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专题复习提升训练卷9.5正方形的性质与判定-20-21苏科版八年级数学下册
一、选择题
1、下列命题中，正确的是（ ）.
A.有一组邻边相等的四边形是菱形 B.对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C.两组邻角相等的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
2、平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是 (　　)
A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角形互相垂直平分
3、如图所示，在正方形ABCD的内部，作等边三角形BCE，则∠AEB的度数为(　 　)
A.60° ???B.65°? ??C.70° ??D.75°

(4) (6) (7)
4、如图,在正方形ABCD外侧作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为 (　　)
A.45° ?B.55°? C.60°? .75°
5、已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是(　　)
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
6、如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为（　　）
A.2﹣2 B.﹣1 C.﹣1 D.2﹣
7、如图，在正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BED的度数为( )
A．105° B．120° C．135° D．150°
8、如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.
下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN=BD；③＋=. 其中正确的有( 　　)
A.0个? B.1个? C.2个 ? D.3个

(9) (10) (11)
9、如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论：
（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF． 其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10、如图正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为( )
A.6?????? B.8?????? C.10????? D.12
11、如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝　 　．
12、如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　）
A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形
B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形 C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形
D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形
二、填空题
13、如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为　 　．

(14) (15) (16)
14、如图三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1,O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是　　?
15、如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，连接GH，则线段GH的长为　 　．
16、如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG. 现在有如下四个结论：①∠EAG=45°；②FG=FC；③FC∥AG；④S△GFC=14.
其中结论正确的序号是____.
17、如图，已知正方形ABCD的边长为7，点E，F分别在AD、DC上，AE＝DF＝3，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　 　．

(18) (19) (20)
18、如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB=4，
则阴影部分的面积是_________.
19、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BA，P是CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R．则：（1）DE=　　　　　　；（2）PQ+PR=　　　　　　．
20、已知正方形OABC在直角坐标系中的位置如图,若点A的坐标为(1,3),则点C的坐标为　　　　　.?
21、已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝　 　．

(22)
22、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转，在旋转过程中，当CF=DE时，
∠DOF的大小是_____.
三、解答题
23、如图，正方形AEFG 的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD 上，点F在正方形ABCD的内部，连接BF，DF.求证：BF=DF.
24、如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求BG的长.

25、已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF=BP=CQ=DE.
求证：（1）EF=FP=PQ=QE；
（2）四边形EFPQ是正方形.

26、如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，AB上，且AE＝BF，连接CE，DF相交于点M．
（1）当∠ADF＝36°时，∠DCE＝　 　°；
（2）判断CE，DF的位置关系，并证明．
27、四边形ABCD为矩形,G是AB上的任意一点,CE⊥DG于点E.
(1)如图①,若AB=BC,AF∥CE,且交DG于点F,求证:DF-AF=EF;
(2)如图②,若AB=BC,G是AB的中点,求的值.

28、如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在对角线BD上，DE＝2，连接CE，过点E作EF⊥CE，交线段AB于点F
（1）求证：CE＝EF；
（2）求FB的长；
29、如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，
且有BM=DM＋CD.
（1）求证：点F是CD边的中点；
（2）求证：∠MBC=2∠ABE.

30、如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH.
(1)求证：GF＝GC；
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
31、（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．
（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．
32、如图，正方形ABCD中，E是CD边的中点，F是BC边上一点，∠FAE＝∠DAE．
（1）求证：AF＝AD+CF；
（2）已知正方形ABCD的边长为4．
①求AF之长；
②若P是AE上一点，且△DEP是等腰三角形，则线段EP的长为　　 ．
专题复习提升训练卷9.5正方形的性质与判定-20-21苏科版八年级数学下册（答案）
一、选择题
1、下列命题中，正确的是（ D ）.
A.有一组邻边相等的四边形是菱形 B.对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C.两组邻角相等的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
2、平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是 (　　)
A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角形互相垂直平分
解析： A.只有矩形、正方形的对角线相等,故本选项错误;
平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分,故本选项正确;
C.只有菱形、正方形的对角线互相垂直,故本选项错误;
D.只有菱形、正方形的对角线互相垂直平分,故本选项错误. 故选B.
3、如图所示，在正方形ABCD的内部，作等边三角形BCE，则∠AEB的度数为(　D 　)
A.60° ???B.65°? ??C.70° ??D.75°

4、如图,在正方形ABCD外侧作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为 (　C　)
A.45° ?B.55°? C.60°? .75°

