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2020-2021学年八年级下册数学第18章《平行四边形》
易错题训练
一．选择题（每题3分，共30分）
1．已知矩形的对角线长为10，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（　　）
A．50 B．48 C．24 D．12
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，已知∠A＝65°，则∠DFE＝（　　）
A．60° B．62° C．64° D．65°
3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，∠AOD＝60°，则AB的长为（　　）
A．3 B．2 C．3 D．6
4．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，E点恰好为AB的中点，则菱形ABCD的较大内角度数为（　　）
A．100° B．120° C．135° D．150°
5．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝（　　）
A．20.5° B．30.5° C．21.5° D．22.5°
6．在菱形ABCD中，∠A：∠B＝1：2，若周长为8，则此菱形中较短的那条对角线长为（　　）
A．2 B．4 C．1 D．2
7．如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝，BO＝3，那么AC的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
8．如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是3，b与c之间的距离是6，则正方形ABCD的面积是（　　）
A．36 B．45 C．54 D．64
9．如图，若平行四边形ABCO的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（6，0），（3，4），则顶点B的坐标是（　　）
A．（9，4） B．（6，4） C．（4，9） D．（8，4）
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝2，BD＝8，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（每题4分，共20分）
11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若OE＝2，则菱形的周长为　 　．
12．如图，在?ABCD中，已知AD＝36，AB＝24，∠BAD的角平分线AE交BC边于点E，则CE的长为　 　．
13．如图，菱形ABCD的边长AB＝3，对角线BD＝4，点E，F在BD上，且BE＝DF＝，连接AE，AF，CE，CF．则四边形AECF的周长为　 　．
14．如图，在?ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交BC于点E，连接AE，已知CD＝4，∠B＝60°，则△ABE的面积为　 　．
15．如图，点C在线段AB上，等腰△ADC的顶角∠ADC＝120°，点M是矩形CDEF的对角线DF的中点，连接MB，若AB＝6，AC＝6，则MB的最小值为　 　．
三．解答题（每题10分，共50分）
16．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．
17．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：CE＝DE．
（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．
18．如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．
19．如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．
20．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．
（1）求证：
①OC＝BC；
②四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，求DE的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵矩形的两邻边之比为3：4，
∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，
∵对角线长为10，
∴（3x）2+（4x）2＝102，
解得：x＝2，
∴矩形的两邻边长分别为：6，8；
∴矩形的面积为：6×8＝48．
故选：B．
2．解：∵点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，
∴DF、EF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴∠DFE＝∠A＝65°，
故选：D．
3．解：∵四边形AABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，OA＝OD＝OB，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝OD＝AD＝3，
∴BD＝2OD＝6，
∴AB＝＝3．
故选：C．
4．解：连接AC，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵CE⊥AB，点E是AB中点，
∴BC＝AC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°；
即菱形ABCD的较大内角度数为120°；
故选：B．
5．解：设AC与BD交于点O，
在四边形ABCD中，∠EOC＝90°，∠1＝∠2＝45°．
∵BE＝BC，
∴∠3＝∠ECB＝67.5°．
∴∠ACE＝OCE＝90°﹣∠3＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：D．
6．解：如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD＝AB＝BC＝CD，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB＝2，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠DAB：∠ABC＝1：2，
∴∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝∠DAB＝30°，
∴OB＝1，OA＝OB＝，
∴AC＝2OA＝2，
∵2＞2，
∴较短的那条对角线长为2，
故选：D．
7．解：∵AC⊥AB，AB＝，BO＝3，
∴AO＝＝＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝4，
故选：D．
8．解：如图：过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，
则∠AMD＝∠DNC＝90°，
∵直线b∥直线c，DN⊥直线c，
