资源简介 第四章图形的性质第11节与圆有关的计算■考点1正多边形与圆?（1）正多边形：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．（2）正n边形的内角和=180°（n-2）；正n边形的每个内角度数=；正n边形外角和=360°；正n边形的每个外角度数=．（3）圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．■考点2与圆有关的计算?（1）弧长公式：（n为圆心角的度数，r为圆的半径，该公式涉及l，n，r三个量，已知其中任意两个量，都可求第三个量．）（2）有关阴影部分面积的求法①扇形的面积公式：S=（n为圆心角的度数．r为圆的半径．l表示弧长）．②求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积，常用方法有：①割补法：②拼凑法：③等积变形法．（3）圆柱的侧面展开图是矩形，圆柱侧面积=底面周长×高，圆柱全面积=侧面积+2×底面积．■考点1：正多边形与圆?◇典例：正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（ ）A．B．2C．2D．2【答案】B【考点】正多边形和圆．【分析】连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论．解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵正六边形的周长是12，∴BC=2，∴⊙O的半径是2，故选B．◆变式训练1．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）A．B．2C．D．1【答案】A【考点】正多边形和圆．【分析】根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．解：如图所示，连接OA、OE，∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AE=OE，∴△AOE是等腰直角三角形，∴OE=OA=．故选A．2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则弧的长是（ ）A．πB．πC．2πD．π【答案】A【考点】弧长公式，正方形的性质，弦、弧、圆心角、弦心距的关系【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．解：连接OA、OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB=BC=DC=AD，∴===，∴∠AOB=×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2，∴的长为=π，故选：A．【点评】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．■考点2：与圆有关的计算?◇典例：一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）A．120°B．180°C．240°D．300°【答案】A【考点】圆锥的计算；几何体的展开图．【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的3倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度．由题意得S底面面积=πr2，l底面周长=2πr，S扇形=3S底面面积=3πr2，l扇形弧长=l底面周长=2πr．由S扇形=l扇形弧长×R得3πr2=×2πr×R，故R=3r．由l扇形弧长=得：2πr=解得n=120°．故选A．◆变式训练1．如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）A．2﹣B．2﹣C．4﹣D．4﹣【答案】A【考点】扇形面积的计算【分析】过A作AE⊥BC于E，依据AB=2，∠ABC=30°，即可得出AE=AB=1，再根据公式即可得到，阴影部分的面积是×4×1﹣=2﹣．解：如图，过A作AE⊥BC于E，∵AB=2，∠ABC=30°，∴AE=AB=1，又∵BC=4，∴阴影部分的面积是×4×1﹣=2﹣，故选：A．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积，常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则弧CD的长为（ ）A．πB．πC．πD．π【答案】C【考点】含30度角的直角三角形；弧长的计算【分析】先根据ACB=90°，AB=4，∠A=30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=2∴的长为=，故选：C．【点评】本题主要考查了弧长公式的运用和直角三角形30度角的性质，解题时注意弧长公式为：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．1．如图，一块含有30°角的直角三角板，在水平桌面上绕点C接顺时针方向旋转到的位置，若，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】顶点A从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点C为圆心，AC为半径的圆弧，旋转的角度是180-60＝120，所以根据弧长公式可得．解：在含有30°角的直角三角板ABC中，∠ACB=60°，BC=15cm，∴∠ACA′=120°，AC=2BC=30cm，∴=20πcm，故选：D．2．若一个正n边形(n为大于2的整数）的半径为r，则这个正n变形的边心距为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意画出图形，然后由三角函数及正多边形与圆的关系进行求解即可．解：由题意可得如图：假设AB为正n多边形的一条边，OC⊥AB，，OA=r，；故选D．3．钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是90°，利用扇形的面积公式即可求解．解：从9点到9点15分分针扫过的扇形的圆心角是90°，则分针在钟面上扫过的面积是：，故选：B．4．如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．无法确定【答案】B【解析】如图，画出简图，根据切线的性质可得∠OCA=90°，根据∠AOC的余弦可得∠AOC=45°，即可得出此多边形的中心角为90°，即可求出多边形的边数．解：如图，OA、OC分别为此多边形的外接圆和内切圆的半径，AB为边长，∴OC⊥AB，∴∠OCA=90°，∵外接圆半径是其内切圆半径的倍，∴cos∠AOC==，∴∠AOC=45°，∴∠AOB=90°，即此多边形的中心角为90°，∴此多边形的边数=360°÷90°=4，故选：B．