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分
宝
·
一
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精
耕
细
作
，
一
针
见
血
。
研
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教
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，
解
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图形的性质
第4节
等腰三角形
■考点1
等腰三角形?
（1）性质
①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;
③对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线（或底边上的中线或底边上的高）所在的直线就是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；
②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.
■考点2
等边三角形?
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线（或角平分线或中线）所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.
即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.
注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=AB.
■考点3
角平分线?
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．
■考点4
垂直平分线?
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
■考点1：等腰三角形?
◇典例：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（　　）
A．40°
B．36°
C．30°
D．25°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据AB=AC可得∠B=∠C，CD=DA可得∠ADB=2∠C=2∠B，BA=BD，可得∠BDA=∠BAD=2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CD=DA，
∴∠C=∠DAC，
∵BA=BD，
∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，
设∠B=α，
则∠BDA=∠BAD=2α，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴α+2α+2α=180°，
∴α=36°，
∴∠B=36°，
故选B．
◆变式训练
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．
解：如图：
故选D．
2．如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为　
　．
【考点】等腰直角三角形．
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．
解：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB=1，
∴BA1=OB=1，OA1=OB=；
∵△OA1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=4．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴A4A5=OA4=4，OA5=OA4=4，
∵△OA5A6为等腰直角三角形，
∴A5A6=OA5=4，OA6=OA5=8．
∴OAn的长度为（）n．
故答案为：（）n．
■考点2：等边三角形?
◇典例：在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=　
　．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】作AG⊥BC于G，根据等边三角形的性质得出∠B=60°，解直角三角形求得AG=2，根据S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG=2．
解：如图，作AG⊥BC于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴AG=AB=2，
连接AD，则S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∴AB?DE+AC?DF=BC?AG，
∵AB=AC=BC=4，
∴DE+DF=AG=2，
故答案为：2．
◆变式训练
1．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=　
　．
【考点】等边三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC．
又点D是边BC的中点，
∴∠BAD=∠BAC=30°．
故答案是：30°．
【点评】考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
2．已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（　　）
A．3
B．4
C．8
D．9
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论．
解：如图，设BD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，
∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，
∴BF=2x，
∴CF=12﹣2x，
∴CE=2CF=24﹣4x，
∴AE=12﹣CE=4x﹣12，
∴AD=2AE=8x﹣24，
∵AD+BD=AB，
∴8x﹣24+x=12，
∴x=4，
∴AD=8x﹣24=32﹣24=8．
故选C．
■考点3：角平分线?
◇典例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）
A．15
B．30
C．45
D．60
【考点】角平分线的性质．
【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，
又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴△ABD的面积=AB?DE=×15×4=30．
故选B．
◆变式训练
1．如图,OC为∠AOB的平分线.CM⊥OB,OC=5,OM=4，则点C到射线OA的距离为_____．
【考点】角平分线的性质
【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．
解：过C作CF⊥AO．
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM=CF．
∵OC=5，OM=4，
∴CM=3，
∴CF=3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故（1）正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE=定值，故（2）正确，
MN的长度是变化的，故（4）错误，
故选B．
■考点4：垂直平分线?
◇典例：如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）
A．16cm
B．19cm
C．22cm
D．25cm
【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE+EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
◆变式训练
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为　
　．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；
解：∵AB=AC，
BE=a，AE=b，
∴AC=AB=a+b，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE=b，
∴∠ECA=∠BAC=36°，
∵∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，
∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，
∴CE=BC=b，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b
故答案为：2a+3b．
2．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=　
　度．
【考点】线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC，得到∠EAC=∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠FAC=∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C=180°，
解得，∠C=24°，
故答案为：24．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
1．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）
A．20°
B．35°
C．40°
D．70°
【考点】等腰三角形的性质
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．
解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠ACB=35°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．
2．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（　　）
A．4
B．6
C．
D．8
【考点】含30度角的直角三角形；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMB=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选：B．
【点评】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
3．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　）