∴∠2+∠3＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△AMD和△CND中
，
∴△AMD≌△CND（AAS），
∴AM＝CN，
∵a与b之间的距离是3，b与c之间的距离是6，
∴AM＝CN＝3，DN＝6，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC2＝DN2+CN2＝32+62＝45，
即正方形ABCD的面积为45，
故选：B．
9．解：在?ABCO中，O（0，0），A（6，0），
∴OA＝BC＝6，
又∵BC∥AO，C（3，4），
∴点B的纵坐标与点C的纵坐标相等，
∴B（3+6，4），
即（9，4）；
故选：A．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝1，OB＝OD＝BD＝4，
∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，
∴O'C＝OA＝1，O'B'＝OB＝4，∠CO'B'＝90°，
∴AO'＝AC+O'C＝3，
∴AB'＝＝5；
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．解法一：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴BC＝2OE＝2×2＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
解法二：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
又∵点E是CD的中点，
∴OE是Rt△COD斜边上的中线，
∴CD＝2OE＝2×2＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16．
故答案为：16．
12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝36，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB＝24，
∴CE＝BC﹣BE＝36﹣24＝12．
故答案为：12．
13．解：如图，连接AC，交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝＝，
在Rt△ABO中，AO＝＝＝1，
又∵BE＝，
∴EO＝﹣＝，
在Rt△AOE中，AE＝＝＝，
同理可得，CE＝CF＝AF＝，
∴四边形AECF的周长4．
故答案为：4．
14．解：如图，由作法得EF垂直平分AB，即AF＝BF＝AB，EF⊥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝4，BF＝2．
在直角△BEF中，∵∠BFE＝90°，∠B＝60°，
∴EF＝BF?tan∠B＝2，
∴△ABE的面积＝AB?EF＝×4×2＝4．
故答案为：4．
15．解：如图，连接EC，过点M作MJ⊥CD于J，交AB于T．
∵四边形EFCD是矩形，点M是DF的中点，
∴点M是对角线DF，EC的交点，
∴MD＝MC，
∵MJ⊥CD，
∴DJ＝JC，
∴点M的运动轨迹是直线MJ，当BM⊥MJ时，BM的值最小，
∵DA＝DC，∠ADC＝120°，AC＝6，
∴∠A＝∠DCA＝30°，
∴CD＝＝2，
∴CJ＝DJ＝，
∴CT＝CJ÷cos30°＝2，
∵AB＝6，AC＝6，
∴BT＝BC+CT＝（6﹣6）+2＝6﹣4，
∵∠CJT＝90°，∠JCT＝30°，
∴∠BTM＝60°，
∴BM＝BT?sin60°＝（6﹣4）×＝9﹣2，
∴BM的最小值为9﹣2．
故答案为：9﹣2．
三．解答题（共5小题）
16．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵DF∥AB，
∴∠ABC＝∠DFC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠FDH＝30°，
∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠HDC＝45°，
∴DC＝DH＝DF＝6，
∴DF＝2，
∴菱形BEDF的边长为2．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∵AE＝DE，
∴CE＝DE；
（2）解：如图，连接AC交BD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，
∵CE＝DE＝AE＝1，
∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，
∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，
在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，
∴菱形的边长为．
18．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+32＝（9﹣x）2，
解得：x＝4，
∴AQ的长是4．
设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．
在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
又∵ED平分∠AEC，
∴∠ADE＝∠CED＝45°，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∴AE＝BC；
（2）△ABF是等腰直角三角形，
证明：∵CF⊥DE，
∴∠CFE＝90°，
又∵∠CEF＝45°，
∴∠ECF＝45°，
∴∠FEC＝∠FCE＝∠AEF，
∴EF＝CF，
在△AEF和△BCF中，
，
∴△AEF≌△BCF（SAS），
∴AF＝BF，∠AFE＝∠BFC，
∴∠AFE﹣∠BFE＝∠BFC﹣∠BFE，
即∠AFB＝∠EFC＝90°，
∴△ABF是等腰直角三角形．
20．（1）证明：①∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠BCE，
∵BO⊥CE，
∴∠CFO＝∠CFB＝90°，
在△OCF与△BCF中，
，
∴△OCF≌△BCF（ASA），
∴OC＝BC；
②∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
在△OAD与△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OE⊥AC，
∴∠EOC＝90°，
在△OCE与△BCE中，
，
∴△OCE≌△BCE（SAS），
∴∠EBC＝∠EOC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∵OC＝BC，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∴∠ECB＝OCB＝30°，
∵∠EBC＝90°，
∴EB＝EC，
∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，
∴EB＝，EC＝2，
∵OE⊥AC，OA＝OC，
∴EC＝EA＝2，
在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，
∴DE＝＝＝．

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