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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题01
集合与常用逻辑用语
（测试时间：90分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·浙江高三期中）设全集，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·全国高三专题练习）设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．（2020·浙江高三月考）已知集合，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·安徽滁州市·高二期中）已知定义在R上的函数周期为T（常数），则命题“”的否定是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·浙江高三其他模拟）已知，集合，则集合=（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·浙江高三月考）已知，条件：，条件：，则是的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2020·浙江高三期中）“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2020·浙江省宁海中学高三月考）设集合A，B，C满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·济南市·高三模拟）已知集合，则集合（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2021·浙江绍兴市·高三期末）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题：本大题共7小题，共36分。
11．（2020·浙江宁波市·高三期中）已知集合，，则______.（用集合的描述法表示）
12．（2020·浙江高三其他模拟）已知集合．若，则__________；若，则实数的取值范围是___________．
13．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是______，若，则实数的取值范围是______.
14．（2020·江苏苏州市·苏州中学高三其他模拟）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|
n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：
①2
014∈[4]；
②－3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确的结论是________．
15．（2020·北京高考模拟）设全集，非空集合，满足以下条件：
①，；
②若，，则且
当时，______（填或），此时中元素个数为______.
16．（2020·浙江省宁海中学高三月考）记为集合S的元素个数，为集合S的子集个数，若集合A，B，C满足：①；②，则的最大值是____________.
17．（2020·浙江高三专题练习）设集合，在S上定义运算为：，其中k为被4除的余数，i，，1，2，3，则满足关系式的x（）的个数为________.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2020·重庆市江津中学校高三期中）已知，集合，函数的定义域为.（1）若，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.
19．（2020·江苏省响水中学高三月考）设函数的定义域为，函数
的值域为．（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
20．（2020·扬州市新华中学高三月考）记函数的定义域、值域分别为集合A，B.
（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
21．（2020·浙江）设，.（Ⅰ）解不等式：；
（Ⅱ）若p是q成立的必要不充分条件，求m的取值范围.
22．（2020·浙江高三专题练习）设集合，，；（1）求，；（2）若，求由实数为元素所构成的集合．
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题01
集合与常用逻辑用语
（测试时间：90分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·浙江高三期中）设全集，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为全集
，，故选：B.
2．（2020·全国高三专题练习）设集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|x+y＝1}，则A∩B中元素的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下：
可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2.
故选：C．
3．（2020·浙江高三月考）已知集合，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意可得，.故选：B.
4．（2020·安徽滁州市·高二期中）已知定义在R上的函数周期为T（常数），则命题“”的否定是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】命题“，”是全称命题，
命题的否定是特称命题“，”故选：．
5．（2020·浙江高三其他模拟）已知，集合，则集合=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：根据题意：
或1或2或3，
所以根据题意得：.故选：D.
6．（2020·浙江高三月考）已知，条件：，条件：，则是的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若，则有，因此有，故；
反之，若，当其中有负数时，不成立，故是的必要不充分条件.故选：B
7．（2020·浙江高三期中）“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】解：由，得，所以，
反之，当时，，满足，但不满足，所以由不能得出．
∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．
8．（2020·浙江省宁海中学高三月考）设集合A，B，C满足，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：当满足，但不满足选项A,B,C;
，故选项D正确；
9．（2020·济南市·高三模拟）已知集合，则集合（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因，所以，故，又，
，则，
故集合.故选：D.
10．（2021·浙江绍兴市·高三期末）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【详解】由，可得
因为等价于或，
且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．
（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；
（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．
综上所求或，即，故，故选：D．
二、填空题：本大题共7小题，共36分。
11．（2020·浙江宁波市·高三期中）已知集合，，则______.（用集合的描述法表示）
【答案】
【详解】时，，；时，，，
，．故答案为：，．
12．（2020·浙江高三其他模拟）已知集合．若，则__________；若，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【详解】解:当时，，故．
当时，，由，得，解得,
故答案为:
;．
13．（2020·浙江省杭州第二中学高三期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是______，若，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】，，
若则，若，则,所以.故答案为：，.
14．（2020·江苏苏州市·苏州中学高三其他模拟）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|
n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：
①2
014∈[4]；
②－3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确的结论是________．
【答案】①③④
【详解】在①中，∵2014÷5＝402…4，∴2014∈[4]，故①正确；
在②中，∵﹣3＝5×（﹣1）+2，∴﹣3?[3]，故②错误；
在③中，∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，∴Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，③正确；
在④中，∵2015÷5＝403，2010÷5＝402，∴2015与2010属于同一个“类”[0]，④正确．答案①③④．
15．（2020·北京高考模拟）设全集，非空集合，满足以下条件：
①，；
②若，，则且
当时，______（填或），此时中元素个数为______.
