资源简介

8.2
概率
一、确定事件和随机事件
1、确定事件
（1）必然事件：一定条件下必然
发生的事件，叫做必然事件.
（2）不可能事件：一定条件下必然
发生的事件，叫做不可能事件.
2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能
的事件，叫做随机事件。
二、概率
1、概率的概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的
，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).
注：P(必然事件)=
，P(不可能事件)=
，
＜P(不确定事件)＜
；
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有
种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的
种结果，那么事件A发生的概率.
3、用列举法求概率：
（1）列表法：当一次实验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，可用
求事件发生的概率.
（2）树状图法：当一次实验要涉及两个或更多的因素时，可采用
来求事件发生的概率.
（3）几何概型：
三、用频率估计概率
当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的
作为该事件发生的概率的估计值.
四.
概率的应用——游戏公平性
判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都
，则游戏公平，否则不公平.[来源
命题点1、事件分类
1、（2020湖北武汉）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（　　）
A．两个小球的标号之和等于1
B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于1
D．两个小球的标号之和大于6
命题点2、概率的计算
类型一、一步计算概率
2、（2020福建）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为　
　．
3、（2020广西北海）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
4、（2020上海）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是　
　．
类型二、两步计算概率
5、（2020北京）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”“2”，除数字外两个小球无其他差别、从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是
A.
B.
C.
D.
6、（2020新疆）四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（　　）
7、（2020河南）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是　　．
8、（2020吉林长春）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）
9、（2020甘肃金昌）2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一．截至2020年1月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙山月牙泉景区；E：张掖七彩丹霞景区．张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩．
（1）张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？
（2）若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从A，B，C，D四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．
类型三、三步计算概率
10、（2020宁夏）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
命题点2、几何概型
11、（2020山西）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（
）
A.
B.
C.
D.
12、（2020江苏苏州）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是　
　．
命题点3、统计与概率组合
13、（2020广东广州）为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄（单位：岁）如下：
甲社区
67
68
73
75
76
78
80
82
83
84
85
85
90
92
95
乙社区
66
69
72
74
75
78
80
81
85
85
88
89
91
96
98
根据以上信息解答下列问题：
（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；
（2）现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率．
14、（2020安徽）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为　
　，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为　
　°；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
15、（2020甘肃天水）为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．
请结合图中的信息，解决下列问题：
（1）此次调查中接受调查的人数为　
　人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为　
　度；
（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．
基础过关
1、（2020内蒙通辽）下列事件中是不可能事件的是（　　）
A．守株待兔
B．瓮中捉鳖
C．水中捞月
D．百步穿杨
2、（2020贵州贵阳）下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3、（2020湖南长沙）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个，下列说法中，错误的是（
）
A.
第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B.
第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球
C.
第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球
D.
第一次摸出的球是红球的概率是；两次摸出的球都是红球的概率是
4、（2020浙江丽水）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是　　
A．
B．
C．
D．
5、（2020浙江绍兴）如图，小球从入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从出口落出的概率是　　
A．
B．
C．
D．
6、（2020四川绵阳）将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
7、（2020四川广元）在如图所示的电路图中，当随机闭合开关,,中的两个时，能够让灯泡发光的概率为________．
8、（2020山东菏泽）从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．
9、（2020重庆B卷）盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是　
　．
10、（2020天津）不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　
　．
11、（2020山东聊城）某校开展读书日活动，小亮和小莹升别从校图书馆的“科技”、“文学”、“
艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是
．
12、（2020宁夏）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是　
　．
13、（2020重庆A卷）现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m，n）在第二象限的概率为　
　．
14、（2020甘肃金昌）在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有　
　个．
15、（2020广西北海）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
40
100
200
400
1000
“射中9环以上”的次数
15
33
78
158
231
801
“射中9环以上”的频率（结果保留小数点后两位）
0.75
0.83
0.78
0.79
0.80
0.80
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是　
　（结果保留小数点后一位）．
16、（2020湖南衡阳）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．
（1）求n的值；
（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．
17、（2020江苏苏州）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同．小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率．
