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加
分
宝
·
一
轮
复
习
课
件
精
耕
细
作
，
一
针
见
血
。
研
究
教
育
根
本
，
解
决
根
本
问
题
。
考
点
梳
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图形的性质
第28节
圆的有关概念与性质
■考点1
圆的有关概念?
（1）圆：平面上到定点的距离等于__________的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为__________，定长为__________．
（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做__________，简称__________，大于半圆的弧称为__________，小于半圆的弧称为__________．
（3）弦：连接圆上任意两点的线段叫做__________，经过圆心的弦叫做__________．
（4）相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．
（5）圆心角：顶点在__________的角叫做圆心角．
（6）圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是__________．
（7）确定圆的条件：过已知一点可作__________个圆，过已知两点可作__________个圆，过不在同一条直线上的三点可作__________圆．
（8）圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是__________；圆是__________对称图形，对称中心为__________，并且圆具有旋转不变性．
■考点2
垂径定理及推论?
（1）垂直于弦的直径__________，并且__________．
（2）平分弦（不是直径）的直径__________弦，并且平分弦所对的两条弧，
（3）弦的垂直平分线经过__________，并且__________．
（4）平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
（5）圆的两条平行弦所夹的弧相等．
■考点3
圆心角、弧、弦的关系?
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧__________，所对的弦也__________．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别__________．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
■考点4
圆周角定理及推论?
（1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于__________．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__________；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__________．
推论2：直径所对的网周角是__________；90°的圆周角所对的弦是__________．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是__________．
（2）圆内接四边形的任意一组对角__________．
■考点1：圆的有关概念?
◇典例：经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（　　　）
A．1
B．2
C．3
D．无数
◆变式训练
1．已知在中，半径，弦，则的值不可以是（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
2．已知及点P，点P到圆的最大距离为8，点P到圆的最小距离为6，则的半径为_________．
■考点2：垂径定理及其推论?
◇典例：如图，是的直径，弦于点E，，，则的长度为（
）
A．10
B．9
C．5
D．4
◆变式训练
1．如图，矩形与圆心在上的圆交于点、、、，，，那么__________．
2．如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，，点C在线段AB上，，，求⊙O的半径．
■考点3：圆心角、弧、弦的关系?
◇典例：如图，已知是⊙的弦，半径、与分别交于点、，且．求证：．
◆变式训练
1．如图，若，那么与__________相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）．
2．如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，为．求∠AOC的度数．
■考点4：圆周角定理及其推论?
◇典例：如图，点A，B，C，D在O上，C是弧的中点，若，则的度数为=______°．
◆变式训练
1．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD=120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE=1，则AE的长为（　　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长．
1．如图，点B，C，D在⊙A上，，，则的度数为（
）
A．68°
B．78°
C．88°
D．98°
2．如图，是的直径，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
3．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为(
)
A．10cm
B．8cm
C．6cm
D．5cm
4．如图，点，，在上，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，点为上一点，弦于点，如果，，则为（
）
A．
B．2
C．
D．4
6．如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接，，，垂足为，则等于（
）
A．72°
B．54°
C．36°
D．64°
7．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（　　）
A．5cm
B．5cm
C．5cm
D．6cm
8．如图，矩形中，，，点是上的动点，当时，线段的长应是（
）
A．2
B．6
C．2或6
D．2或8
9．如图，是的直径，，点、、在上，，，是直径上的一动点，则周长的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．12
10．如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，正确的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．如图，，两点在以为直径的上，若，的半径为2，则的值为________．
12．如图，是的圆周角，，则的度数为____．
13．如图，内接于，，，于点，若的半径为4，则的长为______．
14．点A，B，C，D都在上，，D为上的一点，，的延长线交AB于点P，若，则___________．
15．一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为__________米．
16．如图，内接于，，，点是上一个动点（不与图中已知点重合），若时等腰三角形，则的度数为___．
17．如图1，点表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度．
18．如图，在中，直径垂直弦，垂足是点M，，求弦的长．
19．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．
（1）求证：；
（2）若CE＝，AE＝5，求cos∠AOC的值．
20．如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