【答案】
18
【详解】（1）因为，；所以，有且只有一个成立，
若，对于任一个，1·，与若，，则矛盾，
所以，不成立，只有；
（2）因为，所以，，
若，则与矛盾，所以，，由，可得：，
同理，
若，因为，所以，，与矛盾，所以，，
因为，所以，，
，可推得：，
若，由，可得：，与矛盾，所以，，
所以，，
若，由，可得：，与矛盾，所以，，
所以，，所以，，
，共有18个．
16．（2020·浙江省宁海中学高三月考）记为集合S的元素个数，为集合S的子集个数，若集合A，B，C满足：①；②，则的最大值是____________.
【答案】2019
【详解】设，则，
即得，所以，
（1）若，，所以左边是偶数，右边是奇数不合，
（2）若，，所以左边是偶数，右边是奇数不合，故，
而，①若，则，
②若，则，
所以的最大值为2019，时取最大值.
17．（2020·浙江高三专题练习）设集合，在S上定义运算为：，其中k为被4除的余数，i，，1，2，3，则满足关系式的x（）的个数为________.
【答案】2
【详解】当时，
当时，
当时，
当时，
则满足关系式的的个数为：2个．故答案为：2．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2020·重庆市江津中学校高三期中）已知，集合，函数的定义域为.（1）若，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
令，即
（1）∵，∴且，即；
（2）由题知是的真子集，故且，即.
19．（2020·江苏省响水中学高三月考）设函数的定义域为，函数
的值域为．（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）由，解得：，，
又函数在区间上单调递减，，即，
当时，，；
（2）首先要求，而“”是“”的必要不充分条件，
，即，，，从而，解得：．即
20．（2020·扬州市新华中学高三月考）记函数的定义域、值域分别为集合A，B.
（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）时，，由得，即，
由得，∴；
（2）“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，若，
则由得，即，与（1）类似得，不合题意，
若，则，即，满足题意，
若，则，，，满足题意．
综上的取值范围是．
21．（2020·浙江）设，.（Ⅰ）解不等式：；
（Ⅱ）若p是q成立的必要不充分条件，求m的取值范围.
【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）
【详解】（Ⅰ）当，不等式显然成立,
当时，不等式可化为，即,
当时，不等式可化为，由于
则当时，不等式可化为恒成立
综上，不等式的解集为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令p的解集为A，即，q的解集为B，由题意知,
方程的两根为和3m,
当时，即，，显然成立,
当时，即，，显然成立,
当时，即，，要使成立,
则，即,综上.
22．（2020·浙江高三专题练习）设集合，，；（1）求，；（2）若，求由实数为元素所构成的集合．
【答案】（1），；（2）
【详解】（1），
，
（2），
当时，此时，符合题意
当时，，此时
，；解得：
综上所述：实数为元素所构成的集合
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题01
集合与常用逻辑用语
【考纲解读与命题趋势】?
浙江新高考中对于集合与简易逻辑这章内容相比以前有所删减，删除了命题及其关系和逻辑联结词内容，留下集合及其运算、充分条件与必要条件、全称量词与存在量词内容，下面就对这几方面的内容进行解读。
集合
1）.集合的概念与表示，多与不等式的解集等结合确定集合中的元素或元素个数,明确集合中的元素是点集还是数集，明确元素的特征意义.
2）.判断集合间的关系，确定给定集合子集的个数.解题时注意两个方面：给定集合的元素是什么；集合的元素间有何关系.
3）.集合的交、并、补运算，新定义题，多与不等式、函数等结合命题..
趋势：以选择题的第1题或第2题的形式主要考查集合的基本运算，与不等式结合的可能性比较大。.
充分条件与必要条件及量词
充要条件及量词在往年的高考中经常出现，其中山东自主命题几乎每年都考，全国卷I偶尔出现，分值控制在5～10分。从题目的难易度来看属于中等偏下的难度，多以选择题的形式出现，偶尔有填空题，整体考察不是很多。
趋势：仍然会以充要条件或量词的否定形式出现，选择题的可能性比较大，填空题也有可能，但出一个题的可能性大。
【知识梳理】
1.元素与集合
（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
（4）常见数集及其符号表示
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A.