18、（2020贵州贵阳）“2020第二届贵阳市应急科普知识大赛”的比赛中有一个抽奖活动，规则是：准备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手册》《辞海》《辞海》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取卡片上相应的书籍．
（1）在上面的活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率；
（2）再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为，那么应添加多少张《消防知识手册》卡片？请说明理由．
19、（2020江苏淮安）一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母、、，搅匀后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内．
（1）第一次摸到字母的概率为
；
（2）用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“”的概率．
20、（2020内蒙古通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：
（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；
（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．
21、（2020陕西）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；
（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．
22、（2020云南昆明）有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰贏；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？
23、（2020内蒙古鄂尔多斯）“学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下：
1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4
九年级（一）班女生一周复习时间频数分布表
复习时间
频数（学生人数）
1小时
3
2小时
a
3小时
4
4小时
6
（1）统计表中a＝　
，该班女生一周复习时间的中位数为　
　小时；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为　
　°；
（3）该校九年级共有600名学生，通过计算估计一周复习时间为4小时的学生有多少名？
（4）在该班复习时间为4小时的女生中，选择其中四名分别记为A，B，C．，D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中B和D的概率．
能力提升
24、（2020内蒙古通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（　　）
（1）无理数都是无限小数；
（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；
（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；
（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．
A．
B．
C．
D．1
25、（2020山东德州）如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是　
　．
26、（2020山东德州）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：
（1）本次比赛参赛选手共有　
　人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为　
　；
（2）补全图2频数直方图；
（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；
（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．
27、（2020山西）年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．下图是其中的一个统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：图中年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是______亿元；
（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；
（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为，，，，的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为（基站建设）和（人工智能）的概率．
W
G
D
R
X
创新思维
28、（2020湖南邵阳）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（
）
A.
B.
C.
D.
29、（2020福建）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．
（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；
（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；
（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．
已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．
知识回顾
真题在线
分层精练
28.2
概率
一、确定事件和随机事件
1、确定事件
（1）必然事件：一定条件下必然会发生的事件，叫做必然事件.
（2）不可能事件：一定条件下必然不会发生的事件，叫做不可能事件.
2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。
二、概率
1、概率的概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).
注：P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(不确定事件)＜1；
2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率.
3、用列举法求概率：
（1）列表法：当一次实验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，可用列表法求事件发生的概率.
（2）树状图法：当一次实验要涉及两个或更多的因素时，可采用树状图来求事件发生的概率.
（3）几何概型：
三、用频率估计概率
当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.
四.
概率的应用——游戏公平性
判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平.[来源
命题点1、事件分类
1、（2020湖北武汉）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（　　）
A．两个小球的标号之和等于1
B．两个小球的标号之和等于6
C．两个小球的标号之和大于1
D．两个小球的标号之和大于6
解：∵两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3，
∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；
两个小球的标号之和等于6，是随机事件，符合题意；
两个小球的标号之和大于1，是必然事件，不合题意；
两个小球的标号之和大于6，是不可能事件，不合题意；
故选：B．
命题点2、概率的计算
类型一、一步计算概率
2、（2020福建）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为　
　．
解：∵从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，
∴甲被选到的概率为，
故答案为：．
3、（2020广西北海）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
∴它有6种路径，
∵获得食物的有2种路径，
∴获得食物的概率是＝，
故选：C．
4、（2020上海）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是　　．
解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，
取到的数恰好是5的倍数的概率是．
故答案为：．
类型二、两步计算概率
5、（2020北京）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”“2”，除数字外两个小球无其他差别、从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】本题考查的是概率问题。
同学们需要知道简单概率的计算公式，由题可知本题概率应为
6、（2020新疆）四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（　　）
解:分别用A、B、C、D表示正方形、正五边形、正六边形和圆，
画树状图得
∵共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有6种情况，
∴抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为
故选:C.