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
【考点】平行线的性质，角平分线的判定与性质
【分析】作MN⊥AD于N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB，计算即可．
解：作MN⊥AD于N，
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，
∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，
∴MN=MC，
∵M是BC的中点，
∴MC=MB，
∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，
∴∠MAB=∠DAB=35°，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（　　）
A．50°
B．70°
C．75°
D．80°
【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∴∠DAC=∠C=25°，
∵∠B=60°，∠C=25°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=70°，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
【考点】等边三角形的性质
【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB﹣∠ECB=15°，
故选：A．
6．如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　　）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．平行、相交或垂直
【考点】等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定
【分析】先判断出OA=OB，∠OAB=∠ABO，分两种情况判断出∠ABD=∠AOB=60°，进而判断出△AOC≌△ABD，即可得出结论．
解：∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°
①当点C在线段OB上时，如图1，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
②当点C在OB的延长线上时，如图2，
同①的方法得出OA∥BD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=60°，
∴∠OAC=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，，
∴△AOC≌△ABD，
∴∠ABD=∠AOC=60°，
∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，
∴BD∥OA，
故选：A．
7．若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于　
　°．
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案．
解：∵等腰三角形的顶角等于50°，
又∵等腰三角形的底角相等，
∴底角等于（180°﹣50°）×=65°．
故答案为：65．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
8．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=　
　．
【考点】平行线的性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形
【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答．
解：作EH⊥OA于H，
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH=EC=1，∠AOB=30°，
∵EF∥OB，
∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，
∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，
∴OF=EF=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9．如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为　
　．
【考点】等腰直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=8﹣x，且A1B=4，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案．
解：
由折叠的性质可得AE=A1E，
∵△ABC为等腰直角三角形，BC=8，
∴AB=8，
∵A1为BC的中点，
∴A1B=4，
设AE=A1E=x，则BE=8﹣x，
在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用．
10．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD的面积为　
　．
【考点】作图—基本作图，等边三角形的判定和性质
【分析】只要证明△ABD是等边三角形，推出BD=AD=DC，可得S△ADC=S△ABD即可解决问题；
解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠C=∠DAC=30°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=DC，
∴S△ADC=S△ABD=×62=9，
故答案为9．
11．已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【分析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF，
∴∠A=∠C，
∴BA=BC，∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
12．如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　
　°．
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB=AC，∠B=∠ACF，BE=CF，从而可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，
∴∠BAE=∠CAF=30°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴∠ADC==75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
13．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；
（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．
解：（1）∠ABE=∠ACD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由（1）可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
14．已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．
（1）如图1，求证：AD=CD；
（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．
【考点】等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质
【分析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；
（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．
解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，
∴∠ADE=∠CGF，
∵AC⊥BD、BF⊥CD，
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，
∴∠DAE=∠GCF，
∴AD=CD；
（2）设DE=a，
则AE=2DE=2a，EG=DE=a，
∴S△ADE=AE?DE=?2a?a=a2，
∵BH是△ABE的中线，
∴AH=HE=a，
∵AD=CD、AC⊥BD，
∴CE=AE=2a，
则S△ADC=AC?DE=?（2a+2a）?a=2a2=2S△ADE；
在△ADE和△BGE中，
∵，
∴△ADE≌△BGE（ASA），
∴BE=AE=2a，
∴S△ABE=AE?BE=?（2a）?2a=2a2，
S△ACE=CE?BE=?（2a）?2a=2a2，
S△BHG=HG?BE=?（a+a）?2a=2a2，
综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．
15．已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，补角及余角
【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF；
（2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF．
（1）证明：连接AD，如图①所示．
∵∠A=90°，AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．
∵点D为BC的中点，
∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．
∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF．
在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF；
（2）BE=AF，证明如下：
连接AD，如图②所示．
∵∠ABD=∠BAD=45°，
∴∠EBD=∠FAD=135°．
∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，
∴∠EDB=∠FDA．
在△EDB和△FDA中，，
∴△EDB≌△FDA（ASA），
∴BE=AF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、补角及余角，解题的关键是：（1）根据全等三角形的判定定理ASA证出△BDE≌△ADF；（2）根据全等三角形的判定定理ASA证出△EDB≌△FDA．
1．（2020·福建中考）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（
）
A．10
B．5
C．4
D．3
【答案】B
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD的长．
