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一
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习
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耕
细
作
，
一
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。
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究
教
育
根
本
，
解
决
根
本
问
题
。
第4节
相似三角形
考
点
梳
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考
点
突
破
夯
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基
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B
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C第五章
图形与变换
第4节
相似三角形
■考点1
比例线段?
1．比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的基本性质
（1）基本性质：?ad＝bc；（b、d≠0）
（2）合比性质：?＝；（b、d≠0）
（3）等比性质：＝…＝＝k（b＋d＋…＋n≠0）?＝k．（b、d、…、n≠0）
3．平行线分线段成比例定理及推论
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
即如图所示，若l3∥l4∥l5，则．
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
即如图所示，若AB∥CD，则．
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC．
4．黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0．618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
■考点2
相似三角形的性质与判定?
1．相似三角形的判定
（1）两角对应相等的两个三角形相似（AAA）．
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF．
（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF．
（3）三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF．
判定三角形相似的思路：
①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；
②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；
③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；
④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；
⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例．
2．相似三角形的性质
（1）对应角相等，对应边成比例．
（2）周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
（3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
3．相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍．
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边．然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果．
■考点3
相似三角形的应用?
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
■考点1：比例线段?
◇典例：下列各组长度的线段（单位：cm）中，成比例线段的是（　　　）
A．2，3，4，5
B．1，3，4，10
C．2，3，4，6
D．1，5，3，12
【答案】C
【解析】判定四条线段是否成比例，计算前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
解：A.2:3≠4:5，故四条线段不成比例，不合题意；
B.1:3≠4:10，故四条线段不成比例，不符合题意；
C.2:3=4:6，故四条线段成比例，符合题意；
D.1:5≠3:12，故四条线段不成比例，不合题意；
故选：C．
◆变式训练
1．已知，那么下列比例式中成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由，可得，再利用比例的基本性质逐一分析各选项，即可得到答案．
解：
由可得：
故不符合题意，
由可得：故符合题意；
由可得：故不符合题意，
由可得：
故不符合题意，
故选：
2．如果，那么__________．
【答案】
【解析】设a=2k，得到b=3k，代入化简即可求解．
解：设a=2k，
∵，
∴b=3k，
∴．
故答案为：
■考点2：相似三角形的性质与判定?
◇典例：如图，是斜边上的高，于，则图中与相似的三角形有_________个．
【答案】4
【解析】根据有两个角对应相等的两个三角形相似逐个判断即可．
解：∵BD是Rt△ABC斜边AC上的高，
∴∠ADB=∠BDC=∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，∠A+∠ABD=90°，∠C+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，∠C=∠ABD，
∴△ADB∽△BDC，
∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC，
同理△ADB∽△ABC；△BDE∽△DEA∽△BAD，
即图中与△ABC相似的三角形有△BDC、△ADB、△AED、△DEB共4个，
故答案为：4．
◆变式训练
1．如图，在中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据已知条件知∠A＝∠A，再添加选项中的条件依次判断即可得到答案.
解：A、，，则可判断，不符合题意；
B、，，则可判断，不符合题意；
C、
，若成立，则，由题可知DE与BC不平行，符合题意；
D、
，，则可判断，不符合题意
故选：C．
2．如图，已知．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）根据三角形外角的性质易证，再根据∠C为公共角，即可证明相似；
（2）根据相似三角形对应边成比例，即可求得CB的值．
解：（1）∵，，
∴，
∵∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB；
（2）∵，
∴，
∵△CBD∽△CAB，
∴，
∴，即．
■考点3：相似三角形的应用?
