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第五章
图形与变换
第1节
轴对称与中心对称
■考点1
图形的轴对称?
（1）定义：
①轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形是成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段.
②轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
（2）性质：
①成轴对称的两个图形全等，
②如果两个图形关于某条直线对称．那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分，
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
■考点2
图形的中心对称?
（1）定义
①中心对称：平面内一个图形绕着某个点旋转180°后能和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，这个点叫做它的对称中心，旋转前后的点叫做对应点.
②中心对称图形：一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
（2）性质：
①关于某点成中心对称的两个图形全等．
②成中心对称的两个图形和中心对称图形的对应点的连线都通过对称中心，并且被对称中心平分．
■考点3
关于原点对称的点的坐标特点?
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
■考点1：图形的轴对称?
◇典例：下列图形是轴对称图形的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
◆变式训练
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．
解：A、不是轴对称图形，此项符合题意；
B、是轴对称图形，此项不符题意；
C、是轴对称图形，此项不符题意；
D、是轴对称图形，此项不符题意；
故选：A．
2．在平面直角坐标系中的位置如图所示．、、三点在格点上．
（1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）作出关于对称的，并写出点的坐标．
【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析，
【解析】（1）作点A、B、C关于x轴的对称点、、，得到，再写出的坐标；
（2）作点A、B、C关于y轴的对称点、、，得到，再写出的坐标．
解：（1）如图所示，；
（2）如图所示，．
■考点2：图形的中心对称?
◇典例：下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【考点】中心对称图形
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
解：A、是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
◆变式训练
1．下列美丽的图案，不是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解：A是中心对称图形，不符合题意；B不是中心对称图形，符合题意；C是中心对称图形，不符合题意；D是中心对称图形，不符合题意，
故选B．
2．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2，2)，B(-3，1)，C(-1，1)
（1）将△ABC向右平移4个单位得△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2；
（3）由△ABC和△A2B2C2组成的图形是中心对称图形吗？如果是，请直接写出对称中心的坐标；
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是，(-2，0)
【解析】（1）根据已知条件平移作图即可；
（2）分别画出相对应的点连起来即可；
（3）根据中心对称图形的定义判断即可；
解：（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）如图所示：
△ABC和△A2B2C2关于点(-2，0)，成中心对称；
■考点3：关于原点对称的点的坐标特点?
◇典例：在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点的对称点P'的坐标是（　　）
A．（1，2）
B．（-1，2）
C．（1，-2）
D．（-1，-2）
【答案】D
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
解：点
P（1，2）关于原点的对称点
P'的坐标是（-1，-2），
故选：D．
◆变式训练
1．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
解：根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴m=2且m﹣n=﹣3，
∴m=2，n=5，
∴点M（m，n）在第一象限，
故选A．
2．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x的图像与反比例函数y
的图像一个交点的坐标是（-2，3），则它们另一个交点的坐标是______．
【答案】
【解析】根据反比例函数的图像是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
解：根据题意，正比例函数y＝k1x经过原点，与反比例函数y
有两个交点，则这两个交点关于原点对称，一个交点的坐标是，则它们另一个交点的坐标是．
故答案为：．
1．点关于原点对称点的坐标是（
）
A．(，)
B．(，)
C．(，)
D．(，)
【答案】A
【解析】关于原点对称的两个点的横坐标与纵坐标都互为相反数，根据以上结论可得答案．
解：点关于原点对称点的坐标是，
故选：
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．一张菱形纸片按图1－1、图1－2依次对折后，再按图1－3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】采用逆向思维的方法，如下图：
故选C
4．已知一次函数y＝﹣x+5的图象，绕y轴上一点P（0，a）旋转180°，所得的图象经过点
（0，﹣3），则a的值为（　　）
A．3
B．1
C．﹣3
D．6
【答案】B
【解析】根据题意得出旋转后的函数与y轴的交点，然后根据一次函数y＝﹣x+5求得与y轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论．
解：在一次函数y＝﹣x+5中，令x＝0，则y＝5，
即一次函数y＝﹣x+5与y轴交点为（0，5）．
∵旋转后所得的图象经过点
（0，﹣3），
∴旋转后的函数与y轴交点为（0，﹣3），
∵一次函数y＝﹣x+5的图象，绕y轴上一点P（0，a）旋转180°，
∴（0，5）和（0，﹣3）关于点（0，a）对称，
∴a＝＝1，
故选：B．
5．如图，点，都在双曲线上，点分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中求出a，b的值，确定A，B的坐标，再作A点关于x轴的对称点D，B点关于y轴的对称点C，根据对称性得到C点坐标为，D点坐标为，即可求解；
