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第二讲
逻辑推理
知识要点：
要判断出某件事的正确性，在我们日常生活中经常见到，它们不需要或很少需要计算，而是要求我们通过已知条件和问题进行分析、推理，得出正确的结论。习惯上，我们把这类问题叫做“逻辑推理问题”。
一、基础应用：
如下图，有四个立方体，每个立方体的六个面上、、、、、六个字母的排列顺序完全相同。那么立方体上相对两个面上的字母各是什么？
【解析】注意到与、、、是相邻的，所以不可能与它们是对面的，故与对面。而与、、是相邻的，所以不可能与它们是对面的，又与是对面的，因此也不可能是的对面，所以的对面是。最后剩下的即为、对面。
电脑上显示着、、、、、、七个数，根据程序的设定，只要你每次任意删除两个数，就会显示出删除的两个数的和减去后的差。例如：删除和，就会显示。经过多少次后，屏幕上只留下一个数，这个数是多少？
【解析】注意到每操作一次，就会少掉一个数，一共有个数，则要少掉个数，需要操作6次。而每次操作后，和都比原来几个数的和少1。操作6次后，和一共少了6，故屏幕上最后留下的一个数为。
某年的月里有个星期三，个星期四，这个月的最后一天是星期几？
月是大月，有天，而，由于这个月里有个星期三，个星期四，说明除了四个整周以外的三天中，一定没有星期三，但有一天是星期四，经过检验，这个月的最后三天，分别是星期四、星期五、星期六，因此这个月的最后一天是星期六。
四个小孩在校园踢球,砰的一声，不知谁踢的球把教室的玻璃打碎了，王老师跑出来，问是谁打碎了玻璃？小张说：“是小强打碎的。”小强说：“是小胖打碎的。”小明说：“我没有打碎玻璃。”小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他。”这四个小孩只有一个说了真话。是谁打碎玻璃？
【解析】注意到小强和小明说的话是矛盾的，因此这两个人中必有一个说真话，一个说假话。而四个小孩只有一个说真话，因此其余两个人必都说假话，所以是小明打碎了玻璃。
二、拓展训练：
三个和尚吃馒头，大和尚说自己吃了个，中和尚说自己吃了个，小和尚说自己吃了个，但他们总共吃了个，显然他们有人撒谎。大和尚说：“小师弟撒谎。”中和尚说：“师兄、师弟都说了谎。”小和尚说：“二师兄说谎。”已知三人中只有一人说真话。请你判断：小和尚吃了多少个馒头？
【解析】小和尚与中和尚的话是矛盾的，所以两人的话一真一假。而三人中只有一人说了真话，故大和尚说的也是假话，由大和尚说的话可知，小师弟没有撒谎，故小和尚吃了个。
有一个岛上住着两种人，一种是老实人，一种是说谎人.一天，一个旅游的人去岛上遇到甲、乙、丙三个岛上的人.问起他们谁是老实人，谁是说谎人.甲说；“乙和丙都是说谎人.”乙说：“我是老实人.”丙说：“乙是说谎人.”那么这三个人中有几个人在说谎？
【解析】注意到乙、丙的话是矛盾的.所以他们两个人中必定有一个老实人，有一个说谎人，他俩中只有一个说谎人，所以甲也是说谎人.因此，三人中有2个人在说谎.