◇典例：如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为16米，若小明的眼睛与地面距离为1.5米，则旗杆的高度为（
）
A．米
B．12米
C．9米
D．米
【答案】B
【解析】如图，BC=2m，CE=16m，AB=1.5m，利用题意得∠ACB=∠DCE，则可判断△ACB△DCE，然后利用相似比计算出DE的长．
解：如图，BC=2m，CE=16m，AB=1.5m，
由题意得，
，
，即，
，
旗杆的高度为12m．
故选：B．
．
◆变式训练
1．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，已知斜边DF保持水平并且边DE与点B在同一直线上，若DE＝40cm，EF＝20cm．DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树的高度AB＝________米．
【答案】5.5
【解析】根据可得，可求得BC的长，树高即可求出树高．
解：，，
，，
，
故答案为：．
2．如图，在阳光下，某一时刻，旗杆AB的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．设旗杆AB在地上的影长BC为20m，墙面上的影长CD为4m；同一时刻，竖立于地面长1m的木杆的影长为0.8m，求旗杆AB的高度．
【答案】29m
【解析】作DE⊥AB于E，可得矩形BCDE，利用同一时刻物高与影长的比一定得到AE的长度，加上CD的长度即为旗杆的高度．
解：作DE⊥AB于E，
∵DC⊥BC于C，AB⊥BC于B，
∴四边形BCDE为矩形，
∴DE＝BC＝20m，BE＝DC＝4m，
∵同一时刻物高与影长所组成的三角形相似，
∴，
解得AE＝25m，
∴AB＝25＋4＝29m．
答：旗杆的高度为29m．
1．已知线段，，则线段a，b的比例中项为（
）
A．
B．8
C．
D．
【答案】D
【解析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
解：设线段a、b的比例中项为x，
则x2=ab，
即x2=4×2，
解得或（舍去），
故选：D．
2．已知线段、、、的长度满足等式，如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据比例的两内项之积等于两外项之积逐项排查即可．
解：A.由可得bc=ad，故A选项符合题意；
B.由可得ab=cd，故B选项不符合题意；
C.由可得ab=cd，故C选项不符合题意；
D.由可得ab=cd，故D选项不符合题意．
故答案为A．
3．在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据对应线段成比例，两直线平行，可得出答案．
解：A、,可证明DE∥BC,故本选项正确；
B、,不可证明DE∥BC,故本选项错误；
C、,不可证明DE∥BC,故本选项不正确；
D、不可证明DE∥BC,故本选项不正确．
故选A．
4．已知，若它们周长比为，则它们对应高的比是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据相似三角形的周长比是相似比，相似三角形的对应高的比是相似比即可解答．
解：∵，且们周长比为，
∴与的相似比为1：4，
∴与对应高的比为1：4．
故选择：A．
5．如图，数轴上点A表示的数为－2，点B表示的数为m，若原点O为线段AB的一个黄金分割点（AO＞BO），则点B表示的数为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】分别表示出AO，BO，AB，再根据黄金分割的意义列式求解即可．
解：O为线段AB的黄金分割点，且
，，
∴，即
解得，或（舍去）
经检验，是方程的解，符合题意，
故选：B
6．如图，在中，点在边上，，，联结，与相交于点，则下列结论一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据相似三角形的判定和平行线分线段成比例进行判断即可．
解：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=CF，DF=CE，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴△ADE∽△ABC，△BFD∽△BAC，
∴，故A错误；
，即，故B错误；
∵DF∥AC，∴，故C正确；
∵DE∥BC，∴，故D错误，
故选：C．
7．如图，在中，是斜边上的高线，且，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】首先设出AD的长，过D作BC的垂线DE，易知△CDE∽△CAF，可利用x表示出CE的长，由等腰三角形三线合一的性质可得到BC＝2CE，即可知BC的表达式，而在Rt△ADB中，利用勾股定理易求得AB的表达式，那么在Rt△ABC中，根据AB、AC、BC的表达式，可利用勾股定理列出关于x的方程，由此求得AD的长．
