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(共15张PPT)
古希腊数学家:毕达哥拉斯
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点阵中的规律
汉城小学数学组
序号 点阵图 点数 算式
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1×1
2×2
3×3
4×4
25
5×5
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4
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100
100×100
10000
序号 点阵图 点数 算式
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竖着看：
1×1
2×2
3×3
4×4
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5×5
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序号 点阵图 点数 算式
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序号 点阵图 点数 算式
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9
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25
1
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4
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斜着看
拐弯看
填表要求：
1、选择你喜欢的一种观察方法，在点阵中用线标出来。
2、用算式表示每个点阵的点数。
3、从算式中你能发现什么规律？
（ ）
观察下列点阵，在括号中填上适当的算式，
并接着画出第5个点阵。
（ ）
（ ）
（ ）
竖着看
（ ）
2×3
3×4
5×6
1×2
4×5
1×1＋1
2×2＋2
3×3＋3
4×4＋4
5×5＋5
2×2－2
3×3－3
4×4－4
5×5－5
6×6－6
哪里有数学，哪里就有美！
数学美把自然规律抽象成一幅简洁准确的图像。

——古希腊数学家：普洛克拉登陆21世纪教育 助您教考全无忧
点阵中的规律教学设计
成都市新都区汉城小学：汤波
教学内容：北师大版小学数学五年级上册《尝试与猜测》中的第二课时《点阵中的规律》，（教科书第82、83页。）
教学目标：
1、通过活动，使学生了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律。
2、培养学生的观察、比较、分析和解决问题方法的能力。
3、通过此活动，提高学生建立数学模型的兴趣、培养学生的空间想象能力。
教学重点：让学生通过观察点阵（数学模型）前后的变化与联系找出其变化规律。
教学难点：寻求多种解决问题的方法，体会图形与数的联系。
课前准备：五位数学家的肖像，让同学们猜一猜、说一说。
教学过程：
一、谈话引入，情景铺垫
师：接着刚才的话题，老师再给同学们介绍一位古希腊的数学家——毕达哥拉斯，毕达哥拉斯在数的特征的研究方面取得了卓越的成就，可是当时的人们管他叫“超级数痴”，猜一猜，为什么这样称呼他呢？
生：他对数学的痴迷。
师：聪明的孩子，是的，毕达哥拉斯整日的沉迷于对阿拉伯数字1、2、3…数的特征的研究，他在研究的过程中发现一些数非常的特别，例如有这样的一组数：1、4、9、16。他发现这些数有一定的规律，到底有什么规律呢？你想到了吗？说说看。
生：1+3=4，4+5=9,9+7=16……
生2:1×1=1，2×2=4……..
师：真是善于观察的孩子，你们不但发现了相邻两个数的大小关系，还能用两个相同数的乘法算式表达，真不错，还有其他的发现吗？
师：看来，要纯粹从数的角度去寻找规律还是有一定难度的，聪明的毕达哥拉斯当年采用一个简单的方法来研究——利用图形，他根据这一组数摆了一组点子图，看，排成了一个什么形状的点子图？
生：正方形的点子图。
师：像这样按照一定规律排列的点子，组成的图形，我们叫点阵图，我们叫这一组点阵叫正方形点阵，毕达哥拉斯在研究中，利用点阵图研究数的特征感觉非常的直观，同时也惊奇的发现点阵图中蕴含的规律也能用数或者是算式表示出来感觉简洁方便，那点阵中到底蕴含了怎样的规律呢？想知道吗？
生：想
师：好，那我们今天就一起走进点阵图，去探寻点阵中的规律！（板书课题：点阵中的规律）
二、探究正方形点阵规律
师：为了使研究方便，我们把这一组正方形点阵图放在表中进行探索，观察这组正方形点阵的点子的排列，看看你能发现有什么规律？
生1：我发现第一个点阵图的排列是一行一个有一行，第二个点阵是一行有2个点子有两行…….。
生2：它们都是正方形点阵图。
生3：我发现后一个点阵图比前一个点阵图的每行的个数上多一个点子，而且在行数上比前一个多一行！
师：看来同学们通过仔细的观察找到了很多的规律了，咱们刚才是一行一行的看，在数学里面我们叫横着看，我们用横线来表示。（板书：横着看）
师：你能用算式表示每个点阵的点子数吗？
生：第一个点阵图用算式表示是1×1，第二个是2×2…….
