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2020-2021学年湖北省鄂东南新高考联盟高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．设集合A＝{x|x﹣1≤0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣2，1] C．[1，2） D．[﹣2，3）
2．sin454°+cos176°的值为（　　）
A．sin4° B．cos4° C．0 D．2sin4°
3．函数f（x）＝lnx﹣的零点所在的大致区间是（　　）
A．（，1） B．（1，e） C．（e，e2） D．（e2，e3）
4．设p：实数a，b满足a＞1且b＞1，q：实数a，b满足，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．已知0.4771＜lg3＜0.4772，则下列各数中与最接近的是（　　）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
6．把函数的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位可以得到函数g（x）的图象，若g（x）是偶函数，则φ的值为（　　）
A． B．
C．或 D．或
7．已知，则＝（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数，若不等式f（3x﹣9x）+f（m?3x﹣3）＜0对任意x∈R均成立，则m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，2﹣1） B．
C． D．
二、选择题（共4小题）.
9．如果角α与角γ+45°的终边相同，角β与γ﹣45°的终边相同，那么α﹣β的可能值为（　　）
A．90° B．360° C．450° D．2330°
10．下列函数中，既是偶函数又是区间（1，+∞）上的增函数有（　　）
A．y＝3|x|+1 B．y＝ln（x+1）+ln（x﹣1）
C．y＝x2+2 D．
11．已知f（x）＝cos（sinx），g（x）＝sin（cosx），则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）与g（x）的定义域都是[﹣1，1]
B．f（x）为偶函数且g（x）也为偶函数
C．f（x）的值域为[cos1，1]，g（x）的值域为[﹣sin1，sin1]
D．f（x）与g（x）最小正周期为2π
12．高斯（Gauss）是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣2.3]＝﹣3，[15.31]＝15．已知函数，G（x）＝[f（x）]，则下列说法正确的有（　　）
A．G（x）是偶函数 B．G（x）的值域是{﹣1，0}
C．f（x）是奇函数 D．f（x）在R上是增函数
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为　 　．
14．已知实数a，b满足log4（a+9b）＝log2，则a+b的最小值是　 　．
15．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）＝2f（）﹣1，则f（x）＝　 　．
16．已知函数f（x）＝Asin（2x+φ）﹣（A＞0，0＜φ＜），g（x）＝，f（x）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称．若对于任意的x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2），则实数m的取值范围为　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知全集U＝R，集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣1）＜0}．
（1）当a＝2时，求（?UA）∩（?UB）；
（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）＝sin（﹣ωx）（ω＞0），且其图象上相邻最高点、最低点的距离为．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若已知sinα+f（α）＝，求的值．
19．李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．
方案二：不收管理费，每度0.58元．
（1）求方案一收费L（x）元与用电量x（度）间的函数关系；
（2）李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？
（3）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？
20．已知函数f（x）＝2sinωx，其中常数ω＞0．
（Ⅰ）若y＝f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；
（Ⅱ）令ω＝2，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象求y＝g（x）的图象离原点O最近的对称中心．
21．已知连续不断函数，．
（1）求证：函数f（x）在区间上有且只有一个零点；
（2）现已知函数g（x）在上有且只有一个零点（不必证明），记f（x）和g（x）在上的零点分别为x1，x2，试求x1+x2的值．
22．已知f（x）＝log2（4x+1）﹣kx（k∈R）．
