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数学北师大版
九年级
3.8圆内接正多边形
顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。这个圆叫做该正多边形的外接圆。
各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。
在其他的正多边形中也有同样的定义。
·
A
B
C
D
E
O
把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形。
如图，五边形ABCDE是圆O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；
OA是这个正五边形的半径；
∠AOB是这个正五边形的中心角；
╮
OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的的边心距。
┑
例：如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC ，垂足为点G，求正六边形的中心角、边长和边心距。
解：连接 OC、OD
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴ ∠COD= =60°
∴ △COD为等边三角形
∴ CD=OC=4
在Rt△COG中，OC=4，CG=2
∴ OG=
∴正六边形ABCDE的中心角为60°，
边长为4，边心距为 。
用尺规作一个已知圆的内接正六边形
作法如下：
（1）以圆周上任意一点为圆心，以圆的半径为半径作弧，与圆周交于一点；
（2）以得到的交点为圆心，以圆的半径为半径作弧与圆周交于另一点，依次下去，在圆周上等到六个点；
（3）依次连接这六个点，就得到了这个圆的内接正六边形。
缺点：铅笔在画弧的过程中会磨损，造成后面的半径会变短，你会发现第6点与第一点的线段要长些。
为减少这种误差，采取下面这种作法
做一做: 你能用尺规作一个已知圆的内接正六边形吗?
(1)作☉O的任意一条直径AD.
作法:
(3)顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF.
(2)分别以A，D为圆心，以☉O的半径R为半径作弧，与☉O相交于点B，F和C，E.
E
F
B
A
D
作一个☉O，取☉O直径为AC，
作AC的垂直平分线交☉O于B，D，
顺次连接A，B，C，D，
四边形ABCD即为☉O的内接正四边形.
想一想: 你能借助尺规作出圆内接正四边形吗?
正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.
若n为偶数，则其为中心对称图形.
知识拓展
A
B
C
D
E
P
Q
R
S
T
O
经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.
知识拓展
问题1
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
{21E4AEA4-8DFA-4A89-87EB-49C32662AFE0} 正多边
形边数
内角
中心角
外角
3
4
6
n
60 °
120 °
120 °
90 °
90 °
90 °
120 °
60 °
60 °
正多边形的
外角=中心角
练一练
完成下面的表格：
1.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为2，它的面积为_____．
解：连接AO，BO，CO，AC，
∵正八边形ABCDEFGH的半径为2，
∴AO=BO=CO=2，∠AOB=∠BOC= ，
∴∠AOC=90°，
∴AC= ，此时AC与BO垂直，
∴S四边形AOCB=
，
∴正八边形面积为： ．
针对训练
E
F
C
D
O
A
B
G
R
a
.
中心角
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
设正多边形的边长为a,边数为n，
圆的半径为R,它的周长为L=na.
╮
求n边形的中心角，边心距，周长，面积
本课小结
1.各边相等，各角相等.
2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份.
3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成
n等份.
4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个
圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心.5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么它还是中心对称图形.
6.正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n，每个内角都等于(n-2)·180°/n .
7.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半径比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.
课后作业
1.如图,☉0的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G,AE=2,则EG的长是_____________.
2.如图,已知等边△ABC内接于☉O,BD为☉0内接正十二边形的一边,CD=5 cm,求☉0的半径R.
解:连接OB,OC,OD,∵等边△ABC内接于☉O, BD为☉0内接正十二边形的一边，
∠COD=∠BOC-∠BOD=90°.
3.如图，正方形ABCD内接于☉0,其边长为4,求☉0的内接正三角形EFG的边长.
解:连接AC,OE,0F,作OM⊥EF于点M.
∵四边形ABCD为正方形，∴AB =BC=4,
∴∠ABC =90°.
4.如图1,2,3,..,m中,点M,N分别是☉0的内接正三角形ABC,正方形ABCD,正五边形ABCDE,… ,正n边形ABCDEF …的边AB,BC. 上的点，且BM=CN,连接OM,ON.（1）求图1中∠MON的度数
5.如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为l,它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2,此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积为多少？
谢谢
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