生2：我发现第五个点阵图的点子数可以用5×5来表示。
师：为什么第五个点阵图的算式是5×5呢？
生：因为前面的四个点阵图都是分别按照一定的顺序用算式表示出来的，1×1,2×2,3×3….所以第五个点阵的算式是5×5了
生2：从图上的排列的规律也可以发现第五个点阵图是5×5
生3：它们的算式中后一个算式比前一个算式的因数要多1，而且它们都是两个相同的数在相乘，所以也可以用算式5×5来表示第五个点阵的点子数。
师：那怎么摆第五个点阵图呢？
生：一行5个点子，有5行，摆成一个正方形。
师小结：横着观察点阵用算式表示每一个点阵的点数，还发现了算式中的规律，那照这样摆下去，第100个点阵有怎么摆，有多少个点子？算式是什么？
生：第100个点阵是一行100个点子有100行，总共有10000个点子，算式是100×100。
师追问：你怎么知道第100个点阵可以用算式100×100表示点数？算式里相乘的两个数与什么有关系？
生：跟序号有关！
生2:第几个点阵就可以用算式几×几来表示它们的点子数！
师：那序号可以表示什么？
生1：表示第几个点阵图。
生2：表示点阵图的行数和每行的点子个数。
师：第58个点阵图的算式是多少？
生：58×58
师：你能像老师这样举例吗？
生1：第29个点阵的算式可以用29×29来表示…..
师：像这样举例能举的完吗？
生：举不完
师：我们可以用一个简单的方法来表示这样的规律，你们想到了吗？
生：字母表示
师：那第n个点阵的算式就是？
生：n×n。
师：除了横着观察还可以怎么观察呢？
生：竖着看。
师：是的，竖着看我们用竖线来表示，你能用算式表示竖着看点阵的点子数吗
生：1×1,2×2,3×3…..
师：你有什么发现吗？
生：横着观察和竖着看得到的算式都是一样的
师：为什么是一样的算式呢？
生;因为是正方形横看竖看是一样的
师：它们的规律是一样的吗？
生：一样的！
师：第n个点阵的算式呢
生：n×n
师：除了这两种观察方法还可以怎么看？
生：斜着看
师：斜着看我们用斜线表示，还有吗？
师：老师这里给大家介绍一种非常有趣的方法，拐弯看，我们用折线表示。
师：我们又找到了两种不同的观察方法，斜着看和拐弯看，不同的观察方法我们可以用不同的算式表示，那斜着看和拐弯看分别可以写出怎样的算式呢？请拿出表格，填表前先明确要求。
1、选择你喜欢的一种观察方法，在点阵中用线标出来。
2、用算式表示每个点阵的点数。
3、从算式中你能发现什么规律？（齐读）
师：填好后同桌相互交流，你能发现什么规律？
（学生独立完成，完成后同桌交流）
师：哪位同学愿意把自己的发现与大家？请你从观察角度和算式两个给大家讲解。
生：我是从拐弯看的
第一个点阵 1
第二个点阵 1+3=4
第三个点阵 1+3+5=9
第四个点阵 1+3+5+7=16
第五个点阵 1+3+5+7+9=25
师：观察算式有什么发现？
生：一个算式比一个算式多加一个数
生2：它们的得数正好是刚才那一排点阵的点子数。
生3：都是连续的奇数在相加。
师：是从几开始的连续的奇数呢？
生：是从1开始的连续的奇数在相加。
师：究竟有几个奇数连续相加呢？这与什么有关？
生：第几个点阵图就有几个连续奇数相加。
师：也就是说和他们的序号有关。
师：照这样的规律类推，那第n个点阵呢？
生：1+3+5+…….（n个连续的奇数相加）
师：还有不同的观察方法吗？
生：我是斜着观察的
第1个点阵： 1=1
第2个点阵： 1+2+1=4
第3个点阵： 1+2+3+2+1=9
第4个点阵： 1+2+3+4+3+2+1=16
第5个点阵： 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
师：观察算式，你们有什么发现？
生1：算式中最大是数是5
生2：这个算式是从1开始加到5再加回到1
生3：这个算式的两边是对称的，5在中间。
生4：它们都是连续的自然数相加。
师：究竟从1开始要加到几才往回加呢？
生：加到序号那个数就往回加了。
师：也就是说序号是几久加到几再往回加到1，它的规律也是和序号有关的，你们发现了吗？
师：找这样的规律类推，第n个点阵的算式是怎样列式是呢？
生：我们可以借助于省略号来表示：1+2+3+…+n+…+3+2+1
师：你太聪明了，谢谢你帮我解决了一个难题。