（1）设g（x）＝f（x）﹣a+1，k＝2，若函数g（x）存在零点，求a的取值范围；
（2）若f（x）是偶函数，设h（x）＝log2（b?2x），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围．
参考答案
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合A＝{x|x﹣1≤0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣2，1] C．[1，2） D．[﹣2，3）
解：由A＝{x|x﹣1≤0}＝{x|x≤1}，
B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，
则A∩B＝{x|﹣2＜x≤1}，
故选：B．
2．sin454°+cos176°的值为（　　）
A．sin4° B．cos4° C．0 D．2sin4°
解：sin454°+cos176°＝sin94°﹣cos4°＝cos4°﹣cos4°＝0，
故选：C．
3．函数f（x）＝lnx﹣的零点所在的大致区间是（　　）
A．（，1） B．（1，e） C．（e，e2） D．（e2，e3）
解：由于连续函数f（x）＝lnx﹣满足 f（1）＝﹣1＜0，f（e）＝1﹣＞0，
且函数在区间（ 0，e）上单调递增，故函数f（x）＝lnx﹣的零点所在的区间为（ 1，e）．
故选：B．
4．设p：实数a，b满足a＞1且b＞1，q：实数a，b满足，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：当a＞1且b＞1时，ab＞1，a+b＞2成立，即充分性成立，
反之当a＝4，b＝1时，满足足但a＞1且b＞1不成立，即必要性不成立，
即p是q的充分不必要条件，
故选：A．
5．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．已知0.4771＜lg3＜0.4772，则下列各数中与最接近的是（　　）
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
解：∵围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，
可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．
∴M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有3＝10lg3≈100.477，
∴M≈3361≈（100.477）361≈10172.2，
∴≈＝1092.2≈1093，
故选：D．
6．把函数的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位可以得到函数g（x）的图象，若g（x）是偶函数，则φ的值为（　　）
A． B．
C．或 D．或
解：把函数的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位，
可以得到函数g（x）＝sin（2x+2φ﹣）的图象，
若g（x）是偶函数，则2φ﹣＝+kπ，k∈Z，
∴分别令k＝0、k＝1，可得φ＝，或φ＝，
故选：D．
7．已知，则＝（　　）
A． B． C． D．
解：因为，
所以sin（+θ）＝﹣，
则＝cos[﹣（+θ）]＝sin（+θ）＝﹣．
故选：B．
8．已知函数，若不等式f（3x﹣9x）+f（m?3x﹣3）＜0对任意x∈R均成立，则m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，2﹣1） B．
C． D．
解：因为f（﹣x）+f（x）＝﹣2x+ln（）+2x+ln（）＝ln1＝0，
所以函数f（x）是奇函数，
由复合函数的单调性可知y＝ln（）在R上单调递增，而y＝2x在R上也单调递增，
所以函数f（x）在R上单调递增，
所以不等式f（3x﹣9x）+f（m?3x﹣3）＜0对任意x∈R均成立等价于f（3x﹣9x）＜﹣f（m?3x﹣3）＝f（3﹣m?3x），
即3x﹣9x＜3﹣m?3x，即m＜对任意x∈R均成立，
因为≥，
所以m＜．
故选：A．
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．如果角α与角γ+45°的终边相同，角β与γ﹣45°的终边相同，那么α﹣β的可能值为（　　）
A．90° B．360° C．450° D．2330°
解：如果角α与γ+45°终边相同，则α＝2mπ+γ+45°，m∈Z
角β与γ﹣45°终边相同，则β＝2nπ+γ﹣45°．n∈Z，
∴α﹣β＝2mπ+γ+45°﹣2nπ﹣γ+45°＝2（m﹣n）π+90°，（k＝m﹣n+1），
即α﹣β与90°角的终边相同，观察选项，选项AC符合题意，
故选：AC．
10．下列函数中，既是偶函数又是区间（1，+∞）上的增函数有（　　）
A．y＝3|x|+1 B．y＝ln（x+1）+ln（x﹣1）
C．y＝x2+2 D．
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝3|x|+1，其定义域为R，有f（﹣x）＝3|﹣x|+1＝3|x|+1＝f（x），即函数f（x）为偶函数，
在区间（1，+∞）上，y＝3|x|+1＝y＝3x+1，为增函数，符合题意，
对于B，y＝ln（x+1）+ln（x﹣1），有，解可得x＞1，即函数的定义域为（1，+∞），不是偶函数，不符合题意，
对于C，y＝x2+2为二次函数，开口向上且对称轴为y轴，既是偶函数又是区间（1，+∞）上的增函数，符合题意，
