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第四章
图形的性质
第2节
三角形的有关概念
■考点1
三角形的分类?
三角形定义：由__________三条线段__________相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类：
（2）按边的关系分类：
■考点2
三边关系?
三角形任意两边之和__________第三边，任意两边之差__________第三边．
■考点3
角的关系?
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等__________；
②推论：直角三角形的两锐角__________．
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角__________．
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的__________．
■考点4
三角形中的重要线段（四线性质）?
（1）角平分线：
①角平线上的点到角两边的距离__________
②三角形的三条角平分线的相交于一点叫__________，内心到三边的__________相等．
（2）中线：
①三条中线交于三角形内部一点，叫其__________：每条中线平分三角形的__________
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________
（3）高：
①三条高线所在的直线交于一点，叫其为__________
②锐角三角形的三条高相交于三角形__________；直角三角形的三条高相交于直角__________；钝角三角形的三条高相交于三角形的__________
（4）中位线：三角形__________的连线段．平行于__________，且等于__________
（5）三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A．
■考点1：三边关系?
◇典例：若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（　　）
A．14
B．10
C．3
D．2
◆变式训练
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm
B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm
D．6cm，7cm，14cm
2．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（　　）
A．4
B．5
C．6
D．9
■考点2：角的关系?
◇典例：在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=　
　．
◆变式训练
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（　　）
A．15°
B．55°
C．65°
D．75°
2．若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于　
　°．
■考点3：三角形中的重要线段（四线性质）?
◇典例：如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=　
　．
◆变式训练
1．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE的度数是　
　．
2．在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为__________cm．
1．下列图形具有稳定性的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（　　）
A．1
B．2
C．8
D．11
3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（　　）
A．1
B．
C．
D．2
4．已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（　　）
A．80°
B．70°
C．85°
D．75°
5．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（　　）
A．70°
B．44°
C．34°
D．24°
6．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（　　）
A．线段DE
B．线段BE
C．线段EF
D．线段FG
7．小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（　　）
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
8．如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（　　）
A．149°
B．149.5°
C．150°
D．150.5°
9．已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为　
　．
10．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足
=0，第三边c为奇数，则c=
___________
11．如图，直线a∥b，∠l=60°，∠2=40°，则∠3=　
　．
12．如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________
13．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是　
　．
14．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=　
　．
15．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=　
　度．
16．将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________
17．如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
19．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1
等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2
等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式
等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上的变式题．
（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
1．（2020·徐州中考）三角形的两边长分别为和，则第三边长可能为（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·湘潭中考）如图，是的外角，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·福建中考）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（
）
A．1
B．
C．
D．
4．（2020·沈阳中考）如图，直线，且于点，若，则的度数为（　　）
A．65°
B．55°
C．45°
D．35°
5．（2020·烟台中考）如图，点G为的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（
）
A．1.7
B．1.8
C．2.2
D．2.4
6．（2020·吉林中考）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·黔南中考）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（
）
A．9
B．17或22
C．17
D．22
8．（2020·齐齐哈尔中考）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
9．（2020·大连中考）如图，中，，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·宿迁中考）在△ABC中，AB=1，BC=，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　）
A．2
B．4
C．5
D．6
11．（2020·锦州中考）如图，在中，，，平分，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·北京中考）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（
）
A．∠1=∠2
B．∠2=∠3
C．∠1＞∠4+∠5
D．∠2＜∠5
13．（2020·哈尔滨中考）如图，在中，，垂足为D，与关于直线AD对称，点的B对称点是，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2020·绍兴中考）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
15．（2020·衡阳中考）一副三角板如图摆放，且，则∠1的度数为_________．
16．（2020·泰州中考）如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为_______．
17．（2020·青海中考）已知a，b，c为的三边长．b，c满足，且a为方程的解，则的形状为________三角形．
18．（2020·杭州中考）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝_____．
19．（2020·恩施中考）如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则______．
20．（2020·襄阳中考）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=_______．
21．（2020·本溪中考）如图，四边形是矩形，延长到点，使，连接，点是的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，，得到；…；按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于2，则的面积为_________．（用含正整数的式子表示）
22．（2020·长春中考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画．
要求：
（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；
（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
（3）点在格点上．
23．（2020·绍兴中考）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由；
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
24．（2020·毕节中考）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：_______；
（2）如图（3），中，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长；
（3）如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”，求证：．
10(共74张PPT)
加
分
宝
·
一
轮
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课
件
精
耕
细
作
，
一
针
见
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图形的性质
第2节
三角形的有关概念
■考点1
三角形的分类?
三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类：
（2）按边的关系分类：
■考点2
三边关系?
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
■考点3
角的关系?
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余．
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角．
■考点4
三角形中的重要线段（四线性质）?