小明碰到了三个人，其中一位是牧师、一位是骗子、一位是疯子。牧师只说真话，骗子只说假话，疯子有时说真话，有时说假话。第一位说：“我是疯子。”第二位说：“你胡说，你才不是疯子呢！”第三位说：“别吵了，我是疯子。”那么这三个人中第几位是疯子？
【解析】第一位和第三位都不可能是牧师，因为他们若是牧师，则他们都在说假话，矛盾。故第二位是牧师，由第二位说的话可知，第一位不是疯子是骗子，因此第三位是疯子。
一个箱子装着苹果、一个箱子装着梨、一个箱子装着苹果和梨。但粗心的人把三个标签全贴错了。现在要求只能从一个箱子中取出一只水果（看不到箱子里面的水果）就能把标签全部改正。应从贴着哪个标签的箱子中取出水果？
【解析】应从贴着“苹果和梨”的标签中取出一个水果，看取出的水果是苹果还是梨后再确定各个箱子里装的水果。
（1）若取出来的是苹果，则贴着“苹果和梨”标签的箱子里则装着全是苹果，贴着“全梨”标签的箱子装着苹果和梨，贴着“全苹”标签的箱子装着全是梨。
（2）若取出来的是梨，则贴着“苹果和梨”标签的箱子里则装着全是梨，贴着“全苹”标签的箱子装着苹果和梨，贴着“全梨”标签的箱子装着全是苹果。
甲、乙、丙三人参加数学竞赛，他们分别来自一中，二中，三中，在这次竞赛中他们分别获得一、二、三等奖。现在知道：
（1）甲不是一中的学生；
（2）乙不是二中的学生；
（3）一中的学生不是一等奖；
（4）二中的学生得了三等奖；
（5）乙不是二等奖。
请你判断他们各自的学校和获得的奖励。
【解析】由“二中的学生得了三等奖”及“一中的学生不是一等奖”可知，“一中”的学生既不是一等奖，也不是三等奖，因此一中的学生得了二等奖，从而“三中”的学生得了一等奖。而由乙不是二等奖可知，乙不是一中的学生，又已知“乙不是二中的学生”，因此乙是三中的学生；而由甲“既不是一中的学生也不是三中的学生”可知，甲是二中的学生，从而丙是一中的学生。综上可知，甲是二中的学生，得了三等奖；乙是三中的学生，得了一等奖；丙是一中的学生，得了二等奖。
三年级有、、、四个人参加了书法比赛，甲、乙、丙三人对比赛进行了预测：
甲说：“我看只能得到第三名，能得到冠军。”
乙说：“只能得第二名，能得第三名。”
丙说：“能得第二名，得第一名。”
比赛结束后，发现他们都说对了一半。你能知道比赛结果吗？
【解析】依题意，我们可画出如下的表格：
预测名次预测人
A
B
C
D
甲
三（×）
一（√）
乙
三（√）
二（×）
丙
一（×）
二（√）
若甲猜测的第三名对，第一名错，则乙猜测的第三名错，第二名对，从而丙猜测的第二名错第一名对，此时A既是第三名，又是第一名，矛盾。故甲猜测的第三名错，第一名对，乙猜测的第二名错，第三名对，丙猜测的第一名错，第二名对。由上述表格可知，第一名是C，第二名是D，第三名是B，第四名是A。
三、难题解析：
李老师、王老师、张老师在语文、数学、社会、自然、音乐、图画六门功课中，每人分别都教两门，已知：
（1）社会老师与数学老师是好朋友；
（2）王老师最年轻；
（3）自然老师比语文老师年纪大；
（4）李老师常向自然老师和数学老师说天下大事；
（5）王老师、音乐老师和语文老师常在一起下棋。
请分析一下，他们每人分别教的是什么科目？
【解析】由（2）、（3）可知王老师不是自然老师，在王老师那一行的“自然”下打“×”；由（4）可知，李老师不是自然老师和数学老师，在李老师那一行的“自然”和“数学”下打“×”，所以自然老师是张老师，张老师那一行的“自然”下打“√”，在王老师那一行的“自然”下打“×”；而由（3）可知，自然老师不是语文老师，所以张老师不是语文老师，所以在“语文”下打“×”；由（5）可知，王老师不是音乐老师和语文老师，所以在王老师那一行的“音乐”和“语文”下打“×”，而由表格上可知，李老师是教语文的，所以在李老师的“语文”下打“√”；由（5）可知，语文老师不是音乐老师，所以李老师不是音乐老师，音乐老师是张老师；余下的不难填出如下表格。
语文
数学
社会
自然
音乐
图画
李老师
√
×
√
×
×
×
王老师
×
√
×
×
×
√
张老师
×
×
×
√
√
×
有五个人各说了一句话．
第一个人说：“我们中间每个人都说谎．”
第二个人说：“我们中间只有一个人说谎．”
第三个人说：“我们中间有二个人说谎．”
