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第四章
图形的性质
第1节
图形的认识
■考点1
直线、线段、射线?
基本事实
（1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．
（2）线段的基本事实：两点之间，线段最短．
■考点2
角、角平分线?
1．概念
（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
2．角的度量
1°＝60′，1′＝60″，1°＝3600″
3．余角和补角
（1）余角：∠1＋∠2＝90°?∠1与∠2互为余角；
（2）补角：∠1＋∠2＝180°?∠1与∠2互为补角.
（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
■考点3
立体图形展开图?
正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题。
■考点4
相交线、平行线?
1．三线八角
（1）同位角：形如“F”；（2）内错角：形如“Z”；(3)同旁内角：形如“U”.
2．对顶角、邻补角
（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.
（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°.
3．垂线
（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
（2）性质：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
②垂线段最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度
4．平行线
（1）平行线的性质与判定
①同位角相等两直线平行
②内错角相等两直线平行
③同旁内角互补两直线平行
（2）平行公理及其推论
①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
②平行于同一条直线的两直线平行．
■考点5
命题与证明?
（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.
（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.
（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例说明命题不成立就可以了.
■考点1：直线、线段、射线?
◇典例：如图所示，点P到直线l的距离是（　　）
A．线段PA的长度
B．线段PB的长度
C．线段PC的长度
D．线段PD的长度
【考点】点到直线的距离．
【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．
解：由题意，得
点P到直线l的距离是线段PB的长度，
故选：B．
◆变式训练：如图（一），OP为一条拉直的细线，A、B两点在OP上，且OA：AP
=1：3，OB：BP
=3：5．若先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二）
的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？（　　）
A．1：1：1
B．1：1：2
C．1：2：2
D．1：2：5
【分析】根据题意可以设出线段OP的长度，从而根据比值可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的长度，从而可以求得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决．
解：设OP的长度为8a，
∵OA：AP=1：3，OB：BP=3：5，
∴OA=2a，AP=6a，OB=3a，BP=5a，
又∵先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二）
的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，
∴这三段从小到大的长度分别是：2a、2a、4a，
∴此三段细线由小到大的长度比为：2a：2a：4a=1：1：2，
故选B．
【点评】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度．
■考点2：角、角平分线?
◇典例：若一个角为75°，则它的余角的度数为（　　）
A．285°
B．105°
C．75°
D．15°
【考点】余角和补角．
【分析】依据余角的定义列出算式进行计算即可．
解：它的余角=90°-75°=15°，
故选D．
◆变式训练：如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β互余的是（
）
A.图①
B.图②
C.图③
D.图④
【考点】余角和补角
【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
解：图①，∠α+∠β=180°﹣90°，互余；
图②，根据同角的余角相等，∠α=∠β；
图③，根据等角的补角相等∠α=∠β；
图④，∠α+∠β=180°，互补．
故选A．
■考点3：立体图形展开图?
◇典例：下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何体的展开图．
【分析】观察选项中的图形，确定出作为正方体表面展开图的即可．
解：下列图形中，可以是正方体表面展开图的是
，
故选D
◆变式训练：如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“弘”字一面的相对面上的字是（　　）
A．传
B．统
C．文
D．化
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“扬”与“统”相对，面“弘”与面“文”相对，“传”与面“化”相对．
故选：C．
■考点4：相交线、平行线?
◇典例：如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（　　）
A．20°
B．60°
C．70°
D．160°
【考点】对顶角、邻补角
【分析】根据对顶角相等解答即可．
解：∵∠AOD=160°，
∴∠BOC=∠AOD=160°，
故选：D．
【点评】此题考查对顶角、邻补角，关键是根据对顶角相等解答．
◆变式训练
1．下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】对顶角、邻补角．
【分析】根据邻补角的定义作出判断即可．
解：根据邻补角的定义可知：只有D图中的是邻补角，其它都不是．
故选：D．
2．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
【考点】平行线的性质．
【分析】过A点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1=∠2，∠3=∠4=30°，加上∠2+∠3=45°，易得∠1=15°．
解：如图，过A点作AB∥a，
∴∠1=∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3=∠4=30°，
而∠2+∠3=45°，
∴∠2=15°，
∴∠1=15°．
故选：A．
■考点5：命题与证明?
