资源简介

(共68张PPT)
加
分
宝
·
一
轮
复
习
课
件
精
耕
细
作
，
一
针
见
血
。
研
究
教
育
根
本
，
解
决
根
本
问
题
。
考
点
梳
理
考
点
突
破
夯
实
基
础
考
场
演
练
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
已7世纪盲
uuU.≥icny.com
p
sadc
tabia
m
d
e
已7世纪就盲
wwu2icny.com
式1世纪数
版权声明
21世纪教育网w.21cnjy.com(以下简称“本网站”)系属深圳市二一教育股份有限公司(以下简称“本公司”)
旗下网站,为维护本公司合法权益,现依据相关法律法规作出如下郑重声明
本网站上所有原创内容,由本公司依据相关法律法规,安排专项经费,运营规划,组织名校名师创作完成,
著作权归属本公司所有。
二、经由网站用户上传至本网站的试卷、教案、课件、学案等内容,由本公司独家享有信息网络传播权,其作品
仅代表作者本人观点,本网站不保证其内容的有效性,凡因本作品引发的任何法律纠纷,均由上传用户承担法律责任
本网站仅有义务协助司法机关了解事实情况
三、任何个人、企事业单位(含教育网站)或者其他组织,未经本公司许可,不得使用本网站任何作品及作品的
组成部分(包括但不限于复制、发行、表演、广播、信息网络传播、改编、汇编、翻译等方式),一旦发现侵权,本
公司将联合司法机关获取相关用户信息并要求侵权者承担相关法律责任
四、一旦发现侵犯本网站作品著作权的行为,欢迎予以举报。
举报电话:4006379991
举报信息一经核实,本公司将依法追究侵权人法律责任!
五、本公司将结合广大用户和网友的举报,联合全国各地文化执法机关和相关司法机关严厉打击侵权盗版行为
依法追究侵权人的民事、行政和刑事责任!
特此声明
深圳市二一教育股份有限公司
云27世纪言
m
谢谢
21世纪教育网(www21
chycon)中小学教育资原网站
Habig
有大把高质量资料?一线教师?一线教研员?
欢迎加入21世纪教育网教始合作团队!!月薪过万不是梦!!
详情请看
m
d
https://www./help/helpextractphp第四章
图形的性质
第10节
直线与圆的位置关系
■考点1
与圆有关的位置关系?
（1）点与圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
①点在圆外d＞r；
②点在圆上d=r；
③点在圆内d＜r．
（2）直线与圆的位置关系
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
①直线与圆相交d②直线与圆相切d=r；
③直线与圆相离d>r．
■考点2
切线的性质与判定?
（1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
（2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；
过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
经过切点且垂直于切线的直线必过该圆的圆心．
（3）切线判定方法：
①定义法：
②设d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径，若d=r，则直线与圆相切：
③经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（4）切线长定理：从圆外一点向圆引的两条切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
■考点3
三角形与圆?
（1）三角形的内切圆：三角形内切圆的圆心是三角形三个角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三角形的三边的距离相等．
（2）三角形的外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
锐角三角形外心在三角形的内部，直角三角形外心在三角形的斜边中点处，钝角三角形外心在三角形的外部．
■考点1：与圆有关的位置关系?
