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(共67张PPT)
第一章　集合、常用逻辑用语、不等式
§1.3　等式性质与不等式性质
考试要求
1.掌握等式的性质.
2.会比较两个数(式)的大小.
3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
主干梳理　
基础落实
题型突破　
核心探究
课时精练
内容
索引
ZHUGANSHULI
JICHULUOSHI
主干梳理
基础落实
1
一、等式的性质
1.等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，那么
；这里的a，b，c可以是具体的一个数，也可以是一个代数式.
2.等式两边同时乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立，用公式表示：如果a＝b，那么
，
(c≠0).
知识梳理
a±c＝b±c
ac＝bc
二、比较两个实数(代数式)大小
作差法的理论依据：
a>b?
；
a＝b?
；
a.
a－b>0
a－b＝0
a－b<0
三、不等式的性质和推论
1.不等式的性质
性质
别名
内容
性质1
可加性
a>b?a＋c
b＋c
性质2
可乘性
a>b，c>0?ac
bc
性质3
a>b，c<0?ac
bc
性质4
传递性
a>b，b>c?____
性质5
对称性
a>b?b>
>
<
a>c
2.不等式的推论
推论
别名
内容
推论1
移项法则
a＋b>c?a>c－b
推论2
同向不等式相加
a>b，c>d?__________
推论3
同向不等式相乘
a>b>0，c>d>0?______
推论4
可乘方性
a>b>0?
(n∈N，n>1)
推论5
可开方性
a＋c>b＋d
ac>bd
an>bn
微思考
题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(　　)
(2)若a>b，则ac>bc.(　　)
(3)若
>1，则a>b.(　　)
(4)若
>0，则b>a>0.(　　)
√
√
×
×
基础自测
题组二　教材改编
2.若M＝(x－3)2，N＝(x－2)(x－4)，则有
A.M>N
B.M≥N
C.MD.M≤N
√
解析　因为M－N＝(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1>0，
所以M>N.
3.若a>b>0，c√
解析　∵c又0ac，
>
题组三　易错自纠
5.(多选)下列命题为真命题的是
A.若a>b>0，则ac2>bc2
B.若aab>b2
C.若a>b>0且c<0，则
D.若a>b且
，则ab<0
√
√
√
解析　当c＝0时，不等式不成立，∴A中命题是假命题；
∴D中命题是真命题，故选BCD.
6.已知－1解析　∵－3∴－5<－b<3，
又－1∴－6(－6,5)
TIXINGTUPO
HEXINTANJIU
2
题型突破
核心探究
例1　(1)若a<0，b<0，则p＝
与q＝a＋b的大小关系为
A.pB.p≤q
C.p>q
D.p≥q
√
题型一　比较两个数(式)的大小
师生共研
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q<0，故p综上，p≤q.
A.aB.cC.cD.b√
易知当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
因为e<3<4<5，
所以f(3)>f(4)>f(5)，
即c(3)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为__________.
eπ·πe比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
思维升华
跟踪训练1　(1)若a，b为正数，且a≠b，则a3＋b3____a2b＋ab2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)
解析　(a3＋b3)－(a2b＋ab2)
＝a3－a2b＋b3－ab2
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b).
∵a>0，b>0且a≠b，
∴(a－b)2>0，a＋b>0，
∴(a－b)2(a＋b)>0，
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
>
M>N
∴M>N.
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2
020)>f(2
021)，
即M>N.
例2　(1)(多选)下列命题正确的是
A.若a>b，c>d，则a－d>b－c
B.若a>b，c>d，则a－c>b－d
C.若a>b，c>d，则ac>bd
√
√
题型二　不等式的基本性质
师生共研
解析　对于A，∵c>d，∴－d>－c，又a>b，∴a－d>b－c，故A正确；
对于B，当a＝1，b＝0，c＝1，d＝0时，a－c＝b－d，故B错误；
对于C，取4>－2，－1>－3，则4×(－1)<(－2)×(－3)，故C不正确，
对于D，∵a>b>c>0，∴a－c>a－b>0，
又b>c>0，
√
√
B中，因为b－a>0.
故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；
D中，因为ba2>0，而y＝ln
x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln
b2>ln
a2，故D错误.
判断不等式的常用方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.
(2)利用特殊值法排除错误答案.
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较.
思维升华
跟踪训练2　(1)若2m>2n，则下列结论一定成立的是
A.
B.m|m|>n|n|
C.ln(m－n)>0
D.πm－n<1
解析　∵2m>2n，
可取m＝2，n＝1，可得ACD不成立.
√
(2)(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是
√
√
√
解析　因为y＝
在(0，＋∞)上单调递增，所以
<
；
当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不成立.