◇典例：下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．任意多边形的内角和为360°
D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
【考点】命题与定理
【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据多边形的内角和对C进行判断；根据三角形中位线性质对D进行判断．
解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项为假命题；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题；
C、任意多边形的外角和为360°，所以C选项为假命题；
D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以D选项为真命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
◆变式训练：下列命题中：
①如果a＞b，那么a2＞b2
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等
④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1
其中真命题的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】命题与定理
【分析】直接利用切线长定理以及平行四边形的判定和一元二次方程根的判别式分别判断得出答案．
解：①如果a＞b，那么a2＞b2，错误；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误；
③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，正确；
④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1且a≠0，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．
1．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（　　）
A．三棱柱
B．三棱锥
C．圆柱
D．圆锥
【考点】几何体的展开图
【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．
解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：A．
【点评】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解．
2．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与“创”字所在的面相对的面上标的字是（　　）
A．庆
B．力
C．大
D．魅
【考点】正方体的表面展开图
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“建”与“力”是相对面，
“创”与“庆”是相对面，
“魅”与“大”是相对面．
故选：A．
3．若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则（　　）
A．AM＞AN
B．AM≥AN
C．AM＜AN
D．AM≤AN
【考点】垂线段最短
【分析】根据垂线段最短解答即可．
解：因为线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，
所以AM≤AN，
故选：D．
【点评】此题考查垂线段问题，关键是根据垂线段最短解答．
4．下列命题是真命题的是（　　）
A．两直线平行，同位角相等
B．相似三角形的面积比等于相似比
C．菱形的对角线相等
D．相等的两个角是对顶角
【考点】命题与定理
【分析】根据平行线的性质、相似三角形的性质、菱形的性质、对顶角的概念判断即可．
解：两直线平行，同位角相等，A是真命题；
相似三角形的面积比等于相似比的平方，B是假命题；
菱形的对角线互相垂直，不一定相等，C是假命题；
相等的两个角不一定是对顶角，D是假命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）
A．10°
B．20°
C．50°
D．70°
【考点】旋转的性质，平行线的判定
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
解：如图．
∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°﹣50°=20°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
6．如图，点O在直线AB上，若∠BOC=60°，则∠AOC的大小是（　　）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
【考点】角的概念．
【分析】根据点O在直线AB上，∠BOC=60°，即可得出∠AOC的度数．
解：∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°，
又∵∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
故选：C．
7．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　）
A．北偏东30°
B．北偏东80°
C．北偏西30°
D．北偏西50°
【考点】方向角，
平行线的性质
【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．
解：如图，
AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°．
∠3=∠4﹣∠2=80°﹣50°=30°，
此时的航行方向为北偏东30°，
故选：A．
【点评】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键．
8．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（　　）
A．三棱柱
B．四棱柱
C．三棱锥
D．四棱锥
【考点】认识立体图形．
【分析】根据四棱锥的特点，可得答案．
解：四棱锥的底面是四边形，侧面是四个三角形，
底面有四条棱，侧面有4条棱，
故选：D．
9．由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置，一面着地，两面靠墙．如果要将露出来的部分涂色，则涂色部分的面积为（　　）
A．9
B．11
C．14
D．18
【考点】几何体的表面积
【分析】由涂色部分面积是从上、前、右三个方向所涂面积相加，据此可得．
解：由图可知涂色部分是从上、前、右三个方向所涂面积相加，即涂色部分面积为4+4+3=11，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何体的表面积，解题的关键是掌握涂色部分是从上、前、右三个方向所涂面积相加的结果．