第四个人说：“我们中间有三个人说谎．”
第五个人说：“我们中间有四个人说谎．”
请问：他们谁说谎？谁说真话？
【解析】五个人说的话各不一样，故至少有4个人在说谎，因此第二个人、第三个人、第四个人都是说谎话。若第一个人是说真话，则它说每个人都在说谎，矛盾。故第一个人也说谎，即并不是所有人都说谎，因此至多也只有4个人说谎。故第五个人是在说真话，前四个人都是说假话。
四、巩固练习：
有一个立方体，每个面上分别写上、、、、、，从不同的角度观察的结果如下图所示。这个立方体上相对两个面上的数字各是几？
【解析】观察前两个立方体，我们发现，与1相邻的有2,3,4,6，所以2,3,4,6不可能与1对面，因此与1对面的是5。再观察后两个立方体，3与1,2,4,5相邻，因此3只能与6对面，从而2与4对面。
、、、四户人家排成一排。在的隔壁，在的隔壁，并且与不相邻，那么的隔壁是哪户人家？
【解析】与相邻的不是,也不是(因为与相邻的左右两边是与),故与相邻的是户人家。
小红、小江、小李三个同学，有一个同学在数学竞赛中获奖，其余同学问他们谁是获奖者，小红说：“是小李。”小江说：“不是我。”小李说：“不是我。”已知他们三个人当中只有一个人说真话，那么获奖者是谁？
【解析】注意到小红、小李的话是矛盾的.所以他们两个人中必定有一个说真话，有一个说假话。而三个人中只有一个说真话，而讲真话的人是小红和小李当中的一个。因此小江讲的是假话，而由小江讲的话“不是我”是假话可知，获奖者是小江。
某年的月里有个星期一，个星期二，这个月的号是星期几？
【解析】月是小月，有天，而，由于这个月里有个星期一，个星期二，说明除了后面四个整周以外的两天中，有一天是星期一，而这两天中没有星期二.因此这个月的号只能是星期日，号是星期一.
甲、乙、丙三名教师分别来自北京、上海、广州，分别教数学、语文和英语。已知：
（1）甲不是北京人，乙不是上海人；
（2）北京的教师不教英语；
（3）上海的教师教数学；
（4）乙不教语文。
请问：丙是哪里人，教的是什么科目？
依题意，我们可画出如下的表格：
北京
上海
广州
数学
语文
英语
×
√
×
甲
√
×
×
×
×
√
乙
×
×
√
√
×
×
丙
×
√
×
我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、北岳恒山和中岳嵩山，一位老师拿着这五座山岳的图片，并在图片上标出数字，他让五位学生来辨别，每人说出两个，学生回答如下：
甲：2是泰山，3是华山，
乙：4是衡山，2是嵩山，
丙：1是衡山，5是恒山，
丁：4是恒山，3是嵩山，
戊：2是华山，5是泰山.
老师发现五个学生都只是说对了一半，那么正确的说法应该是什么呢？
【解析】依题意，我们可画出如下表格：
1
2
3
4
5
甲
泰山×
华山√
乙
嵩山√
衡山×
丙
衡山√
恒山×
丁
嵩山×
恒山√
戊
华山×
泰山√
若甲说的2对3错，则戊说的2错5对，此时出现泰山既是2也是5,矛盾.因此甲说的2错3对，戊说的2错5对，丁说的3错4对，乙说的4错2对，丙说的5错1对.通过上述表格可知，1是衡山，2是嵩山，3是华山，4是衡山，5是泰山.
三（1）班名同学共做了架纸飞机，女生每人做架，男生每人做架。那么男生和女生各有多少人？
假设名同学都是男生，则女生有（人），男生有（人）。
甲是乙现在的年龄时，乙岁，乙是甲现在的年龄时，甲岁。那么甲比乙大多少岁？
【解析】甲、乙之间的年龄差不变，当甲是乙现在的年龄时，乙在现在年龄的基础上往后退掉一个年龄差，而当乙是甲现在的年龄时，则甲在现在年龄的基础上往前前进一个年龄差。根据题意，可画如下线段图：
故年龄差为（岁），即甲比乙大岁。第一讲
最大与最小
知识要点：
1、在日常生活中，存在大量的最大与最小问题.例如：一项工作，如何安排和调配，才能使得工期最短，效率最高；把一些物品从一个地方运到另一个地方，如何运才能使得运费最少等等.这种研究某些量的最大值与最小值问题，就是我们所说的最大与最小问题.
2、我们在解最大与最小问题时，常常会从极端情形出发来考虑问题，并且还要举例说明最大值或最小值是能取到的.
3、最大与最小的若干性质：
①如果两个正整数的和一定，那么这两个正整数的差越小，它们的乘积越大；两个正整数的差越大，它们的乘积越小.
