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2020-2021学年九年级下册数学第27章《相似》
单元达标检测卷
一．选择题（每题3分，共30分）
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝2：3，若△ADE的周长为2a，则△ABC的周长是（　　）
A．3a B．9a C．5a D．25a
2．下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知＝＝，下列结论中，错误的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝＝
4．在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC的为（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
5．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC＝2：3，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则DF：BF等于（　　）
A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
7．如图，以点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'．以下说法中错误的是（　　）
A．△ABC∽△A'B'C'
B．点C，O，C'三点在同一条直线上
C．AO：AA'＝1：2
D．AB∥A'B'
8．如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36cm2，边BC＝12cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为（　　）cm．
A．8 B．6 C．4 D．3
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE＝2，连CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是；③△ADF与△EBF的面积比为3：2，④△ABF的面积为，其中一定成立的有（　　）个．
A．2 B．3 C．1 D．4
10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①∠DEC＝∠AEB；②CF⊥DE；③AF＝BF；④＝，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（每题4分，共20分）
11．已知点P是线段AB的黄金分割点，那么AP：AB的值等于　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为　 　．
13．在△ABC中，AB＝AC，点D在直线BC上，DC＝3DB，点E为AB边的中点，连接AD，射线CE交AD于点M，则的值为　 　．
14．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，其中点A的坐标为（1，2），正方形EFGH的边FG在x轴上，且H的坐标为（9，4），则正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1．在第一象限内，将矩形OABC以原点O为位似中心放大为原来的2倍，得到矩形OA1B1C1，再将矩形OA1B1C1以原点O为位似中心放大2倍，得到矩形OA2B2C2…，以此类推，得到的矩形OAnBn?n的对角线交点的坐标为　 　．
三．解答题（每题10分，共50分）
16．如图，点D是等腰Rt△ABC的斜边AB上的一点，AB＝3BD，AF⊥CD于点F交BC于点E．
（1）求证：E是BC的中点；
（2）求AF：CF的值；
（3）求DF：CF的值．
17．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BE，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求tan∠DEC．
18．如图是一把落地的遮阳伞的侧面示意图，伞柄CD垂直于水平地面GQ，当点P与点A重合时，伞收紧；当点P由点A向点B移动时，伞慢慢撑开；当点P与点B重合时，伞完全张开．已知遮阳伞的高度CD是220厘米，在它撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝50厘米，CE＝CF＝120厘米，BC＝20厘米．
（1）当∠CPN＝53°，求BP的长？
（2）如图，当伞完全张开时，求点E到地面GQ的距离．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△OAB和△OA1B1（顶点是网格线的交点）．点A、B坐标为（﹣1，0），（﹣1，2）．
（1）观察图形填空：△OA1B1是由△OAB绕　 　点顺时针旋转　 　度得到的；
（2）把（12）中的图形作为一个新的”基本图形“，将新的基本图形绕O点顺时针旋转180°度，请作出旋转后的图形，其中，A、B、A1、B1的对应点分别为A2、B2、A3、B3．依次连接B、B1、B2、B3，则四边形BB1B2B3的形状为　 　；
（3）以O点为位似中心，位似比为1：2（原图与新图对应边的比为1：2），作出四边形BB1B2B3的位似图形．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（s）表示运动时间（0≤t≤6）．
（1）分别用含有t的代数式表示AP和AQ．
（2）当t为何值时，以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
参考答案
一．选择题
1．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴C△ABC＝×2a＝5a，
故选：C．
2．解：A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故选：B．
3．解：∵＝＝，
∴，，，
所以ACD正确，B错误．
故选：B．
4．解：如图：
A、当时，不能判定DE∥BC，不符合题意；
B、当时，不能判定DE∥BC，不符合题意；
C、当，能判定DE∥BC，符合题意；
D、当时，能判定DE∥BC，而当时，不能判定DE∥BC，不符合题意；
故选：C．
5．解：∵DE∥AB，
∴，
故选：D．
6．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD．
∵DE：EC＝2：3，
∴＝＝＝．
∵AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝＝．
故选：A．
7．解：∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'，
∴△ABC∽△A'B'C'，OA：OA′＝1：2，AB∥A′B′，CC′经过点O．
故选：C．
8．解：作BC边上的高AM交EF于点N，
∵面积为36cm2，边BC＝12cm，
∴AM＝6cm，
设正方形的边长为xmm，则EF＝FP＝NM＝x，
∴AN＝AM﹣MN＝6﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即，
解得x＝4．
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，
∵∠DAB＝60°，
∴AB＝AD＝DB，∠ABD＝∠DBC＝60°，
在△ABF与△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），故①正确；
