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第四章
图形的性质
第12节
尺规作图
■考点1
网格作图?
利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在网格中作图称为网格作图．
■考点2
尺规作图?
（1）尺规作图的定义：
在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称为基本作图．
（2）五种基本尺规作图：
①作一条线段等于已知线段；
②作一个角等于已知角：
③作一个角的角平分线：
④作线段的垂直平分线：
⑤经过一点作已知直线的垂线．
（3）尺规作图的步骤：
①已知：写出已知的线段和角，画出图形：
②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化：
③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹：
④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图形完全符合题设条件，
⑤对所作图形下结论．
■考点1：网格作图?
◇典例：如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的8×9的网格中，已知△ABC的顶点均为网格线的交点．
（1）在给定的网格中，画出△ABC关于直线AB对称的△ABC1．
（2）将△ABC绕着点O旋转后能与△ABC1重合，请在网格中画出点O的位置．
（3）在给定的网格中，画出以点C为位似中心，将△ABC放大为原来的倍后得到的△A2B2C
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【解析】（1）根据轴对称的性质，找到点C关于AB的对称点C1，即可得到，
（2）根据图形旋转变换的性质，可知：对应点的连线的交点，即为旋转中心O，
（3）根据图形位似变换的性质，找出B，C的对应点，即可．
解：（1）如图所示的即为所求；
（2）点的位置如图所示；
（3）如图所示的即为所求．
◆变式训练
1．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作：
（1）利用网格线确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为
；
（2）利用网格线过C点画出⊙D的切线．
【答案】（1）（2，0）；（2）见解析
【解析】（1）利用垂径定理可作AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为D点，可得出D点坐标；
（2）连接OC，作出与OC垂直的直线CE即可．
解：（1）如图1，
分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，
∴D点的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）连接OC，作出与OC垂直的直线CE，
CE即为过C点的⊙D的切线，
如图2所示．
3．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，已知点A，B，C，D均为网格线的交点．
（1）在网格中将△ABC绕点D顺时针旋转90°，画出旋转后的图形△A1B1C1；
（2）在网格中将△ABC放大2倍得到△DEF，使A与D为对应点．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】（1）根据旋转的性质，依据对应点与旋转中心的连线相等且夹角为90°找出旋转后各个对应点的位置，顺次连接即可；
（2）根据勾股定理分别求出AB，BC，AC的长，根据题意可知两个三角形的相似比为1:2，进而求出DE，EF，DF的长度，在网格中找出点E，F，再顺次连接D，E，F即可得出结果．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求
（2）根据勾股定理可得，AB=，BC=，AC=，
∵△ABC与△DEF的相似比为1:2，
∴DE=2，EF=2，DF=2，
点E，F的位置如图所示，顺次连接点D，E，F，则即为所求．
■考点2：尺规作图?
◇典例：如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（　　）
?
A．尺规作线段的垂直平分线
B．尺规作一条线段等于已知线段
C．尺规作一个角等于已知角
D．尺规作角的平分线
【答案】A
【解析】利用线段垂直平分线的作法进而判断得出答案．
解：如图所示：
可得尺规作图的痕迹表示的是尺规作线段的垂直平分线．
故选A．
◆变式训练
1．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．
已知：平面内一点A.
求作：∠A，使得∠A=90°.
作法：如图所示
（1）作射线AB；
（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；
（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD.
∠DAB即为所求的角.
请回答：该尺规作图的依据是______________________________________________．
【答案】三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角，，为锐角，.
【解析】连接OD,CD,因为OC=OC=CD,所以OCD是等边三角形，∠A=
三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；
AC是直径，OCD是等边三角形，∠DCA=60°，所以∠A=30°，
直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；
sinA=,所以为锐角，.
直径所对的圆周角为直角，，为锐角，.
故答案为：三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角，，为锐角，.
