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第四章
图形的性质
第5节
直角三角形
■考点1
直角三角形的性质?
（1）两锐角__________．即∠A＋∠B＝__________；
（2）30°角所对的直角边等于斜边的__________．即若∠B＝30°，则AC＝__________；
（3）斜边上的__________长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则__________＝AB．
（4）勾股定理：两直角边a、b的__________等于斜边c的平方．即a2＋b2＝__________．
■考点2
直角三角形的判定?
（1）有一个角是__________的三角形是直角三角形．即若∠C＝__________，则△ABC是直角三角形；
（2）如果三角形一条边的中线等于这条边的__________，那么这个三角形是直角三角形．
即若AD＝BD＝__________，则△ABC是直角三角形
（3）勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝__________，则△ABC是直角三角形．
■考点3
直角三角形的综合应用?
（1）直角三角形的面积S=ch=ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题．
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论．
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决．
■考点1：直角三角形的性质?
◇典例：如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（
）
A.图①
B.图②
C.图③
D.图④
◆变式训练
1．如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（　　）
A．55°
B．50°
C．45°
D．40°
2．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是　
　．
■考点2：直角三角形的判定?
◇典例：一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是(　
　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
◆变式训练
1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．，，
B．1，，
C．6，7，8
D．2，3，4
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．3，4，4
B．3，4，5
C．3，4，6
D．3，4，7
■考点3
直角三角形的实际应用?
◇典例：如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　）
A．0.7米
B．1.5米
C．2.2米
D．2.4米
◆变式训练
1．如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为　
　．
1．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于(
)
A．1和2之间
B．2和3之间
C．3和4之间
D．4和5之间
3．如图，在正六边形中，，则它的边长是（
）
A．1
B．
C．
D．2
4．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)(　　)
A．3
B．5
C．
D．4
6．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为（
）
A．2+
B．
C．
D．3
7．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE=10，AE=16，则BE的长度（
）
A．10
B．11
C．12
D．13
8．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．6个
9．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（　　）
A．7.5平方千米
B．15平方千米
C．75平方千米
D．750平方千米
10．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积.
如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知等腰三角形的底角是，腰长为，则它的周长是_____．
12．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为
．
13．在中，若，，，则的面积是______．
14．如图，把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，折痕分别为EF，DG，得到，，若，则FG的长为_____．
15．如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13．点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是___．
16．如图，在中，，，过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；……按照上面的作法进行下去，则的面积为_____．（用含正整数n的代数式表示）
17．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
(1)求DC的长；
(2)求AB的长．
18．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
19．已知，如图，在中，是的中点，，垂足为，交于点，且，
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）．
（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积、、之间的数量关系是（
）．
（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积、、之间的数量关系是（
），请说明理由．
（3）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD、BC为边向四边形外作正方形，其面积分别为、、、，则、、、之间的数量关系式为（
），请说明理由．
1．（2020·河北中考）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（
）
A．1，4，5
B．2，3，5
C．3，4，5
D．2，2，4
2．（2020·盘锦中考）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·淄博中考）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（
）
A．a2+b2＝5c2
B．a2+b2＝4c2
C．a2+b2＝3c2
D．a2+b2＝2c2
4．（2020·赤峰中考）如图，Rt△ABC中，∠ACB
=
90°，AB
=
5，AC=
3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'
，则四边形ABC'A'的面积是
（
）
A．15
B．18
C．20
D．22
5．（2020·烟台中考）如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（
）
A．（）n
B．（）n﹣1
C．（）n
D．（）n﹣1
6．（2020·大庆中考）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（
）
A．或
B．15
C．
D．
7．（2020·陕西中考）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·金华中考）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·新疆中考）如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线，交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB=CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（
）
A．
B．5
C．
D．10
10．（2020·枣庄中考）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·威海中考）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知，则图中阴影部分的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·日照中考）如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是_____．
13．（2020·绥化中考）在中，，若，则的长是________．
14．（2020·黔西南中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．
15．（2020·四川中考）如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．
16．（2020·黔南中考）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．
17．（2020·娄底中考）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值．
18．（2020·贵阳中考）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
19．（2020·北京中考）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
20．（2020·锦州中考）已知和都是等腰直角三角形，．
（1）如图1：连，求证：；
（2）若将绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在边上时，求证：；
②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长．
6(共64张PPT)
加
分
宝
·
一
轮
复
习
课
件
精
耕
细
作
，
一
针
见
血
。
研
究
教
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根
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，
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图形的性质
第5节
直角三角形
■考点1
直角三角形的性质?