师小结：观察的方法多种多样，发现的规律也各不相同，那这些规律有什么联系吗？如果用三种符号供你选择“＜、＞或＝”你选什么？
生：等于
师追问：为什么？
生：因为它们表示的都是同一个点阵图。
三、探究长方形点阵的规律
师：通过刚才的研究我们发现观察的方法不同得出的规律也是不同的，接下来，我们再来看下一组点阵图。
师：这是一组什么形状的点阵图？
生:长方形点阵图。
师：请大家尝试运用前面学会的方法探究长方形点阵的规律，并写出算式表示每个长方形点阵的点子数？
（学生自主探究）
学生汇报：
生：我是竖着看的，算式是1×2、2×3、3×4、4×5
师：根据自己发现的规律，请你独立的画出第5个长方形点阵的并用算式表示点数。
生：第5个点阵的点子总数用算式5×6来表示。
师：你觉得自己写的算式中的数字与图形之间有什么关系？
生1：乘法算式中的第二个因数比第一个因数多1
生2：算式中的第一个因数是长方形点阵的竖排点数，第二个因数是长方形点阵的横排点数。
师：这个算式与点阵的排列序号有关吗？
生1：第一个点阵是1×2，第二个点阵是2×3，第三个点阵是3×4，……是第几个点阵就是用几去乘。
生2：是用点阵的排列序号去乘比它大1的数。
师：照这样继续写，你能写出第n个长形的点数吗？
生齐：n×(n+1)
师：还有别的算式吗？（学生的作业展示）
生：我是横着看的，但是是算式是和他一样的，规律也是一样的，都是n×(n+1)
生：我是斜着看的，算式是
第1个点阵： 1+1=2
第2个点阵： 1+2 +2+1=6
第3个点阵： 1+2+3+3+2+1=12
第4个点阵： 1+2+3+4+4+3+2+1=20
第5个点阵： 1+2+3+4+5+5+4+3+2+1=30
师：有什么规律吗？
生1：它们都是连续的自然数相加然后加到一个数以后再从这个数往回加到1
生2：中间的两个数是一样的，和序号也一样
生3：它们的序号是几就加到几，然后再从序号开始往回加到1。
师：照这样的规律一直写下去，第n个点阵的算式怎么写呢？
生1:1+2+3+…+n+…+3+2+1
生2：他说的不对，应该是1+2+3+…+n+n+3+2+1,是两个n相加。
师：老师相信还有别的观察方法，由于时间的关系我们这里就不多做说明了，下课后同学们再相互交流一下。好吗？
四、延伸应用，形成策略
师：其实数学是很神奇的，比如说这里的长方形点阵我们还可以转换成正方形点阵来解决的，那怎样把这个长方形点阵转化成正方形点阵呢？
生：可以用分割的方法来转化。
生2：可以把第一个点阵分割成1个点和1个点，第二个点阵可以分割成4个点子和2个点子…….
师：算式又怎么表示呢？。
生：1×1+1，2×2+2,3×3+3,4×4+4,5×5+5…
师：这样的算式有什么规律吗？
生1：数字都是一样的
生2：第几个点阵图就是几×几+几
师：第n个点阵呢？
生齐答：n×n+n.
师：还可以怎么转化成正方形呢？
生：我们还可以用添补的方法，第一个点阵添一排，一排2个点，第二个点阵添一排，一排3个点子，…….
生2：用算式是第一个点阵是2×2-2，第二个点阵是3×3-3，……..
师：照这样写下去第58个点阵的算式是
生1:58×58-58
师：对吗
生：不对，应该是59×59-59，因为数字要比序号大1
师：所以第n个点阵就是？
生：(n-1) ×(n-1)-(n-1)
五、课后小结
师：同学们真的很了不起！真正的具有未来数学家的风范，用自己的聪明才智，发现并总结了各个不同的点阵图中隐含的规律，其实点阵的知识在生活中有着广泛的应用，比如北京奥运会开幕式上的“击缶表演”、“太极表演”等，都是把一个人看做一个点，来排列有规律的队形的，你还知道什么地方运用了点阵的相关知识？
生1:做体操时，同学们站的体操队形
生2：教师的课桌的摆放
生3：五子棋
师：看来生活中用到点阵的知识的地方还真不少，那么，就让我们用希腊数学家普洛克拉的一句话结束今天的学习：哪里有数学，哪里就有美！数学美把自然规律抽象成一幅简洁准确的！请同学们下课后利用今天学到的知识完成课本试一试2题和练一练的2题。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 13 页 （共 13 页） 版权所有@21世纪教育网

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