2．已知△ABC，按下列要求：（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（1）作BC边上的高AD；
（2）作△ABC的平分线BE．（尺规作图）
（3）作出线段AB的垂直平分线MN．（尺规作图）
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【解析】（1）根据钝角三角形高的做法即可；
（2）根据角平分线的尺规作图方法即可；
（3）根据线段垂直平分线的尺规作图方法即可．
解：（1）如图所示：AD为BC边上的高．
（2）如图所示：BE为△ABC的平分线．
（3）如图所示：MN为线段AB的垂直平分线．
1．如图用尺规作∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
【答案】D
【解析】由作图可知，，，根据证明三角形全等即可解决问题，
解：由作图可知，，，
△，
．
故选：．
2．用直尺和圆规作一个以线段为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形是菱形的依据是（
）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【答案】B
【解析】根据作图的痕迹以及菱形的判定方法解答．
解：由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，
根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．
故选：B．
3．如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上．若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，A、B的对应点分别为A′、B′，则A、B′之间的距离为（　　）
A．2
B．5
C．
D．
【答案】C
【解析】由旋转的性质作出△A'OB'，连接AB'，由勾股定理可求解．
解：如图，由旋转的性质作出△A'OB'，连接AB'，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴AB'＝，
故选：C．
4．如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC边上确定一点P，使得PA+PC=BC，则下列四种不同的作图方法中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】】直接利用线段垂直平分线的性质作出AC的垂直平分线进而得出答案．
解：用尺规在BC上确定一点P，使PA+PB=BC，如图所示：
先做出AB的垂直平分线，即可得出AP=PB，即可得出PA+PC=PB+PC=BC．
故选：A．
5．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得出，再用外角性质得出的度数，进而求出的度数．
解：，，
，
，
，
由图可知，是线段的垂直平分线，
，
，
．
故选：C．
6．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，正确的作法有（　　）
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
【答案】C
【解析】根据过直线外一点做已知直线的垂线作图即可求解；
解：（1）根据垂径定理作图的方法可知：
CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确；
（2）根据直径所对圆周角是直角的方法可知：
CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确；
（3）根据相交两圆的公共弦的性质可知：
CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确；
（4）无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法不正确；
综上所述：正确的作法有3种．
故选：C．
7．下列选项中的尺规作图（各图中的点P都在△ABC的边上），能推出PA＝PC的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据尺规作图痕迹进行判断，即可得到图形中相等的线段．
解：A．由此作图知CA＝CP，不符合题意；
B．由此作图知BA＝BP，不符合题意；
C．由此作图知∠ABP＝∠CBP，不能得到PA＝PC，不符合题意；
D．由此作图知PA＝PC，符合题意；
故选：D．
8．如图，已知平行四边形，，依下列步骤作图，并保留作图痕迹：
步骤1：以为圆心，长为半径画弧①，分别交，于点，；
步骤2：以为圆心，以长为半径画弧②，交于点；
步骤3：以为圆心，以长为半径画弧③，弧②和弧③交于点，过作射线，交于点．则下列叙述不正确的是：（
）
A．
B．
C．平分
D．
【答案】C
【解析】由作图痕迹，可以得到△EBF≌△GAH，从而有∠EBF=∠GAH，因此可以判断A、B、D正确，因为C不一定成立，故可以得到解答．
解：如图，连结E、F和G、H，
由已知，在△EBF和△GAH中，AG=EB，AH=BF，HG=EF，∴△EBF≌△GAH，故D正确；
∵△EBF≌△GAH，∴∠EBF=∠GAH，由平行四边形的性质可得：∠AMB=∠GAH，
∴∠EBF=∠AMB，∴AB=AM，又由平行四边形的性质可得：AB=CD，∴AM=CD，故B正确；
∵∠AMB+∠AMC=180°，∴∠EBF+∠AMC=180°，
又由平行四边形的性质可得：∠EBF+∠C=180°，∴∠AMC=∠C，故A正确；
∵∠BAM=∠MAD不一定成立，∴C不正确，
故选C．
9．如图，在中，以点为心，适当长度为半径画弧，分别交、于点．再分别以点．为圆心，大于的长为半径画弧．两弧交于点．作射线交边于点．过点作于点，若，，，则的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在AD上截取AE=AB，连接NE，由题意易得∠CAN=∠BAN=22.5°，DN=2，进而可证△ANE≌△ANB，则有NE=NB，∠ABC=∠AEN，然后可得CE=CN=4，最后根据勾股定理可进行求解．
解：在AD上截取AE=AB，连接NE，如图所示：
由题意易得：∠CAN=∠BAN，
，，
∠CAB=45°，∠B=105°，
，，
，
在Rt△CDN中，，
AN=AN，
△AEN≌△ABN（SAS），
NE=NB，∠ABC=∠AEN=105°，
∠CEN=∠CNE=75°，
CE=CN=4，
，
在Rt△DNE中，
，
；
故选C．
10．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（