10．下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图？（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何体的展开图
【分析】根据圆锥的侧面展开图的特点作答．
解：圆锥的侧面展开图是光滑的曲面，没有棱，只是扇形．
故选：B．
【点评】此题考查了几何体的展开图，注意圆锥的侧面展开图是扇形．
11．若∠α=35°，则∠α的补角为　
　度．
【考点】余角和补角
【分析】根据两个角的和等于180°，则这两个角互补计算即可．
解：180°﹣35°=145°，
则∠α的补角为145°，
故答案为：145．
【点评】本题考查的是余角和补角，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
12．一个角是70°39′，则它的余角的度数是　
　．
【考点】余角，度分秒的换算
【分析】依据余角的定义列出算式进行计算即可．
解：它的余角=90°﹣70°39′=19°21′．
故答案为：19°21′．
【点评】本题主要考查的是余角的定义以及度分秒的换算，掌握相关概念是解题的关键．
13．命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是　
　．
【考点】命题与定理
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等，
故答案为：菱形的四条边相等．
【点评】本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
14．用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=　
　，b=　
　，c=　
　．
【考点】命题与定理
【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．
解：当a=1，b=2，c=﹣2时，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1），
∴命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，
故答案为：1；2；﹣1．
【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
15．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）　
　．
【考点】展开图折叠成几何体
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
解：，
故答案为：
．
【点评】本题通过考查正方体的侧面展开图，展示了这样一个教学导向，教学中要让学生确实经历活动过程，而不要将活动层次停留于记忆水平．我们有些老师在教学“展开与折叠”时，不是去引导学生动手操作，而是给出几种结论，这样教出的学生肯定遇到动手操作题型时就束手无策了．
16．如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为　
　．（任意添加一个符合题意的条件即可）
【考点】平行线的判定
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断．
解：若∠A+∠ABC=180°，则BC∥AD；
若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD；
若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；
若∠C=∠CDE，则BC∥AD；
故答案为：∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不唯一）
【点评】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
17．如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F．若∠CAF=20°，则∠BED的度数为　
　°．
【考点】平行线的性质，三角形外角性质
【分析】依据DE∥AF，可得∠BED=∠BFA，再根据三角形外角性质，即可得到∠BFA=20°+60°=80°，进而得出∠BED=80°．
解：如图所示，∵DE∥AF，
∴∠BED=∠BFA，
又∵∠CAF=20°，∠C=60°，
∴∠BFA=20°+60°=80°，
∴∠BED=80°，
故答案为：80．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
18．如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=1，则AB=　
　．
【考点】两点间的距离．
【分析】根据中点定义解答．
解：∵点C是线段AD的中点，若CD=1，
∴AD=1×2=2，
∵点D是线段AB的中点，
∴AB=2×2=4．
故答案为4．
19．如图，AB∥CD，∠1=∠2．求证：AM∥CN．
【考点】平行线的判定与性质
【分析】只要证明∠AEM=∠ECN，根据同位角相等两直线平行即可证明；
证明：∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ECD，
∵∠1=∠2，
∴∠EAM=∠ECN，
∴AM∥CN．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定，属于中考基础题．
20．如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°﹣35°=20°．
解：∵∠EFG=90°，∠E=35°，
∴∠FGH=55°，
∵GE平分∠FGD，AB∥CD，
∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，
∵∠FHG是△EFH的外角，
∴∠EFB=55°﹣35°=20°．
【点评】考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
1．（2020·绵阳中考）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据正方体的展开图的11种不同情况进行判断即可．
解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，
因此选项D符合题意，
故选：D．
2．（2020·陕西中考）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（　　）
A．57°
B．67°
C．77°
D．157°
【答案】B
【解析】根据∠A的余角是90°﹣∠A，代入求出即可．
解：∵∠A＝23°，
∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°．
故选：B．
3．（2020·金昌中考）若，则的补角的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】直接根据补角的定义即可得．
解：
的补角的度数是
故选：B．
4．（2020·长春中考）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据四棱柱是由四个大小相同的长方形和两个全等的正方形构成的解答即可.
解：四棱柱的侧面是由四个同样大小的长方形围成的，
故选：A.