（1）角平分线：
①角平线上的点到角两边的距离相等
②三角形的三条角平分线的相交于一点叫内心，内心到三边的距离相等．
（2）中线：
①三条中线交于三角形内部一点，叫其重心：每条中线平分三角形的面积
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（3）高：
①三条高线所在的直线交于一点，叫其为垂心
②锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部
（4）中位线：三角形两边中点的连线段．平行于第三边，且等于第三边的一半
（5）三角形中内、外角与角平分线的规律总结
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=（∠C-∠B）；
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A．
■考点1：三边关系?
◇典例：若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（　　）
A．14
B．10
C．3
D．2
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断．
解：设第三边为x，
则8﹣5＜x＜5+8，即3＜x＜13，
所以符合条件的整数为10，
故选B．
◆变式训练
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm
B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm
D．6cm，7cm，14cm
【考点】三角形三边关系
【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中的三边长，即可得出结论．
解：A、∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8=16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交与第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可．
2．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（　　）
A．4
B．5
C．6
D．9
【考点】三角形三边关系．
【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．
解：由三角形三边关系定理得7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，
故选：C．
■考点2：角的关系?
◇典例：在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=　
　．
【考点】三角形内角和定理
【分析】直接利用三角形内角和定理进而得出答案．
解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，
∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．
故答案为：100°
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确把握定义是解题关键．
◆变式训练
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（　　）
A．15°
B．55°
C．65°
D．75°
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】利用平角的定义可得∠ADE=15°，再根据平行线的性质知∠A=∠ADE=15°，再由内角和定理可得答案．
解：∵∠CDE=165°，
∴∠ADE=15°，
∵DE∥AB，
∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
2．若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于　
　°．
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案．
解：∵等腰三角形的顶角等于50°，
又∵等腰三角形的底角相等，
∴底角等于（180°﹣50°）×=65°．
故答案为：65．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
■考点3：三角形中的重要线段（四线性质）?
◇典例：如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=　
　．
【考点】三角形的面积．
【分析】利用三角中位线的性质得出DEAB，进而求出即可．
解：∵在△ABC中，AD，BE是两条中线，
∴DEAB，
∴=，
故答案为：1：4．
◆变式训练
1．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE的度数是　
　．
【考点】三角形中位线定理．
【分析】根据三角形中位线定理得到EP=AD，FP=BC，得到PE=PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
解：∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点，
∴EP=AD，
同理，FP=BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∵∠FPE=100°，
∴∠PFE=40°，
故答案为：40°．
2．在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为__________cm．
【考点】三角形的重心；勾股定理．
【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．
解：连接AO并延长，交BC于H，
由勾股定理得，DE==2，
∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线，
∴BC=2DE=4，O是△ABC的重心，
∴AH是中线，又BD⊥CE，
∴OH=BC=2，
∵O是△ABC的重心，
∴AO=2OH=4，
故答案为：4．
1．下列图形具有稳定性的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角形的稳定性，四边形的不稳定性
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
解：三角形具有稳定性．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．
2．已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（　　）
A．1
B．2
C．8
D．11
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．
解：设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，
4＜x＜10，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（　　）
A．1
B．
C．
D．2
【考点】三角形的重心；等腰直角三角形．
【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=
CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．
解：连接CP并延长，交AB于D，
∵P是Rt△ABC的重心，
∴CD是△ABC的中线，PD=CD，
∵∠C=90°，
∴CD=AB=3，
∵AC=BC，CD是△ABC的中线，
∴CD⊥AB，
∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，
故选：A．
4．已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（　　）
A．80°
B．70°
C．85°
D．75°
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质
【分析】想办法求出∠5即可解决问题；
解：
∵∠1=∠3=55°，∠B=45°，
∴∠4=∠3+∠B=100°，
∵a∥b，
∴∠5=∠4=100°，
∴∠2=180°﹣∠5=80°，
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（　　）
A．70°
B．44°
C．34°
D．24°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由AB=BD，∠B=40°得到∠ADB=70°，再根据三角形的外角的性质即可得到结论．
解：∵AB=BD，∠B=40°，
∴∠ADB=70°，
∵∠C=36°，
∴∠DAC=∠ADB-∠C=34°．
故选C．
6．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（　　）
A．线段DE
B．线段BE
C．线段EF
D．线段FG
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．
解：根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
7．小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（　　）
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，从而可以解答本题．
解：由题意可得，
所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，
∴这块玻璃镜的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选B．
8．如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（　　）
A．149°
B．149.5°
C．150°
D．150.5°
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】过点E作EG∥AB，根据平行线的性质可得“∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°”，根据角的计算以及角平分线的定义可得“∠FBE+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）”，再依据四边形内角和为360°结合角的计算即可得出结论．
解：如图，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；
又∵∠BED=61°，
∴∠ABE+∠CDE=299°．
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠FBE+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=149.5°，
∵四边形的BFDE的内角和为360°，
∴∠BFD=360°﹣149.5°﹣61°=149.5°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为360°，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．
9．已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为　
　．
【考点】三角形三边关系
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
解：根据三角形的三边关系，得
第三边＞4，而＜6．
又第三条边长为整数，
则第三边是5．
【点评】此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．