（1）两锐角互余．即∠A＋∠B＝90°；
（2）30°角所对的直角边等于斜边的一半．即若∠B＝30°，则AC＝AB；
（3）斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB．
（4）勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2．
■考点2
直角三角形的判定?
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形．即若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形；
（2）如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
即若AD＝BD＝CD，则△ABC是直角三角形
（3）勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
■考点3
直角三角形的综合应用?
（1）直角三角形的面积S=ch=ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题．
（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论．
（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决．
■考点1：直角三角形的性质?
◇典例：如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（
）
A.图①
B.图②
C.图③
D.图④
【考点】余角和补角
【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
解：图①，∠α+∠β=180°﹣90°，互余；
图②，根据同角的余角相等，∠α=∠β；
图③，根据等角的补角相等∠α=∠β；
图④，∠α+∠β=180°，互补．
故选A．
【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
◆变式训练
1．如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（　　）
A．55°
B．50°
C．45°
D．40°
【考点】平行线的性质，直角三角形的性质
【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题；
解：
∵∠1=∠3=50°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=40°，
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，三角板的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是　
　．
【考点】含30度角的直角三角形
【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；
解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．
在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，
∴AE=2AB=8，
在Rt△ABF中，AF=AB=2，
∴AD的取值范围为2＜AD＜8，
故答案为2＜AD＜8．
■考点2：直角三角形的判定?
◇典例：一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是(　
　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形．
解：设三角分别为x，
2x，3x，，
依题意得2x+3x+x=180°，
解得x=30°．
故三角30°，60°，90°．
故选B．
◆变式训练
1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．，，
B．1，，
C．6，7，8
D．2，3，4
【考点】勾股定理的逆定理
【分析】勾股定理的逆定理．.知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；
B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；
D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．3，4，4
B．3，4，5
C．3，4，6
D．3，4，7
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可．
解：A、因为32+42＞42，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意；
B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，符合题意；
C、因为3+4＞6，且32+42＜62，所以三条线段能组成钝角三角形，不符合题意；
D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意．
故选：B．
■考点3
直角三角形的实际应用?
◇典例：如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（　　）
A．0.7米
B．1.5米
C．2.2米
D．2.4米
【考点】勾股定理的应用．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴AB2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，
∴BD2+22=6.25，
∴BD2=2.25，
∵BD＞0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．
故选C．
◆变式训练
1．如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】平面展开﹣最短路径问题，勾股定理
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，
所以AC=，
故选：C．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
2．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为　
　．
【考点】勾股定理的应用
【分析】设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．
解：设AC=x，
∵AC+AB=10，
∴AB=10﹣x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2．
故答案为：x2+32=（10﹣x）2．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
1．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．
解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：
故选B.
2．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于(
)
A．1和2之间
B．2和3之间
C．3和4之间
D．4和5之间
【答案】C
【解析】利用勾股定理求出AB的长，再根据无理数的估算即可求得答案.
解：由作法过程可知，OA=2，AB=3，
∵∠OAB=90°，
∴OB=，
∴P点所表示的数就是，
∵，
∴，
即点P所表示的数介于3和4之间，
故选C.
3．如图，在正六边形中，，则它的边长是（
）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】D
【解析】过点B作BG⊥AC于点G．，正六边形ABCDEF中，每个内角为（6-2）×180°÷6=120°，即∠ABC=120°，∠BAC=∠BCA=30°，于是AG=，AB=2.
解：如图，过点作于点．
正六边形中，每个内角为，
∴，
∴，
∴，
即边长为2．
故选D．
4．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据平行线的性质和勾股定理进行计算，即可得到答案.
