE，DF向内折叠得到图2，此时DA与DC重合（A、C都落在G点），若GF＝4，EG＝6，则DG的长为　12　．
【分析】设正方形ABCD的边长为x，由翻折及已知线段的长，可用含x的式子分别表示出BE、BF及EF的长；在Rt△BEF中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值，即为DG的长．
解：设正方形ABCD的边长为x，由翻折可得：
DG＝DA＝DC＝x，
∵GF＝4，EG＝6，
∴AE＝EG＝6，CF＝GF＝4，
∴BE＝x﹣6，BF＝x﹣6，EF＝6+4＝10，如图1所示：
在Rt△BEF中，由勾股定理得：
BE2+BF2＝EF2，
∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，
∴x2﹣12x+36+x2﹣8x+16＝100，
∴x2﹣10x﹣24＝0，
∴（x+2）（x﹣12）＝0，
∴x1＝﹣2（舍），x2＝12．
∴DG＝12．
故答案为：12．
12、（2020辽宁丹东）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3），先以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1．使它与△ABC位似，且相似比为2：1，然后再把△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
（2）画出△A2B2C2，直接写出在旋转过程中，点A到点A2所经过的路径长．
【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标为（﹣2，﹣4）；
（2）如图所示：
由勾股定理得OA＝＝，
点A到点A2所经过的路径长为＝．
能力提升
13、（2020山东枣庄）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（　　）
A．（﹣，3）
B．（﹣3，）
C．（﹣，2+）
D．（﹣1，2+）
【分析】如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．解直角三角形求出′H，B′H即可．
解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．
在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，
∴OH＝2+1＝3，
∴B′（﹣，3），
故选：A．
14、（2020四川绵阳）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′＝（　　）
A．
B．2
C．
D．
解：过D作DE⊥BC于E，
则∠DEC＝∠DEB＝90°，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE＝AD＝2，DE＝AB＝2，
∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，
∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，
∴△A′CA∽△B′CB，
∴＝，
∵△B′CD为等腰三角形，
∴△B′CD为等腰直角三角形，
∴CD＝B′C，
设B′C＝BC＝x，则CD＝x，CE＝x﹣2，
∵CD2＝CE2+DE2，
∴（x）2＝（x﹣2）2+（2）2，
∴x＝4（负值舍去），
∴BC＝4，
∴AC＝＝2，
∴＝，
∴A′A＝，
故选：A．
15、（2020重庆A卷）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝2，
∴S△ADE＝4，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝4，∠BFD＝90°，
∴?（AF+DF）?BF＝4，
∴?（3+DF）?2＝4，
∴DF＝1，
∴DB＝＝＝，
设点F到BD的距离为h，则有?BD?h＝?BF?DF，
∴h＝，
故选：B．
16、（2020四川凉山州）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为　10　．
【分析】先根据勾股定理计算ED的长，当E、P、D共线时，DP最小，即最短距离是此时PD的长．
解：如图，连接PD，DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝8，BE＝3，
∴AE＝5，
∵AD＝12，
∴DE＝＝13，
由折叠得：EB＝EP＝3，
∵EP+DP≥ED，
∴当E、P、D共线时，DP最小，
∴DP＝DE﹣EP＝13﹣3＝10；
故答案为：10．
17、（2020黑龙江牡丹江）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F．若A'E⊥AE，cosA=，则=　　．
【解答】解：∵∠C＝90°，cosA=，
∴，设AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x，
∵AE⊥AE′，∴∠AEA′＝90°，A′E∥BC，
由于折叠，
∴∠A′EB＝∠AEB＝（360﹣90）÷2＝135°，且△A′EF∽△BCF，
∴∠BEC＝45°，即△BCE为等腰直角三角形，
∴EC＝3x，
∴AE＝AC﹣EC＝x＝A′E，
∴，
故答案为：．
18、（2020湖南衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OPn（n为正整数），则点P2020的坐标是　（0，﹣22019）　．
【分析】根据题意得出OP1＝1，OP2＝2，OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝8＝23，OP5＝16＝24…，OPn＝2n﹣1，再利用旋转角度得出点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，进而得出答案．
解：∵点P1的坐标为（，），将线段OP1绕点O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；
∴OP1＝1，OP2＝2，
∴OP3＝4，如此下去，得到线段OP4＝23，OP5＝24…，
∴OPn＝2n﹣1，
由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，
∵2020÷8＝252…4，
∴点P2020的坐标与点P4的坐标在同一直线上，正好在y轴的负半轴上，
∴点P2020的坐标是（0，﹣22019）．
故答案为：（0，﹣22019）．
19、（2020湖南长沙）在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：
（2）若，求EC的长；
（3）若，记，求的值．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）只要证明∠B=∠C=90°，∠BAF=∠EFC即可；
（2）因为△AFE是△ADE翻折得到的，得到AF=AD=4，根据勾股定理可得BF的长，从而得到CF的长，根据△ABF∽△FCE，得到，从而求出EC的长；
（3）根据△ABF∽△FCE，得到∠CEF=∠BAF=，所以tan+tan=，设CE=1，DE=x，可得到AE，AB，AD的长，根据△ABF∽△FCE，得到，将求出的值代入化简会得到关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，然后可求出CE，CF，EF，AF的值，代入tan+tan=即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∴∠AFB+∠BAF=90°，
∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠CFE=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的，
∴AF=AD=4，
∴BF=，
∴CF=BC-BF=AD-BF=2，
由（1）得△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴EC=．
（3）
解：由（1）得△ABF∽△FCE，
∴∠CEF=∠BAF=，
∴tan+tan=，
设CE=1，DE=x，
∵，
∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD=