10．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足
=0，第三边c为奇数，则c=
___________
【考点】三角形三边关系；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
先根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而求出c的值．
解：∵a、b满足=0，
∴a=9，b=2，
∵a、b、c为三角形的三边，
∴7＜c＜11，
∵第三边c为奇数，
∴c=9，
故答案为9．
11．如图，直线a∥b，∠l=60°，∠2=40°，则∠3=　
　．
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】根据平行线的性质求出∠4，根据三角形内角和定理计算即可．
解：∵a∥b，
∴∠4=∠l=60°，
∴∠3=180°﹣∠4﹣∠2=80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
12．如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________
【考点】等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【分析】利用三角形内角和定理和等腰三角形的判定与性质求解
解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．
13．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是　
　．
【考点】三角形中位线定理
【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=5，AC∥DE，
AC2+BC2=52+122=169，
AB2=132=169，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，
故答案为：18．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
14．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=　
　．
【考点】三角形内角和定理
【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．
解：如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，
∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，
∴∠6+∠7=140°，
∴∠5=180°﹣（∠6+∠7）=40°．
故答案为：40°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解题关键．
15．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=　
　度．
【考点】线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC，得到∠EAC=∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠FAC=∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C=180°，
解得，∠C=24°，
故答案为：24．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．
解：由三角形的外角的性质可知，∠α=60°-45°=15°，
故答案为：15°．
17．如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°﹣35°=20°．
解：∵∠EFG=90°，∠E=35°，
∴∠FGH=55°，
∵GE平分∠FGD，AB∥CD，
∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，
∵∠FHG是△EFH的外角，
∴∠EFB=55°﹣35°=20°．
【点评】考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【考点】平行线的判定；三角形的外角性质，三角形内角和定理，邻补角定义，角平分线定义．
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
19．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1
等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）
例2
等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式
等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．
（1）请你解答以上的变式题．
（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【分析】（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；
（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．
解：（1）若∠A为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°﹣2×80°=20°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°；
故∠B=50°或20°或80°；
（2）分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B=（）°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°．
当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．
1．（2020·徐州中考）三角形的两边长分别为和，则第三边长可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据三角形的三边关系判断即可.
解：6-3=3＜第三边长＜6+3=9,只有6cm满足题意,
故选C.
2．（2020·湘潭中考）如图，是的外角，若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据三角形的外角的性质进行计算即可．
解：∵是的外角，
∴=∠B+∠A
∴∠A=-∠B，
∴∠A=60°
故选：D
3．（2020·福建中考）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．
解：∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是．
故选D．
4．（2020·沈阳中考）如图，直线，且于点，若，则的度数为（　　）
A．65°
B．55°
C．45°
D．35°
【答案】B
【解析】根据三角形的内角和求得，再根据平行线的性质可得到的度数．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5．（2020·烟台中考）如图，点G为的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（
）
A．1.7
B．1.8
C．2.2
D．2.4
【答案】A
【解析】由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．
解：∵点G为△ABC的重心，
∴AE＝BE，BF＝CF，
∴EF＝＝1.7，
故选：A．
6．（2020·吉林中考）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
解：如图所示，
由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，
∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，
∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°，
故选：B．
7．（2020·黔南中考）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（
）
A．9
B．17或22
C．17
D．22
【答案】D
【解析】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可．
解：分两种情况：
当腰为4时，，所以不能构成三角形；
当腰为9时，，所以能构成三角形，周长是：．
故选：D．
8．（2020·齐齐哈尔中考）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
【答案】B
【解析】由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．
解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，
∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，
∴∠BAD＝30°
故选：B．
9．（2020·大连中考）如图，中，，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由三角形的内角和定理求出∠C的度数，然后由平行线的性质，即可得到答案．
解：在中，，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
10．（2020·宿迁中考）在△ABC中，AB=1，BC=，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　）
A．2
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题．
解：∵在△ABC中，AB=1，BC=，
∴﹣1＜AC＜+1，
∵﹣1＜2＜+1，4＞+1，5＞+1，6＞+1，
∴AC的长度可以是2，
故选项A正确，选项B、C、D不正确；
故选：A．
11．（2020·锦州中考）如图，在中，，，平分，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在中，利用三角形内角和为求，再利用平分，求出的度数，再在利用三角形内角和定理即可求出的度数．
解：∵在中，，．
∴．　
∵平分．　
∴．　
∴．　
故选C．
12．（2020·北京中考）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（
）
A．∠1=∠2
B．∠2=∠3
C．∠1＞∠4+∠5
D．∠2＜∠5
【答案】A
【解析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．
解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；
由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知
B选项为∠2＞∠3，
C选项为∠1=∠4+∠5，
D选项为∠2＞∠5．
故选：A．
13．（2020·哈尔滨中考）如图，在中，，垂足为D，与关于直线AD对称，点的B对称点是，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由三角形内角和定理，得到，由轴对称的性质，得到，根据外角的性质即可得到答案．
解：在中，，
∴，
∵与关于直线AD对称，
∴，
∴；
故选：A．
14．（2020·绍兴中考）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论.