解：由作法得垂直平分，
，，
，
，
，
为斜边上的中线，
，
．
故选．
5．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图)，则折断后的竹子高度为多少尺？(1丈=10尺)(　　)
A．3
B．5
C．
D．4
【答案】C
【解析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
解：设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：
x2+42=（10-x）2，
解得：x=4.2，
答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．
故选C．
6．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为（
）
A．2+
B．
C．
D．3
【答案】A
【解析】如图，过点D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得DF=DE=1，在Rt△BED中，根据30度角所对直角边等于斜边一半可得BD长，在Rt△CDF中，由∠C=45°，可知△CDF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得CD的长，继而由BC=BD+CD即可求得答案.
解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF=DE=1，
在Rt△BED中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2，
在Rt△CDF中，∠C=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CF=DF=1，
∴CD==，
∴BC=BD+CD=，
故选A.
7．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE=10，AE=16，则BE的长度（
）
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】C
【解析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半这一性质可求出AB的长，再根据勾股定理即可求出BE的长．
解：∵BE⊥AC，∴△AEB是直角三角形．
∵D为AB中点，DE=10，∴AB=20．
∵AE=16，∴BE12．
故选C．
8．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．6个
【答案】D
【解析】当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有:C、D,E,H四个;
当AB是直角边,A是直角顶点时,第三个顶点是F点;
当AB是直角边,B是直角顶点时,第三个顶点是G.
因而共有6个满足条件的顶点.
故选D.
9．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（　　）
A．7.5平方千米
B．15平方千米
C．75平方千米
D．750平方千米
【答案】A
【解析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故选A．
10．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积.
如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得EM=DN，利用勾股定理即可求得．
解：如图，为剪痕，过点作于.
∵将该图形分成了面积相等的两部分，
∴经过正方形对角线的交点，
∴.
易证，
∴，
而，
∴.
在中，
.
故选：D.
11．已知等腰三角形的底角是，腰长为，则它的周长是_____．
【答案】
【解析】作于，由等腰三角形的性质和勾股定理，进行计算即可得到答案.
解：作于，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得,，
，
的周长为：，
故答案为：．
12．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为
．
【答案】7
【解析】∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC=.
∵△ADE是△CDE翻折而成，
∴AE=CE，
∴AE+BE=BC=4，
∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．
故答案是：7．
13．在中，若，，，则的面积是______．
【答案】75或25
【解析】过点作于点，通过解直角三角形及勾股定理可求出，，的长，进而可得出的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积．
解：过点作，垂足为，如图所示．
在中，，；
在中，，，
∴，
∴或，
∴或25．
故答案为75或25．
14．如图，把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，折痕分别为EF，DG，得到，，若，则FG的长为_____．
【答案】．
【解析】根据折叠的性质可得：FG是△ABC的中位线，AC的长即为△BDE的周长.在Rt△BDE中，根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理可分别求出BD与BE的长，从而可得AC的长，再根据三角形的中位线定理即得答案.
解：∵把三角形纸片折叠，使点A、点C都与点B重合，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13．点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是___．
【答案】7或．
【解析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长．
解：在Rt△ABC中，，
（1）当∠EDB′＝90°时，如图1，
过点B′作B′F⊥AC，交AC的延长线于点F，
由折叠得：AB＝AB′＝13，BD＝B′D＝CF，
设BD＝x，则B′D＝CF＝x，B′F＝CD＝12﹣x，
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：
，
即：x2﹣7x＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝7，
因此，BD＝7．
（2）当∠DEB′＝90°时，如图2，此时点E与点C重合，
由折叠得：AB＝AB′＝13，则B′C＝13﹣5＝8，
设BD＝x，则B′D＝x，CD＝12﹣x，
在中，由勾股定理得：，解得：，
因此．
故答案为：7或．
16．如图，在中，，，过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；……按照上面的作法进行下去，则的面积为_____．（用含正整数n的代数式表示）
【答案】
【解析】由勾股定理得出，易证，得出，则，同理，，则，同理，，，，则，同理，，，，则，同理推出．
解：由等腰三角形的性质得出，由含30°角直角三角形的性质得出，
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理，，
，
同理，，
，
，
，
同理，，
，
，
…，
，
故答案为：．
17．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
(1)求DC的长；
(2)求AB的长．
【答案】（1）DC=12；（2）AB=25
【解析】（1）直接利用勾股定理可求得DC的长；
（2）先利用勾股定理求得AD的长，再利用线段的和即可求出AB的长．
解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA=90°，