(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.
(3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B.
(4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为CUA
图形表示
集合表示
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x?A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(CUA)＝?，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.
特别提醒:
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
2.子集的传递性：A?B，B?C?A?C.
3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?CUA?CUB.
4.
CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).
5.
充分条件与必要条件
（1）若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若p?q，且qp，则p是q的充分不必要条件；
（3）若pq且q?p，则p是q的必要不充分条件；
（4）若p?q，则p是q的充要条件；
（5）若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
5.
全称量词与存在量词
全称命题与特称命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
（2）含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
【考点突破】
考点一
集合的基本概念
【经典例题】
例1.(2018课标II理2)已知集合，则中元素的个数为
（
）
A．9
B．8
C．5
D．4
【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略
(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.
(2)根据元素与集合的关系求参数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
(3)集合中的元素与方程有关时注意一次方程和一元二次方程的区别.
【变式探究】
1．（2020·沙坪坝区·重庆八中高三其他模拟）若集合，则A中的元素个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（2020·湖南衡阳市·高三二模（理））已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江高三模拟）已知，若集合中的元素有且仅有2个，则实数的取值范围为________．
【领悟技法】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性
考点二：集合间的基本关系
【经典例题】
1．（2021·山东高三专题练习）已知集合，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．
(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
【变式探究】
1．（2020·上海大学附属中学高三三模）设集合，，若，则实数_____
2．（2020·浙江杭州市·高三期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·全国高三其他模拟）设集合，，则下列关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
考点三：集合的基本运算
【经典例题】
例3．（2020·浙江高考真题）已知集合P=，，则PQ=（
）
A．
B．
C．
D．
【变式探究】
1．（2020·海南高考真题）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2）
A．{x|2B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4}
D．{x|12．（2020·天津高考真题）设全集，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
3.
（2021.八省联考）已知均为的子集，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【规律方法】如何解集合运算问题
(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.
(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决.
(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.
(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.
考点四：利用集合的运算求参数
【经典例题】
1．（2021·山东高三专题练习）已知集合，则实数取值为（
）
A．
B．
C．
D．
【方法规律】
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
【变式探究】
1．（2020·浙江高三其他模拟）设集合，且，则实数的可能取值组成的集合是（
）.
A．
B．
C．
D．
2.（2020·上海高三三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是________
3．（2020·全国高三专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
考点五：集合的新定义问题
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）设集合S，T，SN
，TN
，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT；②对于任意x，yT，若x下列命题正确的是（
）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
【方法技巧】解决集合新定义问题的方法
(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用.
(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的.
【变式探究】
1．（2020·上海市行知中学高三开学考试）定义：若对非空数集中任意两个元素、，实施“加减乘除”运算（如、、、），其结果仍然是P中的元素，则称数集是一个“数域”.下列四个命题：①有理数集是数域；②若有理数集，则数集是数域；③数域必是无限集；④存在无穷多个数域；上述命题错误的序号是_________.
2．（2020·浙江高三专题练习）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中：
①；②；③；④
以0为聚点的集合有______．
3．（2021·山东高三专题练习）对于给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，a－b∈M，则称集合M为F集合，则下列说法中正确的有（
）
A．集合M＝{1，0，－1}为F集合
B．有理数集为F集合
C．集合M＝{x│x＝2k，k∈Z}为F集合
D．若集合A，B为F集合，则A∪B为F集合
【方法技巧】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
考点六
充要条件的判定
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【规律方法】
充要关系的几种判断方法
(1)定义法：若
，则是的充分而不必要条件；若
，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件；
若
，则是的既不充分也不必要条件.