解：∵，点，都在双曲线上，
∴，
∴，，
∴，，
作A点关于x轴的对称点D，B点关于y轴的对称点C，连接CD，此时交x轴，y轴于P，Q，此时四边形ABQP的周长最小，
∵QB=QC，PA=PD，
∴四边形ABQP的周长，
∴，，
∴四边形ABQP的周长的最小值为；
故答案选D．
6．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（　　）
A．﹣5
B．﹣3
C．3
D．1
【答案】D
【解析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m=3、1﹣n=2，
解得：m=2、n=﹣1，
所以m+n=2﹣1=1，
故选D．
7．如图，在直角坐标系中，已知菱形的顶点，．作菱形关于轴的对称图形，再作图形关于点的中心对称图形，则点的对应点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意可以写出点C的坐标，然后根据与y轴对称和与原点对称的点的特点即可得到点C″的坐标，本题得以解决．
解：∵点C的坐标为（2，1），
∴点C′的坐标为（-2，1），
∴点C″的坐标的坐标为（2，-1），
故选：A．
8．如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（　　）
A．66°
B．104°
C．114°
D．124°
【答案】C
【解析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再根据三角形内角和定理可得.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°；
故选C．
9．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】：作点P关于OA对称的点P1,作点P关于OB对称的点P2,连接P1P2,与OA交于点M,与OB交于点N,此时△PMN的周长最小．由线段垂直平分线性质可得出△PMN的周长就是P1P2的长，∵OP=5，∴OP2=OP1=OP=5．又∵P1P2=5，,∴OP1=OP2=P1P2,∴△OP1P2是等边三角形,
∴∠P2OP1=60°，即2（∠AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°,即∠AOB=30°，故选B．
10．如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（　　）
A．1条
B．3条
C．5条
D．无数条
【答案】C
【解析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：五角星的对称轴共有5条，
故选C．
11．点P（﹣2，4）关于原点的对称点的坐标是_____．
【答案】（2．﹣4）
【解析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
解：点（﹣2，4）关于原点的对称点的坐标为（2，﹣4），
故答案为：（2，﹣4）．
12．如图，在四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小，则的度数为______.
【答案】
【解析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
解：作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交CD于N,则A′A″即为△AMN的周长最小值．
∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°?120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°.
13．如图，是4×4正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是_____．
【答案】9
【解析】观察图形可知，只要把9涂黑即可得到中心对称图形，即可得答案.
解：如图，把标有数字9的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．
故答案为9．
14．正方形是轴对称图形，它共有_______条对称轴．
【答案】四
【解析】：根据对称轴的定义，直接作出图形的对称轴即可．
解：∵如图所示，正方形是轴对称图形，它共有4条对称轴．
故答案为4．
15．已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝________.
【答案】2
【解析】连OQ，由点P关于直线OB的对称点是Q，根据轴对称的性质得到OB垂直平分PQ，则∠POB=∠QOB=30°，OP=OQ，得到△POQ为等边三角形，根据等边三角形的性质得PQ=PO=2．
解：
如图，连OQ，
∵点P关于直线OB的对称点是Q，
∴OB垂直平分PQ，
∴∠POB=∠QOB=30°，OP=OQ，
∴∠POQ=60°，
∴△POQ为等边三角形，
∴PQ=PO=2.
故答案为2.
16．如图，点A表示的数为，点A、点B关于原点对称，且BC=3，则点C表示的数为___________．
【答案】
【解析】先确定点B表示的数，再确定点C表示的数．
解：∵点A、点B关于原点对称，
∴点B表示，
∵BC=3，且点C在点B左侧，
∴点C表示的数为：．
故答案为：
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．
【答案】4或3
【解析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得到结论．
解：如图1，当∠AA′C=90°时，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，
∴AP=A′P，
∴∠PAA′=∠AA′P，
∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°，
∴∠PCA′=∠PA′C，
∴PC=PA′，
∴PC=AC=4，
如图2，当∠ACA′=90°时，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6．
∴AB=10，
∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，
∴A′B=AB=10，PA=PA′，
∴A′C=4，
设PC=x，
∴AP=8-x，
∵A′C2+PC2=PA′2，
∴42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
∴PC=3，
综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3，
故答案为：4或3．
18．如图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．
【答案】见解析
【解析】根据轴对称图形的性质，不同的对称轴，可以有不同的对称图形，所以可以称找出不同的对称轴，再思考如何画对称图形．
解：如图所示，
19．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
【答案】（1）如图所示见解析；（2）如图所示见解析；（3）如图所示见解析.