解：如图，过作边上的高．
设的长为，中，由勾股定理得：，
在等腰中，，
为的中点
又，
∴∠CED=∠CFA=90°，又∠C=∠C，
，
，
即，
，
直角中，由勾股定理可知：，
即，
解得，
．
故选：．
8．如图，己知在ABC中，点D、点E是边BC上的两点，连接AD、AE，且AD＝AE，如果ABE∽CBA，那么下列等式错误的是（
）
A．AB2＝BE?BC
B．CD?AB＝AD?AC
C．AE2＝CD?BE
D．AB?AC＝BE?CD
【答案】D
【解析】根据相似三角形的判定及性质对每一个选项一一证明即可．
解：∵ABE∽CBA，
∴，∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠CAB，
∴AB2＝BE?BC，（故选项A正确）
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠CAB，
又∵∠C＝∠C，
∴CDA∽CAB，
∴，
∴CD?AB＝AD?AC，（故选项B正确）
∵∠ADE＝∠AED，∠BAE＝∠C，
∴ABE∽CAD，
∴，
∴AE?AD＝CD?BE，
又∵AD＝AE，
∴AE2＝CD?BE，（故选项C正确）
∵∠ADE＝∠AED＜90°，
∴∠ADB＝∠AEC＞90°，
∴AB＞AD，AC＞AE，
∴AB?AC＞AE2，
即AB?AC＞CD?BE，（故选项D错误）
故选：D．
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】C
【解析】由DEBC可得出，∠AED＝∠C，结合∠ADE＝∠EFC可得出△ADE∽△EFC，根据相似三角形的性质可得出，再根据CF＝6,即可求出DE的长度．
解：∵DEBC，
∴，∠AED＝∠C．
又∵∠ADE＝∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
∴，
∵CF＝6，
∴，
∴DE＝10．
故选C
10．如图，在中，点，分别是边，的中点，与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】由点D，E分别是边AC，AB的中点知DE是△ABC的中位线，据此知DE∥BC且，从而得△ODE∽△OBC，根据相似三角形的性质逐一判断可得．
解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且，②正确；
∴∠ODE=∠OBC、∠OED=∠OCB，
∴△ODE∽△OBC，
∴，①错误；
，③错误；
∵，
∴，④正确；
故选：B．
11．如图，，如果，
，，那么的长是______．
【答案】3.75
【解析】直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
解：∵直线，，，，
∴
，
∴．
故答案为：3.75．
12．已知为实数，且满足，则一次函数的图象一定经过___________象限．
【答案】第二
【解析】根据比例的性质求得k值，然后根据一次函数图象与系数的关系作出选择．
解：由，得
a+b＝ck，①
b+c＝ak，②
a+c＝bk，③
由①+②+③，得
2（a+b+c）＝k（a+b+c），
（1）当a+b+c≠0时，k＝2；
∴一次函数y＝kx+k+1的解析式是：y＝2x+3，
∴该函数经过第一、二、三象限；
（2）当a+b+c＝0时，b+c＝-a，④
将④代入②，得：-a＝ak；
又∵abc≠0，
∴a≠0，
∴k＝-1，
∴一次函数y＝kx+k+1的解析式是：y＝-x；
∴该函数经过第二、四象限；
综上所述，一次函数一定经过的象限是第二象限．
故答案为：第二．
13．如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____．
【答案】
【解析】作CM⊥AB于M，交GF于N，由勾股定理可得出AB，由面积法求出CM，证明△CGF∽△CAB，再根据对应边成比例，即可得出答案．
解：作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示：
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，，
∴设BC＝k，则AC＝2k，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k）2＋k2，解得：k＝2，
∴BC＝2，AC＝4，
∴CM＝＝＝4，
∵正方形DEFG内接于△ABC，
∴GF＝EF＝MN，GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴，即，
解得：EF＝；
故答案为：．
14．已知：如图，的中线与交于点，交于，那么______．
【答案】
【解析】根据已知条件得出G点是重心，再通过证明?得出比例关系即可．
解：∵的中线与交于点，
∴G为的重心，
∴=，=；
∴=
∵DF//AE，
∴?