(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3)
集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
【变式探究】
1．（2020·天津高考真题）设，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2020·北京高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（
）．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3.（2019年高考浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4”是
“ab≤4”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
考点七
充分条件与必要条件的应用
【经典例题】
1．（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高三期中）复数为纯虚数的一个必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．或
D．或
【规律方法】
1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“?”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．
【变式探究】
1．（2021·安徽合肥市·高三期末）已知函数，则不等式成立的一个充分不必要条件为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·安徽宿州市·高三期末）已知条件，条件.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·河北唐山市·高三期中）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【特别警示】根据充要条件求解参数范围的方法及注意点
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．
考点八
全称量词与存在量词
【经典例题】
1．（2021·湖北黄冈市·高二期末）马克吐温是美国著名的幽默讽刺作家，他的小说揭露和讽刺了美国社会的一些黑暗现象．他曾痛骂美国国会“有些议员是笨蛋”，因此被要求道歉，否则被控告诽谤罪．于是马克吐温登报表示歉意并纠正道：美国国会“有些议员不是笨蛋”．请问“有些议员不是笨蛋”的否定是（
）
A．有些议员是笨蛋
B．每个议员都是笨蛋
C．每个议员都不是笨蛋
D．有些议员不是笨蛋
【规律方法】
1．全称命题真假的判断方法
（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
4．常见词语的否定形式有：
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p(x)真
否定形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
存在x0∈A使p(x0)假
【变式探究】
1．（2021·长沙市·湖南师大附中高三期末）命题“，”的否定形式为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
2．（2021·江苏宿迁市·高一期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·贵州省思南中学高二期末（理））命题“存在，使”的否定是（
）
A．存在，使
B．不存在，使
C．对于任意的，都有
D．对于任意，都有
4．（2020·山东高三专题练习）给出下列说法：
①“”是“”的充分不必要条件；
②定义在上的偶函数的最大值为30；
③命题“”的否定形式是“”．
其中正确说法的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【易错提醒】
1．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．
3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题01
集合与常用逻辑用语
【考纲解读与命题趋势】?
浙江新高考中对于集合与简易逻辑这章内容相比以前有所删减，删除了命题及其关系和逻辑联结词内容，留下集合及其运算、充分条件与必要条件、全称量词与存在量词内容，下面就对这几方面的内容进行解读。
集合
1）.集合的概念与表示，多与不等式的解集等结合确定集合中的元素或元素个数,明确集合中的元素是点集还是数集，明确元素的特征意义.
2）.判断集合间的关系，确定给定集合子集的个数.解题时注意两个方面：给定集合的元素是什么；集合的元素间有何关系.
3）.集合的交、并、补运算，新定义题，多与不等式、函数等结合命题..
趋势：以选择题的第1题或第2题的形式主要考查集合的基本运算，与不等式结合的可能性比较大。.
充分条件与必要条件及量词
充要条件及量词在往年的高考中经常出现，其中山东自主命题几乎每年都考，全国卷I偶尔出现，分值控制在5～10分。从题目的难易度来看属于中等偏下的难度，多以选择题的形式出现，偶尔有填空题，整体考察不是很多。
趋势：仍然会以充要条件或量词的否定形式出现，选择题的可能性比较大，填空题也有可能，但出一个题的可能性大。
【知识梳理】
1.元素与集合
（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
（2）集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
（4）常见数集及其符号表示
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
或N＋
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A.
(2)真子集：若A?B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.
(3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B.
(4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为CUA
图形表示
集合表示
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x?A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(CUA)＝?，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.
特别提醒:
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.
2.子集的传递性：A?B，B?C?A?C.
3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B?CUA?CUB.
4.
CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).
5.
充分条件与必要条件
（1）若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）若p?q，且qp，则p是q的充分不必要条件；
（3）若pq且q?p，则p是q的必要不充分条件；
（4）若p?q，则p是q的充要条件；
（5）若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
5.
全称量词与存在量词
全称命题与特称命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．
（2）含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
【考点突破】
考点一
集合的基本概念
【经典例题】
例1.(2018课标II理2)已知集合，则中元素的个数为
（
）
A．9
B．8
C．5
D．4
【答案】A
【详解】方法一：
当时，；当时，；当时，；
所以共有9个，故选：A.
方法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.
【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略
(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.
(2)根据元素与集合的关系求参数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
(3)集合中的元素与方程有关时注意一次方程和一元二次方程的区别.
【变式探究】
1．（2020·沙坪坝区·重庆八中高三其他模拟）若集合，则A中的元素个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【详解】由得，解得，
又，所以，所以中有4个元素．故选：B．
2．（2020·湖南衡阳市·高三二模（理））已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由，可得：
，所以，又因，所以，选：D
3．（2020·浙江高三模拟）已知，若集合中的元素有且仅有2个，则实数的取值范围为________．
【答案】
【详解】，
当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
集合中有且仅有两个元素等价于不等式有且仅有两个整数解，
函数的图象关于直线对称，
又，，，，，
作出函数的图象，如图所示，由图知，要使有两个整数解，则.
故答案为：.
