资源简介

(共56张PPT)
第一章　集合、常用逻辑用语、不等式
§1.2　常用逻辑用语
考试要求
1.通过实例，理解全称量词命题与存在量词命题的意义，能正确对
两种命题进行否定.
2.通过典型数学命题，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；
理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，
理解数学定义与充要条件的关系.
主干梳理　
基础落实
题型突破　
核心探究
课时精练
内容
索引
ZHUGANSHULI
JICHULUOSHI
主干梳理
基础落实
1
1.全称量词与存在量词
(1)全称量词：“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，并用符号“
”表示.
(2)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，并用符号“
”表示.
知识梳理
?
?
2.全称量词命题与存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
将含有变量x的语句用r(x)，s(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示
对集合M中的所有元素x，r(x)成立
存在集合M中的元素x，s(x)成立
简记
____________
____________
否定
?x∈M，綈r(x)
，綈s(x)
?x∈M，r(x)
?x∈M，s(x)
?x∈M
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的　　条件，q是p的　　条件
p是q的　　　　　条件
p?q且q?p
p是q的必要不充分条件
___________
p是q的充要条件
_____
p是q的　　　　　　　　条件
p?q且q?p
充分
必要
充分不必要
p?q且q?p
p?q
既不充分也不必要
1.若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，当p是q的充分条件时，集合A与B之间有什么样的关系？若p是q的必要不充分条件，集合A与B之间有什么样的关系？
提示　当p是q的充分条件时，A?B；
当p是q的必要不充分条件时，B?A.
微思考
2.怎样判断存在量词命题为真命题，全称量词命题为假命题？
提示　要判定存在量词命题“?x∈M，s(x)”为真命题，只需在M中找到一个x，使s(x)成立；要判定全称量词命题“?x∈M，r(x)”为假命题，只需在M中找到一个x，使r(x)不成立.
题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(　　)
(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.(　　)
(3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题.(　　)
(4)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.(　　)
√
√
√
×
基础自测
2.(多选)下列命题是真命题的是
A.?x∈R，x2－x＋1>0
B.?x∈R，sin
x＝2
C.存在一个无理数，它的平方是有理数
D.平面内，到A，B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上
√
√
√
题组二　教材改编
3.“a>b”是“ac2>bc2”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
解析　当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，
所以a>b?ac2>bc2，
当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，
所以ac2>bc2?a>b，
即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件.
4.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是______________________
_________________.
存在一个等边三角形，
它不是等腰三角形
题组三　易错自纠
5.设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析　由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.
√
6.命题“?x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是______.
解析　①当a＝0时，1>0恒成立，∴a＝0满足条件，
[0,4)
综上，0≤a<4.
TIXINGTUPO
HEXINTANJIU
2
题型突破
核心探究
命题点1　含量词命题的否定
例1　“?x∈R，x＋1≤3x”的否定是
A.?x∈R，x＋1>3x
B.?x∈R，x＋1≤3x
C.?x∈R，x＋1≥3x
D.?x∈R，x＋1≥3x
题型一　全称量词与存在量词
多维探究
√
解析　“?x∈R，x＋1≤3x”的否定为“?x∈R，x＋1>3x”.
命题点2　含量词命题的真假判断
例2　(多选)下列命题是真命题的是
A.?a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数
B.?x∈R，函数y＝sin
x＋cos
x＋
的值恒为正数
C.?x∈R，x4D.?x∈R，x2－2x＋1≤0
√
√
解析　当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；
当x＝0时，x4＝x5，故C为假命题；
x2－2x＋1＝(x－1)2，当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故D为真命题.
命题点3　含量词命题的应用
例5　若命题p：“?x∈R，x2－mx－m≤0”为假命题，则实数m的取值范围是________.
解析　方法一　若p为真命题，即?x∈R，x2－mx－m≤0，
∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≥0或m≤－4，
∴当p为假命题时－4方法二　∵p为假命题，
∴綈p：?x∈R，x2－mx－m>0为真命题，
即Δ＝m2＋4m<0，∴－4(－4,0)
(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.
(2)判定全称量词命题“?x∈M，r(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明r(x)成立；要判定存在量词命题“?x∈M，s(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使s(x)成立即可.
(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题，即p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围.