）
A．90°
B．95°
C．100°
D．105°
【答案】D
【解析】由题意可得MN是BC的垂直平分线，进而可得DB=DC，于是得∠B=∠DCB，由CD=AC可得∠CDA=∠A=50°，然后根据三角形的外角性质即可求出∠B，再根据三角形的内角和定理即可求出答案．
解：由题意得：MN是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠B=∠DCB，
∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠CDA=∠A=50°，
∴∠B=，
∴∠ACB=180°－∠A－∠B=105°．
故选：D．
11．已知，如图，A（0，5），AC＝13，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AO、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交x轴于点G，则点G的横坐标是（　　）
A．3
B．
C．
D．4
【答案】B
【解析】过G作GH⊥AC于H，设OG＝HG＝x，则CG＝12﹣x，依据勾股定理可得，Rt△CGH中GH2+CH2＝CG2，进而得出x2+82＝（12﹣x）2，解方程即可得到x的值，即可得出点G的横坐标．
解：如图所示，过G作GH⊥AC于H，
由题可得，AF平分∠CAO，GO⊥AO，
∴OG＝HG，
∴Rt△AOG≌Rt△AHG（HL），
∵A（0，5），AC＝13，
∴OC＝＝12，AO＝AH＝5，CH＝8，
设OG＝HG＝x，则CG＝12﹣x，
∵Rt△CGH中，GH2+CH2＝CG2，
∴x2+82＝（12﹣x）2，
解得x＝，
∴点G的横坐标为，
故选：B．
12．如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为________．
【答案】（2，0）
【解析】连接AC，作AC的垂直平分线，交坐标轴于D，D即为圆心，根据图形即可得出点的坐标．
解：如图所示：D（2，0），
故答案为：（2，0）．
13．如图，已知在?ABCD中，AB＝3.2，BC＝2，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交CD于点P，交BC于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交DA的延长线于点E，则AE的长是_____．
【答案】1.2
【解析】根据作图方法可判断其为角平分线的作法，因此可得∠DCE＝∠ECB，再根据平行四边形的性质可证出∠E＝∠DCE，即ED＝DC，代数计算即可．
解：根据作图可得CE平分∠DCB，
∴∠DCE＝∠ECB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝3.2，
∴∠BCE＝∠E，
∴∠E＝∠DCE，
∴ED＝DC＝3.2，
∴AE＝3.2﹣2＝1.2，
故答案为：1.2．
14．如图，在平行四边形中，，点是的中点，由作图痕迹可得_______，若，则_______．
【答案】
4
【解析】由作图痕迹可得，平分，根据平行四边形的性质和角平分线的定义即可求解．
解：∵四边形是平行四边形，，
∴．
由作图痕迹可得，平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，点是的中点，
∴．
15．如图，在矩形中，，以为圆心，任意长为半径画弧交于，再分别以为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，连接交边于则的周长为_________．
【答案】15+3
【解析】作，根据角平分线的性质得到BE=EP，利用勾股定理求解即可；
解：作，根据题意可知AE是的角平分线，
∴BE=EP，
在△ABE和△APE中，
，
∴，
∴AB=AP，
设BE=x，则PE=x，
∵，
∴，
∴，，
在Rt△PEC中，
，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案是．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长都是1）．
△A1B1C1是以B为位似中心的△ABC的位似图形，且△A1B1C1与△ABC位似比为2，则点C1的坐标是_______，△A1B1C1的面积是_________．
【答案】（1,0）
10
【解析】
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（1，0）；故答案为（1，0）；
（2））△A1B1C1的面积是：（2+4）×6﹣×2×4﹣×2×4=10．
故答案为10．
17．如图，用圆规在的两边上分别截取、，使，再分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接、、，若，，则的值为_______．
【答案】
【解析】根据作法判定出四边形是菱形，根据已知可求菱形边长为，再根据面积法求出菱形的高AD，进而根据余弦函数的定义求出结果．
解：解析：过点作，垂足为，由尺规作图可知四边形为菱形，
∴，，，
∴，
∵，
，
∴，
在中，．
故答案为：．
18．已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2）、B（﹣1，0）、C（0，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格内画出所有符合条件的△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为2：1．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）把点A1、B1、C1的坐标分别乘以2或﹣2得到点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
19．图1，图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出以为斜边的等腰直角，点C在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画出以为一边的等腰，点D在小正方形的顶点上；且的面积为6．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）由题意可知，点C满足AC=BC，说明点C在AB的垂直平分线上，∠ACB=90°，说明点C在以AB为直径的圆上，AB的垂直平分线与以AB为直径的圆的交点，即为所求点．
（2）由题意可知，点D满足AB=AD，以A为圆心，以AB为半径作圆，交格点于点D，经计算面积为6，点D即为所求．