②如果两个正整数的乘积一定，那么这两个正整数的差越小，那么它们的和也越小；两个正整数的差越大，那么它们的和越大.
一、基础应用：
两个自然数的和为，当这两个自然数分别是多少时，它们的积最大？最大的积是多少？
不考虑加数顺序，和为的两个自然数有以下六种情况：、、、、、.下面我们来
一
一算下这六种情况下的乘积：
，，，，，。
注意观察上述的乘法算式，我们会发现，当两个数的和一定时，这两个数的差越小，乘积越大；而这两个数的差越大，乘积越小.所以和为，积为最大的两个自然数为和，最大的积为。
两个自然数的乘积为，当这两个自然数分别是多少时，它们的和最小？最小的和是多少？
不考虑因数顺序，乘积是36的两个自然数有以下五种情况：1×36、2×18、3×12、4×9、6×6.相应的两个乘数的和是：1+36=37、2+18=20、3+12=15、4+9=13、6+6=12.注意观察上述加法算式，我们不难发现，两个自然数的乘积一定时，这两个自然数的差越大，和也越大；差越小，和也越小.显然，乘积是36，和为最小的两个自然数是6与6.
把分成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，要使得乘积尽可能大，问这个乘积是几？
因为6＝2＋2＋2＝3＋3，而2×2×2＝8，3×3＝9.所以在拆数时最多只能有2个2.而14＝3＋3＋3＋3＋2，所以这个乘积是最大是3×3×3×3×2＝162.
八个互不相等的正整数之和是，将这八个数从小到大排列，第个数最大是几？
为使第个数尽量大,前4个数就应尽量小,取1,2,3,4。剩下的4个数之和是
88－(1+2+3+4)=78。
要使第5个数尽量大,后4个数的大小应尽量接近。
78÷4=19……2,后4个数是18,19,20,21。所以第5个数最大是18.
二、拓展训练：
用长厘米的铁丝做一个长方形，怎样才能使做成的长方形面积最大？
注意到要用长为厘米的铁丝做一个长方形，那么长与宽的和为（厘米）.而要使长方形的面积最大，则只能是长与宽都为厘米时，此时长与宽的差最小，即为.从而长方形的面积最大为（平方厘米）.
要用竹篱笆围一个面积为平方米的长方形养鸡场.如果每米篱笆要用去20千克毛竹，那么该怎样围，才能使毛竹最省？最少要用毛竹多少千克？
要使毛竹最省，就是养鸡场的周长要最小，而矩形养鸡场的面积为平方米一定，即长与宽的积一定，因此，只有当长与宽相等（都是米）时，周长才最小.所以，只有当养鸡场的长和宽都为米时，所用毛竹最省.这时所需毛竹是：
（千克）。
用这个数字组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大，这两个三位数分别是多少？（要求每个数字都用到）
要用这6个数字组成两个三位数，并且使这两个三位数的乘积最大，那么我们应先使这两个三位数的百位数字尽可能大，所以一个百位数字为6，另外一个百位数字为5；进一步地考虑这两个数的十位数字，这两个数的十位数字也应尽可能的大，所以一个为4，另一个为3，这样有两种情况，一种是64×53，一种是63×54，但是注意到当两个数的和一定时，两个数的差越小，乘积相应越大，故应为63和54；最后我们再来确定这个两位数的个位数字，同样一个为1，一个为2.再根据两个数的差越小，乘积越大，我们可确定这两个三位数为631与542.
用这个数字，组成个四位数，把它们相减所得的差是一个自然数，问这个自然数最大是多少，最小是多少？（要求每个数字都用到）
把这8个数字，组成2个四位数字，如果要使差最大，则被减数应尽可能大，而减数应尽可能小，按照这一原则，被减数应该是8765，减数应该是1234，所以这个自然数最大是8765-1234=7531；如果要使差最小，则被减数应尽可能小，减数应尽可能大.但是被减数必须大于减数，同时被减数与减数应尽可能接近，这样它们的差就会最小.按照这一原则，我们可确定最小的差为5123-4876=247.