◇典例：在中，，，，以C为圆心，cm长为半径的圆与AB的位置关系是（
）
A．相切
B．相交
C．相离
D．不能确定
【答案】A
【解析】利用面积法求出直角三角形ABC的斜边AB上的高，即得到圆心到直线的距离，然后比较它和圆的半径的大小，得到直线与圆的位置关系
解：∵，，，
∴，
设直角三角形ABC的斜边AB上的高是h，
，
∵，即圆心C到直线AB的距离等于圆的半径，
∴直线与圆的位置关系是相切．
故选：A．
◆变式训练
1．在△中，，，．如果以点为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，那么半径的取值范围是__________．
【答案】3＜
r≤4或．
【解析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上；若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
解：过点作于点，
∵在中，，，，
，
，
如下图，当与和相切时，则的半径为；
当和相交，且只有一个交点在斜边上时，则
．
故半径r的取值范围是或．
故答案为或．
2．如图，已知⊙O是以数轴上原点O为圆心，半径为2的圆，∠AOB＝45°，点P在x正半轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P点对应的数为x，则x的取值范围是_____．
【答案】0＜x≤2
【解析】根据题意可知，直线和圆有公共点，则直线与圆相交或相切．如图，当直线与圆相切时，x值最大，设切点为C，连接OC，根据∠AOB＝45°，OA∥PC，可知为等腰直角三角形，进而求出斜边的长度，即可得到x的取值范围．
解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC＝2，OC⊥PC，
∵∠AOB＝45°，OA∥PC，
∴∠OPC＝45°，
∴PC＝OC＝2，
∴OP＝，
∵P在x正半轴上运动，
∴x的取值范围是0＜x≤，
故答案为：0＜x≤．
■考点2：切线的性质与判定?
◇典例：如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是_____．（不添加其他字母和线条）
【答案】D是BC的中点
【解析】根据切线的判定方法知，能使BD成为切线的条件就是能使OD垂直于DE的条件，从所有的条件中找到一个即可．
解：连接OD，
当DE与圆相切时，ED⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∵AO=BO，
∴D是BC的中点．
故答案为：D是BC的中点．
◆变式训练
1．如图，正方形的边长为8，M是的中点，一动点P从点运动，连接，以点P为圆心，的长为半径作，当与正方形的边相切时，的长为_________．
【答案】3或或
【解析】由线段中点的性质解得，当与正方形的边相切时，分别作出相应的图形，分三种情况讨论：①当与正方形的边相切，切点为点时，
设，在中，利用勾股定理解得的值，即可解出的长；②当与正方形的边相切，切点为点时，可证明四边形是矩形，由矩形对边相等的性质结合圆的半径相等，解得，再在中，利用勾股定理解题；③当与正方形的边相切，切点为点时，在中，利用勾股定理解题即可．
解：是的中点，
分三种情况讨论：
①如图，当与正方形的边相切，切点为点时，
设，在中，
；
②如图，当与正方形的边相切，切点为点时，
连接，则，四边形是矩形，
在中，
；
③如图，当与正方形的边相切，切点为点时，
在中，
，
综上所述，当与正方形的边相切时，的长为：3或或，
故答案为：3或或．
2．已知：如图，的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点，过点B作CD的平行线交弦AD的延长线于点F．
（1）求证：BF是的切线；
（2）连接BC，若的半径为4，，线段AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）根据垂径定理得到AB⊥CD，∠AED＝90°，根据平行线的性质得到∠ABF＝∠AED＝90°，于是得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据三角函数的定义得到，设BD＝3x，AD＝4x，求得AB＝5x，于是得到结论．
解：（1）证明：的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点，
，
，
，
，
是的直径，
是的切线；
（2）连接BD，
，
是的直径，
，
，
，
设，，
，
的半径为4，
，
，，
.
■考点3：三角形与圆?
◇典例：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，D是AB的中点，则外接圆的直径R＝_____．
【答案】10
【解析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可计算的AB的长度，再根据直角三角形的外接圆的中点在斜边的中点上，即可求出外接圆的直径.
