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《点阵中的规律》教学设计
成都市新都区繁江小学 袁琼
教学内容：北师大版小学数学第九册P82—83
教学目标：
1、通过活动，使学生了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律，体验数形结合和化新为旧的数学思想。
2、培养学生的观察、比较、分析和解决问题方法的能力。
3、通过此活动，提高学生建立数学模型的兴趣，培养学生的空间想象能力
教学重点：让学生通过观察点阵（数学模型）前后的变化与联系找出其变化规律。
教学难点：寻找多种解决问题的方法，让学生体验数形结合和化新为旧的数学思想。
教学用具：课件、点阵图，学生题卡。
教学过程：
1、 新课导入
师：我们学过很多图形，认识这个图形吗？（课件出示一个圆点）
师：点，是最基本的图形。由点可以组成线，点也可以组成一些图案。数学研究中我们可以把一些物体看成点，比如：把每个士兵看作一个点，把每个座位看成一个点（课件出示阅兵式和座位图）
师：像这样把点按一定顺序排列起来的图形叫点阵。（板书：点阵）
师：我们也学过了许多数，现在老师来考考你们，这列数有什么共同的特征？
（课件出示题）
（1 引导连续的奇数；②引导都是3的倍数；③师：上面两列数的特征比较明显，看来要找这列数的特征有些困难，不过没有关系）
二、初步探究
1、师：其实早在 2300年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯（课件出示头像）就已经研究过这列数。（板书：数 1 4 9 16）你们知道他是怎么研究的？
他就是用点把这些数摆成点阵来研究的。（边说边贴图1个点，4个点……边说：用1个点表示1，摆成第1个点阵，用4个点表示4，摆成第2个点阵……）(板书① ② ③ ④ )这节课我们就来重温数学家的发现之旅，一起来研究点阵中的规律。（板书课题）
2．师：这些点阵是什么图形？（正方形）
师：那我们来观察这些正方形点阵，你能用算式表示每个点阵的点子数吗？
生：
师：第5个点阵有多少个点呢？用算式表示？你能想到第5个点阵是怎样的？
生说：个点。每排5个点，有5排，（贴出第5个点阵在黑板上）。
师引导：也就是说横着看，一排有5个点，有5排，一共有个点（同时课件出示第5幅图）
师引导：如果竖着看呢？每列有？个，有？列。共有多少个点？怎么列式？
看来横竖看25都可以用同样的算式表示。（板书：横竖看，）
师：那其他的点阵通过横竖看的方式也可以用相同的算式表示点子数吗？
师：观察每个算式你有什么发现？（想一想每个算式和点阵的序号有什么关系？）（课件出示问题）
生1：序号是几，算式就是几乘几。（点明）
生2：序号与乘数相同。 （乘数就是序数）
师：那第6个点阵的点子数用算式表示该怎么写？第10个点阵呢？写得完吗？我们该怎么办/我们可以用字母代替数。第N个点阵呢？
生：
师：可以简写为n2 所以这些数我们又称它为平方数（板书：n2 平方数）。
师：通过横竖看的方式，毕达哥拉斯也发现了这些数的共同特征，可以表示相同数相乘，第几个点阵就是几乘几但他并不满足。他想：如果换一种观察方式，这些数会不会还有别的特征呢？
想一想换一个角度还可以怎么观察？
生：斜着看。 （课件动态斜行出现）（板书：斜着看）
师：还可以这样拐弯看。（课件动态演示）（板书：拐弯看）
师：根据两种观察方式，你能用不同的算式表示这个点子数25吗？
生汇报师板书
3、师：根据两种观察方式，你能用不同的算式表示其它的点子数吗？
生独立完成习题卡1
师指名两人板演（注意提醒学生字写大一些）
全班交流
斜着看发现的点阵的规律并完善板书
拐弯看发现的点阵的规律并完善板书
4、师：（指着黑板）你们看，这些平方数，既可以表示为相同数相乘，也可以表示为从1开始的连续自然数加到序号有加回到1，还可以表示为连续奇数相加的形式等等，（三种规律用等号连接）但哪一种形式最简洁？
比比看谁算的又对又快：1+2+3+……+49+50+49+……+3+2+1=