在Rt△BDC中，
，
解得DC=12
；
（2）在Rt△ADC中，
，
，
解得AD=16，
∴AB=AD+BD=16+9=25．
18．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
【答案】（1）是，理由见解析；（2）2.5米．
【解析】（1）先根据勾股定理逆定理证得Rt△CHB是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；
（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，在Rt△ACH中，根据勾股定理列方程求得x即可．
解：（1）∵，即，
∴Rt△CHB是直角三角形，即CH⊥BH，
∴CH是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；
（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，
∵在Rt△ACH，
∴，即
，解得x＝2.5，
∴原来的路线AC的长为2.5米．
19．已知，如图，在中，是的中点，，垂足为，交于点，且，
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）连接CE，由线段垂直平分线的性质可求得BE=CE，再结合条件可求得EA2+AC2=CE2，可证得结论；
（2）在Rt△BDE中可求得BE，则可求得CE，在Rt△ABC中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于AE的方程，可求得AE．
解：（1）连接，如图，
∵是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，即；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：．
20．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）．
（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积、、之间的数量关系是（
）．
（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积、、之间的数量关系是（
），请说明理由．
（3）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD、BC为边向四边形外作正方形，其面积分别为、、、，则、、、之间的数量关系式为（
），请说明理由．
【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3），理由见解析
．
【解析】（1）利用直角的边长就可以表示出等边三角形、、的大小，满足勾股定理；
（2）利用直角的边长就可以表示出半圆、、的大小，满足勾股定理；
（3）利用BC、AD的长分别表示正方形、、、的大小，根据BC=2AD，即可求解．
解：（1）由题意可得：，
，，，
，
故答案为：；
（2）由题意得：
，，，
，
故答案为：；
（3）过D作，交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形，
故，
又∵BC=2AD，
∴，
，
∴，
∵，，，，
∴，
故答案为：．
1．（2020·河北中考）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（
）
A．1，4，5
B．2，3，5
C．3，4，5
D．2，2，4
【答案】B
【解析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大三角形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形．
解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：；
B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：；
C、∵3+4≠5，则不符合题意；
D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：；
∵，
故选：B．
2．（2020·盘锦中考）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】找到题中的直角三角形，设芦苇的长度是尺，根据勾股定理即可得出答案．
解：设芦苇的长度是尺，如下图
则，，
在中，
即
故选B．
3．（2020·淄博中考）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（
）
A．a2+b2＝5c2
B．a2+b2＝4c2
C．a2+b2＝3c2
D．a2+b2＝2c2
【答案】A
【解析】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
4．（2020·赤峰中考）如图，Rt△ABC中，∠ACB
=
90°，AB
=
5，AC=
3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'
，则四边形ABC'A'的面积是
（
）
A．15
B．18
C．20
D．22
【答案】A
【解析】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案．
解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
由勾股定理可得：，
∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，
∴，
又∵BB’=3，A’C’=
3，
∴，
∴，
故选：A．
5．（2020·烟台中考）如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（
）
A．（）n
B．（）n﹣1
C．（）n
D．（）n﹣1
【答案】B
【解析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．
解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，
∴OA2＝；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴OA3＝2＝；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴OA4＝2＝．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴OA5＝4＝，
……
∴OAn的长度为（）n﹣1，
故选：B．
6．（2020·大庆中考）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（
）
A．或
B．15
C．
D．
【答案】A
【解析】判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断．
解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则，
若m是斜边，则；
在第二个直接三角形中，若n是直角边，则，
若n是斜边，则；
又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10不能同时取，
即当m=5，，，
当，n=10，，
故选：A．
7．（2020·陕西中考）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
8．（2020·金华中考）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】证明，得出．设，则，，由勾股定理得出，则可得出答案．
解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