解：∵是等腰三角形的顶角平分线
∴CD=BD=5．
故选：B．
2．（2020·益阳中考）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°，
∵平分，
∴∠ACB=2∠ACD=100°，
∴∠B=180°-100°-50°=30°，
故选：B．
3．（2020·阿坝州中考）如图，等腰△中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定≌的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．
解：
A、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据SAS判定≌，故本选项不符合题意；
B、若添加，不能判定≌，故本选项符合题意；
C、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据AAS判定≌，故本选项不符合题意；
D、若添加，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ACD，由于∠A是公共角，则可根据ASA判定≌，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．（2020·呼伦贝尔中考）如图，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（
）
A．25°
B．20°
C．30°
D．15°
【答案】D
【解析】根据等要三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．
解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65°，
∴∠A=180°-65°×2=50°，
∵MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=50°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°，
故选D．
5．（2020·枣庄中考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（
）
A．8
B．11
C．16
D．17
【答案】B
【解析】根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，然后利用等量代换即可得到△ACE的周长=AC+BC，再把BC=6，AC=5代入计算即可．
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴△ACE的周长=AC+CE+AE
=AC+CE+BE
=AC+BC
=5+6
=11．
故选B．
6．（2020·铜仁中考）已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．4
【答案】C
【解析】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可．
解：根据等边三角形的三线合一性质：
设它的边长为x，可得：，
解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），
故选：C．
7．（2020·宁波中考）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）
A．△ABC的周长
B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长
D．四边形ADEC的周长
【答案】A
【解析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．
解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF
＝BD+CE+AF+BE+DF
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．
故选：A．
8．（2020·南充中考）如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（
）
A．
B．
C．a-b
D．b-a
【答案】C
【解析】根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可．
解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，
∴∠ABD=36°=∠A，
∴BD=AD，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴BD=BC，
∵AB=AC=a，BC=b，
∴CD=AC-AD=a-b，
故选：C．
9．（2020·宜宾中考）如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．不等边三角形
【答案】C
【解析】先证明，得到，根据已知条件可得，证明，得到，即可得到结果；
解：∵都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形．
故答案选C．
10．（2020·绵阳中考）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　）
A．16°
B．28°
C．44°
D．45°
【答案】C
【解析】延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，
解：延长，交于，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
故选：．
11．（2020·四川中考）如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到．此时恰好点C在上，交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由旋转的性质得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，则△BCC'是等边三角形，∠CBC'=60°，得出∠BEA=90°，设CE=a，则BE=a，AE=3a，求出，可求出答案．
解：∵∠A=30°，∠ABC=90°，
∴∠ACB=60°，
∵将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，
∴BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，
∴△BCC'是等边三角形，
∴∠CBC'=60°，
∴∠ABA'=60°，
∴∠BEA=90°，
设CE=a，则BE=a，AE=3a，
∴，
∴，
∴△ABE与△ABC的面积之比为．
故选：D．
12．（2020·重庆中考）如图，在△ABC中，AC=，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（　　）
A．
B．3
C．
D．4
【答案】C
【解析】根据三角形内角和定理、翻折及等腰三角形判定，依次易得∠ACB=120°，∠ACE=120°，∠CAE=30°，AC=EC，再进一步证明△ABC≌△EBC，得到BE=BA．延长BC交AE于F，由CE=CA，BE=BA，根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知BC是线段AE的垂直平分线，，即∠AFC=90°，在Rt△AFC中解直角三角形得AF=，在Rt△AFB中，∠ABC=45°，解直角三角形得AB=AF=，进而得到BE的长.
解：在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=15°，
∴∠ACB=120°，
∵将△ACB沿直线AC翻折，得△ACD，
∴∠ACE=∠ACB=120°，∠DAE=∠DAC=∠BAC=15°，即∠CAE=30°，
在△ACE中，∠CEA=180°-∠ACE-∠CAE=30°，
∴AC=EC，
又∵∠ECB=360°-∠ACE-∠ACB=120°，
在△EBC和△ABC中，
∴△EBC≌△ABC，
∴BE=BA.
如下图，延长BC交AE于F，
∵CE=CA，BE=BA，
∴BC是线段AE的垂直平分线，即∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠CAF=30°，AC=，
∴AF=AC·cos∠CAF=.
在Rt△AFB中，∠ABC=45°，
∴AB=AF=，
∴BE=AB=.
故选：C.
13．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定．
解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC,
∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE,
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；
∵平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
14．（2020·湘潭中考）如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．
【答案】3
【解析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，，，
∴PM=PD=3
故答案为：3
15．（2020·湖北中考）如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______．
【答案】
【解析】由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案．
解：
是的垂直平分线．，
的周长
故答案为：
16．（2020·黄冈中考）已知：如图，在中，点在边上，，则_______度．
【答案】40
【解析】根据等边对等角得到，再根据三角形外角的性质得到，故，由三角形的内角和即可求解的度数．
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40．
17．（2020·阜新中考）如图，直线a，b过等边三角形顶点A和C，且，，则的度数为________．
【答案】102°
【解析】根据题意可求出的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．
解：三角形ABC为等边三角形
故答案为：．
18．（2020·常州中考）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则_________°．
【答案】30
【解析】根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.
解：∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠B=∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC=60°，
∴∠B=∠BCF=30°.
故答案为：30.