5．如图1，在中，，分别以，，为直径作半圆①，②，③，面积分别记为，，，由勾股定理可得结论：．如图2，将半圆①，②进行旋转和轴对称变换，使与重合，与重合，变换后的两个半圆均在半圆③内．若已知图2中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．B．面积与的差C．半圆①与半圆②重叠部分的面积D．【答案】C【解析】逐一进行判断即可．解：设图2中阴影部分的面积为S，半圆①与半圆②重叠部分的面积为S4，则根据题意有，，故C选项可求；而，，面积与的差都跟图2中阴影部分的面积无关，故选：C．6．将一个半径为1的圆形纸片，如下图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，圆形纸片连续对折三次，其圆心角被平均分成8份，虚线①所对的圆弧长为整圆的，展开后得到的多边形是八边形，根据多边形的内角和公式解题即可．解：将一个圆形纸片连续对折三次之后，形成的多边形是八边形，其内角和是虚线①所对的圆弧长故选：C．7．已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的周长为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设围成的圆锥的底面圆的半径为rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=，然后求出r，再利用圆的周长公式计算即可．解：设围成的圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意得2πr=，解得r=2，则圆锥底面圆的周长为：2πr=4πcm．故选A．8．如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：=．故选B．9．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A、D为圆心，以AB长为半径画、．若AB＝a，则阴影部分图形的面积为（ ）（结果保留到0.01，参考：sin72°≈0.951，tan36°≈0.727）A．0.45a2B．0.3a2C．0.6a2D．0.15a2【答案】A【解析】如图，设正五边形ABCDE的中心为O，连接OB，OC，连接AF，EO并延长交BC于G，过E作EH⊥AF于H，得到∠EAB＝∠AED＝＝108°，∠BOC＝＝72°，EG⊥BC，AE＝AF，根据等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠AFE＝54°，得到EH＝0.951a，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．解：如图，设正五边形ABCDE的中心为O，连接OB，OC，连接AF，EO并延长交BC于G，过E作EH⊥AF于H，则∠EAB＝∠AED＝＝108°，∠BOC＝＝72°，EG⊥BC，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝54°，∴∠EAF＝72°，∴∠BAF＝36°，∵AE＝AF＝AB＝a，∴sin72°＝＝0.951，∴EH＝0.951a，∴S弓形EF＝S扇形EAF﹣S△AEF＝﹣a?0.951a＝﹣0.951a2＝0.1528a2，∵S扇形EAB＝＝＝0.942a2，∴S空白＝2×（0.942a2﹣2×0.1528a2）＝1.2728a2，∵∠BOG＝36°，BG＝a，∴OG＝，∴S△OBC＝BC?OG＝a×，∴正五边形ABCDE的面积＝5S△BOC＝＝1.719a2，∴阴影部分图形的面积＝正五边形ABCDE的面积﹣S空白≈0.45a2，故选择：A．10．如图，分别以边长为1的正六边形的两条对角线为边向右，向下作两个正方形，则两个阴影部分面积的值（）．A．1B．C．2D．4【答案】A【解析】如图，设点A，B，C，D，E，F，G，b的边长为CD，过点A作AB⊥CD于点B，求出b=4-S空白；a=3-S空白；相减即可得到结论．解：如图，设点A，B，C，D，E，F，G，b的边长为CD，过点A作AB⊥CD于点B，∵六边形是正六边形，∴每个内角为120°，∴∠ACD=×120°=60°，在Rt△ABC中，AC=1，∴cos∠BCA=,∴BC=cos60°×AC=，同理可证∠FDG=60°，GD=∴CD=CB+BG+GD=2∴以CD为边的正方形的面积为：2×2=4∴b=4-S空白；同理可得a=3-S空白；∴b-a=4-S空白-(3-S空白)=1，故选：A．11．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需（ ）个这样的正五边形A．6B．7C．8D．9【答案】B解：如图，∵多边形是正五边形，∴内角是×（5-2）×180°=108°，∴∠O=180°-（180°-108°）-（180°-108°）=36°，36°度圆心角所对的弧长为圆周长的，即10个正五边形能围城这一个圆环，所以要完成这一圆环还需7个正五边形.故选B.12．如图，在中，，分别以为圆心，以的长为半径作圆，将截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（）cm2．A．B．C．D．【答案】A解：如图，∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，，△ABC的面积是：，，故阴影部分的面积是：，故选A.13．正十边形的中心角等于______度．【答案】【解析】根据正多边形的中心角的定义即可求解．解：正十边形的中心角等于360°÷10=°故答案为：36．14．把一个半径为的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则这个圆锥的侧面积为_________．【答案】【解析】首先求得圆的周长，利用三等分求得扇形的弧长，利用扇形的弧长等于圆锥底面的周长求得底面的半径，然后利用侧面积公式求侧面积，解：∵把一个半径为6cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，∴扇形的弧长为：，∵扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴2πr＝4π，解得：r＝2，∴侧面积，故答案为：．15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为BC上一点，连接AF，若∠AFC＝126°，则∠BAF的度数为_____．【答案】18°．【解析】根据正五边形内角和可以求出∠ABC的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠BAF的度数．解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠ABC==108°，∵∠AFC=126°，∴∠BAF=∠AFC﹣∠ABF=126°﹣108°=18°．故答案为：18°．16．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为10，则的长为____．【答案】2π【解析】利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可．解：如图所示：连接OA、OB．∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为10，∴∠AOB＝＝72°，∴的长为：．故答案为：2π．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2．分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是_____．（保留π）【答案】2﹣【解析】由于三条弧所对的圆心角的和为180°，根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的面积和，而三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和，再利用三角形的面积公式计算出S△ABC，然后代入即可得到答案．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2．∴AC=1，S△ABC=×2×2=2，∵三条弧所对的圆心角的和为180°，∴三个扇形的面积和==，∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC?三个扇形的面积和=2﹣故答案为：2﹣18．如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为___．【答案】【解析】根据题意，可知阴影部分的面积等于大圆的面积减去空白部分中圆的面积即可．解：大圆与中圆是同心圆，大圆的半径是9，中圆的半径是．阴影部分的面积=．故答案为．19．教学实践课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，提出了一个问题：“若将三个正方形硬纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其完全盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应该是多大？”同学们经过讨论，觉得实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能完全盖住时的最小直径，讨论过程中探索出三种不同的摆放类型，如图1，图2，图3所示．（1）图1对应的圆形硬纸板的最小直径为______；（2）可求出图2、图3对应的圆形硬纸板的最小直径都为，但这三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，则老师提出的问题的正确答案是______．【答案】【解析】（1）连接正方形的对角线BD，利用勾股定理求出BD的长即可；（2）连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10-x，再根据勾股定理解答．解：（1）解：连接BD，∵AD=3×1=3cm，AB=1cm，∴BD=cm，故答案是：；（2）如图为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=2-x，∵ON=OB，∴解得x=，则ON=，∴直径为故答案为：．20．如图，在等腰中，，和为线段的三等分点，以为圆心，线段的长为半径画圆．（1）求证：是圆的切线；（2）若圆的半径为1，求阴影部分面积是多少？【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）连接OB，如图，利用等腰三角形的性质得∠C=30°，∠OBC=∠C=30°，再利用三角形外角性质得到∠AOB=60°，则可计算出∠OBA=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）先计算出AB=，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分面积=S△AOB-S扇形OBD进行计算．解：（1）证明：连接OB，如图，∵等腰△ABC中，∠A=30°，∴∠C=30°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C=30°，∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°，∵∠OBA=180°-60°-30°=90°，∴OB⊥AB，∴AB是圆O的切线；（2）在Rt△OBA中，∠A=30°，OB=1∴，∴阴影部分面积=S△AOB-S扇形OBD=．21．如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x，EH=y．（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．【答案】（1）∠CBG=15°；（2）（）；（3）CG的长为12【解析】（1）连接OQ，根据正六边形的特点和内角和求出∠EBC=60°，然后通过弧之间的关系得出∠BOQ=∠EOQ=90°，又因为BO=OQ，得出∠OBQ=∠BQO=45°，最后利用∠CBG=∠EBC-∠OBQ即可求出答案；（2）在BE上截取EM=HE，连接HM，首先根据正六边形的性质得出是等边三角形，则有EM=HE=HM=y，∠HME=60°，从而有∠C=∠HMB=120°，然后通过等量代换得出∠GBC=∠HBE，由此可证明△BCG∽△BMH，则有，即，则y关于x的函数关系式可求，因为点Q在边CD上，则x的取值范围可求；（3）分两种情况：①当点G在边CD上时：又分当时和当时两种情况；②当点G在CD的延长线上时，同样分当时和当时两种情况，分别建立方程求解并检验即可得出答案．解：（1）如图，连接OQ．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴BC=DE，∠ABC=120°．∴，∠EBC=∠ABC=60°．∵点Q是的中点，∴．∴，即．∴∠BOQ=∠EOQ，又∵∠BOQ+∠EOQ=180°，∴∠BOQ=∠EOQ=90°．又∵BO=OQ，∴∠OBQ=∠BQO=45°，∴∠CBG=60°45°=15°．（2）如图，在BE上截取EM=HE，连接HM．∵六边形ABCDEF是正六边形，直径BE=8，∴BO=OE=BC=4，∠C=∠FED=120°，∴∠FEB=∠FED=60°．∵EM=HE，∴是等边三角形，∴EM=HE=HM=y，∠HME=60°，∴∠C=∠HMB=120°．