∴=
∵=
∴．
故答案为．
15．如图，已知在平行四边形中，点E在边上，，联结交对角线于点O，那么的值为_____．
【答案】
【解析】由题意可以得到△AOE∽△COD，再根据三角形相似的性质和已知条件可以求得AO：OC的值．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠OAE=∠DCO，∠OEA=∠ODC，
∴△AOE∽△COD，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为．
16．如图，在□中，点在边上，交对角线于，若，的面积等于，那么的面积等于______．
【答案】
【解析】由□可得AD=BC、AD//BC,由可得AD=BC=3BE,过F作FN⊥BC、FM⊥AD,则△ABC的高为MN,△AFD的高为FM,再说明△ADF∽△CEF和△ENF∽△DMF进而得到,进而求得△AFD的面积，最后根据相似三角形的性质求得△EFC的面积即可．
解：∵□
∴AD=BC、AD//BC
∵
∴AD=BC=CE+BE=3BE
如图：过F作FN⊥BC交BC于N，交AD于M，
∵AD//BC，
∴FM⊥AD，
∴△ADF∽△CEF，△ENF∽△DMF
∴，,
∴
∵AD=BC
∴,即，解得=9
∴,即，解得=4
故填：4．
．
17．如图，在中，点、分别在边、上，，，与交于点，且．
求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）根据题意证明△AFE∽△BFD，即可得到∠FDB=∠AEF，故可求解；
（2）根据题意证明△AEF∽△CBA，得到,再得到AB=CD，故可求解．
解：证明：（1）∵
∴
∵∠BFD=∠AFE
∴△AFE∽△BFD
∴∠FDB=∠AEF，
∴180°-∠FDB=180°-∠AEF，
即
（2）∵
∴180°-∠ADC-∠C=180°-∠BED-∠C
即∠DAC=∠EBC
∵BE=CE,
∴∠C=∠DAC=∠EBC
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD
∵∠ADB=∠C+∠DAC，∠ABD=∠ABE+∠EBC，
∴∠ABE=∠DAC=∠C=∠EBC
∵∠AEB=∠C+∠EBC
∴∠BEA=∠ABE+∠EBC=∠ABC
∴△AEF∽△CBA，
∴
∴
∵∠C=∠DAC
∴CD=AD
∵AB=AD
∴AB=CD
∴．
18．课间休息时小明同学望向窗外，看着校园里的一棵古树突发奇想，能不能利用刚学过的数学知识来测量这棵古树的高度呢？经过思考他和同学们一起实践起来．如图所示，他站在教室里点A处的凳子上，从教室的窗口望出去，恰好能看见古树的整个树冠DK，古树长在一个小坡上，经测量，斜坡HJ长2.2米，坡角∠JHL＝30°，窗口高EF＝1.2米，树干底部KC＝0.9m，A点距墙根G为1.5m，树干距墙面的水平距离IC为4.5m，请根据上面的信息，计算出树项到地面的距离DL的长度．
【答案】6.8米
【解析】由题意直接根据相似三角形的性质求出树冠DK，根据坡角求出CL，进而即可求出树高DL．
解：连接EF，过点B作BM⊥DL，垂足为M，交EF于点N，
由题意可知，BN＝AG＝1.5，MN＝IC＝4.5，
由EF//DK,则△BEF∽△BKD得：
＝，即＝，
解得：KD＝4.8，
∵斜坡HJ长2.2米，坡角∠JHL＝30°，
∴CL＝HJ＝1.1，
∴DL＝DK+KC+CL＝4.8+0.9+1.1＝6.8（米），
答：树项到地面的距离DL的长度为6.8米．
19．20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．
【答案】30m
【解析】通过证明△CAB∽△CPQ可得，可求解．
解：设小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为xm，
21.6km/h＝21.6×＝6m/s，
∵AB∥PQ，
∴△CAB∽△CPQ，
∴，
∴＝，
∴x＝30，
∴小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为30m．
20．已知：如图，四边形是菱形，点、分别在边、上，联结、交对角线于、两点，且．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）先根据菱形的性质和角的和差可证∽，再根据相似的性质得到结合即可证明；
（2）先根据菱形的性质得到、，再根据平行线分线段成比例定理可得，再结合可得即即可证明．
解：证明：（1）∵四边形是菱形；
∴；
∴；
∵，；
又∵；
∴；
∴∽；
∴，即；
∴；
（2）∵四边形是菱形；
∴，；
∴；
∵；
∴，
∴；
∴，即．
1．（2020·贵港中考）如图，在中，点在边上，若，，且，则线段的长为（
）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【解析】由∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，可判定△BCD∽△BAC，从而可得比例式，再将BC＝3，BD＝2代入，可求得BA的长，然后根据AD＝BA?BD，可求得答案．
解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
∵BC＝3，BD＝2，
∴，
∴BA＝，
∴AD＝BA?BD＝?2＝．
故选：B．
2．（2020·毕节中考）已知，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将代入=+1中即可求出结论．
解：∵，
∴=+1=+1=．
故选D．
3．（2020·永州中考）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（
）
A．
B．25
C．35
D．63
【答案】B
【解析】在中，，即可判断，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B．
4．（2020·哈尔滨中考）如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
解：∵，
∴△AEF∽△ACD，
∴，故选项A错误；
∴，
∵，
∴△CEG∽△CAB，
∴，