1．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝70°，则∠A的度数为（　　）
A．35°
B．40°
C．55°
D．70°
2．（2020·鞍山中考）如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（
）
A．30°
B．25°
C．15°
D．10°
3．（2020·镇江中考）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（　　）
A．10°
B．14°
C．16°
D．26°
4．（2020·阜新中考）如图，为⊙的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角的度数为（
）
A．57°
B．52°
C．38°
D．26°
5．（2020·日照中考）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，AE＝9，则阴影部分的面积为（　　）
A．6π﹣
B．12π﹣9
C．3π﹣
D．9
6．（2020·赤峰中考）如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·河池中考）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·营口中考）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）
A．110°
B．130°
C．140°
D．160°
9．（2020·烟台中考）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（
）
A．60°
B．70°
C．80°
D．85°
10．（2020·河池中考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝_____°．
11．（2020·随州中考）如图，点，，在上，是的角平分线，若，则的度数为_____．
12．（2020·南通中考）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为_____cm．
13．（2020·宜宾中考）如图，A，B，C是上的三点，若是等边三角形，则________________．
14．（2020·盐城中考）如图，在中，点在上，则_______________________
15．（2020·宁夏中考）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是______寸．
16．（2020·广元中考）如图，内接于于点H，若，的半径为7，则______．
17．（2020·广西中考）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．
18．（2020·通辽中考）如图，的直径交弦(不是直径)于点P，且．求证：．
19．（2020·泰州中考）如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．
（1）求证：为的中点．
（2）若的半径为，的度数为，求线段的长．
20．（2020·上海中考）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．
15第四章
图形的性质
第28节
圆的有关概念与性质
■考点1
圆的有关概念?
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．
（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
（3）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
（4）相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧．
（5）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
（6）圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是圆周角．
（7）确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作一个圆．
（8）圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心，并且圆具有旋转不变性．
■考点2
垂径定理及推论?
（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
（4）平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
（5）圆的两条平行弦所夹的弧相等．
■考点3
圆心角、弧、弦的关系?
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
■考点4
圆周角定理及推论?
（1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：直径所对的网周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
（2）圆内接四边形的任意一组对角互补．
■考点1：圆的有关概念?
◇典例：经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（　　　）
A．1
B．2
C．3
D．无数
【答案】A
【解析】根据题意，过一个点或两个点可以做无数个圆，过不在同一直线的三个点只能做一个圆．
解：经过不在同一直线的三个点可以确定一个三角形，一个三角形只能有一个外接圆，所以经过不在同一直线上的三个点可以做一个且只能做一个圆．
故选：A．
◆变式训练
1．已知在中，半径，弦，则的值不可以是（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】D
【解析】根据弦的定义直接可以得到答案.
解：以为半径为5，所以直径为10
所以圆中最长的弦为直径10
而12＞10
所以12不是此圆的弦
故选
D
2．已知及点P，点P到圆的最大距离为8，点P到圆的最小距离为6，则的半径为_________．
【答案】1或7
【解析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
解：如图，分为两种情况：
①当点P在圆内时，最小距离为6，最大距离为8，则直径是14，因而半径是7；
②当点P在圆外时，最小距离为6，最大距离为8，则直径是2，因而半径是1．
故此圆的半径为1或7，
故答案为：1或7．
■考点2：垂径定理及其推论?
◇典例：如图，是的直径，弦于点E，，，则的长度为（
）
A．10
B．9
C．5
D．4
【答案】B
【解析】利用垂径定理EC的长，再在RtOEC中，利用勾股定理求解即可．
解：设OC=OB=x，OE=OB-BE=
x-1
∵在中，AB⊥CD，AB是直径，
∴，
∵在RtOEC中，OC2=CE2+OE2，即x2=32+（x-1）2，
解得：x=5，
∴OE
=
x-1=4，
∴AE=OA+OE=5+4=9，
故选：B．
◆变式训练
1．如图，矩形与圆心在上的圆交于点、、、，，，那么__________．
【答案】3
【解析】过O作OM⊥EF于M点，连OE，根据垂径定理得到EM=MF=4，由GB为⊙O的直径，OE=GB=5，然后在Rt△OEM中，根据勾股定理计算出OM，即可得到AD的长．
解：过O作OM⊥EF于M点，连OE，如图，
则EM=MF，OM=AD，
∵EF=8，
∴EM=4，
又∵圆心O在AB，
∴GB为⊙O的直径，
∴OE=
GB=5，
在Rt△OEM中，OM=
，
∴AD=3．
故答案为3．
2．如图，已知MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，，点C在线段AB上，，，求⊙O的半径．
【答案】
【解析】连接AO，MN与AB相交于点D；结合题意，计算得AB的值，再根据垂径定理，得AD及CD，通过勾股定理计算，得OD以及AO，从而得到答案．
解：如图，连接AO，MN与AB相交于点D
∵，
∴
∵MN是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，
∴，
∴
∴
∴，即⊙O的半径为．
■考点3：圆心角、弧、弦的关系?