解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B.
15．（2020·衡阳中考）一副三角板如图摆放，且，则∠1的度数为_________．
【答案】
【解析】如图，把顶点标注字母，由平行线的性质求解,再利用三角形的外角的性质可得答案．
解：如图，把顶点标注字母，
故答案为：
16．（2020·泰州中考）如图，将分别含有、角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为，则图中角的度数为_______．
【答案】
【解析】如图，首先标注字母，利用三角形的内角和求解，再利用对顶角的相等，三角形的外角的性质可得答案．
解：如图，标注字母，
由题意得：
故答案为：
17．（2020·青海中考）已知a，b，c为的三边长．b，c满足，且a为方程的解，则的形状为________三角形．
【答案】等腰三角形
【解析】根据绝对值和平方的非负性可得到b、c的值，再根据式子解出a的值，即可得出结果．
解：∵，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵a是方程的解且a，b，c为的三边长，
∴,
∴是等腰三角形．
18．（2020·杭州中考）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝_____．
【答案】20°
【解析】直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．
解：∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠EFC＝180°，
∵∠EFC＝130°，
∴∠ABF＝50°，
∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°，
∴∠A＝20°．
故答案为：20°．
19．（2020·恩施中考）如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则______．
【答案】
【解析】利用等腰三角形的性质得到∠C=∠4=，利用平行线的性质得到∠1=∠3=，再根据三角形内角和定理即可求解．
解：如图，延长CB交于点D，
∵AB=BC，∠C=，
∴∠C=∠4=，
∵，∠1=，
∴∠1=∠3=，
∵∠C
+∠3+∠2+∠4
=，即
∴
故答案为：．
20．（2020·襄阳中考）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=_______．
【答案】40°
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20°，
∴∠B==80°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，
∵AD=DC，
∴∠C==40°．
21．（2020·本溪中考）如图，四边形是矩形，延长到点，使，连接，点是的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，，得到；…；按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于2，则的面积为_________．（用含正整数的式子表示）
【答案】
【解析】先计算出、、的面积，然后再根据其面积的表达式找出其一般规律进而求解．
解：∵，
∴面积是矩形ABCD面积的一半，∴梯形BCDE的面积为，
∵点是的中点，∴
∴，
，
∴，
∵点是的中点，由中线平分所在三角形的面积可知，
∴，
且，
∴
∴，
同理可以计算出：
，
且，
∴，
∴，
故、、的面积分别为：，
观察规律，其分母分别为2,4,8，符合，分子规律为，
∴的面积为．
故答案为：．
22．（2020·长春中考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画．
要求：
（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；
（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
（3）点在格点上．
【答案】见详解（答案不唯一）
【解析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．
解：经计算可得下图中：图①面积为；图②面积为1；图③面积为，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．
故本题答案如下：
23．（2020·绍兴中考）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由；
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
【答案】（1）∠DAC的度数不会改变，值为45°；（2）n°．
【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠AED＝2∠C，①求得∠DAE＝90°-∠BAD＝90°-（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②即可得到结论；
（2）设∠ABC＝m°，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
解：（1）∠DAC的度数不会改变；
∵EA＝EC，
∴∠AED＝2∠C，①
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAD＝
[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②
由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°；
（2）设∠ABC＝m°，
则∠BAD＝（180°﹣m°）＝90°﹣m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，
∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+m°，
∵EA＝EC，
∴∠CAE＝∠AEB＝90°﹣n°﹣m°，
∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+m°+90°﹣n°﹣m°＝n°．
24．（2020·毕节中考）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：_______；
（2）如图（3），中，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长；
（3）如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【解析】（1）大长方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和即，同时大长方形的面积也可以为，列出等量关系即可；
（2）由勾股定理求出AB，然后根据，代入数值解之即可．
（3）由和三角形面积公式即可得证．
解：（1）如图（2），大长方形的面积为一个小正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大长方形的面积也可以为，
故答案为：；
（2）如图（3）中，，，，
∴,
∵,
∴；
（3）如图（4），
∵，，，垂足分别为点，，，
∴，
∴，
∵AB=AC，
∴CH=OM+ON
即．
1

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