5、已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法,其中错误的是(　　)
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
解析： 添加①可得平行四边形ABCD是菱形, 添加②可得平行四边形ABCD是矩形,
添加③可得平行四边形ABCD是矩形,添加 ④可得平行四边形ABCD是菱形,
所以选②③不能使得平行四边形ABCD是正方形. 故选B
6、如图，已知正方形ABCD边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长为（　C　）
A.2﹣2 B.﹣1 C.﹣1 D.2﹣

7、如图，在正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BED的度数为( C )
A．105° B．120° C．135° D．150°

8、如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.
下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN=BD；③＋=. 其中正确的有( 　D　)
A.0个? B.1个? C.2个 ? D.3个

9、如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论：
（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF． 其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°．
∵CE＝DF，∴AF＝DE．
在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE．∴AE＝BF，故（1）正确．
∵△ABF≌△DAE，∴∠AFB＝∠AED．
∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AFB+∠DAE＝90°，∴∠AOF＝90°，即AE⊥BF，故（2）正确．
∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△ADE．
∴S△AOB＝S△ABF﹣S△AOF，S四边形DEOF＝S△ADE﹣S△AOF，即∴S△AOB＝S四边形DEOF．
如图所示：过点E作EG⊥AB，则EG＝AD．
∵HE＞OE，GE＞HE，∴GE＞OE．∴AD＞OE，故（3）错误．
故选：B．

10、如图正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为(C )
A.6?????? B.8?????? C.10????? D.12

11、如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝　 　．
解：连接CF，∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，
∴GF＝GB＝5，BC＝7，∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，∴＝13．
∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN＝＝．故答案为：．

12、如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　　）
A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形
B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形
C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形
D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形
解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．
∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），
∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，
∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC，
∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，
∵∠BAC＝90°，∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
∵四边形ADEG是平行四边形，∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；
C、∵四边形ADEG是平行四边形，∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．
∵AD＝AB，
∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；
D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，
即平行四边形ADEG是平行四边形，
∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，∴四边形ADEG是正方形，
即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
二、填空题
13、如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为　 　．
解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．
∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠CED＝∠BFC＝90°．
∵ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°．∴∠DCE+∠BCF＝90°．
又∵∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠BCF．
在△CDE和△BCF中，∴△CDE≌△BCF（AAS），∴BF＝CE＝2．
∵CF＝1，∴BC2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面积为5．故答案为：5．

14、如图三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1,O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是　2　?

15、如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，连接GH，则线段GH的长为　 　．
解：如图，延长BG交CH于点E，
在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，
∵AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，AB＝5，∴AG2+BG2＝AB2，∴∠AGB＝∠CHD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，
又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，
在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE＝AG＝4，CE＝BG＝3，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝4﹣3＝1，
同理可得HE＝1， 在Rt△GHE中，GH＝＝＝，
故答案为：．

16、如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AG. 现在有如下四个结论：①∠EAG=45°；②FG=FC；③FC∥AG；④S△GFC=14.
其中结论正确的序号是__①③___.

17、如图，已知正方形ABCD的边长为7，点E，F分别在AD、DC上，AE＝DF＝3，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　 　．
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，
在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，∴∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，
又∵BC＝CD＝7，DF＝3，∠C＝90°，∴CF＝4，∴BF＝＝＝，
∴GH＝，故答案为：．
18、如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB=4，
则阴影部分的面积是___8_______.
19、如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BA，P是CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R．则：（1）DE=　　　　　　；（2）PQ+PR=　　　　　　．
解：（1）∵边长为1的正方形ABCD，∴DB=，∴DE=﹣1；
（2）连接BP，过C作CM⊥BD，如图所示：∵BC=BE，
∴S△BCE=S△BPE+S△BPC=BC×PQ+BE×PR=BC×（PQ+PR）=BE×CM， ∴PQ+PR=CM，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，CD=BC=1，∠CBD=∠CDB=45°，∴BD=，
∵BC=CD，CM⊥BD，∴M为BD中点，∴CM=BD=， 即PQ+PR值是．
故答案为：；．

20、已知正方形OABC在直角坐标系中的位置如图,若点A的坐标为(1,3),则点C的坐标为　　　　　.?

解析： 如图,过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,则∠OAD+∠AOD=90°.
∵四边形OABC是正方形,∴OA=CO,∠AOC=90°,∴∠COE+∠AOD=90°,∴∠OAD=∠COE,
在△AOD和△OCE中,∴△AOD≌△OCE(AAS),∴OE=AD=3,CE=OD=1.
∵点C在第二象限,∴点C的坐标为(-3,1). 故答案为(-3,1).