5．（2020·东营中考）如图，直线相交于点射线平分若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根据角平分线平分角即可求解．
解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，
又OM是∠BOD的角平分线，
∴∠DOM=∠BOD=21°，
∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．
故选：A．
6．（2020·营口中考）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（　　）
A．66°
B．56°
C．68°
D．58°
【答案】D
【解析】根据平行线的性质求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB．
解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝58°．
故选：D．
7．（2020·雅安中考）下列四个选项中不是命题的是（
）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果，那么
【答案】B
【解析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
解：由题意可知，
A、对顶角相等，故选项是命题；
B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；
C、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；
D、如果，那么，故选项是命题；
故选：B．
8．（2020·大庆中考）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（
）
A．1：1
B．1：3
C．1：6
D．1：9
【答案】D
【解析】根据结合已知条件可得答案．
解：设圆锥与圆柱的底面半径为
圆锥的高为，则圆柱的高为，
故选D．
9．（2020·河池中考）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（　　）
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．邻补角
【答案】A
【解析】根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可．
解：如图所示，∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b和a同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．
故选：A．
10．（2020·铜仁中考）如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（　　）
A．70°
B．100°
C．110°
D．120°
【答案】C
【解析】直接利用平行线的性质得出∠1＝∠2，进而得出答案．
解：∵直线AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝70°，∠2+∠3=180°，
∴∠2＝180°﹣∠3=180°﹣70°＝110°，
∴∠1＝110°．
故选：C．
11．（2020·江西中考）如图所示，正方体的展开图为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据正方体的展开图的性质判断即可；
解：A中展开图正确；
B中对号面和等号面是对面，与题意不符；
C中对号的方向不正确，故不正确；
D中三个符号的方位不相符，故不正确；
故答案选A．
12．（2020·滨州中考）如图，AB//CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（
）
A．60°
B．70°
C．80°
D．100°
【答案】B
【解析】根据平行线和角平分线的定义即可得到结论．
解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠CPF=55°，
∵PF是∠EPC的平分线，
∴∠CPE=2∠CPF=110°，
∴∠EPD=180°-110°=70°，
故选：B．
13．（2020·呼伦贝尔中考）如图，直线于点，若，则的度数是（
）
A．120°
B．100°
C．150°
D．160°
【答案】C
【解析】延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出∠AFC的度数，再利用外角的性质求出∠ECF，从而求出∠ECD．
解：延长AE，与DC的延长线交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠AFC=180°，
∵，
∴∠AFC=60°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
而∠AEC=∠AFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEC-∠F
=30°，
∴∠ECD=180°-30°=150°，
故选：C．
14．（2020·南通中考）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（　　）
A．36°
B．34°
C．32°
D．30°
【答案】A
【解析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数．
解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠A＝54°，
∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．
又∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF＝36°．
故选：A．
15．（2020·玉林中考）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（
）
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【答案】A
【解析】先根据方位角的定义分别可求出，再根据角的和差、平行线的性质可得，，从而可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据等腰直角三角形的定义即可得．
解：由方位角的定义得：
由题意得：
由三角形的内角和定理得：
是等腰直角三角形
即A，B，C三岛组成一个等腰直角三角形
故选：A．
16．（2020·玉林中考）下列命题中，其逆命题是真命题的是（
）
A．对顶角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．正方形的四个角相等
【答案】B
【解析】先写成各选项的逆命题，再根据对顶角的定义、平行线的判定、三角形全等的判定、正方形的判定逐项判断即可得．
解：A、逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
相等的两个角不一定是对顶角，则此逆命题是假命题
B、逆命题：同位角相等，两直线平行
由平行线的判定可知，此逆命题是真命题
C、逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是全等三角形
由三角形全等的判定定理可知，此逆命题是假命题
D、逆命题：如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是正方形
如果一个四边形的四个角都相等，则这个四边形是矩形，不一定是正方形，则此逆命题是假命题
故选：B．
17．（2020·昆明中考）如图，点C位于点A正北方向，点B位于点A北偏东50°方向，点C位于点B北偏西35°方向，则∠ABC的度数为_____°．
【答案】95
【解析】按照题意，将点A、B、C的位置关系表示在图中，过点B作一条平行于AC的线，并标注出已知角的度数，两平行线间内错角相等，可得∠1=∠BAC，则∠ABC的度数就可求得．
解：如下图所示：过点B作一条平行于AC的线，
由题意可得，∠1＝∠A＝50°（两直线平行，内错角相等），
则∠ABC＝180°-35°-50°＝95°，
故答案为：95．
18．（2020·通辽中考）如图，点O在直线上，，则的度数是______．
【答案】
【解析】根据补角的定义，进行计算即可.
解：由图可知：∠AOC和∠BOC互补，
∵，
∴∠BOC=180°-=，
故答案为：.