◇典例：如图，已知是⊙的弦，半径、与分别交于点、，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】取中点，联结并延长与⊙交于，利用圆心角、弧、弦之间的关系得到，再根据及垂径定理求解即可；
解：证明：取中点，联结并延长与⊙交于．
∵是圆心，且是弦的中点，
∴，，
∵且，
∴．
∵，平分，
∴．
∴平分．
∴．
又∵过圆心，
∴．
∴，
即．
◆变式训练
1．如图，若，那么与__________相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）．
【答案】一定
【解析】根据圆心角、弧、弦关系定理进行解答即可．
解：∵∠1=∠2，
∴AB=AC,
∴=，
故答案为：一定．
2．如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，为．求∠AOC的度数．
【答案】75°
【解析】连接OE，由弧CE的度数为30°，得到∠COE=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE，根据平行线的性质即可得到∠AOC的度数．
解：连接OE，如图，
∵弧CE的度数为30°，
∴∠COE=30°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE=(180°-30°)÷2=75°，
∵弦CE//AB，
∴∠AOC=∠OCE=75°．
■考点4：圆周角定理及其推论?
◇典例：如图，点A，B，C，D在O上，C是弧的中点，若，则的度数为=______°．
【答案】40°
【解析】由点C是弧的中点，可知=，根据在同圆或等圆中，同弧所对圆心角是圆周角的两倍，因为∠ODC=50°，因为∠COD=180°-50°-50°=80°，所以∠BAC=
；
解：∵点C是弧的中点，
∴
=，
∵∠ODC=50°，
∴∠OCD=50°，
∴∠COD=180°-50°-50°=80°，
∴∠BAC=，
故答案为：40°．
◆变式训练
1．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD=120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE=1，则AE的长为（　　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】连接AD，可证∠ODA=∠OAD=∠AOD=60°，根据弧中点，得出∠DAC=30°，△ADE是直角三角形，用勾股定理求AE即可．
解：连接AD，
∵∠BOD=120°，AB是⊙O的直径，
∴∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA
=60°，
∵点C为弧BD的中点，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠AED=90°，
∵DE=1，
∴AD=2DE=2，
AE=，
故选：A．
2．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若AB=24，CD=8，求⊙O的半径长．
【答案】（1）；（2）13
【解析】（1）连接，结合OD⊥AB，根据垂径定理，推导得∠AOD；再根据圆心角、圆周角的性质，即可得到答案；
（2）结合题意，根据垂径定理性质，计算得AC；再结合OD⊥AB，通过勾股定理即可计算得⊙O的半径．
解：（1）连接
∵
∴
∴
∵
∴
（2）∵
∴
设，则
在中，
∴
∴的半径长为13．
1．如图，点B，C，D在⊙A上，，，则的度数为（
）
A．68°
B．78°
C．88°
D．98°
【答案】C
【解析】由圆周角定理，求出，即可得到答案．
解：根据题意，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
2．如图，是的直径，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．
解：∵AB为⊙O直径
∴∠ADB=90°
∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°