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，D是AB的中点，
∴AB＝2CD＝10，
∵直角三角形的外心在斜边中点，
∴斜边AB即是△ABC外接圆的直径，
∴R＝10．
故答案为10．
◆变式训练
1．如图，在正六边形中，连接，，则关于外心的位置，下列说法正确的是（
）
A．在内
B．在内
C．在线段上
D．在线段上
【答案】D
【解析】先判断的形状，再确定外心的位置．
解：∵正六边形的每一个外角都是，
∴正六边形的每一个内角都为，
,
在正六边形中，AB=AF，
，
，
是直角三角形，
的外心是BE的中点，
故选：D
2．如图，在中，，，，⊙O是的内切圆，则⊙O的半径为（
）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】根据勾股定理可求得，设三边内切于点、、，连接、、，可得，，，且，由，列出方程即可求出的内切圆的半径的值．
解：如图，，，，
，
设三边内切于点、、，连接、、，
，，，且，
连接、、，
，
即，
，
解得．
的内切圆的半径为1．
故选：．
1．如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么⊙的半径的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB=13，再利用面积法计算出然后根据直线与圆的位置关系得到当时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点．
解：作CD⊥AB于D，如图，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴
∴
∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为
故选：C
2．若的外接圆半径为R，内切圆半径为，则其内切圆的面积与的面积比为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得：结合勾股定理可得：再求解直角三角形的面积，从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比．
解：如图，由题意得：
，
由切线长定理可得：
设
，
，
而
故选B．
3．如图，点为⊙O外一点，为⊙O的切线，为切点，交⊙O于点，，，则线段的长为（
）
A．4
B．
C．8
D．12
【答案】A
【解析】要求BP，由BP在OP上，OB=4已知只要求出OP，需和切线结合，为此连OA，构成直角三角形，由OA为半径，，利用30?角所对直角边等于斜边的一半，可求OP即可．
解：连接OA，
∵为⊙O的切线，
∴∠OAP=90?，
,
∴OA=OB=4，
在Rt△OAP中，
∵，，
∴OP=2OA=8，
BP=OP-OB=8-4=4．
故选择：A．
4．如图：两个同心圆，切小圆于A，切大圆于B，若，，那么两个圆所围成的圆环的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设同心圆的圆心为O，连接OA、OB和OP，根据切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，然后利用勾股定理可证OA2＋PA2=OB2＋PB2，从而求出OB2－OA2，然后根据圆环的面积公式计算即可．
解：设同心圆的圆心为O，连接OA、OB和OP
∵切小圆于A，切大圆于B，
∴∠OAP=∠OBP=90°
在Rt△OAP中，OP2=OA2＋PA2
在Rt△OBP中，OP2=OB2＋PB2
∴OA2＋PA2=OB2＋PB2
∴OA2＋32=OB2＋22
∴OB2－OA2=32－22=5
∴两个圆所围成的圆环的面积为（OB2－OA2）=
故选D．
5．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠BCO＝α，则∠P的度数为（　　）
A．2α
B．90°﹣2α
C．45°﹣2α
D．45°+2α
【答案】B
【解析】由圆周角定理可求得∠AOP的度数，由切线的性质可知∠PAO=90°，则可中求得∠P．
解：∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠ABC＝α，
∴∠AOP＝2∠ABC＝2α，
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥AB，
∴∠PAO＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣2α，
故选：B．
6．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则AE的长为（　　）
A．1
B．2﹣
C．
D．
【答案】A
【解析】连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于边的倍，已知边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，可求半径OC，由∠ACB＝60°，得∠OCF＝30°，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长，进而可求出结论．
解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
∵△ABC为等边三角形，边长为4，
∴∠ACB＝60°，高为2，
∵等边三角形ABC与⊙O等高，
∴OC＝，
∵⊙O与BC相切于点C，
∴∠OCB＝90°，
∴∠OCF＝30°，
在Rt△OFC中，可得FC＝OC?cos30°＝，
∵OF过圆心，且OF⊥CE，根据垂径定理易知CE＝2FC＝3，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣3＝1，
故选：A．
7．如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（　　）
A．14cm
B．15cm
C．13cm
D．10.5cm
【答案】A
【解析】先根据三角形内心的定义得到AO、BO是∠CAB和∠CBA的角平分线，结合平行线的性质可证明∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO，于是得到EO＝EA，OF＝FB，故此可得到EF＝AE＋BF，根据三角形的周长公式计算即可．
解：连接OA、OB．
∵点O是△ABC的内心，
∴AO、BO分别是∠CAB和∠CBA的角平分线．
∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO．
∵EF//BA，
∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA．
∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO．
∴EO＝EA，OF＝FB．
∴EF＝AE＋BF，
∴△CEF的周长＝CE＋CF＋EF＝CE＋EA＋CF＋FB＝CA＋CB＝14，
故选：A．
8．如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是（　　）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】由切线的性质得出
求出
，证出
，得出，得出，由直角三角形的性质得出
，得出
，再由直角三角形的性质即可得出结果．
解：∵
与AC相切于点D，
故选A．
9．如图所示，中角平分线与，的外角平分线交于一点，为的内心（三个内角角平分线的交点），交的外接圆于点，若，则（
）
A．3
B．2
C．1
D．4
【答案】B
【解析】先利用内心的性质和圆周角定理得到GB=GC，再结合外角角平分线的性质得出三角形∠FBE=90°，再进行导角可得到GB=GF=GE，从而求出GC的长.