对于D，y＝x2+，其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）2+＝x2+＝f（x），即函数f（x）为偶函数，
可令t＝x2，可得t＝x2在（1，+∞）递增；y＝t+在（1，+∞）递增，则函数y＝x2+为增函数，符合题意，
故选：ACD．
11．已知f（x）＝cos（sinx），g（x）＝sin（cosx），则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）与g（x）的定义域都是[﹣1，1]
B．f（x）为偶函数且g（x）也为偶函数
C．f（x）的值域为[cos1，1]，g（x）的值域为[﹣sin1，sin1]
D．f（x）与g（x）最小正周期为2π
解：对于A，f（x）与g（x）的定义域都是R，所以A错；
对于B，因为f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝g（x），
f（x）和g（x）都是偶函数，所以B对；
对于C，因为sinx∈[﹣1，1]?（﹣，），所以f（x）的值域为[cos1，1]，
因为cosx∈[﹣1，1]?（﹣，），sint在（﹣，）内单调递增，
所以g（x）的值域为[﹣sin1，sin1]，所以C对；
对于D，f（x）＝cos（sinx）＝cos|sinx|，π是f（x）一个周期，所以D错．
故选：BC．
12．高斯（Gauss）是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣2.3]＝﹣3，[15.31]＝15．已知函数，G（x）＝[f（x）]，则下列说法正确的有（　　）
A．G（x）是偶函数 B．G（x）的值域是{﹣1，0}
C．f（x）是奇函数 D．f（x）在R上是增函数
解：根据题意，
对于A，G（1）＝[f（1）]＝0，G（﹣1）＝[f（﹣1）]＝﹣1，G（1）≠G（﹣1），则函数G（x）不是偶函数，A错误，
对于B，＝﹣，由1+2x＞1，则﹣＜f（x）＜，则有G（x）的值域是{﹣1，0}，B正确，
对于C，，其定义域位R，由f（﹣x）＝﹣＝﹣，则f（﹣x）+f（x）＝0，即函数f（x）为奇函数，C正确，
对于D，＝﹣，设t＝1+2x，则y＝﹣，t＝2x+1在R上是增函数，y＝﹣，在（1，+∞）也是增函数，
则f（x）在R上是增函数，D正确，
故选：BCD．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为　9　．
解：半径r＝＝＝3，
根据扇形面积公式S＝|α|r2＝×2×32＝9，
故答案为：9．
14．已知实数a，b满足log4（a+9b）＝log2，则a+b的最小值是　16　．
解：∵log4（a+9b）＝log2＝log4（）2，
∴a+9b＝ab，即＝1，
∴a+b＝（a+b）?（）＝1+9++≥10+2＝16，
当且仅当＝，即a＝3b＝12时，等号成立，
∴a+b的最小值是16．
故答案为：16．
15．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）＝2f（）﹣1，则f（x）＝　+　．
解：考虑到所给式子中含有f（x）和f（），故可考虑利用换元法进行求解．
在f（x）＝2f（）﹣1，用代替x，
得f（）＝2f（x）﹣1，将f（）＝﹣1代入f（x）＝2f（）﹣1中，可求得f（x）＝+．
故答案为：+
16．已知函数f（x）＝Asin（2x+φ）﹣（A＞0，0＜φ＜），g（x）＝，f（x）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称．若对于任意的x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2），则实数m的取值范围为　　．
解：f（x）的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称．
∴f（0）＝Asinφ﹣＝1，sin（2×+φ）＝±1．
又A＞0，0＜φ＜，∴φ＝，A＝．
∴f（x）＝sin（2x+）﹣，x∈[0，]，
∴（2x+）∈，
∴sin（2x+）∈，
∴f（x）∈．
∴f（x）min＝1．
g（x）＝＝﹣m，
∵x∈[﹣1，2]，∴g（x）min＝﹣m．
若对于任意的x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）≥f（x2），
则g（x1）min≥f（x2）min，
∴﹣m≥1，解得m≤﹣．
∴实数m的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知全集U＝R，集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣1）＜0}．
（1）当a＝2时，求（?UA）∩（?UB）；
（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：（1）A＝{x|≤0}＝{x|2≤x＜5}，
B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣1）＜0}＝{x|a﹣1＜x＜a+1}．
当a＝2时，B＝（1，3），
则?UA＝{x|x≥5或x＜2}，?UB＝{x|x≥3或x≤1}，
则（?UA）∩（?UB）＝{x|x≥5或x≤1．
（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，
则B?A，则，得，得3≤a≤4，
即实数a的取值范围是[3，4]．
18．已知函数f（x）＝sin（﹣ωx）（ω＞0），且其图象上相邻最高点、最低点的距离为．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若已知sinα+f（α）＝，求的值．