∴∠B=25°
∴∠BAD=90°-∠B=65°．
故选：C
3．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为(
)
A．10cm
B．8cm
C．6cm
D．5cm
【答案】A
【解析】如图，连接AB、OA、OC，OC交AB于E，由切线性质可得OC⊥CD，由AB//CD可得OC⊥AB，根据垂径定理可得AE的长，在△OAE中，利用勾股定理列方程可求出OA的长，进而可得铁球的直径．
解：如图，连接AB、OA、OC，OC交AB于E，
∵CD是⊙O的切线，C点为切点，
∴OC⊥CD，
∵AB//CD，
∴OC⊥AB，
∵AB=8，
∴AE=AB=4，
∵OA=OC，CE=AD=2，
∴在Rt△OAE中，OA2=AE2+（OA-CE）2，即OA2=42+（OA-2）2，
解得：OA=5，
∴铁球的直径=2OA=10cm．
故选择：A．
4．如图，点，，在上，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】首先在优弧
上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理即可求得∠D的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠ABC的度数．
解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，
∵∠AOC＝100°，
∴∠ADC＝∠AOC＝50°，
∴∠ABC＝180°?∠ADC＝130°．
故选：D．
5．如图，点为上一点，弦于点，如果，，则为（
）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】C
【解析】利用圆周角定理得到∠BOC=120°，利用等腰三角形的性质得到∠OBC=∠OCB=30°，再根据垂径定理得到BD=CD，然后计算BD的长度，从而得到BC的长．
解：由图可得∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵，
∴BD=CD，
在Rt中，BD=OD=，
∴BC=2BD=2．
故选：C．
6．如图，正五边形内接于，点为上一点（点与点，点不重合），连接，，，垂足为，则等于（
）
A．72°
B．54°
C．36°
D．64°
【答案】B
【解析】根据正五边形内接于，可得，再根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系，可得，再根据三角形内角和定理即可得．
解：∵正五边形内接于，
∴
∵与所对的弧相同
∴
∴=
故选：B．
7．如图，已知⊙O的直径AE＝10cm，∠B＝∠EAC，则AC的长为（　　）
A．5cm
B．5cm
C．5cm
D．6cm
【答案】B
【解析】连接CE，根据圆周角定理得出∠B＝∠E，∠ACE＝90°，求出∠E＝∠EAC＝45°，解直角三角形求出AC即可．
解：连接EC，
∵∠E与∠B是所对的圆周角，
∴∠E=∠B，
∵∠B=∠EAC，
∴∠E=∠EAC，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
∴∠E=∠EAC=45°，
∵AE=10cm，
∴AC=AE?sin45°=10×=5（cm）．
∴AC的长为5cm．
故选B.
8．如图，矩形中，，，点是上的动点，当时，线段的长应是（
）
A．2
B．6
C．2或6
D．2或8
【答案】D
【解析】以AB的中点O为圆心，AB的一半5为半径作圆，交CD于点P，点P即为所求；设PC=x，则PD=10-x，证△ADP∽△PCB，对应边成比例列方程，解之可得答案．
解：如图，以AB的中点O为圆心，AB的一半5为半径作圆，交CD于点P，点P即为所求；
设PC=
x，则PD=
10-
x，
∵四边形A
BCD是矩形，
∴∠D=∠C=
90°
∴∠DAP+∠APD=
90°
∵∠APB=
90°，
∴∠APD
+∠BPC=
90°
∴∠DAP=∠CPB，
∴△ADP∽△PCB，
∴
即，
解得:
x
=
2或8，
PD=
10-x=
2或8，
即PD
=
2或8.
故选:
D.