解：∵为的内心
∴∠ABF=∠CBF，∠BAF=∠CAF，
∠CAF=∠CBG，∠BAF=∠BCG，
∴BG=CG，
又∠BFG=∠FBA+∠FAB，∠GBF=∠GBC+CBF
∴∠GBF=∠GFB
∴GB=GF，
又∵BE为∠ABC外角角平分线，
∴∠EBC+∠CBF=90°，
∴∠EBF=90°，
∴∠BEF+∠BFE=90°，
又∠GBF=∠GFB，
∴∠GBE=∠GEB
∴GB=GE
∴GE=GF=GB
又FE=4
∴GC=GB=GE=GF=2.
故选：B.
10．如图，中，，，，将半径是1的沿三角形的内部边缘无滑动的滚动一周，回到起始的位置，则点所经过的路线长是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】构建直角三角形，利用三角函数的知识点计算即可得到结果；
解：如图所示，
∵中，，，，
∴AC=5，
又∵的半径是1，
∴CQ=1，
∴，
在中，
，
∴，
∴点O经过的路线长为；
故选：A．
11．如图，菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为___________．
【答案】
【解析】设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，根据切线性质，可知，平分，由已知条件∠B=60°解得，再由直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，解得AO的长，进而解得BO的长，最后又由三角形面积公式解即可．
解：设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则，
内切于菱形ABCD，
平分
同理得
故答案为：
12．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．
【答案】
【解析】根据题意得出△ABC的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径．
解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故答案为：．
13．如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为______.
【答案】
【解析】解：根据题意画出平移后的图形，如图所示：
设平移后的△A′B′C′与相切于点D，连接OD，OA，AD，
过O作OE⊥AD，可得E为AD的中点，
∵平移前与AC相切于A点，
∴OA⊥A′C,即
∵平移前与AC相切于A点,平移后与A′B′相切于D点，
即A′D与A′A为的两条切线，
∴A′D=A′A,又
∴△A′AD为等边三角形，
∴
∴
在Rt△AOE中,
∴
∴
∴
则该直角三角板平移的距离为
故答案为
14．如图，在中，，，，点P在边AC上，的半径为1，如果与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是___________．
【答案】
【解析】根据勾股定理得到AC=4，然后找出与边BC、AB相切的临界点，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：在中，，，，
由勾股定理，则，
当与边BC相切时，则点C恰好为切点，
此时；
当与边AB相切时，如图，作PD⊥AB，
∵∠A=∠A，∠C=∠ADP=90°，
∴△ABC∽△APD，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴线段PC长的取值范围是．
故答案为：．
15．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切与点D，过点B作PD的垂线，与PD的延长线相交于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为_____．
【答案】4
【解析】直接利用切线的性质得出∠PDO＝90°，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．
解：连接DO，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO＝90°，
∵∠C＝90°，
∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴,
∴,
∴PA＝4,
故答案为4.
16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．
【答案】.
【解析】根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是.
考点：勾股定理；点和圆的位置关系.
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为___________．
【答案】（6，6）
【解析】如图：由题意可得M在AB、BC的垂直平分线上，则BN=CN；证得ON=OB+BN=6，即△OMN是等腰直角三角形，得出MN=ON=6，即可得出答案.