解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝sin（﹣ωx）＝cosωx，故其周期为，最大值为1．
设图象上最高点为（x1，1），与之相邻的最低点为（x2，﹣1），则|x2﹣x1|＝＝．
∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为＝，解得ω＝1，
∴函数f（x）＝cosx．
（Ⅱ）∵sinα+f（α）＝，
∴sinα+cosα＝，两边平方可得：1+2sinαcosα＝，解得：2sinαcosα＝﹣，cosα﹣sinα＝±，
∴＝＝＝±．
19．李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．
方案二：不收管理费，每度0.58元．
（1）求方案一收费L（x）元与用电量x（度）间的函数关系；
（2）李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？
（3）李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？
解：（1）当0≤x≤30时，L（x）＝2+0.5x；
当x＞30时，L（x）＝2+30×0.5+（x﹣30）×0.6＝0.6x﹣1，
∴（注：x 也可不取0）；
（2）当0≤x≤30时，由L（x）＝2+0.5x＝35得x＝66，舍去；
当x＞30时，由L（x）＝0.6x﹣1＝35得x＝60，
∴李刚家该月用电60度；
（3）设按第二方案收费为F（x）元，则F（x）＝0.58x，
当0≤x≤30时，由L（x）＜F（x），
得：2+0.5x＜0.58x，解得：x＞25，
∴25＜x≤30；
当x＞30时，由L（x）＜F（x），
得：0.6x﹣1＜0.58x，解得：x＜50，
∴30＜x＜50；
综上，25＜x＜50．
故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好．
20．已知函数f（x）＝2sinωx，其中常数ω＞0．
（Ⅰ）若y＝f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；
（Ⅱ）令ω＝2，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象求y＝g（x）的图象离原点O最近的对称中心．
解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝2sinωx在[﹣，]上单调递增，
∴ω?≤，∴0＜ω≤．
（Ⅱ）令ω＝2，将函数y＝f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位，
可得y＝2sin2（x+）的图象；
再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）＝2sin2（x+）+1的图象，
令2sin（2x+）＝0，可得2x+＝kπ，k∈Z，求得x＝﹣，
故g（x）的图象的对称中心为（﹣，1），k∈Z，
故g（x）的图象离原点O最近的对称中心为（﹣，1）．
21．已知连续不断函数，．
（1）求证：函数f（x）在区间上有且只有一个零点；
（2）现已知函数g（x）在上有且只有一个零点（不必证明），记f（x）和g（x）在上的零点分别为x1，x2，试求x1+x2的值．
【解答】（1）证明：函数，
因为，，所以，
又y＝sinx和y＝在区间上单调递增，
故函数f（x）在区间上单调递增，
由零点的存在性定理可得函数f（x）在区间上有且只有一个零点；
（2）解：因为函数f（x）在区间上有且只有一个零点，
所以，即，即＝0，
因为函数g（x）在上有且只有一个零点x2，
所以，则x1+x2＝．
22．已知f（x）＝log2（4x+1）﹣kx（k∈R）．
（1）设g（x）＝f（x）﹣a+1，k＝2，若函数g（x）存在零点，求a的取值范围；
（2）若f（x）是偶函数，设h（x）＝log2（b?2x），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围．
解：（1）由题意函数g（x）存在零点，即f（x）＝a﹣1有解．
又f（x）＝log2（4x+1）﹣2x＝log2（）＝log2（1+），
易知f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，又1+＞1，log2（）＞0，即f（x）＞0，
所以a﹣1∈（0，+∞），所以a的取值范围是a∈（1，+∞）．
（2）∵f（x）＝log2（4x+1）﹣kx的定义域为R，f（x）是偶函数，
∴f（﹣1）＝f（1），
∴log2（+1）+k＝log2（4+1）﹣k，
∴k＝1
检验f（x）＝log2（4x+1）﹣x＝log2（2x+2﹣x），
f（﹣x）＝log2（4﹣x+1）+x＝log2（2x+2﹣x），
∴f（x）＝f（﹣x），
∴f（x）为偶函数，
函数f（x）与h（x）的图象有且只有一个公共点，
∴方程f（x）＝g（x）只有一解，即方程 2x+＝b?2x﹣b有且只有一个实根，
令t＝2x＞0，则方程 （b﹣1）t2﹣bt﹣1＝0有且只有一个正根，
①当b＝1时，t＝﹣，不合题意，
②当b≠1时，若方程有两相等正根，则△＝（﹣4b）2﹣4×3（b﹣1）×（﹣3）＝0，且＞0，解得b＝﹣3
③若一个正根和一个负根，则 ＜0，即b＞1时，满足题意，
∴实数a的取值范围为{b|b＞1或b＝﹣3}．

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