9．如图，是的直径，，点、、在上，，，是直径上的一动点，则周长的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．12
【答案】B
【解析】根据圆周角定理可知∠COB=90°，结合圆的对称性可知周长的最小值为，根据圆周角定理可得，再根据弧与圆心角的关系可知，解直角三角形即可．
解：如下图所示，连接CO并延长至，连接CE，OE，，
∵，
∴∠COB=90°，
∴C点与点关于AB所在直线对称，故当P为与AB的交点时，周长的最小，此时，
∵，
∴
，，
∴，
∵为直径，
∴，，
∴，
∴周长为，最小值为，
故选：B．
10．如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论正确的个数是（
）
①；②；③；④
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【解析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．
解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选：D．
11．如图，，两点在以为直径的上，若，的半径为2，则的值为________．
【答案】
【解析】根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ACD=∠DBA，根据AB为⊙O是直径，可知∠ADB=90°，然后利用勾股定理求出BD，则tan∠ACD=tan∠DBA
=．
解：∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠ACD=∠DBA，
又∵AB为⊙O是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AD=3，AB=4，
∴BD=，
∴tan∠ACD=tan∠DBA
=，
故答案为：．
12．如图，是的圆周角，，则的度数为____．
【答案】
【解析】根据圆周角定理计算即可；
解：∵，
∴；
故答案是．
13．如图，内接于，，，于点，若的半径为4，则的长为______．
【答案】
【解析】连接CO，OB，则∠O＝2∠CAB＝60°，得到△BOC是等边三角形，求得BC＝4，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
解：如图，连接CO，OB，
∵
则∠O＝2∠CAB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∵⊙O的半径为4，
∴BC＝4，
∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，
∴CD＝BC＝×4=，
故答案为：．
14．点A，B，C，D都在上，，D为上的一点，，的延长线交AB于点P，若，则___________．
【答案】
【解析】连接AC，OB，根据三角形的内角和得到∠DOC=180°-67.5°-67.5°=45°，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，推出∠BCP=∠COD=45°，∠PBC=∠OCD=67.5°，证得△CPB∽△ODC，根据相似三角形的性质即可求得结果.
解：如图，连接AC，OB
又∵
∴AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=67.5°
∴∠BAC=180°-67.5°-67.5°=45°
又CO=DO
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∴∠COD=180°-67.5°-67.5°=45°
∴∠BCP=∠COD=45°
又∠CBP=∠OCD
，
∴
．
故答案为：
15．一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为__________米．
【答案】0.8或0.2.
【解析】构造垂径定理，分两种情形求得弦心距，从而得到水深.
解：如图所示，作AB的垂直平分线，垂足为E，
根据题意，得
AO=0.5，AE=0.4，
根据勾股定理，得OE===0.3，
∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2（米）
或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8（米），
∴水深为0.2米或0.8米.
故答案为：0.2米或0.8.
16．如图，内接于，，，点是上一个动点（不与图中已知点重合），若时等腰三角形，则的度数为___．
【答案】35°或40°或55°
【解析】根据题意分三种情况讨论即可得∠ACP的度数．
解：如图，连接OA，OB，
∵∠OCB=50°，
∴∠OBC=50°，
∴∠BOC=180°-50°-50°=80°．
∵∠B=70°，
∴∠OBA=∠OAB=20°，
∴∠AOB=140°，
∴∠AOC=360°-80°-140°=140°，
∴∠OAC=∠OCA=20°，
∴∠ACB=50°+20°=70°，
∴AB=AC．
当AP′=AC时，
此时点P′与点B重合，不符合题意；
当AP=PC时，
∵∠B=70°，
∴∠APC=180°-70°=110°，
∴∠ACP=∠CAP=(180°-110°)=35°；
当AP′=P′C时，
∠P′AC=∠P′CA=(180°-70)=55°；
当AC=P′C时，
∠ACP′=180°-70°-70°=40°．
故答案为：35°或40°或55°．
17．如图1，点表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度．
【答案】水车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为．
【解析】如图：过点作半径于，则，由垂径定理得，在利用勾股定理可求得，水深，即可求解．
解：如图：过点作半径于
在中，
水车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为
18．如图，在中，直径垂直弦，垂足是点M，，求弦的长．
【答案】CD=24．
【解析】连接OC，求出半径OC和OM，根据勾股定理求出CM，根据垂径定理得出，即可求出答案．
解：连接，则，
，
在中，，
∵于点M，　
∴．
19．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．
（1）求证：；
（2）若CE＝，AE＝5，求cos∠AOC的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠OBC=∠DBC，即可证；
（2）先求出AC的长，通过证明△CEF∽△AEC，可得，由勾股定理可求AF的长即可求⊙O的半径，在Rt△AFO，利用三角函数可以求出；
解：（1）证明：∵OB=OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵OC∥BD，
∴∠OCD＝∠DBC＝∠OBC，
∴；
（2）解：连接AC，如图，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACE中，
∴AC＝=2
，
∵OC∥BD，
∴∠CFE=∠D=90°，
∴∠ACE=∠CFE，
∵∠CEF=∠AEC，
∴△CEF∽△AEC，
∴，
∴CF=，
由勾股定理，
设OA=r，在Rt△AFO中,r2=(r－2)2+42
,r
=5．
∴FO＝3，
∴cos∠AOC
=
．
20．如图，AB是的直径，四边形ABCD内接于，OD交AC于点E，AD=CD．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）先根据垂径定理推出，从而得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，所以，从而结论得证；
（2）设半径为r，再根据勾股定理列出方程求出r，从而求出直径AB的值，再次根据勾股定理可求出BC即可．
解：（1），
∴=
又为半径，
，
为直径，
，
（2）设圆的半径为r
，，
，
在中，
即，所以，
，O是AC，AB的中点