有一多位数，一共个数字。划去其中的个数字，可形成一个四位数。那么这个四位数的最大值比最小值大多少？
最大值为，最小值为，最大值比最小值大。
“”是一个位数很多的多位数，从中划去个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成一个多位数，问这个多位数最大是多少？
首先注意观察这个多位数，它是由1至50的连续自然数排列而成的，共有数字1×9+2×41=91（个），划去80个数字，剩下的将是一个11位数.要使剩下的多位数最大，应该保证较大的数字在较高的数位上.题中的多位数中一共含有5个“9”.显然前4个9应当保留下来，但当第五个9出现在第五位上时，就不能构成11位数.同样4个9后，如果是8，也不能组成11位数.划过去的过程如下图.
综上，剩下的数字组成的最大多位数是99997484950.
三、难题解析：
某路公共汽车，包括起点和终点共有个车站，有一辆公共汽车除终点外，每一站上车的乘客中，到以后的每一站都恰好有一位乘客下车，为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车最少要有多少个座位？
依题意，我们可画出如下表格：
站次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
上车人数
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
…
下车人数
―
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
车上人数
14
26
36
44
50
54
56
56
54
50
…
综上可知，这辆公共汽车最少要有座位56个。
宴会邀请来了位嘉宾。会场里张相同的正方形桌子，每张每边能坐人。经适当“拼桌”（将几张正方形桌子拼成一张长方形或正方形桌子）后，恰好让所有嘉宾全部入座而且没有空位。那么最后会场里最少有几张桌子？
拼一次至少减少个座位，一共（个）座位，要减少（个）座位，至多拼次，拼一次至多减少一张“孤立桌”次至多减少张“孤立桌”，故至少留下桌。将张桌子拼成排，其余张桌子孤立，可以实现构造。
四、巩固练习：
一个自然数它各个数位上的数字的和等于，这个数最小是多少？
我们发现若这个数是1位数或2位数，均不可能会出现各个数字上的和等于25，因此这个数至少为3位数.而要使这个三位数的各个数位上的数字的和等于25，那么这个三位数上的三个数字可以是9,9,7或9,8,8，所以这个数最小为799.
一个长方形的周长是厘米，它的长和宽都是整厘米数，则它的面积有几种可能值，最大是多少，最小又是多少？
长方形的周长是30厘米，则长与宽的和为
30÷2=15（厘米），而两个数的和为15的共有以下7种情况：
①1+14
；②2+13
；③3+12
；④4+11
；⑤5+10
；⑥6+9
；⑦7+8
相应地积也有如下7种情况：
①1×14=14
；②2×13=26
；③3×12=36
；④4×11=44
；⑤5×10=50；
⑥6×9=54
；⑦7×8=56.因此它的面积共有7种可能值，其中最大是56平方厘米，最小是14平方厘米.
两个非零自然数的积是，这两个自然数的和最大是多少？最小是多少？
已知两个数的积是45，要使这两个数的和最大，则需使这两个数的差最大，从而当这两数中一个为1，一个为45时，有最大和为：1+45=46；
而要使这两个数的和最小，则需使这两个数的差最小，从而当这两个数中一个为5，一个为9时，有最小的和为：5+9=14.
用、、、这四个数字组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大.（每个数字都要用到）
用、、、这四个数字组成两个两位数，使乘积最大，显然，和应分别作两个数的十位字数，和应分别作个位数字，但和分别放在和谁的后面呢？
因为：，，它们的和相等.又有：
，.
显然，与之间比与之间相隔更少，更相近.所以，与的乘积一定大于与
的乘积.最大的积为。
从位数中划去个数字，使剩下的个数字（先后顺序不改变）组成的六位数最小.这个最小的六位数是多少？
要使删去6个数字后，所得的六位数是最小的，那么所得的数的最高位越小越好，不难想象最高位若是1，那么需要删除前面的7个数字，不合题意，因此最高位只能为2，从而2前面的三个数字都要删除，接下来同理考虑从最高位到最低位要依次尽可能的小，所以，最后我们可确定最小的6位数为245165.
在一次数学竞赛的抢答比赛中，有分题，分题和分题三种，小雨在分钟内得了分。问：他最多答对几题？最少答对几题？
小雨最后的得分是29分，所以要使答对的题数尽量多，那么在分数一定的情况下，应当是尽量答对3分题，所以答对题数最多为9道题，即8道3分题加上一道5分题.而要使答对的题数尽量少，那么在分数一定的情况下，应当是尽量答对8分题，所以答对题数最少为4道题，即3道8分题加上一道5分题.