例3　(1)已知－1(－4,2)
(1,18)
解析　∵－1∴－4由－1∴1<3x＋2y<18.
题型三　不等式性质的综合应用
师生共研
(2)已知3的取值范围是_______.
解析　∵4又3引申探究
若将本例(1)中条件改为－1解　设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
又∵－1求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.
思维升华
√
解析　因为a>b>c,2a＋b＋c＝0，
所以a>0，c<0，b＝－2a－c，
因为a>b>c，
将b＝－2a－c代入b>c中，得－2a－c>c，
又β<α，∴α－β>0，
KESHIJINGLIAN
3
课时精练
1.若a，b都是实数，则“
－
>0”是“a2－b2>0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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基础保分练
√
2.已知非零实数a，b满足aA.a2B.ab2C.
D.
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解析　若ab2，故A不成立；
√
由不等式的性质知，C正确.
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3.如果x＋y<0，且y>0，那么下列不等式成立的是
A.y2>x2>－xy
B.x2>y2>－xy
C.x2<－xyD.x2>－xy>y2
√
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解析　x2－y2＝(x－y)(x＋y)，
∵x＋y<0且y>0，∴x<0，
∴x－y<0，
∴x2－y2>0，∴x2>y2，
又xy＋y2＝y(x＋y)，
∵x＋y<0，y>0，
∴y(x＋y)<0，∴y2<－xy.
又x2＋xy＝x(x＋y)>0，
∴x2>－xy，综上，x2>－xy>y2.
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A.M>N
B.MC.M＝N
D.不能确定
√
5.(多选)已知cA.ab>ac
B.c(b－a)>0
C.cb2D.ac(a－c)<0
√
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解析　由c0且c<0，b的正负不确定，
由b>c且a>0知ba>ca，故A一定成立；
∵b－a<0且c<0，∴c(b－a)>0，故B一定成立；
当b＝0时，cb2＝ab2＝0，故C不一定成立；
又a－c>0且ac<0，∴ac(a－c)<0，故D一定成立.
√
√
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6.(多选)有外表一样，重量不同的六个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，e，f，已知a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，a＋b＋fA.b>c>f
B.b>e>f
C.c>e>f
D.b>e>c
√
√
√
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解析　因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，
所以e－c>c－e，所以e>c，
又因为a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋f所以c－f
>f－c，所以c>f，
所以e>c>f，所以C错误；
又因为a＋e所以b>e>c，b>e>f，b>c>f
均成立，所以ABD正确.
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7.已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M____N(填“>”“<”或“＝”)
>
解析　M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，故M>N.
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8.已知非零实数a，b满足a>b，则下列结论正确的是______(填序号).
①
；②a3>b3；③2a>2b；④ln
a2>ln
b2.
②③
由函数y＝x3，y＝2x的单调性可知，②③正确；
当a＝1，b＝－1时，ln
a2＝ln
b2＝ln
1＝0，故④不正确.
9.实数a，b，c，d满足下列三个条件：
①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d那么a，b，c，d的大小关系是_________.
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b>d>c>a
解析　由题意知d>c①，②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得a由②式a＋b＝c＋d及a要使②成立，必须b>d⑤成立，
综合①④⑤式得到b>d>c>a.
10.若0，2ab，a2＋b2从小到大排列为
__________________.
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方法二　∵01
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∴(a2＋b2)－b＝[(1－b)2＋b2]－b＝2b2－3b＋1＝(2b－1)(b－1)<0，
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∵a＋b>0，(a－b)2≥0，
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证明　∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.
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技能提升练
13.(多选)若0c>1，则
√
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这与0c>1矛盾，故错误.
对于C，∵0∵b>c>1，∴ca－1>ba－1，故错误.
对于D，∵0c>1，
∴logca14.(2021·辽宁省六校联考)有3个房间需要粉刷，粉刷方案为：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xA.ax＋by＋cz
B.ay＋bx＋cz
C.ay＋bz＋cx
D.az＋by＋cx
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√
解析　由x所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)>0，
故ax＋by＋cz>az＋by＋cx；
同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)<0，
故ay＋bz＋cx因为az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)<0，
故az＋by＋cx故最低费用为az＋by＋cx.
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拓展冲刺练
15.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为
A.aB.b≤cC.bD.b√
解析　c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，
又b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，
两式相减得2b＝2＋2a2即b＝1＋a2，
∴b>a，∴a16.观察以下运算：
1×5＋3×6>1×6＋3×5，
1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.
(1)若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明.
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解　成立，证明如下：
∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，
又a1≤a2，b1≤b2，∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，即a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1.
(2)若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).
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解　a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b3.
本课结束

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