，
1．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝70°，则∠A的度数为（　　）
A．35°
B．40°
C．55°
D．70°
【答案】A
【解析】根据圆周角定理，同弧所对圆周角等于圆心角的一半，即可得出答案．
解：∵如图，∠BOC＝70°，
∴∠A＝∠BOC＝35°．
故选：A．
2．（2020·鞍山中考）如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（
）
A．30°
B．25°
C．15°
D．10°
【答案】A
【解析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．
解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2，BC=2，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
故选A．
3．（2020·镇江中考）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（　　）
A．10°
B．14°
C．16°
D．26°
【答案】C
【解析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．
解：连接BD，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选：C．
4．（2020·阜新中考）如图，为⊙的直径，C，D是圆周上的两点，若，则锐角的度数为（
）
A．57°
B．52°
C．38°
D．26°
【答案】B
【解析】连接，由直径所对的圆周角是直角，求解，利用同圆中同弧所对的圆周角相等可得答案．
解：连接，
为的直径，
故选B．
5．（2020·日照中考）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，AE＝9，则阴影部分的面积为（　　）
A．6π﹣
B．12π﹣9
C．3π﹣
D．9
【答案】A
【解析】根据垂径定理得出CE=DE=CD＝3，再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得出∠EOD=60°，进而结合扇形面积求出答案．
解：∵AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，
∴CE＝DE＝CD＝3．
设⊙O的半径为r，
在直角△OED中，OD2＝OE2+DE2，即，
解得，r＝6，
∴OE＝3，
∴cos∠BOD＝，
∴∠EOD＝60°，
∴，，
根据圆的对称性可得：
∴，
故选：A．
6．（2020·赤峰中考）如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】连接BC，且∠BOC=90°，用勾股定理求出BC的长度，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，所以sin∠CDO=sin∠OBC，即∠CDO的正弦值可求．
解：如下图所示，连接BC，
∵⊙A过原点O，且∠BOC=90°，OB=4，OC=3，
∴根据勾股定理可得：，
又∵同弧所对圆周角相等，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，
∴∠CDO=∠OBC，故sin∠CDO=sin∠OBC=，
故选：A．
7．（2020·河池中考）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】连接BC，因为AB是直径，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，可证△ACE∽△CBF，根据相似三角形的判定和性质定理可得，并用勾股定理求出BC的长度，代入公式，求出AC的长度，即可得到结论．
解：如图所示，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CFB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴，
∵FB＝FE＝2，FC＝1，
∴CE＝CF+EF＝3，BC＝，
∴，
∴，
故选：B．
8．（2020·营口中考）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）
A．110°
B．130°
C．140°
D．160°
【答案】B
【解析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数．
解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
9．（2020·烟台中考）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（
）
A．60°
B．70°
C．80°
D．85°
【答案】C
【解析】根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可得到结论．
解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，
∴∠A＝∠B＝(180°﹣140°)＝20°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，
故选：C．
10．（2020·河池中考）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝_____°．
【答案】35
【解析】如图（见解析），连接AD，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，由此即可得．
解：如图，连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴，即
又由圆周角定理得：
∵
∴
故答案为：35．
11．（2020·随州中考）如图，点，，在上，是的角平分线，若，则的度数为_____．
【答案】30°
【解析】根据圆周角定理求出，再由角平分线的性质可得到结果；
解：∵，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
故答案为．
12．（2020·南通中考）已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为_____cm．
【答案】12
【解析】如图，作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=5，然后利用勾股定理计算OC的长即可．
解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，
则AC＝BC＝AB＝5，
在Rt△OAC中，OC＝＝12，
所以圆心O到AB的距离为12cm．
故答案为：12．
13．（2020·宜宾中考）如图，A，B，C是上的三点，若是等边三角形，则________________．
【答案】
【解析】由△OBC是等边三角形、则∠COB
=60°，然后由圆周角定理可得∠A=30°,然后运用余弦定义求解即可．
解：∵△OBC是等边三角形
∴∠COB=60°
∴∠A==30°
∴=．
故答案为．
14．（2020·盐城中考）如图，在中，点在上，则_______________________
【答案】
【解析】画出的圆周角交于点，构造出的内接四边形；根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，即可得出的度数．
解：如图，画出的圆周角交于点，则四边形为的内接四边形，
∵圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
15．（2020·宁夏中考）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是______寸．
【答案】26
【解析】根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径.