编排《儿童漫画》的页码一共是页，这本书一共用了多少个数码？
编印这本书一共用了数码（个）。
将的大正方形切割为个的小正方形，擦去其中的两条线段，得到如图所示图形。则图中一共有多少个正方形？
设最小的正方形的边长为。则边长为的正方形有个；边长为的正方形有个；边长为的正方形有个；边长为的正方形有个。故图中一共有正方形（个）第三讲
智巧趣题
知识要点：
智巧问题是有趣的一类问题，它有时可能并不需要你复杂的计算，而是通过我们的灵感、技巧和巧妙的构思来解决问题。这就要求我们要细心，善于观察，综合考虑各种情况，并要充分利用学到的知识来解决问题。
一、基础应用：
【例1】
下图中，两只母鸡正在盘算着，要使每行、每列、每斜行中的鸡蛋不超过2
个。他们最多能在这蛋格子里下多少个蛋？蛋格子中已经下好了2
个蛋。
【解析】最多8
个。如上右图为一种下法。
【例2】
有一根粗心不均匀的绳子，如果从一端把它点燃，这根绳子能燃烧2
个小时。但由于绳子粗细不均匀，所以不能确定它燃烧到绳子中点需要多长时间。但现在想用这根绳子来确定1个小时的时间，应该怎么做？
【解析】同时点燃绳子的两端，1小时后这根绳子刚好烧完。
【例3】
妈妈拿来5
盒完全一样的小球，并对小雨说：“这5
盒小球看上去是一样的，
每盒都是5
只，可是其中有一盒是次品，它里面的小球每只都轻一克，你能不能只用秤称一次，把次品的那一盒找出来。小雨想了半天也找不到方法。小朋友动动你的脑筋，帮帮小雨，好吗？
【解析】
从5
盒小球中各取1只、2
只、3
只、4
只和5
只放在一起称，看他们的重量比标准重量轻多少克。如果轻1克，那么拿出一只小球的那盒是次品，如果轻2
克，那么拿出2
只小球的那盒是次品，……，依次类推，就能找到答案了。
【例4】
一个卖酒的老板要招聘两名伙计，它给前来面试的人两个瓶子，一个是
5
升的瓶子，一个是
7
升的瓶子，还有一大缸酒，要求他们盛出
4
升的酒。这下难倒了很多前来应聘的人。小朋友你会吗？（注：瓶子不带刻度）
【解析】可以。将
7
升的瓶子装满，然后往
5
升的空瓶子里面装。5
升的瓶子满了，
将其清空，把
7
升瓶子里面余下的酒再倒入
5
升的瓶子，再将
7
升的瓶子装满，依次重复前面的操作。如下为一种倒法：（注：倒法不唯一）
原来
第
1
次
第
2
次
第
3
次
第
4
次
第
5
次
第
6
次
5
升
0
0
5
0
2
2
5
7
升
0
7
2
2
0
7
4
发现操作到第六次时，7
升的瓶子里刚好盛的是
4
升的酒。
再继续倒下去，你会发现，其实不仅仅是可以倒出
4
升的酒，1～7
升的酒都能盛的出来。
第7
次
第
8
次
第9
次
第10
次
第11
次
第12
次
第13
次
第14
次
第15
次
第16
次
5
升
0
4
4
5
0
5
0
1
1
5
7
升
4
0
7
6
6
1
1
0
7
3
二、拓展训练：
【例5】
售货员把31个乒乓球分装在5
个盒子里，使得只要顾客所买的乒乓球个数小于32
，他总可以恰好把其中的一盒或几盒卖出，而不必拆盒。问这5
个盒子里分别装着多少个乒乓球？
【解析】要表示出
1，至少要有
1
盒装着
1
个乒乓球；要表示出
2，可以有一盒装着
2
个乒乓球，这两盒最多只能表示到
3；要表示出
4，此时应有一盒装着
4
个乒乓球，现在这三盒最多可以表示到
7；要表示出
8，应有一盒装着
8
个乒乓球，现在这四盒最多可以表示到
15；要表示
16，则应有一盒装着
16
个乒乓球，这时
1～31
中的数用
1,2,4,8,16
这
5
个数中的一个或若干个数的和均能表示的出来。故这
5
个盒子里分别装着
1
个，2
个，4
个，8
个，16
个乒乓球。
【例6】
开学了，老师有一叠本子正好是90
本。要求小红把这些本子分成6
份，要1份比1份多2
本。小红把64
本本子分来分去，怎么也分不好。小朋友，你说应该怎么分？每一份各是几本？
【解析】六个数构成一个等差数列，公差为2
。中间相邻的两个数的和为
90
?（6
?