解：如图∵圆M是△ABC的外接圆
∴点M在AB、BC的垂直平分线上，
∴BN=CN，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0）
∴OA=OB=4，OC=8，
∴BC=4，
∴BN=2，
∴ON=OB+BN=6，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵OM⊥AB，
∴∠MON=45°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴MN=ON=6，点M的坐标为（6，6）．
故答案为（6，6）．
18．如图，直线AM与⊙O相切于点A，弦BCAM，连接BO并延长，交⊙O于点E，交AM于点F，连接CE并延长，交AM于点D．
（1）求证：CEOA；
（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）根据平行线的性质和切线的性质定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：（1）证明：如图
∵BE是⊙O的直径，
∴CE⊥BC，
∵BC∥AM，
∴CD⊥AM，
∵AM是⊙O的切线，
∴OA⊥AM，
∴CE∥OA；
（2）解：∵⊙O的半径R＝13，
∴OA＝13，BE＝26，
∵BC＝24，
∴CE＝＝10，
∵BC∥AM，
∴∠B＝∠AFO，
∵∠C＝∠A＝90°，
∴△BCE∽△FAO，
∴，
∴
∴AF＝．
19．如图，在中，点D为的中点，点P为半径延长线上一点，连结，，且平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若平分，且的半径为2，求的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义证明∠PAO=90°即可；
（2）由线段垂直平分线的性质求得OA=AC，证明△OAC为等边三角形，然后利用锐角三角函数值求解即可
解：（1）∵OC=OA
∴∠OAC=∠OCA
∵平分
∴∠CAP=∠CAD
又∵点D为的中点
∴OC⊥AB
∴∠CAD+∠OCA=90°
∴∠CAP+∠OAC=90°
∴∠PAO=90°，即是的切线；
（2）∵点D为的中点，平分，
∴AB与OC互相垂直平分
∴OA=AC=OC，即△OAC为等边三角形
∴∠O=60°
∴在Rt△OAP中，PA=tan60°·OA=
20．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径等于5，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）CE=6.4．
【解析】（1）连结OD，则由已知可以证得OD∥AC，再由DE⊥AC可得DE⊥OD，从而得到DE
是
⊙O
的切线；
（2）连结AD，则由AB是直径可得∠ADC=90°，所以由AC=AB及CD的长即可得到AD的长，再由题意得到RT△DEC∽RT△ADC后根据相似性质可以求得CE的长度．
解：（1）证明：如图，连结OD，
，
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，
又AB=AC，∴∠B=∠C，
∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，
∴∠ODE=90°，∴DE⊥OD，
∴DE
是
⊙O
的切线；
（2）解：如图，连结OD、AD，
∵AB是直径，∴AB=2×5=10,AD⊥DB，
∴AC=10，
∵CD=8，∴AD=6，
∵在RT△DEC和RT△ADC中，，
∴RT△DEC∽RT△ADC，
∴，∴
．
1．（2020·广西中考）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（　　）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
【答案】B
【解析】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB＝＝25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
2．（2020·雅安中考）如图，内接于圆，，过点的切线交的延长线于点．则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】连接OC，根据切线的性质得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根据外角的性质得出∠CAB.
解：连接OC，
∵CP与圆O相切，
∴OC⊥CP，
∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∵∠P=28°，
∴∠COP=180°-90°-28°=62°，
而OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，
即∠CAB=31°，
故选B.
3．（2020·通辽中考）如图，分别与相切于两点，，则(　　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连接OA、OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数．
解：连接OA、OB，
∵直线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P=72°，
∴∠AOB=108°，
∵C是⊙O上一点，
∴∠ACB=54°．
故选：C．
4．（2020·广州中考）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（
）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【答案】B
【解析】根据中，，
，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC
的值，比较BC与半径r的大小，即可得出与的位置关系．
解：∵中，，
，
∴cosA=
∵，
∴AC=4
∴BC=
当时，与的位置关系是：相切
故选：B
5．（2020·金华中考）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（
）
A．65°
B．60°
C．58°
D．50°
【答案】B
【解析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EPF=∠EOF=60°，
故选：B．
6．（2020·赤峰中考）如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA
=3，则外接圆的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得．
解：，AD是的平分线
，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）
是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线
点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径
外接圆的面积为
故选：D．
7．（2020·永州中考）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．
解：如图，
是的两条切线，
故①正确，
故②正确，
是的两条切线，
取的中点，连接，
则
所以：以为圆心，为半径作圆，则共圆，故③正确，
M是外接圆的圆心，
与题干提供的条件不符，故④错误，
综上：正确的说法是个，
故选C．
8．（2020·徐州中考）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案.