19．（2020·上海中考）如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，CD=3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为____．
【答案】．
【解析】过E点作EH⊥BC于H，证明△ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函数即可求出HE的长．
解：如图，过点E作EH⊥BC于H，
∵BC=7，CD=3，
∴BD=BC-CD=4，
∵AB=4=BD，∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∴∠ADC=∠ADE=120°，
∴∠EDH=60°，
∵EH⊥BC，∴∠EHD=90°．
∵DE=DC=3，
∴EH=DE×sin∠HDE=3×=，
∴E到直线BD的距离为．
故答案为：．
20．（2020·营口中考）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为_____．
【答案】3
【解析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值为CF，根据等边三角形的性质得到BF＝AB＝6＝3，根据勾股定理即可得到结论．
解：过C作CF⊥AB交AD于E，
则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值为CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，
∴BF＝AB＝6＝3，
∴CF＝＝＝3，
∴CE+EF的最小值为3，
故答案为：3．
21．（2020·宿迁中考）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为_____．
【答案】5
【解析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=6，
∴∠ADB=90°，
∴AB=，
∵E为AB的中点，
∴DE=AB=5，
故答案为：5．
22．（2020·眉山中考）如图，等腰中，，边的垂直平分线交于点，交于点．若的周长为，则的长为________．
【答案】
【解析】过点A作AF⊥BC于F，先根据垂直平分线已知条件得出BC=16，再根据等腰三角形的三线合一和勾股定理得出AF=6，再根据即可得出结论
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，∠DEC=90°，AE=5
∵的周长为，
∴AB+BD+AD=26
∴AB+BD+DC=AB+BC=26
∵AB=10，∴BC=16，
过点A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC=10
∴CF=8，
∵∠DEC=∠AFC=
90°，∠C=∠C
∴
∴
∴
∴DE=
故答案为：
23．（2020·广元中考）如图所示，均为等边三角形，边长分别为，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确的________________．（填序号）
①
②
③为等边三角形
④
⑤CM平分
【答案】①②③⑤
【解析】①根据等边三角形的性质得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，则∠ACE＝60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD＝BE；
②过E作,根据等边三角形求出ED、CN的长，即可求出BE的长；
③由等边三角形的判定得出△CMN是等边三角形；
④证明△DMC∽△DBA，求出CM长；
⑤证明M、F、C、G四点共圆，由圆周角定理得出∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，得出∠BMC＝∠DMC，所以CM平分∠BMD.
解：连接MC，FG，过点E作EN⊥BD，垂足为N，
①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE＝120°，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；①正确；
②∵△CDE都是等边三角形，且边长为3cm.
∴CN=cm，EN=cm.
∵BC=5cm.
∴，②正确；
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ACG和△BCF中，
∴△ACG≌△BCF（ASA），
∴CG＝CF
而∠GCF＝60°，
∴△CFG是等边三角形，③正确；
⑤∵∠EMD＝∠MBD＋∠MDB＝∠MAC＋∠MDB＝60°＝∠FCG，
∴M、F、C、G四点共圆，
∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，
∴∠BMC＝∠DMC，
∴CM平分∠BMD，⑤正确；
④∵∠DMC=∠ABD，∠MDC=∠BDA
∴△DMC∽△DBA
∴
∴
∴CM=.④错误.
故答案为：①②③⑤.
24．（2020·广东中考）如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点，求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【解析】先证明，得到，，进而得到，故可求解．
解：证明：在和中
∴
∴
∴
又∵
∴
即
∴是等腰三角形．
25．（2020·荆州中考）如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
（1）求证：；
（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）先利用旋转的性质证明△ABD为等边三角形，则可证，即再根据平行线的判定证明即可．
（2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．
解：（1）证明：由旋转性质得：
是等边三角形
所以
∴；
（2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，
所以A，C两点经过的路径长之和为．
26．（2020·荆门中考）如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出，，再根据垂直与外角的性质即可求出；
（2）根据题意证明，再得到为等边三角形，故可得到，可根据三角函数的性质即可求出AF．
解：（1）∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，．
27．（2020·哈尔滨中考）已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．
【答案】（1）证明见解析；（2）、、、．
【解析】（1）可得，进而利用SAS证明，即可得出结论；
（2）由已知计算出图形中角的度数，由等角对等边即可得出结论．
解：（1）证明：如图1，
，
，
在和中，
，
∴（SAS），
∴；
（2）顶角为45°的等腰三角形有以下四个：、、、．
证明：∵，，
∴，，
∵，，即：是等腰三角形，；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴、即：、是等腰三角形，，
∵
∴∠DBF=∠C=45°，，
又∵，
∴，
∴、即：是等腰三角形，．
28．（2020·烟台中考）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（问题解决）
（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
（类比探究）
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析
【解析】（1）在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；
（2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
解：（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
（2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
1第四章
图形的性质
第4节
等腰三角形
■考点1
等腰三角形?