2）?
30
大数：（30
?
2）?
2
?
16
（本），
小数：
30
-16
?
14
（本），
6
份应该是这样分的：10
本、12
本、14
本、16
本、18
本、20
本。
【例7】
9
只青蛙围在一口圆形的水井边，沿顺时针方向编上号码1,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
，
8
,
9
。然后按顺时针方向，每隔一只蛙跳下水一只，例如：如果第一只跳下
水的是1号，那么后面依次跳下水的为3
号、5
号、……，直到最后剩下一只
蛙为止。如果最后剩下的是9
号蛙，那么第一只跳下水的蛙是几号？
【解析】假设第一只跳下水的蛙是1号，则往后依次跳下水中的青蛙是
3
,
5
,
7
,
9
,
4
,
8
,
6
,
2
，最后剩下了2
号蛙。由此可知，最后剩下的青蛙是最开始与
第一只跳水的青蛙紧挨着沿顺时针方向的那只，如果最后剩下的是9
号蛙，则第一只跳下水的蛙应该是8
号。
【例8】
有一颗棋子放在下图中的1号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步，跳到2
号位置；第二次跳两步，跳到4
号位置；第三次跳三步，跳到到7
号位置……，
这样一直进行下去。棋子永远跳不到的位置是几号？
【解析】第一次在2
号，第二次在4
号，第三次在7
号，第四次在4
号，第五次在2
号，
第六次在1号，第七次在1号，第八次在2
号，第九次在4
号，出现周期，即从第八次开始跳到的位置又是重复前面的第一次至第六次的位置。故永远跳不到的位置
是3
号、5
号和6
号。
【例9】
有100
个棋子，两人轮流取棋子，每次允许取其中的
1
个或
2
个，谁最后把棋子取完就算获胜。如果你先取，那么第一次你取多少个，才能保证获胜？
【解析】100
?（1
?
2）?
33??1，先取1个，使棋子变为99
个，然后采取如下策略：若对手取2
个，则取1个；若对手取1个，则取2
个。则每次都能使棋子变为3
的倍数。于是后者永远面对3
的倍数，只能将其变为一个不是3
的倍数的数，则后者无法使棋子变为0
，先者胜。
【例10】
有分别装7
根和10
根的两盒火柴，甲、乙两人轮流在某一盒中任取，但不能同时在两盒中都取，也不能不取。规定取到最后火柴者为胜。问甲先取时是否有必胜的策略？
【解析】甲要取胜，必须使两盒火柴相等。甲先从装有10
根火柴的盒中取走10
-
7
?
3
（根），使两盒火柴数相等。然后，乙从某一盒中取走多少根，甲就从另一盒中取走同样的根数，这样，乙始终面临两盒数量相等的火柴，甲必取到最后火柴，故甲必胜。
三、难题解析：
【例11】
甲、乙两人在玩一种纸牌游戏。纸牌上的点数为1,
2
,
3
，……，10
，每种点数各有4
张，开始时，两人各有20
张牌，每一轮两人各出1张牌，要求两张
牌的差等于5
，经过若干轮后，乙还剩2
张牌，牌上的点数分别为4
和a
；甲也还剩2
张牌，牌上的点数分别为7
和b
。此时，两人无法再按要求出牌，则a
?
b
的值为多少？
【解析】10
个点数中差为5
的两个点数有如下5
种：
（1,6），（2,7），(3,8),(4,9),(5,10)。
而10
?
4
?
40（张）牌刚好可以凑出40
?
2
?
20（组），前面的18
组都凑出来了，最后
剩下的4
张也是能组成2
组点数差为5
的数组。而甲和乙在玩时出现最后各剩两张不能
凑成点数差为5
，这说明点数差为5
的两张牌刚好握在自己手里，即4
和9
握在乙手里，
7
和2
握在甲手里。故
a
?
9
,
b
?
2
,从而
a
?
b
?