7、（2020河南）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是　　．
【分析】用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：
共有16种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种，
∴P（两次颜色相同）＝＝，
故答案为：．
8、（2020吉林长春）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）
【解答】解：根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，
则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是．
9、（2020甘肃金昌）2019年甘肃在国际知名旅游指南《孤独星球》亚洲最佳旅游地排名第一．截至2020年1月，甘肃省已有五家国家5A级旅游景区，分别为A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景区；D：敦煌鸣沙山月牙泉景区；E：张掖七彩丹霞景区．张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区游玩．
（1）张帆一家选择E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？
（2）若张帆一家选择了E：张掖七彩丹霞景区，他们再从A，B，C，D四个景区中任选两个景区去旅游，求选择A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率）．
【分析】（1）共有5种可能选择的结果，因此张帆一家选择“E：张掖七彩丹霞景区”只有1种，因此可求出概率；
（2）列表法表示所有可能出现的结果，进而求出概率．
解：（1）共有5种可能选择的结果，因此张帆一家选择“E：张掖七彩丹霞景区”的概率是；
（2）从A，B，C，D四个景区中任选两个景区所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中选择A、D两个景区的有2种，
∴P（选择A、D）＝＝．
类型三、三步计算概率
10、（2020宁夏）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】画出树状图，找出所有的可能情况数以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
解：画树状图如图：
共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个，
∴能构成三角形的概率为＝，
故选：B．
命题点2、几何概型
11、（2020山西）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
连接菱形对角线，设大矩形的长=2a，大矩形的宽=2b，可得大矩形的面积，根据题意可得菱形的对角线长，从而求出菱形的面积，根据“顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形”，可得小矩形的长，宽分别是菱形对角线的一半，可求出小矩形的面积，根据阴影部分的面积=菱形的面积-小矩形的面积可求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大矩形面积之比即可得到飞镖落在阴影区域的概率．
【详解】解：如图，连接EG，FH，
设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
则FH=AD=2a，EG=AB=2b，
∵四边形EFGH是菱形，
∴S菱形EFGH===2ab，
∵M，O，P，N点分别是各边的中点，
∴OP=MN=FH=a，MO=NP=EG=b，
∵四边形MOPN是矩形，
∴S矩形MOPN=OPMO=ab，
∴S阴影=
S菱形EFGH-S矩形MOPN=2ab-ab=ab，
∵S矩形ABCD=ABBC=2a2b=4ab，
∴飞镖落在阴影区域的概率是，
故选B．
【点睛】本题考查了几何概率问题．用到的知识点是概率=相应的面积与总面积之比．
12、（2020江苏苏州）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是　
　．
【分析】若将每个小正方形的面积记为1，则大正方形的面积为16，其中阴影部分的面积为6，再根据概率公式求解可得．
解：若将每个小正方形的面积记为1，则大正方形的面积为16，其中阴影部分的面积为6，
所以该小球停留在黑色区域的概率是＝，
故答案为：．
命题点3、统计与概率组合
13、（2020广东广州）为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄（单位：岁）如下：
甲社区
67
68
73
75
76
78
80
82
83
84
85
85
90
92
95
乙社区
66
69
72
74
75
78
80
81
85
85
88
89
91
96
98
根据以上信息解答下列问题：
（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；
（2）现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率．
【答案】（1）中位数是82，众数是85；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据中位数及众数的定义解答；
（2）列树状图解答即可.
【详解】（1）甲社区老人的15个年龄居中的数为：82，故中位数为82，
出现次数最多的年龄是85，故众数是85；
（2）这4名老人的年龄分别为67,68,66,69岁，分别表示为A、B、C、D，
列树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中2名老人恰好来自同一个社区的有4种，分别为AB，BA，CD，DC，
∴P（这2名老人恰好来自同一个社区）=.
【点睛】此题考查统计知识，会求一组数据的中位数、众数，能列树状图求事件的概率，熟练掌握解题的方法是解题的关键.