1+2+3+……（课件）
生：
师： 你们太历害了！把这么复杂的算式一下就算出来，说说看你是怎么想的？
生：这两个算式都是每边有50个点的正方形点阵，所以就有个点子。
（如学生直接用上面的规律回答，师应说：对，你能利用刚才发现的规律来解决问题是，然后启发学生思考：看到这个算式，你能想到它是一个什么样的点阵？）
师：毕达哥拉斯就是这样善于把数和形结合起来思考，这种方法叫数形结合。（板书数形结合）
5、三角形点阵的探究。
师：毕达哥拉斯用数形结合的方法还研究了这列数的特征。（课件出示，观察点阵的规律，画出下一个图形，并用算式表示点子数，看看有什么发现。也就是教科书P83的试一试第2题）
生独立在教科书P83上完成要求。
师：第5个三角形点阵是这样画的吗？（课件出示）
有多少个点？
生：15个点
生全般交流第2小问用算式表示每个点阵的点子数。（课件动态出现4个点阵及相应的算式）
师：观察每个算式你有什么发现？
生1；这列数都可以表示为连续的自然数相加。
生2；第几个点阵就加到几
师；第5个点阵用算式表示点子数？第6个呢？第N个呢？
三、深入探究。
1、今天我们沿着毕达哥拉斯的探究足迹，利用了正方形和三角形点阵通过寻找点阵中的规律,发现了一些数的特征。(板书完课题)其实生活中还有其他的点阵，这是什么图形的点阵？接下来我们就一起来研究一下长方形点阵中的规律。（课件出示）
生独立完成题卡2
展示学生成果并汇报。
你是怎么观察的？有什么发现？
2、最后展示：拐弯看，如第3个点阵用1+3+5+3表示
发现前面的式子是刚才正方形点阵研究过的连续奇数加。
而表示这些点数的图形就是刚才的正方形，现在是多了1列。
所以长方形点阵可以分开看成1个正方形加1列（板书：分开看）。
所以，除了刚才的三种观察方式，我们还可以换一种思维方式：分开看。添着看。（课件出示：添成一个正方形再减1列）
我们可以把长方形点阵转化成我们学过的正方形点阵，化新为旧（板书：化新为旧），充分利用已有的知识来解决新问题。
3、有人说：换一个观察角度，你能看到不同的风景。
换一种思维方式，你可以得到更多意想不到的收获。
这节课你有什么收获
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北师大版五年级数学上册
新都区繁江小学数学教研组
●
点阵
这列数有什么共同特征？
①、1，3，5，7，……
②、3，6，9，12， ……
③、1，4，9，16， ……
毕达哥拉斯
古希腊哲学家、数学家
（想一想：每个算式的乘数和点阵的序号有什么关系？）
观察每个算式，你有什么发现？
25 =1+2+3+4+5+4+3+2+1
25 =1+3+5+7+9
斜着看
拐弯看
根据这两种观察方式，你能用不同的算式表示
点子数25吗？
序号 点阵图 点的
个数 试着用算式来表示点阵中点的个数
斜着看 拐弯看
① 1
② 4
③ 9
④ 16
⑤ 25
… … … … … … …
n2
1+2+3+4+5+4+3+2+1
1+2+3+4+3+2+1
1+2+3+2+1
1+2+1
1
2
1
3
4
5
1+3+5+7
1+3+5+7+9
1+3+5
1+3
1
n
1+2+3+…+n+…+3+2+1
1+3+5+…
n个奇数
1+2+3+……+50+……+3+2+1
1+3+5+……
50个奇数
=50X50
=2500
15
3
6
1＋2＋3＋4　10
第n个点阵： 1+2+3+……+n
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
2
6
12
20
观察下列点阵，先分一分，再用算式表示点子数。
试着用算式来表示点阵中点的个数
点的
个数
点阵图
序号
①
②
③
④
2
6
12
20
n
① ② ③ ④
分开看
添着看
① ② ③ ④
观察下图中已有的几个图形，按规律画出下一图形。

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