7
。
【例12】
一天，红太狼和灰太狼同时从“野猪林”出发，到“天堂镇”。红太狼一半路程溜达，一半路程奔跑，灰太狼一半时间溜达，一半时间奔跑。如果它们溜达的速度相同，奔跑的速度也相同，则先到“天堂镇”的是红太狼还是灰太狼呢？
【解析】奔跑的速度大于溜达的速度。红太狼一半路程溜达，一半路程奔跑；而灰太狼一半时间溜达，一半时间奔跑，则灰太狼一小半路程是溜达，一多半路程是奔跑的，
所以先到的是灰太狼。可画下图帮助我们理解：
溜达
奔跑
(
狼
野猪林
中点
天堂镇
)红太
(
溜达
奔跑
狼
野猪林
中点
天堂镇
)灰太
四、巩固练习：
妈妈给小明一个红色大盒子，里面装着6
个蓝色盒子，每个蓝色盒子里又装着4
个绿色盒子。请问小明总共有多少个盒子？
【解析】
绿色盒子有6
?
4
?
24（个），蓝色盒子有6
个，红色盒子有1个，故小明共有盒子24
?
6
?
1
?
31（个）。
数学兴趣小组活动时，老师出了这样一道题：“有2
箱鸭蛋，4
箱鸡蛋，放在一起。
6
箱装的个数各是44
个，48
个，50
个，52
个，57
个和64
个。只知道鸡蛋的个数
是鸭蛋个数的2
倍，你知道哪两箱装的是鸭蛋吗？”老师刚说完，聪明的王宁，
眼睛一眨就说出了答案。小朋友，你说说王宁是怎么想的？
【解析】鸭蛋有
（44
?
48
?
50
?
52
?
57
?
64)
?
(2
?
1)
?
105
（个），
而只有48
?
57
?
105
，所以装鸭蛋的两箱分别是48
个和57
个。
饮水桶里原来已经放了一些水，以后再往饮水桶里加水，都是前一次桶里的两倍，
加了3
次后，饮水桶里的水正好是81千克，那么原来饮水桶里有水多少千克？
【解析】每加一次水，都变成原来的3
倍，还原回去，原有水81
?
3
?
3
?
3
?
3（千克）。
请用4
升和9
升的杯子倒出6
升的水？（注：杯子不带刻度）
【解析】如下为一种倒法：（注：倒法不唯一）
原来
第一
次
第二
次
第三
次
第四
次
第五
次
第六
次
第七
次
第八
次
4
升
0
0
4
0
4
0
1
1
4
9
升
0
9
5
5
1
1
0
9
6
甲、乙、丙选手参加长跑比赛，起跑后甲处在第一位置，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置次序交换了
7
次，那么比赛结果甲是第几名？
【解析】我们可通过画如下的示意图来帮助理解：
……
……
通过观察，我们发现甲交换奇数次都排在中间的位置，即第二名，甲交换偶数次，
则要么排在头，要么排在尾。而
7
是奇数，即甲交换奇数次，故甲排在第二名。
甲、乙两人轮流从
82
粒棋子中取走
1
粒或
2
粒或
3
粒，取到最后一粒的就是胜利者，你认为先取者能获胜，还是后取者能获胜，应采取什么策略？
【解析】因为82
?（3
?
1）?
20??2
。故先取者先拿2
个，这样就会必胜。必胜的策略是：之后无论对方拿几粒，只要使自己拿的粒数与对方拿的粒数之和正好等于4
。这样先取者就能取到最后一粒。
公路的一边等距离的排列着一些电线杆，小明沿着公路骑车，他从第一根电线杆到第10
根电线杆用了3
分钟。按照此速度，再过3
分钟小明可以骑到第几根电线杆？
【解析】小明3
分钟骑了10
-1
?
9
（个）间隔，则再过3
分钟，小明又骑了9
个间隔，
即前后六分钟一共骑了9
?
2
?
18（个）间隔，此时小明骑到第1
?
18
?
19（根）电线杆。
小刚把从1开始的自然数排成如下图，其中第一行只有一个数，接下来的每一行都比上一行多一个数。101出现在这个图中的第几行第几个？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
……
【解析】由于1
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
?
7
?
8
?
9
?
10
?
11
?
12
?
13
?
91
，而
1
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
?
7
?
8
?
9
?
10
?
11
?
12
?
13
?
14
?
105
，而91
?
101
?
105
，故101在第
14
行，而101
-
91
?
10
，则101在第14
行的第10
个。

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