∴，故选项B错误；，故选项D错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项正确C．
故选：C．
5．（2020·泸州中考）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF=BC=2，
在Rt,AF=，
∵D是边的两个“黄金分割”点，
∴即，
解得CD=，
同理BE=，
∵CE=BC-BE=4-(-2)=6-，
∴DE=CD-CE=4-8，
∴S△ABC===，
故选：A.
6．（2020·荆门中考）在平面直角坐标系中，的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为，将沿直线翻折，得到，过作垂直于交y轴于点C，则点C的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先求出OA，然后证明△∽△即可得出答案．
解：由题意可得AB=1，OB=，
∵△ABC为直角三角形，
∴OA=2，
由翻折性质可得=1，=，=2，∠=90°，
∵∠+∠=90°，∠+∠=90°，
∴∠=∠，
∵⊥，∠=90°，
∴△∽△，
∴，即
∴OC=4，
∴点C的坐标为（0，-4），
故选：C．
7．（2020·威海中考）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．
解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由已知可得GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴，
∵，
∴，
∵BC＝3，
∴GB＝，
∵l3∥l4，
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝==，
∴tanα的值为，
故选：A．
8．（2020·益阳中考）如图，在矩形中，是上的一点，是等边三角形，交于点，则下列结论不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据等边三角形和矩形角度的特点即可得出A说法正确；假设∠BAC=45°，可得到AB=BC，又AB=BE，所以BE=BC，不成立，所以B说法错误；设EC的长为x，BE=2EC=2x，BC=，证得△ECF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得，C说法正确；AD=BC=，AB=BE=2x，可得D说法正确．
解：在矩形ABCD中，是等边三角形，
∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，
∴∠DAE=90°-60°=30°，
故A说法正确；
若∠BAC=45°，则AB=BC，
又∵AB=BE，
∴BE=BC，
在△BEC中，BE为斜边，BE＞BC，
故B说法错误；
设EC的长为x，
易得∠ECB=30°，
∴BE=2EC=2x，BC=，
AB=BE=2x，
∵DC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB，
又∵∠EFC=∠BFA，
∴△ECF∽△BAF，
∴，
故C说法正确；
AD=BC=，
∴，
故D说法正确．
故选：B
9．（2020·广西中考）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得．
解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴．
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，
∴
解得：x=20
所以，AN=20．
故选：B．
10．（2020·眉山中考）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（
　
）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】D
【解析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证．
解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴∠EAG=∠BAD=90°
又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG
∴∠EAB=∠GAD
∴①正确
②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴AD=DC，AG=FG
∴AC=AD，AF=AG
∴，
即
又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC
∴∠DAG=∠CAF
∴
∴②正确
③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线
∴∠AFH=∠ACF=45°
又∵∠FAH=∠CAF
∴△HAF∽△FAC
∴
即
又∵AF=AE
∴
∴③正确
④由②知
又∵四边形ABCD为正方形，
AC为对角线
∴∠ADG=∠ACF=45°
∴DG在正方形另外一条对角线上
∴DG⊥AC
∴④正确
故选：D．
11．（2020·昆明中考）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
【答案】C
【解析】根据题意，得出ABC的三边之比，并在直角坐标系中找出与ABC各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来．
解：ABC的三边之比为，
如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况：
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个，
故选：C．
12．（2020·湘潭中考）若，则________．
【答案】
【解析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可；
解：由可设，，k是非零整数，
则．
故答案为：．
13．（2020·娄底中考）若，则________．
【答案】