【领悟技法】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性
考点二：集合间的基本关系
【经典例题】
1．（2021·山东高三专题练习）已知集合，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】由题意可知：，集合，代表所有的偶数，代表所有的整数，
所以，即．故选：BD．
【方法技巧】(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．
(2)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
【变式探究】
1．（2020·上海大学附属中学高三三模）设集合，，若，则实数_____
【答案】0，2
【详解】集合，，若，则且，
所以或，故答案为：0，2
2．（2020·浙江杭州市·高三期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令，即，解得，
则，，；故选：D.
3．（2020·全国高三其他模拟）设集合，，则下列关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，所以，
，所以或，所以.
故选：C
【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
考点三：集合的基本运算
【经典例题】
例3．（2020·浙江高考真题）已知集合P=，，则PQ=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
故选：B
【变式探究】
1．（2020·海南高考真题）设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2）
A．{x|2B．{x|2≤x≤3}
C．{x|1≤x<4}
D．{x|1【答案】C
【详解】
故选：C
2．（2020·天津高考真题）设全集，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意结合补集的定义可知：，则.故选：C.
3.
（2021.八省联考）已知均为的子集，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解法一：,，据此可得.故选：B.
解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，
矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合，
矩形区域CDFG表示集合N，满足，
结合图形可得：.故选：B.
【规律方法】如何解集合运算问题
(1)看元素构成:集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.
(2)对集合化简:有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决.
(3)应用数形结合:常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.
(4)创新性问题:以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.
考点四：利用集合的运算求参数
【经典例题】
1．（2021·山东高三专题练习）已知集合，则实数取值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】解：由，得或，所以，因为，所以，
当时，方程无解，则，
当时，即，方程的解为，
因为，所以或，解得或，
综上，或，或，故选：ABD
【方法规律】
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
【易错警示】在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．
【变式探究】
1．（2020·浙江高三其他模拟）设集合，且，则实数的可能取值组成的集合是（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】显然，当时，，满足
当时，，满足
当时，，满足
所以的值可以为1,2,3.故选：A
2.（2020·上海高三三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是________
【答案】
【解析】集合，，
若，则、有公共元素，所以故答案为：
3．（2020·全国高三专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：，，且
所以，当时，解得；
当时，解得故选：B
考点五：集合的新定义问题
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）设集合S，T，SN
，TN
，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT；②对于任意x，yT，若x下列命题正确的是（
）
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
【答案】A
【详解】首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项
C；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若，
则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.故A正确.故选：A.
【方法技巧】解决集合新定义问题的方法
(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用.
(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的.
【变式探究】
1．（2020·上海市行知中学高三开学考试）定义：若对非空数集中任意两个元素、，实施“加减乘除”运算（如、、、），其结果仍然是P中的元素，则称数集是一个“数域”.下列四个命题：①有理数集是数域；②若有理数集，则数集是数域；③数域必是无限集；④存在无穷多个数域；上述命题错误的序号是_________.
【答案】②
【详解】解：根据题意，由数域的定义可知，对于①，从有理数集中任取两个有理数、，
则、、、都是有理数，故有理数是数域，故命题①正确；
对于②，已知有理数集，若,则,
此时数集不是数域，故命题②错误；
对于③，设数域，(假设)，则，则，
同理，故数域必为无限集，所以命题③正确；
对于④，形如为无理数这样的数集都是数域，
故存在无穷多个数域，所以命题④正确，所以上述命题错误的序号是：②.故答案为：②.
2．（2020·浙江高三专题练习）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中：
①；②；③；④
以0为聚点的集合有______．
【答案】②③
【详解】由题意，集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，①对于某个，比如，
此时对任意的，都有或者，
也就是说不可能，从而0不是的聚点；
②集合，对任意的，都存在（实际上任意比小得数都可以），
使得，∴0是集合的聚点；
③集合中的元素是极限为0的数列，
对于任意的，存在，使，∴0是集合的聚点；
④中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在的时候，不存在满足得的，
∴0不是集合的聚点．故答案为：②③．
3．（2021·山东高三专题练习）对于给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，a－b∈M，则称集合M为F集合，则下列说法中正确的有（
）
A．集合M＝{1，0，－1}为F集合
B．有理数集为F集合
C．集合M＝{x│x＝2k，k∈Z}为F集合
D．若集合A，B为F集合，则A∪B为F集合
【答案】BC
【详解】对于A选项，，所以不是集合.
对于B选项，由于有理数加上或减去有理数，所得结果还是有理数，所以有理数集为集合.