解：∵，
∴∠APO=70°，
∵，
∴∠AOP=90°，∴∠A=20°，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=20°，
又∵点C在过点B的切线上，
∴∠OBC=90°，
∴∠ABC=∠OBC?∠ABO=90°?20°=70°，
故答案为：B.
9．（2020·湘西中考）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（
）
A．为等腰三角形
B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上
D．为的边上的中线
【答案】B
【解析】连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，证明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM，可判断C；证明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根据△BPA为等腰三角形，可判断D；无法证明与相互垂直平分，即可得出答案．
解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，
∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，
∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，
∴△OBC≌△OAC，
∴∠OCB=∠OCA=90°，
∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，
∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，
故选：B．
10．（2020·南京中考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．
解：设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故选A．
11．（2020·泰州中考）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为_______．
【答案】3或5
【解析】根据切线的性质可得OH=1,故OP=PH-OH或OP=PH+OH，即可得解．
解：∵
∴与直线相切，OH=1
当在直线a的左侧时，OP=PH-OH=4-1=3；
当在直线a的右侧时，OP=PH+OH=4+1=5；
故答案为3或5．
12．（2020·眉山中考）如图，点为⊙外一点，过点作的切线、，点、为切点．连接并延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．已知，，则的长为________．
【答案】
【解析】连接OB，在中应用勾股定理求得的半径为3，再根据，对应线段成比例即可求解．
解：连接OB，
∵、为的切线，
∴，，
∴，
∴，
设的半径为r，则，
在中，，即，解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
13．（2020·苏州中考）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是_________．
【答案】25
【解析】先由切线的性质可得∠OAC=90°，再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°，最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B的度数．
解：∵是的切线，
∴∠OAC=90°
∵，
∴∠AOD=50°，
∴∠B=∠AOD=25°
故答案为：25．
14．（2020·枣庄中考）如图，AB是的直径，PA切于点A，线段PO交于点C．连接BC，若，则________．
【答案】27°
【解析】连接AC，根据直径所对的圆周角是直角、切线的定义得到，根据三角形外角的性质可得，因此可得，求解即可．
解：如图，连接AC，
是的直径，
∴，
∴，
∵PA切于点A，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得，
故答案为：．
15．（2020·杭州中考）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝_____．
【答案】
【解析】根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到AB＝＝＝2x，于是得到结论．
解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵sin∠BAC＝＝，
∴设BC＝x，AC＝3x，
∴AB＝＝＝2x，
∴OB＝AB＝x，
∴tan∠BOC＝＝，
故答案为：．
16．（2020·鄂州中考）如图，已知直线与x、y轴交于A、B两点，的半径为1，P为上一动点，切于Q点．当线段长取最小值时，直线交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为______________．
【答案】
【解析】先找到长取最小值时P的位置即为OP⊥AB时，然后画出图形，由于PM即为P到直线a的距离的最大值，求出PM长即可．
解：如图，
在直线上，x=0时，y=4，y=0时，x=，
∴OB=4，OA=，
∴，
∴∠OBA=30°，
由切于Q点，可知OQ⊥PQ，
∴，
由于OQ=1，因此当OP最小时长取最小值，此时OP⊥AB，
∴，此时，，
∴，即∠OPQ=30°，
若使P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，
过P作PE⊥y轴于E，
，，
∴，
∵，∴∠OPE=30°，
∴∠EPM=30°+30°=60°，即∠EMP=30°，
∴，
故答案为：．
17．（2020·鄂尔多斯中考）如图，等边中，，点、点分别在和上，且，连接、交于点，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