∵∠EBC=∠GBH=60°，∴∠EBC∠GBE=∠GBH∠GBE，即∠GBC=∠HBE．∴△BCG∽△BMH，∴．又∵CG=x，BE=8，BC=4，∴，∴y与x的函数关系式为（）．（3）如图，当点G在边CD上时．由于△AFH∽△EDG，且∠CDE=∠AFE=120°，①当时，∵AF=ED，∴FH=DG，∴，即：，解分式方程得．经检验是原方程的解，但不符合题意舍去．②当时，即：，解分式方程得．经检验是原方程的解，但不符合题意舍去．如图，当点G在CD的延长线上时．由于△AFH∽△EDG，且∠EDG=∠AFH=60°，①当时，∵AF=ED，∴FH=DG，∴，即：，解分式方程得．经检验是原方程的解，但不符合题意舍去．②当时，即：，解分式方程得．经检验是原方程的解，且符合题意．∴综上所述，如果△AFH与△DEG相似，那么CG的长为12．1．（2020·随州中考）设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将图形标记各点,即可从图中看出长度关系证明A正确,再由构造的直角三角形和30°特殊角证明B正确,利用勾股定理求出r和R,即可判断C、D．解：如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，从图象可以得出AB=AO+OB，即，A正确；∵三角形为等边三角形，∴∠CAO=30°，根据垂径定理可知∠ACO=90°，∴AO=2OC，即R=2r，B正确；在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，由B中关系可得：，解得，则，所以C错误，D正确；故选：C．2．（2020·青海中考）如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（）A．3.6B．1.8C．3D．6【答案】A【解析】先计算阴影部分的圆心角度数，再计算阴影部分的弧长，再利用弧长计算圆锥底面的半径．解：由图知：阴影部分的圆心角的度数为：360°252°=108°阴影部分的弧长为：设阴影部分构成的圆锥的底面半径为r：则，即故选：A．3．（2020·南充中考）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B运动路径的长度为（）A．πB．2πC．3πD．4π【答案】A【解析】B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的的周长，然后根据圆的周长公式即可得到B点的运动路径长度为π．解：∵B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的的周长，∴，故选：A．4．（2020·四川中考）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（ ）A．abcB．bacC．acbD．cba【答案】A【解析】分别画出符合题意的图形，利用直角三角形利用三角函数求解边心距，再比较大小即可．解：设圆的半径为R，如图，由为圆内接正三角形，则正三角形的边心距为a＝R×cos60°＝R．如图，四边形为圆的内接正方形，四边形的边心距为b＝R×cos45°＝R，如图，六边形为圆的正内接六边形，正六边形的边心距为c＝R×cos30°＝R．∵RRR，∴＜b＜，故选：．5．（2020·山西中考）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先证明是等边三角形，求解，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案．解：如图，连接，是等边三角形，所以则图中摆盘的面积故选B．6．（2020·淄博中考）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）A．2π+2B．3πC．D．+2【答案】C解：利用弧长公式计算即可．【解答】解：如图，点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝++＝，故选：C．7．（2020·广西中考）如图，已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（ ）A．πB．πC．2πD．2π【答案】B【解析】根据已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，利用垂径定理可得AC＝4，PO⊥AB，再根据勾股定理可得AP的长，利用弧长公式即可求出点P的运动路径长．解：如图，设的圆心为O，连接OP交AB于C，连接OA,AP,AB′,AP′,∵圆O半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，根据垂径定理，得AC＝AB＝4，PO⊥AB，OC＝＝3，∴PC＝OP﹣OC＝5﹣3＝2，∴AP＝＝2，∵将绕点A逆时针旋转90°后得到，∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°，∴LPP′＝＝π．则在该旋转过程中，点P的运动路径长是π．故选：B．8．（2020·阜新中考）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形，则正六边形的顶点的坐标是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，以为圆心，为半径作得到将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个45°，即把绕点O顺时针旋转i个45°，与重合，利用正六边形的性质与锐角三角函数求解的坐标，利用关于原点成中心对称，从而可得答案．解：如图，以为圆心，为半径作将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个45°，即把绕点O顺时针旋转i个45°，旋转后的对应点依次记为，周角＝绕点O顺时针旋转顺时针旋转次回到原位置，与重合，关于原点成中心对称，连接正六边形，关于原点成中心对称，故选A．9．（2020·东营中考）用一个半径为面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到?2π?r?3=3π，然后解方程即可．解：根据题意得?2π?r?3=3π，解得r=1．故选：D．10．（2020·宁夏中考）如图，等腰直角三角形中，，以点C为圆心画弧与斜边相切于点D，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】连接CD，并求出CD的值，再分别计算出扇形ECF的面积和等腰三角形ACB的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．