解：（1）作AB的垂直平分线，作以AB为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点C，如图：
（2）以A为圆心，AB为半径作圆，与格点交点即为点D，如图：
，BD边上的高为，，点D即为所求．
20．作图与计算
如图，是直角三角形，．
（1）尺规作图：以为直径作，且与交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作图的基础上，若，，则由，和劣弧所围成的封闭图形的面积为_______________．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）作AC的中垂线找到AC中点O，再作圆即可得；
（2）在（1）所作图的基础上，连接OD、DC，根据已知可求得ADC=CDB=90°，BD、AC的长，△OCD是等边三角形，则利用求得由，和劣弧所围成的封闭图形的面积即可．
解：解:尺规作图如图所示，即为所求作圆．
（2）如图连接OD、DC，
在中
∵，，，
∴AC=
∴OC=OD=
又∵AC是的直径，
∴ADC=CDB=90°
∴BD=1，CD=
∴△OCD是等边三角形
∴
=
=
故答案为：
1．（2020·宜昌中考）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（
）．
A．是线段的垂直平分线
B．是线段的垂直平分线
C．是线段的垂直平分线
D．是的垂直平分线
【答案】A
【解析】根据垂直平分线的定义判断即可．
解：
∵为线段的垂直平分线,
∴FO=GO,
又∵EF=GH,
∴EO=HO,
∴是线段的垂直平分线,故A正确
由上可知EO≠QO,FO≠OH,故B、C错误
∵是直线并无垂直平分线，故D错误
故选：A．
2．（2020·深圳中考）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】根据尺规作图的方法步骤判断即可．
解：由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，
而AB=AC，
由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，
BD=3，
故选B
3．（2020·济南中考）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）
A．
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
4．（2020·青岛中考）如图，将先向上平移1个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（
）
A．（0，4）
B．（2，-2）
C．（3，-2）
D．（-1，4）
【答案】D
【解析】根据平移的规律找到A点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点，即可得出的坐标．
解：如图所示：A的坐标为（4，2），向上平移1个单位后为（4，3），再绕点P逆时针旋转90°后对应点的坐标为（-1，4）．
故选：D．
5．（2020·成都中考）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【解析】由作图可知，
M
N是线段BC的垂直平分线，据此可得解．
解：由作图可知，
M
N是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD=AC-AD=6-2=4，
故选：C
6．（2020·丹东中考）如图，在四边形中，，，，，分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，直线与延长线交于点，连接，则的内切圆半径是（
）
A．4
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，连接P，Q则PQ为BC的垂直平分线，可得EB=EC，又∠B=60°，所以△EBC为等边三角形，作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，则M在直线PQ上，连接BM，过M作BC垂线垂足为H，在Rt△BMH中，BH=BC=AD=，∠MBH=∠B=30°，通过解直角三角形可得出MH的值即为△BCE的内切圆半径的长．
解：有题意得PQ为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，
∵∠B=60°，
∴△EBC为等边三角形，
作等边三角形EBC的内切圆，设圆心为M，
∴M在直线PQ上，
连接BM，过M作MH垂直BC于H，垂足为H，
∵
∴BH=BC=AD=
，
∵∠MBH=∠B=30°，
∴在Rt△BMH中,MH=BH×tan30°=×=4．
∴的内切圆半径是4．
故选：A．
7．（2020·通辽中考）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选C．
8．（2020·广西中考）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCA，进而求得∠ACD，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，利用角平分线定义求解即可．
解：∵在中，，
∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，
由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴，
故选：B．
9．（2020·河池中考）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意，CD为△ABC的边AB上的中线，就是作AB边的垂直平分线，交AB于点D，点D即为线段AB的中点，连接CD即可判断．
解：作AB边的垂直平分线，交AB于点D，连接CD，
∴点D即为线段AB的中点，
∴CD为△ABC的边AB上的中线．
故选：B．
10．（2020·襄阳中考）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．
解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：
∵，∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，
又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，
∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，
选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误．
故选：D.