（1）性质
①等边对__________：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三线合一：顶角的__________、底边上的__________和底边上的__________互相重合;
③对称性：等腰三角形是__________对称图形，顶角的平分线（或底边上的中线或底边上的高）所在的__________就是对称轴.
（2）判定
①定义：有两边__________的三角形是等腰三角形；
②等角对__________：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.
注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.
失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为__________.
■考点2
等边三角形?
（1）性质
①边角关系：三边__________，三角都相等且都等于__________.
②对称性：等边三角形是__________对称图形，三条高线（或角平分线或中线）所在的__________是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都__________的三角形是等边三角形；
②三个角都__________（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的__________三角形是等边三角形.
即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.
注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=AB.
■考点3
角平分线?
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的__________相等．即若∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的__________上．
■考点4
垂直平分线?
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离__________．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的__________上．
■考点1：等腰三角形?
◇典例：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA，则∠B的大小为（　　）
A．40°
B．36°
C．30°
D．25°
◆变式训练
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为　
　．
■考点2：等边三角形?
◇典例：在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE+DF=　
　．
◆变式训练
1．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=　
　．
2．已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G．当G与D重合时，AD的长是（　　）
A．3
B．4
C．8
D．9
■考点3：角平分线?
◇典例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（　　）
A．15
B．30
C．45
D．60
◆变式训练
1．如图,OC为∠AOB的平分线.CM⊥OB,OC=5,OM=4，则点C到射线OA的距离为_____．
2．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
■考点4：垂直平分线?
◇典例：如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）
A．16cm
B．19cm
C．22cm
D．25cm
◆变式训练
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为　
　．
2．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=　
　度．
1．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）
A．20°
B．35°
C．40°
D．70°
2．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（　　）
A．4
B．6
C．
D．8
3．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　）
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD为（　　）
A．50°
B．70°
C．75°
D．80°
5．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
6．如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　　）
A．平行
B．相交
C．垂直
D．平行、相交或垂直
7．若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于　
　°．
8．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=　
　．
9．如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为　
　．
10．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD的面积为　
　．
11．已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
12．如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=　
　°．
13．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
14．已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．
（1）如图1，求证：AD=CD；
（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．
15．已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．
（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；
（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．
1．（2020·福建中考）如图，是等腰三角形的顶角平分线，，则等于（
）
A．10
B．5
C．4
D．3
2．（2020·益阳中考）如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·阿坝州中考）如图，等腰△中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定≌的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·呼伦贝尔中考）如图，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（
）
A．25°
B．20°
C．30°
D．15°
5．（2020·枣庄中考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（
）
A．8
B．11
C．16
D．17
6．（2020·铜仁中考）已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．4
7．（2020·宁波中考）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）
A．△ABC的周长
B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长
D．四边形ADEC的周长
8．（2020·南充中考）如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（
）
A．
B．
C．a-b
D．b-a
9．（2020·宜宾中考）如图，都是等边三角形，且B，C，D在一条直线上，连结，点M，N分别是线段BE，AD上的两点，且，则的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．不等边三角形
10．（2020·绵阳中考）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　）
A．16°
B．28°
C．44°
D．45°
11．（2020·四川中考）如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝90°．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到．此时恰好点C在上，交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·重庆中考）如图，在△ABC中，AC=，∠ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（　　）
A．
B．3
C．
D．4
13．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
14．（2020·湘潭中考）如图，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，则的最小值为________．
15．（2020·湖北中考）如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______．
16．（2020·黄冈中考）已知：如图，在中，点在边上，，则_______度．
17．（2020·阜新中考）如图，直线a，b过等边三角形顶点A和C，且，，则的度数为________．
18．（2020·常州中考）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则_________°．
19．（2020·上海中考）如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，CD=3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为____．
20．（2020·营口中考）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为_____．
21．（2020·宿迁中考）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为_____．
22．（2020·眉山中考）如图，等腰中，，边的垂直平分线交于点，交于点．若的周长为，则的长为________．
23．（2020·广元中考）如图所示，均为等边三角形，边长分别为，B、C、D三点在同一条直线上，则下列结论正确的________________．（填序号）
①
②
③为等边三角形
④
⑤CM平分
24．（2020·广东中考）如图，在中，点，分别是、边上的点，，，与相交于点，求证：是等腰三角形．
25．（2020·荆州中考）如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD．
（1）求证：；
（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．
26．（2020·荆门中考）如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
27．（2020·哈尔滨中考）已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°．
28．（2020·烟台中考）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（问题解决）
（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
（类比探究）
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
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