解：连接CD，如图，∵AB是圆C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CD=AB，∵，AC=BC，∴AB=2，∴CD=1，故选：A．11．（2020·德州中考）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．解：正六边形的面积为：，六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：，所以阴影部分的面积为：，故选：A．12．（2020·云南中考）如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A．B．1C．D．【答案】D【解析】根据题意，扇形ADE中弧DE的长即为圆锥底面圆的周长，即通过计算弧DE的长，再结合圆的周长公式进行计算即可得解．解：∵正方形的边长为4∴∵是正方形的对角线∴∴∴圆锥底面周长为，解得∴该圆锥的底面圆的半径是，故选：D．13．（2020·济南中考）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．【答案】6【解析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式列方程求解计算即可．解：∵正六边形的内角是120度，阴影部分的面积为24π，设正六边形的边长为r，∴，解得r＝6．（负根舍去）则正六边形的边长为6．故答案为：14．（2020·昆明中考）如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为_____cm．【答案】10π【解析】利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可．解：连接OD，OC．∵∠DOC＝60°，OD＝OC，∴△ODC是等边三角形，∴OD＝OC＝DC＝（cm），∵OB⊥CD，∴BC＝BD＝（cm），∴OB＝BC＝3（cm），∵AB＝17cm，∴OA＝OB+AB＝20（cm），∴点A在该过程中所经过的路径长＝＝10π（cm），故答案为：10π．15．（2020·镇江中考）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于_____．【答案】30π【解析】利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积．解：圆锥侧面积＝×2π×5×6＝30π．故答案为30π．16．（2020·呼伦贝尔中考）若一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是__________度．【答案】60【解析】根据扇形的面积公式求出半径，然后根据弧长公式求出圆心角即可．解：扇形的面积==6π，解得：r=6，又∵=2π，∴n=60．故答案为：60．17．（2020·宿迁中考）用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____．【答案】1【解析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到并解关于r的方程即可．解：设这个圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2πr=，解得r=1，所以这个圆锥的底面圆半径为1．故答案为1．18．（2020·贵港中考）如图，在扇形中，点在上，，，于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为______________．【答案】【解析】连接OC，过点C作CM⊥OB于点M，分别求出S△ABD、S△AOB、S△OBC、S扇形AOC，再计算即可求解．解：连接OC，∵∠AOB＝90°∴△AOB是等腰直角三角形∵OA＝2∴∵，于点，∴AD＝AB＝，BD＝=∴S△ABD＝S△AOB＝过点C作CM⊥OB于点M，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°∴∠COB＝30°∴CM=OC=1∴S△OBC＝=1S阴影=S△AOB＋S△ABD﹣S△OBC﹣S扇形AOC＝2＋－1－＝19．（2020·鹤岗中考）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上（1）将向左平移个单位得到，并写出点的坐标；（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．【答案】（1）见解析,；（2）图形见解析，；（3）【解析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点的坐标；（3）根据题意可以求得BC的长，从而可以求得在旋转过程中扫过的面积．解：（1）如图所示，；（2）如图所示，（3）20．（2020·郴州中考）如图，内接于⊙，是⊙的直径．直线与⊙相切于点，在上取一点使得．线段，的延长线交于点．（1）求证：直线是⊙的切线；（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留）．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）连接OC，根据OA＝OC，DA＝DC可得∠OAC＝∠OCA，∠DAC＝∠DCA，再根据直线与⊙相切于点可得∠DAO＝90°，进而可得∠DCO＝90°，由此可证得直线是⊙的切线；（2）先证明BOC为等边三角形，可得OB＝OC＝BC＝2，根据扇形面积公式可求得，再利用含30°的直角三角形的性质及勾股定理可求得，由此可求得，最后便可得．解：（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵直线与⊙相切于点，∴∠DAO＝90°，∴∠DAC+∠OAC＝90°，∴∠DCA+∠OCA＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥DC，又∵点C在⊙上，∴直线是⊙的切线；（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，又∵OB＝OC，∴BOC为等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝2，∴，∵∠OCE＝90°，∠COB＝60°，∴∠E＝90°－∠COB＝30°，∴OE＝2OC＝4，∴在RtCOE中，，∴，∴∴阴影部分的面积为．5(共58张PPT)加分宝·一轮复习课件精耕细作，一针见血。研究教育根本，解决根本问题。考点梳理考点突破夯实基础考场演练谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com)中小学教育资源网站有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！