【解析】（1）根据中心对称的定义画图即可.
（2）根据轴对称的定义画出图形，注意与已知三角形有公共边.
(3)明白顺时针的方向，根据要求画图即可.
解：（1）如图所示，
△DCE为所求作
（2）如图所示，
△ACD为所求作
（3）如图所示
△ECD为所求作
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点，均为网格线的交点．
（1）请画出点关于原点对称的点；
（2）连接，将线段绕点旋转得到线段，使得四边形是以为对角线的正方形，请画出正方形．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
（1）根据关于原点对称的性质画出图形即可．
（2）根据正方形的判定方法画出图形即可．
解：（1）如图，点为所求；
（2）如图，正方形为所求．
．
1．（2020·济南中考）古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线对折，对折后直线两旁的部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形，中心对称图形：把一个图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据概念逐一分析可得答案．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（2020·绵阳中考）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（　　）
A．2条
B．4条
C．6条
D．8条
【答案】B
【解析】根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数．
解：如图，
因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，
所以此图形的对称轴有4条．
故选：B．
3．（2020·淮安中考）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可．
解：关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数,
所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),
故选C．
4．（2020·广州中考）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（
）
A．该圆锥的主视图是轴对称图形
B．该圆锥的主视图是中心对称图形
C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【答案】A
【解析】首先判断出圆锥的主视图，再根据主视图的形状判断是轴对称图形，还是中心对称图形，从而可得答案．
解：圆锥的主视图是一个等腰三角形，
所以该圆锥的主视图是轴对称图形，不是中心对称图形，故A正确，
该圆锥的主视图是中心对称图形，故B错误，
该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C错误，
该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D错误，
故选A．
5．（2020·菏泽中考）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】先根据点向右平移个单位点的坐标特征：横坐标加3，纵坐标不变，得到点的坐标，再根据关于轴的对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数，得到对称点的坐标即可．
解：∵将点向右平移个单位，
∴点的坐标为：(0，2)，
∴点关于轴的对称点的坐标为：(0，-2)．
故选：A．
6．（2020·永州中考）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据轴对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
7．（2020·广东中考）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
解：点关于轴对称的点的坐标为（3，-2），
故选：D．
8．（2020·济南中考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到'，那么点B的对应点B'的坐标为（　　）
A．（1，7）
B．（0，5）
C．（3，4）
D．（﹣3，2）
【答案】C
【解析】根据轴对称的性质和平移规律求得即可．
解：由坐标系可得B(﹣3，1)，将△ABC先沿y轴翻折得到B点对应点为(3，1)，再向上平移3个单位长度，点B的对应点B'的坐标为(3，1+3)，即(3，4)，
故选：C．
9．（2020·烟台中考）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可．
解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
10．（2020·黄石中考）在平面直角坐标系中，点G的坐标是，连接，将线段绕原点O旋转，得到对应线段，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意可得两个点关于原点对称，即可得到结果．
解：根据题意可得，与G关于原点对称，
∵点G的坐标是，
∴点的坐标为．
故选A．
11．（2020·滨州中考）下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：线段是轴对称图形，也是中心对称图形；
等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
圆是轴对称图形，也是中心对称图形；
则既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．
故选：B．
12．（2020·广安中考）在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab=________．
【答案】12
【解析】根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即可求出a和b的值，从而求出结论．
解：∵点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，
∴a=-6，b=-2
∴ab=12
故答案为：12．
13．（2020·泰安中考）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为，，．是关于轴的对称图形，将绕点逆时针旋转180°，点的对应点为M，则点M的坐标为________．
【答案】
【解析】根据题意，画出旋转后图形，即可求解
解：如图，将绕点逆时针旋转180°，所以点的对应点为M的坐标为．
故答案为：
14．（2020·达州中考）如图，点与点关于直线对称，则______．
【答案】-5
【解析】根据点与点关于直线对称求得a，b的值，最后代入求解即可．
解：∵点与点关于直线对称