解：由题可知，
为半径，
尺寸，
设半径，
，
在中，根据勾股定理可得：
解得：,
木材直径为26寸；
故答案为：26.
16．（2020·广元中考）如图，内接于于点H，若，的半径为7，则______．
【答案】
【解析】作直径AD，连接BD，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，∠D＝∠C，证明△ABD∽△AHC，根据相似三角形的性质解答即可．
解：作直径AD，连接BD，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，又AH⊥BC，
∴∠ABD＝∠AHC，
由圆周角定理得，∠D＝∠C，
∴△ABD∽△AHC，
∴，即，
解得，AB＝，
故答案为：．
17．（2020·广西中考）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．
【答案】．
【解析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，
∴PA2＝AT?AB，
∴＝，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴，
∴＝＝，
∴PT＝PB，
∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt中，
∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT＝＝，
∴PB+PC≥，
∴PB+PC的最小值为．
故答案为．
18．（2020·通辽中考）如图，的直径交弦(不是直径)于点P，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】连接AC和BD，证明△PAC∽△PDB，得到，再根据得到，从而得到PC=PD，根据垂径定理得出结果.
解：连接AC和BD，
在△PAC和△PBD中，
∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△PAC∽△PDB，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴PC=PD，
∵AB为直径，
∴AB⊥CD.
19．（2020·泰州中考）如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．
（1）求证：为的中点．
（2）若的半径为，的度数为，求线段的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【解析】（1）通过同弧或等弧所对的圆周角相等，结合、互相垂直，证明，可得结果；
（2）连接AC，OA，OB，AB，证明M为AE中点，得MN为的中位线，结合的度数为90°，半径为8，得到AB的长度，进而得到MN长度．
解：（1）∵点为的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴°
在和中
∴
∴
∴点N为BE中点
（2）连接CA，AB，OA，OB，如图所示：
∵点为的中点
∴
在和中
∴
∴，即M为AE中点
∵N为BE中点
∴MN为的中位线
又∵的半径为，的度数为
∴，OA=OB=8
∴
∴
20．（2020·上海中考）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BCD的值为67.5°或72°；（3）．
【解析】(1)连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．
(2)分三种情形：①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
(3)
如图3中，作AEBC交BD的延长线于E．则，进而得到，设OB=OA=4a，OH=3a，根据BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，构建方程求出a即可解决问题．
解：(1)连接OA，如下图1所示：
∵AB=AC，
∴=，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO=∠CAO．
∵OA=OB，
∴∠ABD=∠BAO，
∴∠BAC=2∠ABD．
(2)如图2中，延长AO交BC于H．
①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DBC=2∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，
∴8∠ABD=180°，
∴∠C=3∠ABD=67.5°．
②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，
∴10∠ABD=180°，
∴∠BCD=4∠ABD=72°．
③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述：∠C的值为67.5°或72°．
(3)如图3中，过A点作AEBC交BD的延长线于E．
则==，且BC=2BH，
∴==，
设OB=OA=4a，OH=3a．
则在Rt△ABH和Rt△OBH中，
∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，
∴25
-
49a2=16a2﹣9a2，
∴a2=，
∴BH=，
∴BC=2BH=．
故答案为：．
1

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