19．（2020·永州中考）已知直线，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则_________．
【答案】35°
【解析】如图，标注字母，延长交于，利用平行线的性质证明，三角形的外角的性质证明，从而可得答案．
解：如图，标注字母，
延长交于，
由题意得：
故答案为：
20．（2020·吉林中考）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______．
【答案】垂线段最短．
【解析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
解：通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
21．（2020·黄冈中考）已知：如图，，则_____________度．
【答案】30
【解析】本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EGC，继而根据邻补角定义求解∠CDE，最后根据外角定义求解∠BCD．
解：令BC与EF相交于G点，如下图所示：
∵，
∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°，
又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC，
∴∠BCD=75°-45°=30°，
故答案：30．
22．（2020·赤峰中考）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为__________．
【答案】
【解析】先根据数轴的定义、线段中点的定义分别求出点表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
解：由题意得：点表示的数为
点表示的数为
点表示的数为
点表示的数为
归纳类推得：点表示的数为（n为正整数）
则点表示的数为
故答案为：．
23．（2020·宜昌中考）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数．
【答案】25°
【解析】使用平行线的性质得到，再根据得到结果．
解：∵
∴
∵
∴
24．（2020·武汉中考）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．
【答案】证明见解析．
【解析】先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．
解：平分，平分
，即
．
25．（2020·枣庄中考）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat
surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
棱数E
6
12
面数F
4
5
8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．
【答案】（1）表格详见解析；（2）
【解析】（1）通过认真观察图象，即可一一判断；
（2）从特殊到一般探究规律即可．
解：（1）填表如下：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
6
棱数E
6
9
12
12
面数F
4
5
6
8
（2）据上表中的数据规律发现，多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在关系式：．
5(共72张PPT)
加
分
宝
·
一
轮
复
习
课
件
精
耕
细
作
，
一
针
见
血
。
研
究
教
育
根
本
，
解
决
根
本
问
题
。
考
点
梳
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点
突
破
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图形的性质
第1节
图形的认识
■考点1
直线、线段、射线?
基本事实
（1）直线的基本事实：经过两点__________一条直线．
（2）线段的基本事实：两点之间，__________最短．
■考点2
角、角平分线?
1．概念
（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．
（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线
2．角的度量
1°＝__________，1′＝__________，1°＝__________
3．余角和补角
（1）余角：∠1＋∠2＝__________?∠1与∠2互为余角；
（2）补角：∠1＋∠2＝__________?∠1与∠2互为补角.
（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．
■考点3
立体图形展开图?
正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题。
■考点4
相交线、平行线?
1．三线八角
（1）同位角：形如“F”；（2）内错角：形如“Z”；(3)同旁内角：形如“U”.
2．对顶角、邻补角
（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.
（2）性质：对顶角__________，邻补角之和为180°.
3．垂线
（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．
（2）性质：
①过一点__________一条直线与已知直线垂直．
②__________最短．
（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的__________的长度
4．平行线
（1）平行线的性质与判定
①同位角相等__________
②内错角相等__________③__________两直线平行
（2）平行公理及其推论
①经过直线外一点，__________一条直线与已知直线平行．
②平行于同一条直线的两直线__________．
■考点5
命题与证明?
（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.
（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.
（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例说明命题不成立就可以了.
■考点1：直线、线段、射线?
◇典例：如图所示，点P到直线l的距离是（　　）
A．线段PA的长度
B．线段PB的长度
C．线段PC的长度
D．线段PD的长度
◆变式训练：如图（一），OP为一条拉直的细线，A、B两点在OP上，且OA：AP
=1：3，OB：BP
=3：5．若先固定B点，将OB折向BP，使得OB重迭在BP上，如图（二），再从图（二）
的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？（　　）
A．1：1：1
B．1：1：2
C．1：2：2
D．1：2：5
■考点2：角、角平分线?
◇典例：若一个角为75°，则它的余角的度数为（　　）
A．285°
B．105°
C．75°
D．15°
◆变式训练：如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中∠α与∠β互余的是（
）
A.图①
B.图②
C.图③
D.图④
■考点3：立体图形展开图?