详情请看：https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php已7世纪盲uuU.≥icny.compsadctabiamde已7世纪就盲wwu2icny.com式1世纪数版权声明21世纪教育网w.21cnjy.com(以下简称“本网站”)系属深圳市二一教育股份有限公司(以下简称“本公司”)旗下网站,为维护本公司合法权益,现依据相关法律法规作出如下郑重声明本网站上所有原创内容,由本公司依据相关法律法规,安排专项经费,运营规划,组织名校名师创作完成,著作权归属本公司所有。二、经由网站用户上传至本网站的试卷、教案、课件、学案等内容,由本公司独家享有信息网络传播权,其作品仅代表作者本人观点,本网站不保证其内容的有效性,凡因本作品引发的任何法律纠纷,均由上传用户承担法律责任本网站仅有义务协助司法机关了解事实情况三、任何个人、企事业单位(含教育网站)或者其他组织,未经本公司许可,不得使用本网站任何作品及作品的组成部分(包括但不限于复制、发行、表演、广播、信息网络传播、改编、汇编、翻译等方式),一旦发现侵权,本公司将联合司法机关获取相关用户信息并要求侵权者承担相关法律责任四、一旦发现侵犯本网站作品著作权的行为,欢迎予以举报。举报电话:4006379991举报信息一经核实,本公司将依法追究侵权人法律责任!五、本公司将结合广大用户和网友的举报,联合全国各地文化执法机关和相关司法机关严厉打击侵权盗版行为依法追究侵权人的民事、行政和刑事责任!特此声明深圳市二一教育股份有限公司云27世纪言m谢谢21世纪教育网(www21chycon)中小学教育资原网站Habig有大把高质量资料?一线教师?一线教研员?欢迎加入21世纪教育网教始合作团队!!月薪过万不是梦!!详情请看mdhttps://www./help/helpextractphp第四章图形的性质第11节与圆有关的计算■考点1正多边形与圆?（1）正多边形：各边________，各角________的多边形叫做正多边形．（2）正n边形的内角和=________；正n边形的每个内角度数=；正n边形外角和=________；正n边形的每个外角度数=．（3）圆与正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的________，外接圆的半径叫做正多边形的________，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的________，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的________．■考点2与圆有关的计算?（1）弧长公式：（n为圆心角的度数，r为圆的半径，该公式涉及l，n，r三个量，已知其中任意两个量，都可求第三个量．）（2）有关阴影部分面积的求法①扇形的面积公式：S=（n为圆心角的度数．r为圆的半径．l表示弧长）．②求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积，常用方法有：①割补法：②拼凑法：③等积变形法．（3）圆柱的侧面展开图是________，圆柱侧面积=________，圆柱全面积=_______．■考点1：正多边形与圆?◇典例：正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（ ）A．B．2C．2D．2◆变式训练1．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）A．B．2C．D．12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，则弧的长是（ ）A．πB．πC．2πD．π■考点2：与圆有关的计算?◇典例：一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）A．120°B．180°C．240°D．300°◆变式训练1．如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=30°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）A．2﹣B．2﹣C．4﹣D．4﹣2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则弧CD的长为（ ）A．πB．πC．πD．π1．如图，一块含有30°角的直角三角板，在水平桌面上绕点C接顺时针方向旋转到的位置，若，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）A．B．C．D．2．若一个正n边形(n为大于2的整数）的半径为r，则这个正n变形的边心距为（）A．B．C．D．3．钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（）A．B．C．D．4．如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（）A．3B．4C．5D．无法确定5．如图1，在中，，分别以，，为直径作半圆①，②，③，面积分别记为，，，由勾股定理可得结论：．如图2，将半圆①，②进行旋转和轴对称变换，使与重合，与重合，变换后的两个半圆均在半圆③内．若已知图2中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．B．面积与的差C．半圆①与半圆②重叠部分的面积D．6．将一个半径为1的圆形纸片，如下图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（）A．B．C．D．7．已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的周长为（）A．B．C．D．8．如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α=120°，β=60°，则大扇形与小扇形的面积之差为（ ）A．B．C．D．9．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A、D为圆心，以AB长为半径画、．若AB＝a，则阴影部分图形的面积为（ ）（结果保留到0.01，参考：sin72°≈0.951，tan36°≈0.727）A．0.45a2B．0.3a2C．0.6a2D．0.15a210．如图，分别以边长为1的正六边形的两条对角线为边向右，向下作两个正方形，则两个阴影部分面积的值（）．A．1B．C．2D．411．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需（ ）个这样的正五边形A．6B．7C．8D．912．如图，在中，，分别以为圆心，以的长为半径作圆，将截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（）cm2．