由已知条件先证明△ABD≌，求得，再作为边外正三角形的外接圆，点在圆上，利用勾股定理和三角函数求出CF的最小值．
解：等边，，
≌，
，
，
∴，
∴作为边外正三角形的外接圆，点在圆上，
,
．
∴
．
18．（2020·西藏中考）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）9
【解析】（1）连接OD，OE，根据切线的性质得到∠DAB＝90°，根据全等三角形的性质得到∠OED＝∠OAD＝90°，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）过C作CH⊥AD于H，根据已知条件推出四边形ABCH是矩形，求得CH＝AB＝12，AH＝BC＝4，根据切线的性质得到AD＝DE，CE＝BC，求得DH＝AD﹣BC＝AD﹣4，CD＝AD+4，根据勾股定理即可得到结论．
解：（1）证明：连接OD，OE，
∵AD切⊙O于A点，AB是⊙O的直径，
∴∠DAB＝90°，
∵AD＝DE，OA＝OE，OD＝OD，
∵△ADO≌△EDO（SSS），
∴∠OED＝∠OAD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CH⊥AD于H，
∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4，
∵CD是⊙O的切线，
∴AD＝DE，CE＝BC，
∴DH＝AD﹣BC＝AD﹣4，CD＝AD+4，
∵CH2+DH2＝CD2，
∴122+（AD﹣4）2＝（AD+4）2，
∴AD＝9．
19．（2020·济南中考）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长．
解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴
，
∴AC2＝AD?AB＝2×3＝6，
∴AC＝
20．（2020·贵港中考）如图，在中，，点在边上，且，是的外接圆，是的直径．
（1）求证：是的切线：
（2）若，，求直径的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）连接，直径所对的圆周角是直角可得∠ADE＝90°，继而根据已知条件和等边对等角的性质及等角代换可得：∠BAD＝∠E＝∠C，进而可得，再根据切线的判定即可求证结论；
（2）作，垂足为，易证△ABC∽△DBA，继而根据相似三角形的性质可得：，进而可求BC=8，由勾股定理可得AH，然后根据相似三角形的判定及其性质可得，，代入数据即可求解．
解：（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴∠BAD＝∠E＝∠C，
∴，即，
∴是的切线．
（2）解：如图，作，垂足为，
∵，
∴，
∵，
∴△ABC∽△DBA
∴，则，
又，，
∴，
在中，，
由勾股定理求得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
21第四章
图形的性质
第10节
直线与圆的位置关系
■考点1
与圆有关的位置关系?
（1）点与圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：
①点在圆外d________r；
②点在圆上d________r；
③点在圆内d________r．
（2）直线与圆的位置关系
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：
①直线与圆相交d________r：
②直线与圆相切d________r；
③直线与圆相离d________r．
■考点2
切线的性质与判定?
（1）切线的定义：直线和圆只有________时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
（2）切线的性质：圆的切线垂直于________；
过圆心且垂直于切线的直线必经过________；
经过切点且垂直于切线的直线必过该圆的圆________．
（3）切线判定方法：
①定义法：
②设d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径，若________，则直线与圆相切：
③经过半径的外端且________这条半径的直线是圆的切线．
（4）切线长定理：从圆外一点向圆引的两条切线长________，这一点和圆心的连线平分________．
■考点3
三角形与圆?
（1）三角形的内切圆：三角形内切圆的圆心是三角形________的交点，叫做三角形的________，它到三角形的________的距离相等．
（2）三角形的外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形________的交点，叫做三角形的________．
锐角三角形外心在三角形的________，直角三角形外心在三角形的________，钝角三角形外心在三角形的________．
■考点1：与圆有关的位置关系?
◇典例：在中，，，，以C为圆心，cm长为半径的圆与AB的位置关系是（
）
A．相切
B．相交
C．相离
D．不能确定
◆变式训练
1．在△中，，，．如果以点为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，那么半径的取值范围是__________．
2．如图，已知⊙O是以数轴上原点O为圆心，半径为2的圆，∠AOB＝45°，点P在x正半轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P点对应的数为x，则x的取值范围是_____．
■考点2：切线的性质与判定?
◇典例：如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是_____．（不添加其他字母和线条）
◆变式训练
1．如图，正方形的边长为8，M是的中点，一动点P从点运动，连接，以点P为圆心，的长为半径作，当与正方形的边相切时，的长为_________．
2．已知：如图，的直径AB与弦CD相交于点E，且E为CD中点，过点B作CD的平行线交弦AD的延长线于点F．
（1）求证：BF是的切线；
（2）连接BC，若的半径为4，，线段AD的长．
■考点3：三角形与圆?