如图：过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥CD，MH⊥AB，
∵CE＝2，BC＝6，∠ABC＝120°，
∴BE＝6﹣2＝4，
∵EG⊥AB，
∴EG＝2，故②正确；
∵AD∥BE，
∴△ADF∽△EBF，
∴，故③错误；
∵△ADF∽△EBF，
∴，
∵BD＝6，
∴BF＝，
∴FH＝BF?sin∠FBH＝，
∴，故④正确；
故选：B．
10．解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠DEC＝∠AEB，∠BAE＝∠CDE，DE＝AE，故①正确，
∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠CDE，且∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠BCF+∠CED＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥DE，故②正确，
∵∠CDE＝∠BCF，DC＝BC，∠DCE＝∠CBF＝90°，
∴△DCE≌△CBF（ASA），
∴CE＝BF，
∵CE＝BC＝AB，
∴BF＝AB，
∴AF＝FB，故③正确，
∵DC＝6，CE＝3，
∴DE＝＝＝3，
∵S△DCE＝×CD×CE＝×DE×CH，
∴CH＝，
∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴＝，
∴CF＝＝3，
∴HF＝CF﹣CH＝，
∴＝，故④正确，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．解：当点P是线段AB的黄金分割点AP＞PB时，＝，即＝，
∴AP2+AP?AB﹣AB2＝0，
解得，AP1＝AB（舍去），AP2＝AB，
∴AP：AB＝，
当点P是线段AB的黄金分割点AP＜PB时，AP：AB＝，
故答案为：或．
12．解：如图，过点F作FH⊥AC于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝?AC?BC＝?AB?CD，
∴CD＝，AD＝＝＝，
∵FH∥EC，
∴＝，
∵EC＝EB＝2，
∴＝，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，
∵tan∠FCH＝＝，
∴＝，
∴k＝，
∴FH＝，CH＝3﹣＝，
∴CF＝＝＝，
∴DF＝﹣＝，
故答案为．
13．解：当D点在B点右侧时，如图：
过D作DN∥EC，交AB于点N，
则∠DNB＝∠CEB，∠BDN＝∠BCE，
∴△DBN∽△CBE，
∴，
∵DC＝3DB，
∴，
∴，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∴，
∵DN∥EC，
∴∠AEM＝∠AND，∠AME＝∠ADN，
∴△AEM∽△AND，
∴，
∴，
∴；
当D点在B点左侧时，如图：
过D作DN∥EC，交AB的延长线于点N，
则∠DNB＝∠CEB，∠BDN＝∠BCE，
∴△DBN∽△CBE，
∴，
∵DC＝3DB，
∴，
∴，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∴，
∵DN∥EC，
∴∠AEM＝∠AND，∠AME＝∠ADN，
∴△AEM∽△AND，
∴，
∴，
∴．
故答案为或．
14．解：连接HD并延长交x轴于点P，则点P为位似中心，
∵四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（1，2），
∴点D的坐标为（3，2），
∵DC∥HG，
∴△PCD∽△PGH，
∴＝，即＝，
解得，OP＝3，
∴正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是（﹣3，0），
连接CE、DF交于点P，
由题意得C（3，0），E（5，4），D（3，2），F（5，0），
求出直线DF解析式为：y＝﹣x+5，直线CE解析式为：y＝2x﹣6，
，
解得，，
直线DF，CE的交点P为（，），
所以正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是（，），
故答案为：（﹣3，0）或（，）．
15．解：∵在第一象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的2倍，
∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点，
∵OA＝2，OC＝1．
∵点B的坐标为（2，1），
∴点B1的坐标为（2×2，1×2），
∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大2倍，得到矩形A2OC2B2…，
∴B2（2×2×2，1×2×2），
以此类推，Bn（2n+1，2n），
矩形OAnBn?n的对角线交点为Bn﹣1，即（2n，2n﹣1），
故答案为：（2n，2n﹣1）．
三．解答题（共5小题）
16．（1）证明：作BP⊥BC交CD的延长线于P，如图1，
∵∠ACB＝90°，
∴AC∥BP，
∴＝，
∵AB＝3BD，
∴AD＝2BD，
∴AC＝2BP，
而AC＝BC，
∴BC＝2BP，
∵AF⊥CD，
∴∠CAF+∠ACF＝90°，
而∠ACF+∠ECF＝90°，
∴∠CAF＝∠ECF，
在△ACE和△CBP中，
，
∴△ACE≌△CBP，
∴CE＝BP，
∴BC＝2CE，
∴E是BC的中点；
（2）解：∵∠CAF＝∠ECF，
∴Rt△ACF∽△CEF，
∴＝，
而BC＝AC＝2CE，
∴＝2；
（3）解：作DH∥AE交BC于H，如图2，
∴＝＝，
∴EH＝BE，
∵EF∥DH，
∴＝＝＝．
17．（1）证明：∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠DCE＝180°，∠ADF＝∠CED，
∵∠B＝∠AFE，∠AFD+∠AFE＝180°，
∴∠AFD＝∠DCE，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∵△ADF∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴DE＝12，
∵在RT△ADE中，AE2＝DE2﹣AD2，
∴AE＝6，
∴tan∠DEC＝tan∠ADE＝＝＝．
18．解：（1）如图1中，连接MN交CD于H．
∵CM＝MP＝NC＝NP＝50cm，
∴四边形PMCN是菱形，
∴CP⊥NM，CH＝PH，
∴PH＝PN?cos53°≈30（cm），
∴PC＝2PH＝60cm，
∴PB＝PC﹣BC＝40cm．
（2）如图2中，连接MN交CD于J，连接EF交CD于H．
∵四边形CMBN是菱形，
∴CJ＝JB＝10cm，
∵MJ∥EH，
∴△CMJ∽△CEH，
∴＝，
∴＝，
∴CH＝24，
∴HD＝CD﹣CH＝220﹣24＝196cm，
∴当伞完全张开时，求点E到地面GQ的距离＝HD＝196cm．
19．解：（1）△OA1B1是由△OAB绕O点顺时针旋转90度得到的；
（2）如图1，四边形BB1B2B3的为所作，它是正方形；
（3）如图2，四边形CDEF为所作；
故答案为O，90，正方形．
20．解：（1）AP＝2t，AQ＝6﹣t，
（2）∵∠QAP＝∠ABC＝90°，
∴当＝时，△AQP∽△BCA，即＝，解得t＝3；
当＝时，△AQP∽△BAC，即＝，解得t＝．
答：当ts或3s时，以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

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