A．B．C．D．13．正十边形的中心角等于______度．14．把一个半径为的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则这个圆锥的侧面积为_________．15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为BC上一点，连接AF，若∠AFC＝126°，则∠BAF的度数为_____．16．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为10，则的长为____．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2．分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是_____．（保留π）18．如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为___．19．教学实践课上，老师拿出三个边长都为的正方形硬纸板，提出了一个问题：“若将三个正方形硬纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其完全盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应该是多大？”同学们经过讨论，觉得实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能完全盖住时的最小直径，讨论过程中探索出三种不同的摆放类型，如图1，图2，图3所示．（1）图1对应的圆形硬纸板的最小直径为______；（2）可求出图2、图3对应的圆形硬纸板的最小直径都为，但这三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，则老师提出的问题的正确答案是______．20．如图，在等腰中，，和为线段的三等分点，以为圆心，线段的长为半径画圆．（1）求证：是圆的切线；（2）若圆的半径为1，求阴影部分面积是多少？21．如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH=60°，设CG=x，EH=y．（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．1．（2020·随州中考）设边长为的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为、、，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．2．（2020·青海中考）如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（）A．3.6B．1.8C．3D．63．（2020·南充中考）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B运动路径的长度为（）A．πB．2πC．3πD．4π4．（2020·四川中考）半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（ ）A．abcB．bacC．acbD．cba5．（2020·山西中考）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（）A．B．C．D．6．（2020·淄博中考）如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）A．2π+2B．3πC．D．+27．（2020·广西中考）如图，已知的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（ ）A．πB．πC．2πD．2π8．（2020·阜新中考）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形，则正六边形的顶点的坐标是（）A．B．C．D．9．（2020·东营中考）用一个半径为面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（）A．B．C．D．10．（2020·宁夏中考）如图，等腰直角三角形中，，以点C为圆心画弧与斜边相切于点D，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．11．（2020·德州中考）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．12．（2020·云南中考）如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A．B．1C．D．13．（2020·济南中考）如图，在正六边形ABCDEF中，分别以C，F为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为24π，则正六边形的边长为_____．14．（2020·昆明中考）如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为_____cm．15．（2020·镇江中考）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于_____．16．（2020·呼伦贝尔中考）若一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是__________度．17．（2020·宿迁中考）用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_____．18．（2020·贵港中考）如图，在扇形中，点在上，，，于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为______________．19．（2020·鹤岗中考）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上（1）将向左平移个单位得到，并写出点的坐标；（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；（3）在（2）的条件下，求在旋转过程中扫过的面积（结果保留）．20．（2020·郴州中考）如图，内接于⊙，是⊙的直径．直线与⊙相切于点，在上取一点使得．线段，的延长线交于点．（1）求证：直线是⊙的切线；（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留）．13 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