14、（2020安徽）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为　60　，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为　108　°；
（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；
（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
【分析】（1）用被调查的职工人数乘以最喜欢A套餐人数所占百分比即可得其人数；再由四种套餐人数之和等于被调查的人数求出C对应人数，继而用360°乘以最喜欢C套餐人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以样本中最喜欢B套餐的人数所占比例即可得；
（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解可得答案．
解：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%＝60（人），
则最喜欢C套餐的人数为240﹣（60+84+24）＝72（人），
∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为360°×＝108°，
故答案为：60、108；
（2）估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为960×＝336（人）；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6，
∴甲被选到的概率为＝．
15、（2020甘肃天水）为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．
请结合图中的信息，解决下列问题：
（1）此次调查中接受调查的人数为　50　人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为　144　度；
（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．
【分析】（1）由非常满意的有18人，占36%，即可求得此次调查中接受调查的人数；
（2）用总人数减去其他满意程度的人数，求出满意的人数，从而补全统计图；
（3）用360°乘以满意的人数所占的百分比即可得出答案；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选择回访市民为“一男一女”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：（1））∵非常满意的有18人，占36%，
∴此次调查中接受调查的人数：18÷36%＝50（人）；
故答案为：50；
（2）此次调查中结果为满意的人数为：50﹣4﹣8﹣18＝20（人）；
（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为：360°×＝144°；
故答案为：144°；
（4）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选择回访市民为“一男一女”的有8种情况，
∴选择回访的市民为“一男一女”的概率为：＝．
基础过关
1、（2020内蒙通辽）下列事件中是不可能事件的是（　　）
A．守株待兔
B．瓮中捉鳖
C．水中捞月
D．百步穿杨
【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，可得答案．
解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；
B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；
C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；
D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；
故选：C．
2、（2020贵州贵阳）下列4个袋子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】各选项袋子中分别共有10个小球，若要使摸到红球可能性最大，只需找到红球的个数最多的袋子即可得出答案．
解：在四个选项中，D选项袋子中红球的个数最多，
所以从D选项袋子中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大，
故选：D．
3、（2020湖南长沙）一个不透明的袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个，下列说法中，错误的是（
）
A.
第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B.
第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球
C.
第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球
D.
第一次摸出的球是红球的概率是；两次摸出的球都是红球的概率是
【答案】A
【解析】
【分析】
根据摸出球的颜色可能出现的情形及概率依次分析即可得到答案.
【详解】A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故错误；
B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故正确；
C、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球，故正确；
D、第一次摸出的球是红球的概率是；
两次摸到球的情况共有（红，红），（红，绿1），（红，绿2），（绿1，红），（绿1，绿1），（绿1，绿2），（绿2，红），（绿2，绿1），（绿2，绿2）9种等可能的情况，两次摸出的球都是红球的有1种，∴两次摸出的球都是红球的概率是，故正确；
故选：A.
【点睛】此题考查了事件的可能性的大小及利用概率的公式、列举法求事件的概率，正确理解题中放回摇匀，明确每次摸出的球的颜色都有可能是解题的关键.