【解析】根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．
解：由可得，，
代入．
故答案为．
14．（2020·锦州中考）如图，在中，D是中点，，若的周长为6，则的周长为______．
【答案】12
【解析】由，可知，再由D是中点，可得到相似比，即可求出的周长．
解：∵，
∴，
又∵D是中点，
∴，即与的相似比为1:2，
∴与的周长比为1:2，
∵的周长为6，
∴的周长为12，
故答案为：12．
15．（2020·阜新中考）如图，把沿边平移到的位置，图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5，若，则此三角形移动的距离是____________．
【答案】
【解析】根据题意可知△A1BD∽△ABC，又根据已知条件“图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5”可得与的面积比为4∶9，即得出A1B∶AB=2∶3，已知，故可求A1B，最终求出．
解：
∵根据题意“把沿边平移到的位置”，
∴AC∥A1D，故判断出△A1BD∽△ABC，
∵图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5，
∴与的面积比为4∶9，
∴A1B∶AB=2∶3，
∵，
∴A1B=，
∴=AB－A1B=4－=．
故答案为．
16．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】①根据折叠、矩形的性质进行推理即可；②根据等高三角形的面积比等于底边的比计算分析即可；③由矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定定理计算分析即可；④由矩形的性质可得CD的长，根据CE＝CD﹣ED求得CE的值，则可求得答案．
解：①由折叠的性质可知：∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠EBG＝∠GBH+∠EBF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°．
故①正确；
②由折叠的性质可知：BF＝BC＝10，BH＝AB＝6，
∴HF＝BF﹣BH＝4，
∴＝＝＝，
∴2S△BFG＝5S△FGH；
故②正确；
③∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABF中，AF＝＝8，
设GF＝x，即HG＝AG＝8﹣x，
在Rt△HGF中，HG2+HF2＝GF2，
即（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，
∴AG＝3，
∴FD＝2；
同理可得ED＝，
∴＝＝2，
＝＝，
∴≠，
∴△ABG与△DEF不相似，
故③错误；
④∵CD＝AB＝6，ED＝，
∴CE＝CD﹣ED＝，
∴＝，
∴4CE＝5ED．
故④正确．
综上所述，正确的结论的序号为①②④，
故答案为：①②④．
17．（2020·无锡中考）如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．
（1）求证：；
（2）求的周长．
【答案】（1）见解析；（2）的周长为
【解析】（1）由切线的性质可得，由外角的性质可得，由等腰三角形的性质，可得，可得结论；
（2）由直角三角形的性质可得，，即可求解．
解：证明：（1）是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
（2），，，
，，
，，
，
，
的周长．
18．（2020·荆州中考）如图矩形ABCD中，AB=20，点E是BC上一点，将沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上的点G处，点F在DG上，将沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时．
（1）求证：
（2）求AD的长；
（3）求的值．
【答案】（1）见解析；（2）12；（3）
【解析】（1）由矩形的性质得出∠B=∠D=∠C=90°，由折叠的性质得出∠AGE=∠B=90°，∠AHF=∠D=90°，证得∠EGC=∠GFH，则可得出结论；
（2）由面积关系可得出GH：AH=2：3，由折叠的性质得出AG=AB=GH+AH=20，求出GH=8，AH=12，则可得出答案；
（3）由勾股定理求出DG=16，设DF=FH=x，则GF=16-x，由勾股定理得出方程，解出x=6，由锐角三角函数的定义可得出答案．
解：（1）证明：因为四边形ABCD是矩形
所以
，
(2)解：
(3)解：在直角三角形ADG中，
由折叠对称性知，
解得：x=6，
所以：HF=6
在直角三角形GHF中，
．
19．（2020·南京中考）如图，在和中，D、分别是AB、上一点，．
（1）当时，求证：
证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格　
（2）当时，判断与是否相似，并说明理由
【答案】（1），；（2）相似，理由见解析
【解析】（1）根据证得△△，推出，再证明结论；
（2）作DE∥BC，∥，利用三边对应成比例证得△，再推出，证得，即可证明△△．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴△△，
∴，
∵，
∴△△，
故答案为：，；
（2）如图，过点D、分别作DE∥BC，∥，
DE交AC于点E，交于点，
∵DE∥BC，
∴△△，
∴，
同理：，
又，
∴，
∴，
同理：，
∴，
即，
∴，
又，
∴，
∴△△，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
同理：，
∴，
又，
∴△△．
20．（2020·武汉中考）问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：．
【解析】问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证；
尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案；
拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案．