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴x2-4x+4=0，
解得x=2，
∴CE=1，CF=，EF=x=2，AF=
AD==，
∴tan+tan==．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会运用方程的思想思考问题．
20、（2020重庆A卷）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
（1）求证：CF＝AD；
（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，DE＝AD，
又∵AB＝AC，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，
∵点F是DE的中点，
∴CF＝DE＝AD；
（2）AG＝BC，
理由如下：如图2，过点G作GH⊥BC于H，
∵BD＝2CD，
∴设CD＝a，则BD＝2a，BC＝3a，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AB＝AC＝＝a，
由（1）可知：△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE＝2a，
∵CF＝DF，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴tan∠FDC＝tan∠FCD，
∴＝2，
∴GH＝2CH，
∵GH⊥BC，∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BGH＝45°，
∴BH＝GH，
∴BG＝BH
∵BH+CH＝BC＝3a，
∴CH＝a，BH＝GH＝2a，
∴BG＝2a，
∴AG＝BG﹣AB＝a＝CD＝BC；
（3）如图3﹣1，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，
∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，
∴△BPN是等边三角形，
∴BP＝PN，
∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，
∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，
此时，如图3﹣2，连接MC，
∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BP＝BN，BC＝BM，∠PBN＝60°＝∠CBM，
∴△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，
∵BM＝CM，AB＝AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BPD＝60°，
∴BD＝PD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD＝BD，
∴PD＝PD+AP，
∴PD＝m，
∴BD＝PD＝m，
由（1）可知：CE＝BD＝m．
21、（2020江苏常州）如图1，点B在线段上，Rt△≌Rt△，，，．
（1）点F到直线的距离是_________；
（2）固定△，将△绕点C按顺时针方向旋转30°，使得与重合，并停止旋转．
①请你在图1中用直尺和圆规画出线段经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为_________；
②如图2，在旋转过程中，线段与交于点O，当时，求的长．
【答案】（1）1；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形的性质和全等三角形的性质可得∠ACF=∠ECF=30°，即CF是∠ACB的平分线，然后根据角平分线的性质可得点F到直线的距离即为EF的长，于是可得答案；
（2）①易知E点和F点的运动轨迹是分别以CF和CE为半径、圆心角为30°的圆弧，据此即可画出旋转后的平面图形；在图3中，先解Rt△CEF求出CF和CE的长，然后根据S阴影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇形CEG）即可求出阴影面积；
②作EH⊥CF于点H，如图4，先解Rt△EFH求出FH和EH的长，进而可得CH的长，设OH=x，则CO和OE2都可以用含x的代数式表示，然后在Rt△BOC中根据勾股定理即可得出关于x的方程，解方程即可求出x的值，进一步即可求出结果．
【详解】解：（1）∵，，∴∠ACB=60°，
∵Rt△≌Rt△，
∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，
∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，
∴CF是∠ACB的平分线，
∴点F到直线的距离=EF=1；
故答案为：1；
（2）①线段经旋转运动所形成的平面图形如图3中的阴影所示：
在Rt△CEF中，∵∠ECF=30°，EF=1，
∴CF=2，CE=，
由旋转的性质可得：CF=CA=2，CE=CG=，∠ACG=∠ECF=30°，
∴S阴影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇形CEG）=S扇形ACF－S扇形CEG=；
故答案为：；
②作EH⊥CF于点H，如图4，
在Rt△EFH中，∵∠F=60°，EF=1，
∴，
∴CH=，
设OH=x，则，，
∵OB=OE，∴，
在Rt△BOC中，∵，∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质和旋转作图、全等三角形的性质、角平分线的性质、扇形面积公式、勾股定理和解直角三角形等知识，涉及的知识点多，综合性较强，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想和方程思想是解题的关键．
创新思维
22、（2020内蒙古鄂尔多斯）（1）【操作发现】
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′．连接BB′；
②在①中所画图形中，∠AB′B＝　45　°．
（2）【问题解决】
如图2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．
【分析】（1）①根据旋转角，旋转方向画出图形即可．
②只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可．
（2）如图2，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．证明△ABC≌△EAH（AAS）即可解决问题．
（3）如图3中，由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，只要证明∠GDC＝90°，可得CG＝，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图，△AB′C′即为所求．
②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形，
∴∠AB′B＝45°，
故答案为45．
（2）如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．
∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，
∴∠B＝∠EAH，
∵AB＝AE，
∴△ABC≌△EAH（AAS），
∴BC＝AH，EH＝AC，
∵BC＝CD，
∴CD＝AH，
∴DH＝AC＝EH，
∴∠EDH＝45°，
∴∠ADE＝135°．
（3）如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，
∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，
∵∠BAD＝∠CAG，
∴∠BAC＝∠DAG，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD＝kAB，
∴DG＝kBC＝2k，
∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC＝90°，
∴∠GDC＝90°，
∴CG＝＝．
∴BD＝CG＝．
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