4、（2020浙江丽水）如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是　　
A．
B．
C．
D．
解：共有6张卡片，其中写有1号的有3张，
从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是；
故选：．
5、（2020浙江绍兴）如图，小球从入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从出口落出的概率是　　
A．
B．
C．
D．
解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有、、、四个，
所以小球从出口落出的概率是：；
故选：．
6、（2020四川绵阳）将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：三个不同的篮子分别用A、B、C表示，根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种，
则恰有一个篮子为空的概率为＝．
故选：A．
7、（2020四川广元）在如图所示的电路图中，当随机闭合开关,,中的两个时，能够让灯泡发光的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
分析电路图知：要让灯泡发光，必须闭合，同时,中任意一个关闭时，满足条件，从而求算概率．
【详解】分析电路图知：要让灯泡发光，必须闭合，同时,中任意一个关闭时，满足：
一共有：,,、,、,三种情况，满足条件的有,、,两种，
∴能够让灯泡发光的概率为：
故答案为：．
【点睛】本题考查概率运算，分析出所有可能的结果，寻找出满足条件的情况是解题关键．
8、（2020山东菏泽）从，，，这四个数中任取两个不同的数分别作为，的值，得到反比例函数，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
从，，，中任取两个数值作为，的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负值的基础事件数，按照概率公式求解即可．
【详解】从，，，中任取两个数值作为，的值，其基本事件总数有：
共计12种；
其中积为负值的共有：8种，
∴其概率为：
故答案为：．
【点睛】本题结合反比例函数图象的性质，考查了概率的计算，能准确写出基本事件的总数，和满足条件的基本事件数，是解题的关键．
9、（2020重庆B卷）盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是　
　．
【解答】解：列表如下
1
2
3
1
3
4
2
3
5
3
4
5
由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的有4种结果，
所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为＝，
故答案为：．
10、（2020天津）不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　　．
【解答】解：∵袋子中装有8个小球，其中红球有3个，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．
故答案为：．
11、（2020山东聊城）某校开展读书日活动，小亮和小莹升别从校图书馆的“科技”、“文学”、“
艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是
．
{答案}
{解析}利用画树状图法或列表法求概率．列表如下：
小亮
小莹
科技
文学
艺术
科技
(科技，科技)
(文学，科技)
(艺术，科技)
文学
(科技，文学)
(文学，文学)
(艺术，文学)
艺术
(科技，艺术)
(文学，艺术)
(艺术，艺术)
可知，一共有9种等可能的情况，其中抽到同一类书籍的有3种，
所以P(抽到同一类书籍)＝＝．
12、（2020宁夏）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是　　．
【分析】列表得出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．
解：列表得：
4
5
6
4
9
10
5
9
11
6
10
11
共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种，
∴两次抽出数字之和为奇数的概率为．
故答案为：．
13、（2020重庆A卷）现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m，n）在第二象限的概率为　
　．
解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为3，
所以点P（m，n）在第二象限的概率＝．
故答案为．
14、（2020甘肃金昌）在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有　17　个．
【分析】根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，
∵假设有x个红球，
∴＝0.85，
解得：x＝17，
经检验x＝17是分式方程的解，
∴口袋中有红球约有17个．
故答案为：17．
15、（2020广西北海）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
20
40
100
200
400
1000
“射中9环以上”的次数
15
33
78
158
231
801
“射中9环以上”的频率（结果保留小数点后两位）
0.75
0.83
0.78
0.79
0.80
0.80
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是　0.8　（结果保留小数点后一位）．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
解：根据表格数据可知：
根据频率稳定在0.8，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8．
故答案为：0.8．
16、（2020湖南衡阳）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为．
（1）求n的值；
（2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．请用画树状图或列表的方法进行说明．
【分析】（1）根据摸到白球的概率为，列方程求解即可；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率．
解：（1）由概率的意义可得，
＝，解得，n＝1，
答：n的值为1；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有4种．
∴P（一白一黑）＝，
17、（2020江苏苏州）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字0、1、2，它们除数字外都相同．小明先从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的横坐标，将此球放回、搅匀，再从布袋中任意摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点A的纵坐标．请用树状图或表格列出点A所有可能的坐标，并求出点A在坐标轴上的概率．
【分析】用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
解：用列表格法表示点A所有可能的情况如下：
共有9种可能出现的结果，其中点A在坐标轴上有5种，
∴P（点A在坐标轴上）＝．