11．（2020·鄂尔多斯中考）如图，在四边形ABCD中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（
）
A．
B．6
C．
D．8
【答案】A
【解析】连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF=FC．再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF=BC=3，等量代换得到FC=AF=3，利用线段的和差关系求出FD=AD-AF=1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．
解：如图，连接FC，
∵点O是AC的中点，由作法可知，OE垂直平分AC，
∴AF=FC．
∵AD∥BC，
∴∠FAO=∠BCO．
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF=BC=6，
∴FC=AF=6，FD=AD-AF=8-6=2．
在△FDC中，∵∠D=90°，
∴CD2+DF2=FC2，
∴CD2+22=62，
∴CD=．
故选：A．
12．（2020·内蒙古中考）如图，在中，，，按以下步骤作图：（1）分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点（点M在的上方）；（2）作直线交于点O，交于点D；（3）用圆规在射线上截取．连接，过点O作，垂足为F，交于点G．下列结论：
①；②；③；④若，则四边形的周长为25．其中正确的结论有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【解析】证明四边形ADBE是菱形，推出FG是△ACD的中位线，即可得到，由此判断①；根据菱形的性质得到AD=BD，再利用Rt△ACD得到，即可判断②；根据FG是△ACD的中位线，证得，即可判断③；设OA=x，则OF=9-x，根据，求出OA=5得到AB=10，BC=8，再根据，求出BD=，即可判断④.
解：由题意知：MN垂直平分AB，
∴OA=OB，ED⊥AB，
∵OD=OE，
∴四边形ADBE是菱形，
∵，，
∴OF∥BC，AF=CF，
∴FG是△ACD的中位线，
∴，故①正确；
∵四边形ADBE是菱形，
∴AD=BD，
在Rt△ACD中，,
∴
，故②正确；
∵FG是△ACD的中位线，
∴点G是AD的中点，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵AC=6，
∴AF=3，
设OA=x，则OF=9-x，
∵，
∴，
解得x=5，
∴AB=10，
∴BC=8，
∵，
∴，
解得BD=，
∴四边形的周长为.
故选：D.
13．（2020·荆州中考）已知：，求作的外接圆，作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________．
【答案】线段的垂直平分线的性质
【解析】利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC=OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．
解：如图，连接，
∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC=OB，
∴⊙O为的外接圆．
故答案为：线段的垂直平分线的性质．
14．（2020·黄石中考）如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作的外接圆，则的长等于_____．
【答案】
【解析】由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC＝90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出的长了．
解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，
∴AB＝2，AC＝，BC＝，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴连接OC，则∠COB＝90°，
∵OB＝
∴的长为：＝
故答案为：．
15．（2020·海南中考）如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交边于点，连接，则的周长为________．
【答案】
【解析】由题意可得MN为AB的垂直平分线，所以AD=BD，进一步可以求出的周长.
解：∵在中，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，交BC边于D，连接AD；
∴MN为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴的周长为：AD+DC+AC=BC+AC=13；
故答案为13.
16．（2020·宁夏中考）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，此时射线恰好经过点D，则_____度．
【答案】32
【解析】由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得，再根据三角形内角和定理即可得解．
解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴AD=BD，
∴
∴
∵，且，
∴，即，
∴．
故答案为：32．
17．（2020·盘锦中考）如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为____________．
【答案】
【解析】连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得BE=AE=，
再得∠EBC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度．
解：连接BE，如图：
由题意可知，MN垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴，则∠AEB=90°，
在等腰直角三角形ABE中，AB=4，
∴BE=AE=，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠AEB=90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理，则
；
故答案为：．
18．（2020·咸宁中考）如图，在中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，在上截取，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在内找一点P，使（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，得出AF∥BE，由作图过程可知AF=BE，结合AB=BE即可证明；
（2）利用菱形对角线互相垂直的性质，连接AE和BF，交点即为点P.