设，
为，的交点，
，，
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
，
，
，
．
故选：．
9．（2020·新疆中考）如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线，交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB=CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（
）
A．
B．5
C．
D．10
【答案】A
【解析】利用D为AB的中点，DE//BC，证明DE是中位线，求得的面积，利用相似三角形的性质求解的面积，由勾股定理可得答案．
解：是AB的中点，
是的中位线，
故选A．
10．（2020·枣庄中考）如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，作轴于．解直角三角形求出，即可．
解：如图，作轴于．
由题意：，，
，
，，
，
，
故选B．
11．（2020·威海中考）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知，则图中阴影部分的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
如图，设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2x＝20，解方程即可解决问题．
解：如图，设OF＝EF＝FG＝x，
∴OE＝OH＝2x，
在Rt△EOH中，EH＝2x，
由题意EH＝20cm，
∴20＝2x，
∴x＝5，
∴阴影部分的面积＝（5）2＝50（cm2），
故选：C．
12．（2020·日照中考）如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是_____．
【答案】25°
【解析】延长EF交BC于点G，根据题意及直角三角形的性质可直接进行求解．
解：如图，延长EF交BC于点G，
∵直尺，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠3＝65°，
又∵30°角的直角三角板，
∴∠1＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25°．
13．（2020·绥化中考）在中，，若，则的长是________．
【答案】17
【解析】在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，
即（AB-2）2+82=AB2，
解得AB=17．
故答案为：17．
14．（2020·黔西南中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，则BD的长度为________．
【答案】
【解析】首先证明DB=AD=2CD，然后再由条件BC=可得答案．
解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴CD＝AD．
∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD，
∴BD＝2CD．
∵BC＝，
∴CD＋2CD＝，
∴CD＝，
∴DB＝，
故答案为：．
15．（2020·四川中考）如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．
【答案】4.5
【解析】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等角对等边得出AD＝BD＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可．
解：
只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以10.5海里的圆内或圆上即可，
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝6海里，
由勾股定理得：AC＝＝6（海里），
如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．
解得x＝4.5．
渔船还需航行
4.5海里就开始有触礁的危险．
故答案是：4.5．
16．（2020·黔南中考）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．
【答案】10
【解析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．
解：在中，
∵，
∴．
在中，
．
故答案为：10．
17．（2020·娄底中考）由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积的和证明了勾股定理，还可以用来证明结论：若、且为定值，则当_______时，取得最大值．
【答案】=
【解析】设为定值，则，先根据“张爽弦图”得出，再利用平方数的非负性即可得．
解：设为定值，则
由“张爽弦图”可知，
即
要使的值最大，则需最小
又
当时，取得最小值，最小值为0
则当时，取得最大值，最大值为
故答案为：．
18．（2020·贵阳中考）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形．
（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】（1）画一个边长为3,4,5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为、和4的线段，画三角形即可；
（3）利用勾股定理，找长为、和的线段，画三角形即可；
解：（答案不唯一）
（1）图①（2）图②（3）图③
19．（2020·北京中考）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）；（2）图见解析，，证明见解析．
【解析】（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得，，，再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，然后利用勾股定理即可得；
（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理、等量代换即可得证．
解：（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点
∴DE为的中位线，且
∴，
∵
∴
∵
∴
∴四边形DECF为矩形
∴
∴
则在中，；
（2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG
∵
∴，
∵D是AB的中点
∴
在和中，
∴
∴，
又∵
∴DF是线段EG的垂直平分线
∴
∵，
∴
在中，由勾股定理得：
∴．
20．（2020·锦州中考）已知和都是等腰直角三角形，．
（1）如图1：连，求证：；
（2）若将绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在边上时，求证：；
②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②或
【解析】（1）利用SAS定理证明即可；
（2）①连接，证明，即可证；
②当点N在线段上时，连接，在中构造勾股定理的等量关系；当点M在线段上时，同理即可求得．
解：（1）证明：
即，
，
即．
和是等腰直角三角形，
，
（2）①证明：如图1，连接．
，
，
即．
和是等腰直角三角形，
，
，
，
．
是等腰直角三角形，
，
．
②或．
温馨提示：
如图2，当点N在线段上时，连接，设，
在中，，
；
如图3，当点M在线段上时，连接，设，
在中，
解得：．
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