◇典例：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，D是AB的中点，则外接圆的直径R＝_____．
◆变式训练
1．如图，在正六边形中，连接，，则关于外心的位置，下列说法正确的是（
）
A．在内
B．在内
C．在线段上
D．在线段上
2．如图，在中，，，，⊙O是的内切圆，则⊙O的半径为（
）
A．1
B．
C．2
D．
1．如图，已知中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有公共点，那么⊙的半径的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．若的外接圆半径为R，内切圆半径为，则其内切圆的面积与的面积比为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，点为⊙O外一点，为⊙O的切线，为切点，交⊙O于点，，，则线段的长为（
）
A．4
B．
C．8
D．12
4．如图：两个同心圆，切小圆于A，切大圆于B，若，，那么两个圆所围成的圆环的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠BCO＝α，则∠P的度数为（　　）
A．2α
B．90°﹣2α
C．45°﹣2α
D．45°+2α
6．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则AE的长为（　　）
A．1
B．2﹣
C．
D．
7．如图，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF//AB，与AC、BC分别交于点E、F，则△CEF的周长为（　　）
A．14cm
B．15cm
C．13cm
D．10.5cm
8．如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是（　　）
A．
B．2
C．
D．
9．如图所示，中角平分线与，的外角平分线交于一点，为的内心（三个内角角平分线的交点），交的外接圆于点，若，则（
）
A．3
B．2
C．1
D．4
10．如图，中，，，，将半径是1的沿三角形的内部边缘无滑动的滚动一周，回到起始的位置，则点所经过的路线长是（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为___________．
12．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点、、均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．
13．如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为______.
14．如图，在中，，，，点P在边AC上，的半径为1，如果与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是___________．
15．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切与点D，过点B作PD的垂线，与PD的延长线相交于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为_____．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为___________．
18．如图，直线AM与⊙O相切于点A，弦BCAM，连接BO并延长，交⊙O于点E，交AM于点F，连接CE并延长，交AM于点D．
（1）求证：CEOA；
（2）若⊙O的半径R＝13，BC＝24，求AF的长．
19．如图，在中，点D为的中点，点P为半径延长线上一点，连结，，且平分．
（1）求证：是的切线；
（2）若平分，且的半径为2，求的长度．
20．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径等于5，求线段的长．
1．（2020·广西中考）如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（　　）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
2．（2020·雅安中考）如图，内接于圆，，过点的切线交的延长线于点．则（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·通辽中考）如图，分别与相切于两点，，则(　　　)
A．
B．
C．
D．
4．（2020·广州中考）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（
）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
5．（2020·金华中考）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（
）
A．65°
B．60°
C．58°
D．50°
6．（2020·赤峰中考）如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA
=3，则外接圆的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·永州中考）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（2020·徐州中考）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·湘西中考）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（
）
A．为等腰三角形
B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上
D．为的边上的中线
10．（2020·南京中考）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·泰州中考）如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为_______．
12．（2020·眉山中考）如图，点为⊙外一点，过点作的切线、，点、为切点．连接并延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点．已知，，则的长为________．
13．（2020·苏州中考）如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是_________．
14．（2020·枣庄中考）如图，AB是的直径，PA切于点A，线段PO交于点C．连接BC，若，则________．
15．（2020·杭州中考）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝_____．
16．（2020·鄂州中考）如图，已知直线与x、y轴交于A、B两点，的半径为1，P为上一动点，切于Q点．当线段长取最小值时，直线交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为______________．
17．（2020·鄂尔多斯中考）如图，等边中，，点、点分别在和上，且，连接、交于点，则的最小值为__________．
18．（2020·西藏中考）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．
19．（2020·济南中考）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
20．（2020·贵港中考）如图，在中，，点在边上，且，是的外接圆，是的直径．
（1）求证：是的切线：
（2）若，，求直径的长．
15

展开更多......

收起↑