21、已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝　 　．
解：如图作FH∥BC交BD于点H．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°
∵FH∥BC，∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，∴∠OHF＝∠OFH，
∴OH＝OF＝1，FH＝＝，
∵BF平分∠OBC，∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，∴BH＝FH＝，
∴OB＝OC＝1+，∴BC＝OB＝2+． 故答案为2+．

22、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转，在旋转过程中，当CF=DE时，
∠DOF的大小是_____.
答案：165°或15°
三、解答题
23、如图，正方形AEFG 的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD 上，点F在正方形ABCD的内部，连接BF，DF.求证：BF=DF.
证明：（1）∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
?? ∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°，
?? ∵BE=AB－AE，DG=AD－AG，∴BE= DG，
?? 在△BEF与△DGF中,, ∴△BEF≌△DGF.???? ∴BF=DF.
24、如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求BG的长.
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AD=AB.
由折叠的性质可知AD=AF，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF，∴∠AFG=∠B=90°.
又∵AG=AG，∴△ABG≌△AFG(HL).
(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG.
设BG=FG=x，则GC=6－x.
∵ E为CD的中点，∴ CE=DE=EF=3，∴ EG=x+3.
在Rt△ECG中，EC2+GC2=EG2，即32+(6-x)2=(x+3)2，解得x=2. ∴ BG的长为2.
25、已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF=BP=CQ=DE.
求证：（1）EF=FP=PQ=QE；
（2）四边形EFPQ是正方形.

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∵AF=BP=CQ=DE，∴DF=CE=BQ=AP，
在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），∴EF=FP=PQ=QE；
（2）∵EF=FP=PQ=QE，∴四边形EFPQ是菱形，
∵△APF≌△BQP，∴∠AFP=∠BPQ，
∵∠AFP+∠APF=90°，∴∠APF+∠BPQ=90°，
∴∠FPQ=90°，∴四边形EFPQ是正方形.
26、如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，AB上，且AE＝BF，连接CE，DF相交于点M．
（1）当∠ADF＝36°时，∠DCE＝　 　°；
（2）判断CE，DF的位置关系，并证明．
【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD＝AB，∠CDE＝∠DAF＝90°，
又∵AE＝BF，∴DE＝AF，
在△CDE和△DAF中，，∴△CDE≌△DAF（SAS），∴∠DCE＝∠ADF，
∵∠ADF＝36°，∴∠DCE＝36°，故答案为：36；
（2）CE，DF的位置关系互相垂直，
证明：由（1）知∠DCE＝∠ADF，
∵∠ADF+∠MDC＝∠CDE＝90°，∴∠DCE+∠MDC＝90°，
∴∠DMC＝90°，∴CE⊥DF，即CE，DF的位置关系互相垂直．
27、四边形ABCD为矩形,G是AB上的任意一点,CE⊥DG于点E.
(1)如图①,若AB=BC,AF∥CE,且交DG于点F,求证:DF-AF=EF;
(2)如图②,若AB=BC,G是AB的中点,求的值.

解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,AB=BC,∴四边形ABCD是正方形,∠ADC=90°,
∴AD=DC,∠CDE+∠ADF=90°.
∵CE⊥DG,AF∥CE,∴∠CED=∠CEF=∠DFA=90°.
∵∠DAF+∠ADF=90°,∴∠CDE=∠DAF,
∴△AFD≌△DEC(AAS),∴AF=DE, ∴DF-AF=DF-DE=EF.
(2)延长DG,CB相交于点H,如图.
∵四边形ABCD是矩形,AB=BC,∴四边形ABCD是正方形,∴AD=AB=BC.
∵G是AB的中点,∴AG=BG,∴,
在△ADG和△BHG中,∴△ADG≌△BHG(ASA),∴AD=BH.
∵AD=BC,∴BH=BC,即B是CH的中点.
∵CE⊥DG,∴∠CEH=90°,即△CEH是直角三角形,
∴BE=CH=BC,∴BE=AB,∴

28、如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在对角线BD上，DE＝2，连接CE，过点E作EF⊥CE，交线段AB于点F
（1）求证：CE＝EF；
（2）求FB的长；
【解析】（1）过E作EM⊥AB于M，EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM＝∠HBE＝45°，∴EM＝EH，
∵∠EMB＝∠MBH＝∠BHE＝90°，∴∠MEH＝90°，
∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠MEF＝∠CEH，∴△EMF≌△EHC（ASA），∴CE＝EF；
（2）∵AB＝6，∴BD＝6，
∵DE＝2，∴BE＝BD﹣DE＝4，∴BM＝BH＝4，∴AM＝CH＝2，
∵△EMF≌△EHC，∴FM＝CH＝2，∴BF＝AB﹣AM﹣MF＝6﹣2﹣2＝2；
29、如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，
且有BM=DM＋CD.
（1）求证：点F是CD边的中点；
（2）求证：∠MBC=2∠ABE.