∴a=-2，,解得b=-3
∴a+b=-2+（-3）=-5
故答案为-5．
15．（2020·葫芦岛中考）一张菱形纸片的边长为，高等于边长的一半，将菱形纸片沿直线折叠，使点与点重合，直线交直线于点，则的长为____________．
【答案】或
【解析】先根据题目中描述画出两种可能的图形，再结合勾股定理即可得解．
解：由题干描述可作出两种可能的图形．
①MN交DC的延长线于点F，如下图所示
∵高AE等于边长的一半
∴
在Rt△ADE中，
又∵沿MN折叠后，A与B重合
∴
∴
②MN交DC的延长线于点F，如下图所示
同理可得，，
此时，
故答案为：或．
16．（2020·河池中考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点D在AB上，且BD＝，点E在BC上运动．将△BDE沿DE折叠，点B落在点B′处，则点B′到AC的最短距离是_____．
【答案】
【解析】如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．在Rt△ACB中，根据三角函数知识可得DB′+B′J≥DH，DB′＝DB＝，当D，B′，J共线时，B′J的值最小，此时求出DH，DB′，即可解决问题．
解：如图，过点D作DH⊥AC于H，过点B′作B′J⊥AC于J．
在Rt△ACB中，∵∠ABC＝90°，AC＝8，∠A＝30°，
∴AB＝AC?cos30°＝4，
∵BD＝，
∴AD＝AB﹣BD＝3，
∵∠AHD＝90°，
∴DH＝AD＝，
∵B′D+B′J≥DH，DB′＝DB＝，
∴B′J≥DH﹣DB′，
∴B′J≥，
∴当D，B′，J共线时，B′J的值最小，最小值为；
故答案为．
17．（2020·恩施中考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为______．
【答案】(-1,8)
【解析】先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解．
解：由题意得，作出如下图形：
N点坐标为(-1,0)，
N点关于A点对称的N1点的坐标为(-3,0)，
N1点关于B点对称的N2点的坐标为(5,4)，
N2点关于C点对称的N3点的坐标为(-3,8)，
N3点关于A点对称的N4点的坐标为(-1,8)，
N4点关于B点对称的N5点的坐标为(3,-4)，
N5点关于C点对称的N6点的坐标为(-1,0)，此时刚好回到最开始的点N处，
∴其每6个点循环一次，
∴，
即循环了336次后余下4，
故的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为(-1,8)
．
故答案为：(-1,8)
．
18．（2020·吉林中考）如图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．，，均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．
（2）在图②中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．
（3）在图③中，画一个，使与关于某条直线对称，且，，为格点．
【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析．
【解析】（1）先画出一条的正方形网格的对称轴，根据对称性即可在图①中，描出点AB的对称点MN，它们一定在格点上，再连接即可．
（2）同（1）方法可解；
（3）同（1）方法可解；
解：（1）如图①，的正方形网格的对称轴l，描出点AB关于直线l的对称点MN，连接即为所求；
（2）如图②，同理（1）可得，即为所求；
（3）如图③，同理（1）可得，即为所求．
19．（2020·宁波中考）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形构成一个大的等边三角形即可（答案不唯一）．
（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可（答案不唯一）．
解：（1）轴对称图形如图1所示．
（2）中心对称图形如图2所示．
20．（2020·金华中考）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
【答案】（1）4;（2）①90°；②
【解析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．
（2）①证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．
②如图3中，由（1）可知：AC=，证明△AEF∽△ACB，推出，由此求出AF即可解决问题．
解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，==4.
（2）①如图2，∵△AEF≌△PEF，
∴AE＝EP.
又∵AE＝BE
，
∴BE＝EP，
∴∠EPB＝∠B＝45°，
∴∠AEP＝90°.
②如图3，由（1）可知：在Rt△ADC中，.
∵PF⊥AC，
∴∠PFA＝90°.
∵△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B.
又∵∠EAF＝∠CAB，
∴△EAF∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴AF＝,
在Rt△AFP中，AF＝PF，则AP＝＝.
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）(共70张PPT)
加
分
宝
·
一
轮
复
习
课
件
精
耕
细
作
，
一
针
见
血
。
研
究
教
育
根
本
，
解
决
根
本
问
题
。
第1节
轴对称与中心对称
考
点
梳
理
考
点
突
破
夯
实
基
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考
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联合些品第五章
图形与变换
第1节
轴对称与中心对称
■考点1
图形的轴对称?
（1）定义：
①轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形是__________，这条直线叫做__________，两个图形中重合的点叫做__________，重合的线段叫做__________
②轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做__________，这条直线叫做__________．
（2）性质：
①成轴对称的两个图形__________，__________②如果两个图形关于某条直线对称．那么连接对应点的线段被__________垂直平分，
③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在__________上．
■考点2
图形的中心对称?
（1）定义
①中心对称：平面内一个图形绕着某个点旋转180°后能和另一个图形重合，那么这两个图形成__________，这个点叫做它的__________，旋转前后的点叫做__________.