思维升华
跟踪训练1　(1)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为
A.所有正方形都不是平行四边形
B.有的平行四边形不是正方形
C.有的正方形不是平行四边形
D.不是正方形的四边形不是平行四边形
解析　“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形.
√
(2)下列命题为假命题的是
A.?x∈R,2x－1>0
B.?x∈N
，(x－1)2>0
C.?x∈R，lg
x<1
D.?x∈R，tan
x＝2
√
解析　当x∈N
时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当x＝1时取等号，故B不正确；
易知A，C，D正确，故选B.
(3)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝
－m，若对?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使
得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是__________.
解析　当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
例4　(1)已知p：
<1，q：log2x<0，则p是q的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
由log2x<0知0显然(0,1)?(0，＋∞)，
所以p是q的必要不充分条件.
题型二　充分、必要条件的判定
师生共研
(2)“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
解析　若a>2，b>2，则a＋b>4，ab>4.
当a＝1，b＝5时，满足a＋b>4，ab>4，但不满足a>2，b>2，
所以a＋b>4，ab>4?a>2，b>2，
故“a>2，b>2”是“a＋b>4，ab>4”的充分不必要条件.
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
思维升华
跟踪训练2　(1)已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析　当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，
当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，
则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件.
√
(2)设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析　若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，
则2λ(1－λ)－6(λ－1)＝0，
解得λ＝1或λ＝－3，
经检验λ＝1或λ＝－3时两直线平行，故选A.
√
例5　已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围.
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴A＝{x|－2≤x≤10}.
由x∈A是x∈B的必要条件，知B?A.
∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，
即所求m的取值范围是[0,3].
题型三　充分、必要条件的应用
师生共研
引申探究
若将本例中条件改为“若x∈A是x∈B的必要不充分条件”，求m的取值范围.
解　由x∈A是x∈B的必要不充分条件，知B?A，
解得0≤m≤3或0≤m<3，∴0≤m≤3，
故m的取值范围是[0,3].
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
思维升华
跟踪训练3　(1)(多选)使
≥1成立的一个充分不必要条件是
A.0B.0C.x<2
D.0依题意由选项组成的集合是(0,2]的真子集，故选AB.
√
√
(2)若关于x的不等式|x－1|A.(－∞，1]
B.(－∞，1)
C.(3，＋∞)
D.[3，＋∞)
解析　|x－1|因为不等式|x－1|所以(0,4)?(1－a,1＋a)，
√
KESHIJINGLIAN
3
课时精练
1.已知命题p：“?x∈R，ex－x－1≤0”，则綈p为
A.?x∈R，ex－x－1≥0
B.?x∈R，ex－x－1>0
C.?x∈R，ex－x－1>0
D.?x∈R，ex－x－1≥0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础保分练
√
解析　根据全称量词命题与存在量词命题的否定关系，可得綈p为“?x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
2.“x<0”是“ln(x＋1)<0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　由ln(x＋1)<0?0即－1故“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是
A.所有奇数的立方都不是奇数
B.不存在一个奇数，它的立方是偶数
C.存在一个奇数，它的立方是偶数
D.不存在一个奇数，它的立方是奇数
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.已知命题p：?x∈(0,1)，ex－a≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是
A.a>1
B.a≥e
C.a≥1
D.a>e
解析　∵綈p：?x∈(0,1)，ex－a<0为真命题，
∴a≥e.