解：（1）∵正方形ABCD，∴AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，
∵AF⊥BE，∴∠AOE=90°，∴∠EAF+∠AEB=90°，∠EAF+∠BAF=90°，∴∠AEB=∠BAF，
∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∴∠AEB=∠AFD，
∵∠BAD=∠D，AB=AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE=DF，
∵E为AD边上的中点，∴点F是CD边的中点；
（2）延长AD到G.使MG=MB.连接FG，FB，
∵BM=DM+CD，∴DG=DC=BC，
∵∠GDF=∠C=90°，DF=CF，∴△FDG≌△FCB（SAS），∴∠DFG=∠CFB，∴B，F，G共线，
∵E为AD边上的中点，点F是CD边的中点，AD=CD，∴AE=CF，
∵AB=BC，∠C=∠BAD=90°，AE=CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF，
∵AG∥BC，∴∠AGB=∠CBF=∠ABE，
∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE，∴∠MBC=2∠ABE.

30、如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A，B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH.
(1)求证：GF＝GC；
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
证明：(1)如图①，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，
∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，
∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL)，∴GF＝GC　
(2)BH＝AE，
理由：如图②，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，
由(1)知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ADC＝90°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，
∴2∠2＋2∠3＝90°，∴∠2＋∠3＝45°，即∠EDG＝45°，
∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，
∴DE＝EH，∠AED＋∠BEH＝∠AED＋∠1＝90°，∴∠1＝∠BEH，
在△DME和△EBH中，∴△DME≌△EBH，
∴EM＝BH，在Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，∴EM＝AE，∴BH＝AE

31、（1）如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边AB、BC上，∠EDF＝45°，连接EF，求证：EF＝AE+FC．
（2）如图②，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EDF＝45°，猜想EF、AE、FC的数量关系，并说明理由．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，
如图①：延长BA，使AM＝CF，连接MD，
在△AMD和△CFD中，，∴△AMD≌△CFD（SAS），
∴∠MDA＝∠CDF，MD＝DF，
∵∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°，∴∠ADM+∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠EDF，
在△EDF和△EDM中，，∴△EDF≌△EDM（SAS），∴EF＝EM，
∵EM＝AM+AE＝AE+CF，∴EF＝AE+CF；
（2）EF2＝AE2+CF2，
理由如下：如图②，将△CDF绕点D顺时针旋转90°，可得△ADN，
由旋转的性质可得DN＝DF，AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°，∠CDF＝∠ADN，
∴∠CAN＝∠CAD+∠DAN＝90°，∴EN2＝AE2+AN2，
∵∠EDF＝45°，∴∠CDF+∠ADE＝45°，∴∠ADE+∠ADN＝45°＝∠NDE＝∠EDF，
在△EDF和△EDN中，，∴△EDF≌△EDN（SAS），
∴EF＝EN，∴EF2＝AE2+CF2．

32、如图，正方形ABCD中，E是CD边的中点，F是BC边上一点，∠FAE＝∠DAE．
（1）求证：AF＝AD+CF；
（2）已知正方形ABCD的边长为4．
①求AF之长；
②若P是AE上一点，且△DEP是等腰三角形，则线段EP的长为　　 ．
【解析】（1）证明：如图1，过E点作EG⊥AF，垂足为G，连接EF，
（也可延长AE、BC交于P，用全等和等腰三角形知识解决），
∵EG⊥AF，∴∠EGF＝∠AGE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠D＝90°，
在△AGE和△ADE中， ,∴△AGE≌△ADE（AAS），∴AD＝AG，GE＝DE，
∵E是CD边的中点，∴CE＝DE，∴GE＝CE，
在Rt△EGF和Rt△ECF中，, ∴Rt△EGF≌Rt△ECF（HL），∴GF＝CF，
∵AF＝AG+GF，∴AF＝AD+CF；
（2）解：①设CF＝x，则BF＝4﹣x，AF＝4+x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，∴42+（4﹣x）2＝（4+x）2，解得：x＝1，
∴AF＝4+x＝4+1＝5；
②分三种情况：
i）如图2，PD＝DE，过D作DG⊥AE于G，∴EP＝2EG，
Rt△ADE中，AD＝4，DE＝2，∴AE==2，∴S△ADE=ADDE=AEDG，
即×4×2=×2×DG， ∴DG==，
由勾股定理得：EG==， ∴EP＝2EG=；
ii）如图3，EP＝DE＝2；
iii）如图4，PD＝PE，过P作PM⊥DE于M，则DM＝EM，
∵AD⊥CD，PM⊥DE，∴AD∥PM，∴AP＝PE， ∵AE＝2，∴EP=，
综上，EP的长是2或或

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