②中心对称图形：一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做__________，这个点叫做它的__________．
（2）性质：
①关于某点成中心对称的两个图形__________．
②成中心对称的两个图形和中心对称图形的对应点的连线都通过__________，并且被对称中心__________．__________
■考点3
关于原点对称的点的坐标特点?
（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′__________．
（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．
注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
■考点1：图形的轴对称?
◇典例：下列图形是轴对称图形的是（
）
A.
B.
C.
D.
◆变式训练
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．在平面直角坐标系中的位置如图所示．、、三点在格点上．
（1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标；
（2）作出关于对称的，并写出点的坐标．
■考点2：图形的中心对称?
◇典例：下列美丽的壮锦图案是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
◆变式训练
1．下列美丽的图案，不是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2，2)，B(-3，1)，C(-1，1)
（1）将△ABC向右平移4个单位得△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2；
（3）由△ABC和△A2B2C2组成的图形是中心对称图形吗？如果是，请直接写出对称中心的坐标；
■考点3：关于原点对称的点的坐标特点?
◇典例：在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点的对称点P'的坐标是（　　）
A．（1，2）
B．（-1，2）
C．（1，-2）
D．（-1，-2）
◆变式训练
1．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x的图像与反比例函数y
的图像一个交点的坐标是（-2，3），则它们另一个交点的坐标是______．
1．点关于原点对称点的坐标是（
）
A．(，)
B．(，)
C．(，)
D．(，)
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．一张菱形纸片按图1－1、图1－2依次对折后，再按图1－3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案(
)
A．
B．
C．
D．
4．已知一次函数y＝﹣x+5的图象，绕y轴上一点P（0，a）旋转180°，所得的图象经过点
（0，﹣3），则a的值为（　　）
A．3
B．1
C．﹣3
D．6
5．如图，点，都在双曲线上，点分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（　　）
A．﹣5
B．﹣3
C．3
D．1
7．如图，在直角坐标系中，已知菱形的顶点，．作菱形关于轴的对称图形，再作图形关于点的中心对称图形，则点的对应点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（　　）
A．66°
B．104°
C．114°
D．124°
9．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（
）．
A．
B．
C．
D．
10．如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（　　）
A．1条
B．3条
C．5条
D．无数条
11．点P（﹣2，4）关于原点的对称点的坐标是_____．
12．如图，在四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小，则的度数为______.
13．如图，是4×4正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是_____．
14．正方形是轴对称图形，它共有_______条对称轴．
15．已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝________.
16．如图，点A表示的数为，点A、点B关于原点对称，且BC=3，则点C表示的数为___________．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________．
18．如图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．
19．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
（3）在图3中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点，均为网格线的交点．
（1）请画出点关于原点对称的点；
（2）连接，将线段绕点旋转得到线段，使得四边形是以为对角线的正方形，请画出正方形．
1．（2020·济南中考）古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·绵阳中考）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（　　）
A．2条
B．4条
C．6条
D．8条
3．（2020·淮安中考）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·广州中考）如图所示的圆锥，下列说法正确的是（
）
A．该圆锥的主视图是轴对称图形
B．该圆锥的主视图是中心对称图形
C．该圆锥的主视图既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．该圆锥的主视图既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
5．（2020·菏泽中考）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·永州中考）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·广东中考）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·济南中考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到'，那么点B的对应点B'的坐标为（　　）
A．（1，7）
B．（0，5）
C．（3，4）
D．（﹣3，2）
9．（2020·烟台中考）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·黄石中考）在平面直角坐标系中，点G的坐标是，连接，将线段绕原点O旋转，得到对应线段，则点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·滨州中考）下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．（2020·广安中考）在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab=________．
13．（2020·泰安中考）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C的坐标分别为，，．是关于轴的对称图形，将绕点逆时针旋转180°，点的对应点为M，则点M的坐标为________．
14．（2020·达州中考）如图，点与点关于直线对称，则______．
15．（2020·葫芦岛中考）一张菱形纸片的边长为，高等于边长的一半，将菱形纸片沿直线折叠，使点与点重合，直线交直线于点，则的长为____________．
16．（2020·河池中考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝8，点D在AB上，且BD＝，点E在BC上运动．将△BDE沿DE折叠，点B落在点B′处，则点B′到AC的最短距离是_____．
17．（2020·恩施中考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，…，依此类推，则点的坐标为______．
18．（2020·吉林中考）如图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．，，均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．
（2）在图②中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．
（3）在图③中，画一个，使与关于某条直线对称，且，，为格点．
19．（2020·宁波中考）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
20．（2020·金华中考）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
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精品试卷·第
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