√
5.若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“a＋ln
a>b＋ln
b”成立的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设f(x)＝x＋ln
x，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∵a>b，∴f(a)>f(b)，
∴a＋ln
a>b＋ln
b，充分性成立；
∵a＋ln
a>b＋ln
b，
∴f(a)>f(b)，∴a>b，必要性成立，
故“a>b”是“a＋ln
a>b＋ln
b”成立的充要条件，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)下列命题为假命题的是
A.?x∈R，ln(x2＋1)<0
B.?x>2,2x>x2
C.?α，β∈R，sin(α－β)＝sin
α－sin
β
D.?x∈(0，π)，sin
x>cos
x
√
√
√
解析　∵x2＋1≥1，∴ln(x2＋1)≥ln
1＝0，故A为假命题；
当x＝4时，2x＝x2，故B为假命题；
当α＝β＝0时，sin(α－β)＝0＝sin
α－sin
β，故C为真命题；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.(多选)下列说法正确的是
A.“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件
B.“
”是“aC.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A?B
D.“a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要条件
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　A项，ac＝bc不能推出a＝b，比如a＝1，b＝2，c＝0，而a＝b可以推出ac＝bc，所以“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故错误；
C项，因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以x∈A可以推出x∈B，即A?B，故正确；
D项，an>bn(n∈N，n≥2)不能推出a>b>0，比如a＝1，b＝0,1n>0n(n∈N，n≥2)满足，但是a>b>0不满足，所以必要性不满足，故错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.(多选)下列四个命题中，为假命题的是
A.?x∈(0,1)，2x＝
B.“?x∈R，x2＋x－1>0”的否定是“?x∈R，x2＋x－1<0”
C.“函数f(x)在(a，b)内f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)内单调递增”的充要
　条件
D.已知f(x)在x0处存在导数，则“f′(x0)＝0”是“x0是函数f(x)的极值点”
　的必要不充分条件
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于B，“?x∈R，x2＋x－1>0”的否定是“?x∈R，x2＋x－1≤0”，B不正确；
对于C，“函数f(x)在(a，b)内f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)内单调递增”的充分条件，C不正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于D，因为f(x)在x0处存在导数，根据极值点的定义可知，“x0是函数f(x)的极值点”可以推出“f′(x0)＝0”，
但是“f′(x0)＝0”不一定可以推出“x0是函数f(x)的极值点”，
比如函数f(x)＝x3在x＝0处有f′(0)＝0，
但是x＝0不是函数f(x)的极值点，D正确.
9.设a，b是两个平面向量，则“a＝b”是“|a|＝|b|”的___________条件.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
充分不必要
解析　由向量的相关定义知a＝b?|a|＝|b|，|a|＝|b|?a＝b，
故“a＝b”是“|a|＝|b|”的充分不必要条件.
10.(2021·青岛二中检测)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
－11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11.已知命题p：?x∈R，x2－a≥0；命题q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为____________.
(－∞，－2]
解析　由命题p为真，得a≤0，
由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
12.已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是
，则m的取值
范围是________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　解不等式|x－m|<1，得m－11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
技能提升练
13.(2021·辽宁省沈阳二中模拟)已知命题“?x∈R，使2x2＋(a－1)x＋
≤0”是假命题，则实数a的取值范围是
A.(－∞，－1)
B.(－1,3)
C.(－3，＋∞)
D.(－3,1)
解析　因为命题“?x∈R，使2x2＋(a－1)x＋
≤0”是假命题，
所以2x2＋(a－1)x＋
>0恒成立，
所以Δ＝(a－1)2－4×2×
<0，
解得－1√
14.(多选)下列结论正确的是
A.?x∈(0,1)，
>
B.?x∈(0，＋∞)，x>sin
x
C.命题“?x∈M，f(x)g(x)＝0”的否定是“?x∈M，f(x)≠0且g(x)≠0”
D.“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的充分不必要条件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
√
解析　当x＝
时，
＝1，
＝
<
＝1，故A正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
令f(x)＝x－sin
x，x∈(0，＋∞)，
∴f′(x)＝1－cos
x≥0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)>f(0)＝0，即x－sin
x>0，即x>sin
x，故B正确.
“?x∈M，f(x)g(x)＝0”的否定是“?x∈M，f(x)g(x)≠0”，
又f(x)g(x)≠0，等价于f(x)≠0且g(x)≠0，故C正确.
若a·b<0，则cos〈a，b〉<0，则〈a，b〉为钝角或180°，
若〈a，b〉为钝角，则a·b<0，
故“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件，故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓展冲刺练
15.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“?x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝___.
0
解析　“?x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”的否定是?x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0，
依题意：命题?x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0为真命题，
故函数y＝f(x)，x∈(a，b)为奇函数，
∴a＋b＝0，∴f(a＋b)＝f(0)＝0.
16.若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，?x1∈[－1,2]，?x0∈[－1,2]，使
g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是______.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1,2]上的值域分别为A，B，
则A＝[－1,3]，B＝[－a＋2,2a＋2]，
本课结束

展开更多......

收起↑