18、（2020贵州贵阳）“2020第二届贵阳市应急科普知识大赛”的比赛中有一个抽奖活动，规则是：准备3张大小一样，背面完全相同的卡片，3张卡片的正面所写内容分别是《消防知识手册》《辞海》《辞海》，将它们背面朝上洗匀后任意抽出一张，抽到卡片后可以免费领取卡片上相应的书籍．
（1）在上面的活动中，如果从中随机抽出一张卡片，记下内容后不放回，再随机抽出一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率；
（2）再添加几张和原来一样的《消防知识手册》卡片，将所有卡片背面朝上洗匀后，任意抽出一张，使得抽到《消防知识手册》卡片的概率为，那么应添加多少张《消防知识手册》卡片？请说明理由．
【分析】（1）画出树状图，由概率公式即可得出答案；
（2）设应添加x张《消防知识手册》卡片，由概率公式得出方程，解方程即可．
解：（1）把《消防知识手册》《辞海》《辞海》分别即为A、B、C，
画树状图如图：
共有6个等可能的结果，恰好抽到2张卡片都是《辞海》的结果有2个，
∴恰好抽到2张卡片都是《辞海》的概率为＝；
（2）设应添加x张《消防知识手册》卡片，
由题意得：＝，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解；
答：应添加4张《消防知识手册》卡片．
19、（2020江苏淮安）一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母、、，搅匀后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内．
（1）第一次摸到字母的概率为
；
（2）用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“”的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）用标有字母A的情况数除以总的情况数解答即可；
（2）先画出树状图求出所有等可能的情况数，然后找出两个方格中的字母从左往右恰好组成“”的情况数，再根据概率公式解答．
【详解】解：（1）第一次摸到字母的概率=．
故答案为：；
（2）所有可能的情况如图所示：
由图可知：共有9种等可能的情况，其中两个方格中的字母从左往右恰好组成“”的情况数只有1种，
所以两个方格中的字母从左往右恰好组成“”的概率=．
【点睛】本题主要考查了求两次事件的概率，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握求解的方法是解题的关键．
20、（2020内蒙古通辽）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：
（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；
（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．
【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数，然后根据概率公式计算；
（2）找出取出的3个小球上全是奇数的结果数，然后根据概率公式计算．
解：（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，
所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率＝；
（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，
所以取出的3个小球上全是奇数的概率＝＝．
21、（2020陕西）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；
（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．
【分析】（1）由频率定义即可得出答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的情况，利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率＝＝；
（2）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，
∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率＝＝．
22、（2020云南昆明）有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰贏；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？
【解答】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
（2）由（1）的表格可知，共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种，
∴P（小杰胜）＝＝，P（小玉胜）＝＝，
因此游戏是公平的．
23、（2020内蒙古鄂尔多斯）“学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下：
1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4
九年级（一）班女生一周复习时间频数分布表
复习时间
频数（学生人数）
1小时
3
2小时
a
3小时
4
4小时
6
（1）统计表中a＝　7　，该班女生一周复习时间的中位数为　2.5　小时；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为　72　°；
（3）该校九年级共有600名学生，通过计算估计一周复习时间为4小时的学生有多少名？
（4）在该班复习时间为4小时的女生中，选择其中四名分别记为A，B，C．，D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中B和D的概率．
【分析】（1）由已知数据可得a的值，利用中位数的定义求解可得；
（2）先根据百分比之和等于1求出该班男生一周复习时间为4小时所对应的百分比，再乘以360°即可得；
（3）用总人数乘以样本中一周复习时间为4小时的学生所占比例即可得；
（4）通过树状图展示12种等可能的结果数，找出恰好选中B和D的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）由题意知a＝7，该班女生一周复习时间的中位数为＝2.5（小时），
故答案为：7，2.5；
（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应的百分比为1﹣（10%+20%+50%）＝20%，
∴该班男生一周复习时间为4小时所对应的圆心角的度数为360°×20%＝72°，
故答案为：72；
（3）估计一周复习时间为4小时的学生有600×（+20%）＝300（名）；
答：估计一周复习时间为4小时的学生有300名．
（4）画树状图得：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，恰好选中B和D的有2种结果，
∴恰好选中B和D的概率为P＝＝．
答：恰好选中B和D的概率为．
能力提升
24、（2020内蒙古通辽）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是（　　）
（1）无理数都是无限小数；
（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）；
（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm；
（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°．
A．
B．
C．
D．1