解：（1）根据作图过程可知：AB=BE，AF=BE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∵AF=BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=BE，
∴平行四边形ABEF为菱形；
（2）如图，点P即为所作图形，
∵四边形ABEF为菱形，则BF⊥AE，
∴∠APB=90°.
19．（2020·青海中考）如图，在中，．
（1）尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC
=6，BC
=8，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）根据外接圆，角平分线的作法作图即可；
（2）连接AD，OD，根据CD平分，得°，根据圆周角与圆心角的关系得到°，在中计算AB，在中，计算AD．
解：（1）作图如下：
（2）连接AD，OD，如图所示
由（1）知：平分，且°
∴°
∴°
在中，，
∴，即
在中，
20．（2020·长沙中考）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：
求作：的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
①
②
③
④
（2）请你证明OC为的平分线．
【答案】（1）①；（2）证明见解析
【解析】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由“SSS”可以证得△EOC≌△DOC；
（2）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线．
解：（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线；
故答案为：①；
（2）如图，
连接MC、NC．
根据作图的过程知，
在△MOC与△NOC中，
，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∠AOC=∠BOC，
∴OC为的平分线．
5(共72张PPT)
加
分
宝
·
一
轮
复
习
课
件
精
耕
细
作
，
一
针
见
血
。
研
究
教
育
根
本
，
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根
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图形的性质
第12节
尺规作图
■考点1
网格作图?
利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在网格中作图称为网格作图．
■考点2
尺规作图?
（1）尺规作图的定义：
在几何里把限定用没有刻度的________和________来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称为基本作图．
（2）五种基本尺规作图：
①作一条线段等于已知线段；
②作一个角等于已知角：
③作一个角的角平分线：
④作线段的垂直平分线：
⑤经过一点作已知直线的垂线．
（3）尺规作图的步骤：
①已知：写出已知的线段和角，画出图形：
②求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化：
③作法：应用五种基本作图，叙述时不需要重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹：
④证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图形完全符合题设条件，
⑤对所作图形下结论．
■考点1：网格作图?
◇典例：如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的8×9的网格中，已知△ABC的顶点均为网格线的交点．
（1）在给定的网格中，画出△ABC关于直线AB对称的△ABC1．
（2）将△ABC绕着点O旋转后能与△ABC1重合，请在网格中画出点O的位置．
（3）在给定的网格中，画出以点C为位似中心，将△ABC放大为原来的倍后得到的△A2B2C
◆变式训练
1．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作：
（1）利用网格线确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为
；
（2）利用网格线过C点画出⊙D的切线．
3．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，已知点A，B，C，D均为网格线的交点．
（1）在网格中将△ABC绕点D顺时针旋转90°，画出旋转后的图形△A1B1C1；
（2）在网格中将△ABC放大2倍得到△DEF，使A与D为对应点．
■考点2：尺规作图?
◇典例：如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（　　）
?
A．尺规作线段的垂直平分线
B．尺规作一条线段等于已知线段
C．尺规作一个角等于已知角
D．尺规作角的平分线
◆变式训练
1．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．
已知：平面内一点A.
求作：∠A，使得∠A=90°.
作法：如图所示
（1）作射线AB；
（2）在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；
（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD.
∠DAB即为所求的角.