对于C选项，偶数与偶数的和或差，所得结果还是偶数，所以偶数集为集合.
对于D选项，，由C知为集合.
的整数倍的和或差，所得结果还是的整数倍，所以为集合.
由于，但，所以不是集合.故选：BC
【方法技巧】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
考点六
充要条件的判定
【经典例题】
1．（2020·浙江高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.故选：B
【规律方法】
充要关系的几种判断方法
(1)定义法：若
，则是的充分而不必要条件；若
，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件；
若
，则是的既不充分也不必要条件.
(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3)
集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件
【变式探究】
1．（2020·天津高考真题）设，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2020·北京高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（
）．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】(1)当存在使得时，若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选：C.
3.（2019年高考浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4”是
“ab≤4”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选A.
考点七
充分条件与必要条件的应用
【经典例题】
1．（2020·浙江杭州市·杭州高级中学高三期中）复数为纯虚数的一个必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【详解】当复数为纯虚数时，
，解得：，所以复数为纯虚数的一个必要不充分条件是或；故选：D.
【规律方法】
1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“?”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．
【变式探究】
1．（2021·安徽合肥市·高三期末）已知函数，则不等式成立的一个充分不必要条件为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】可得的定义域为，和都是增函数，是定义在的增函数，
，是奇函数，
则不等式化为，
，解得，则不等式成立的充分不必要条件应是的真子集，
只有B选项满足.故选：B.
2．（2021·安徽宿州市·高三期末）已知条件，条件.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由可得，即；
由可得，即；
若是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件，
因此是的真子集，所以，解得.故选：A.
3．（2021·河北唐山市·高三期中）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为“不等式在上恒成立”，
所以当时，原不等式为在上不是恒成立的，
所以，所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得.
A选项是充要条件，不成立；B选项中，不可推导出，B不成立；
C选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确；D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，D不正确.故选：C.
【特别警示】根据充要条件求解参数范围的方法及注意点
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误．
考点八
全称量词与存在量词
【经典例题】
1．（2021·湖北黄冈市·高二期末）马克吐温是美国著名的幽默讽刺作家，他的小说揭露和讽刺了美国社会的一些黑暗现象．他曾痛骂美国国会“有些议员是笨蛋”，因此被要求道歉，否则被控告诽谤罪．于是马克吐温登报表示歉意并纠正道：美国国会“有些议员不是笨蛋”．请问“有些议员不是笨蛋”的否定是（
）
A．有些议员是笨蛋
B．每个议员都是笨蛋
C．每个议员都不是笨蛋
D．有些议员不是笨蛋
【答案】B
【详解】根据题意可得：“有些议员不是笨蛋”的否定为“每个议员都是笨蛋”.
A：“有些议员”不正确.B：正确C：“都不是笨蛋”与“不是笨蛋”意思相近，没有否定.
D：与题干一致.故选：B.
【规律方法】
1．全称命题真假的判断方法
（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；
（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
2．特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
4．常见词语的否定形式有：
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p(x)真
否定形式
不是
不都是
≤
一个也没有
至少有两个
存在x0∈A使p(x0)假
【变式探究】
1．（2021·长沙市·湖南师大附中高三期末）命题“，”的否定形式为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】D
【详解】命题为全称命题，该命题的否定为，.故选：D.
2．（2021·江苏宿迁市·高一期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】若命题“，”是假命题，
所以，使得成立是真命题，即对于有解，
所以，所以，
因为，所以，，所以，所以，
所以实数的取值范围是，故选：D
3．（2021·贵州省思南中学高二期末（理））命题“存在，使”的否定是（
）
A．存在，使
B．不存在，使
C．对于任意的，都有
D．对于任意，都有
【答案】D
【详解】解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“存在，使”的否定是：对于任意，都有．故选：D．
4．（2020·山东高三专题练习）给出下列说法：
①“”是“”的充分不必要条件；
②定义在上的偶函数的最大值为30；
③命题“”的否定形式是“”．
其中正确说法的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】对于①，当时，一定有，但是当时，，
所以“”是“”的充分不必要条件，所以①正确；
对于②，因为为偶函数，所以，因为定义域为，所以，
所以函数的最大值为，所以②正确；
对于③，命题“，”的否定形式是“，”，
所以③是错误的；故正确命题的个数为2，故选C.
【易错提醒】
1．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．
2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．
3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
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精品试卷·第
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