【分析】根据各个小题中的说法可以判断是否为真命题，从而可以得到随机抽取一个是真命题的概率．
解：（1）无理数都是无限小数是真命题，
（2）因式分解ax2﹣a＝a（x+1）（x﹣1）是真命题；
（3）棱长是1cm的正方体的表面展开图的周长一定是14cm是真命题；
（4）弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的半径是240π×2÷20π＝24cm，圆心角为：＝150°，故弧长是20πcm，面积是240πcm2的扇形的圆心角是120°是假命题；
故随机抽取一个是真命题的概率是，
故选：C．
25、（2020山东德州）如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是　　．
【分析】直接利用轴对称图形的性质结合概率求法得出答案．
解：如图所示：当分别将1，2位置涂黑，构成的黑色部分图形是轴对称图形，
故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是：＝．
故答案为：．
26、（2020山东德州）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：
（1）本次比赛参赛选手共有　50　人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为　36%　；
（2）补全图2频数直方图；
（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；
（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．
【分析】（1）用“89.5～99.5”的人数除以它们所占的百分比可得到调查的总人数；59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比，即可得出答案；
（2）求出“69.5～74.5”这一范围的人数为15﹣8＝7（人），“79.5～84.5”这一范围的人数为18﹣8＝10（人）；补全图2频数直方图即可：
（3）求出成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%＝20（人），由88＞84.5，即可得出结论；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）本次比赛参赛选手共有：（8+4）÷24%＝50（人），
“59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为×100%＝10%，
∴79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100%﹣24%﹣10%﹣30%＝36%；
故答案为：50，36%；
（2）∵“69.5～79.5”这一范围的人数为50×30%＝15（人），
∴“69.5～74.5”这一范围的人数为15﹣8＝7（人），
∵“79.5～89.5”这一范围的人数为50×36%＝18（人），
∴“79.5～84.5”这一范围的人数为18﹣8＝10（人）；
补全图2频数直方图：
（3）能获奖．理由如下：
∵本次比赛参赛选手50人，
∴成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%＝20（人），
又∵88＞84.5，
∴能获奖；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，
所以恰好选中1男1女的概率＝＝．
27、（2020山西）年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．下图是其中的一个统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：图中年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是______亿元；
（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；
（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为，，，，的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为（基站建设）和（人工智能）的概率．
W
G
D
R
X
【答案】（1）；（2）甲更关注在线职位增长率，在“新基建”五大细分领域中，年第一季度“基站建设”在线职位与年同期相比增长率最高；乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在年预计投资规模最大；（3）
【解析】
【分析】
(1)根据中位数的定义判断即可．
(2)根据图象分析各个优势,表达出来即可．
(3)利用列表法或树状图的方法算出概率即可．
【详解】(1)将数据从小到大排列:100,160,200,300,300,500,640,中位数为:．
故答案为:300
(2)解：甲更关注在线职位增长率，在“新基建”五大细分领域中，年第一季度“基站建设”在线职位与年同期相比增长率最高；
乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在年预计投资规模最大
(3)解：列表如下：
第二张第一张
或画树状图如下：
由列表(或画树状图)可知一共有种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中抽到“”和“”的结果有种．
所以，(抽到“”和“”)．
【点睛】本题考查统计图的数据分析及概率计算,关键在于从图像中获取有用信息．
创新思维
28、（2020湖南邵阳）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：
，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，解得．
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
29、（2020福建）为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．
（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；
（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；
（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．
已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．
解：（1）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的1000户家庭中，家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数为：
1000×＝120；
（2）根据题意，可估计该地区尚未脱贫的家庭2019年家庭人均年纯收入的平均值为：
×（1.5×6+2.0×8+2.2×10+2.5×12+3.0×9+3.2×5）
＝2.4（千元）；
（3）根据题意，得，
2020年该地区农民家庭人均月纯收入的最低值如下：
由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收入不低于：
500+300+150+200+300+450+620+790+960+1130+1300+1470
＞960+1130+1300+1470＞4000．
所以可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实现全面脱贫．
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