◇典例：下列图形中，可以是正方体表面展开图的是（　　）
A．
B．
C．
D．
◆变式训练：如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“弘”字一面的相对面上的字是（　　）
A．传
B．统
C．文
D．化
■考点4：相交线、平行线?
◇典例：如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为（　　）
A．20°
B．60°
C．70°
D．160°
◆变式训练
1．下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
■考点5：命题与证明?
◇典例：下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．任意多边形的内角和为360°
D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
◆变式训练：下列命题中：
①如果a＞b，那么a2＞b2
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等
④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1
其中真命题的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
1．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（　　）
A．三棱柱
B．三棱锥
C．圆柱
D．圆锥
2．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与“创”字所在的面相对的面上标的字是（　　）
A．庆
B．力
C．大
D．魅
3．若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则（　　）
A．AM＞AN
B．AM≥AN
C．AM＜AN
D．AM≤AN
4．下列命题是真命题的是（　　）
A．两直线平行，同位角相等
B．相似三角形的面积比等于相似比
C．菱形的对角线相等
D．相等的两个角是对顶角
5．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）
A．10°
B．20°
C．50°
D．70°
6．如图，点O在直线AB上，若∠BOC=60°，则∠AOC的大小是（　　）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
7．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　）
A．北偏东30°
B．北偏东80°
C．北偏西30°
D．北偏西50°
8．不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是三角形；乙同学：它有8条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（　　）
A．三棱柱
B．四棱柱
C．三棱锥
D．四棱锥
9．由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置，一面着地，两面靠墙．如果要将露出来的部分涂色，则涂色部分的面积为（　　）
A．9
B．11
C．14
D．18
10．下列图形中，哪一个是圆锥的侧面展开图？（　　）
A．
B．
C．
D．
11．若∠α=35°，则∠α的补角为　
　度．
12．一个角是70°39′，则它的余角的度数是　
　．
13．命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是　
　．
14．用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a=　
　，b=　
　，c=　
　．
15．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）　
　．
16．如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为　
　．（任意添加一个符合题意的条件即可）
17．如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F．若∠CAF=20°，则∠BED的度数为　
　°．
18．如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD=1，则AB=　
　．
19．如图，AB∥CD，∠1=∠2．求证：AM∥CN．
20．如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
1．（2020·绵阳中考）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·陕西中考）若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（　　）
A．57°
B．67°
C．77°
D．157°
3．（2020·金昌中考）若，则的补角的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·长春中考）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·东营中考）如图，直线相交于点射线平分若，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·营口中考）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（　　）
A．66°
B．56°
C．68°
D．58°
7．（2020·雅安中考）下列四个选项中不是命题的是（
）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果，那么
8．（2020·大庆中考）底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（
）
A．1：1
B．1：3
C．1：6
D．1：9
9．（2020·河池中考）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（　　）
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．邻补角
10．（2020·铜仁中考）如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（　　）
A．70°
B．100°
C．110°
D．120°
11．（2020·江西中考）如图所示，正方体的展开图为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·滨州中考）如图，AB//CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（
）
A．60°
B．70°
C．80°
D．100°
13．（2020·呼伦贝尔中考）如图，直线于点，若，则的度数是（
）
A．120°
B．100°
C．150°
D．160°
14．（2020·南通中考）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（　　）
A．36°
B．34°
C．32°
D．30°
15．（2020·玉林中考）如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向，C岛在B岛的北偏西55度方向，则A，B，C三岛组成一个（
）
A．等腰直角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
16．（2020·玉林中考）下列命题中，其逆命题是真命题的是（
）
A．对顶角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形的对应角相等
D．正方形的四个角相等
17．（2020·昆明中考）如图，点C位于点A正北方向，点B位于点A北偏东50°方向，点C位于点B北偏西35°方向，则∠ABC的度数为_____°．
18．（2020·通辽中考）如图，点O在直线上，，则的度数是______．
19．（2020·永州中考）已知直线，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则_________．
20．（2020·吉林中考）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______．
21．（2020·黄冈中考）已知：如图，，则_____________度．
22．（2020·赤峰中考）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为__________．
23．（2020·宜昌中考）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数．
24．（2020·武汉中考）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．
25．（2020·枣庄中考）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat
surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
棱数E
6
12
面数F
4
5
8
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：____________________________．
4

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