请回答：该尺规作图的依据是______________________________________________．
2．已知△ABC，按下列要求：（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（1）作BC边上的高AD；
（2）作△ABC的平分线BE．（尺规作图）
（3）作出线段AB的垂直平分线MN．（尺规作图）
1．如图用尺规作∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS
B．ASA
C．AAS
D．SSS
2．用直尺和圆规作一个以线段为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形是菱形的依据是（
）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
3．如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上．若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，A、B的对应点分别为A′、B′，则A、B′之间的距离为（　　）
A．2
B．5
C．
D．
4．如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC边上确定一点P，使得PA+PC=BC，则下列四种不同的作图方法中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
6．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，正确的作法有（　　）
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
7．下列选项中的尺规作图（各图中的点P都在△ABC的边上），能推出PA＝PC的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，已知平行四边形，，依下列步骤作图，并保留作图痕迹：
步骤1：以为圆心，长为半径画弧①，分别交，于点，；
步骤2：以为圆心，以长为半径画弧②，交于点；
步骤3：以为圆心，以长为半径画弧③，弧②和弧③交于点，过作射线，交于点．则下列叙述不正确的是：（
）
A．
B．
C．平分
D．
9．如图，在中，以点为心，适当长度为半径画弧，分别交、于点．再分别以点．为圆心，大于的长为半径画弧．两弧交于点．作射线交边于点．过点作于点，若，，，则的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（
）
A．90°
B．95°
C．100°
D．105°
11．已知，如图，A（0，5），AC＝13，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AO、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交x轴于点G，则点G的横坐标是（　　）
A．3
B．
C．
D．4
12．如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为________．
13．如图，已知在?ABCD中，AB＝3.2，BC＝2，以点C为圆心，适当长为半径画弧，交CD于点P，交BC于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交DA的延长线于点E，则AE的长是_____．
14．如图，在平行四边形中，，点是的中点，由作图痕迹可得_______，若，则_______．
15．如图，在矩形中，，以为圆心，任意长为半径画弧交于，再分别以为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，连接交边于则的周长为_________．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长都是1）．
△A1B1C1是以B为位似中心的△ABC的位似图形，且△A1B1C1与△ABC位似比为2，则点C1的坐标是_______，△A1B1C1的面积是_________．
17．如图，用圆规在的两边上分别截取、，使，再分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接、、，若，，则的值为_______．
18．已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（﹣2，2）、B（﹣1，0）、C（0，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格内画出所有符合条件的△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1位似，且位似比为2：1．
19．图1，图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出以为斜边的等腰直角，点C在小正方形的顶点上；
（2）在图2中画出以为一边的等腰，点D在小正方形的顶点上；且的面积为6．
20．作图与计算
如图，是直角三角形，．
（1）尺规作图：以为直径作，且与交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作图的基础上，若，，则由，和劣弧所围成的封闭图形的面积为_______________．
1．（2020·宜昌中考）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（
）．
A．是线段的垂直平分线
B．是线段的垂直平分线
C．是线段的垂直平分线
D．是的垂直平分线
2．（2020·深圳中考）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．（2020·济南中考）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）
A．
B．3
C．4
D．5
4．（2020·青岛中考）如图，将先向上平移1个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标是（
）
A．（0，4）
B．（2，-2）
C．（3，-2）
D．（-1，4）
5．（2020·成都中考）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
6．（2020·丹东中考）如图，在四边形中，，，，，分别以和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，直线与延长线交于点，连接，则的内切圆半径是（
）
A．4
B．
C．2
D．
7．（2020·通辽中考）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·广西中考）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·河池中考）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·襄阳中考）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·鄂尔多斯中考）如图，在四边形ABCD中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（
）
A．
B．6
C．
D．8
12．（2020·内蒙古中考）如图，在中，，，按以下步骤作图：（1）分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点（点M在的上方）；（2）作直线交于点O，交于点D；（3）用圆规在射线上截取．连接，过点O作，垂足为F，交于点G．下列结论：
①；②；③；④若，则四边形的周长为25．其中正确的结论有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
13．（2020·荆州中考）已知：，求作的外接圆，作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________．
14．（2020·黄石中考）如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作的外接圆，则的长等于_____．
15．（2020·海南中考）如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交边于点，连接，则的周长为________．
16．（2020·宁夏中考）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，此时射线恰好经过点D，则_____度．
17．（2020·盘锦中考）如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为____________．
18．（2020·咸宁中考）如图，在中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，在上截取，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在内找一点P，使（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）
19．（2020·青海中考）如图，在中，．
（1）尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC
=6，BC
=8，求AD的长．
20．（2020·长沙中考）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：
求作：的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
①
②
③
④
（2）请你证明OC为的平分线．
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