解：问题背景：∵，
∴∠BAC=∠DAE，
，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴；
尝试应用：连接CE，
∵，，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
由于，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，
∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）第五章
图形与变换
第4节
相似三角形
■考点1
比例线段?
1．比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的基本性质
（1）基本性质：?ad＝________；（b、d≠0）________（2）合比性质：?＝；（b、d≠0）
（3）等比性质：＝…＝＝k（b＋d＋…＋n≠0）?＝________．（b、d、…、n≠0）
3．平行线分线段成比例定理及推论
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
即如图所示，若l3∥l4∥l5，则．
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
即如图所示，若AB∥CD，则．
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC．
4．黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0．618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
■考点2
相似三角形的性质与判定?
1．相似三角形的判定
（1）两角对应相等的两个三角形相似（AAA）．
如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF．
（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
如图，若∠A＝∠D，，则△ABC∽△DEF．
（3）三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF．
判定三角形相似的思路：
①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；
②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；
③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；
④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；
⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例．
2．相似三角形的性质
（1）对应角________，对应边________．
（2）周长之比等于________，面积之比等于相似比的________．
（3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于________．
3．相似三角形的基本模型
（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍．
（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边．然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果．
■考点3
相似三角形的应用?
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
■考点1：比例线段?
◇典例：下列各组长度的线段（单位：cm）中，成比例线段的是（　　　）
A．2，3，4，5
B．1，3，4，10
C．2，3，4，6
D．1，5，3，12
◆变式训练
1．已知，那么下列比例式中成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如果，那么__________．
■考点2：相似三角形的性质与判定?
◇典例：如图，是斜边上的高，于，则图中与相似的三角形有_________个．
◆变式训练
1．如图，在中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，已知．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
■考点3：相似三角形的应用?
◇典例：如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2米，旗杆底部与平面镜的水平距离为16米，若小明的眼睛与地面距离为1.5米，则旗杆的高度为（
）
A．米
B．12米
C．9米
D．米
◆变式训练
1．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，已知斜边DF保持水平并且边DE与点B在同一直线上，若DE＝40cm，EF＝20cm．DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树的高度AB＝________米．
2．如图，在阳光下，某一时刻，旗杆AB的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．设旗杆AB在地上的影长BC为20m，墙面上的影长CD为4m；同一时刻，竖立于地面长1m的木杆的影长为0.8m，求旗杆AB的高度．
1．已知线段，，则线段a，b的比例中项为（
）
A．
B．8
C．
D．
2．已知线段、、、的长度满足等式，如果某班四位学生分别将该等式改写成了如下四个比例式，那么其中错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知，若它们周长比为，则它们对应高的比是（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，数轴上点A表示的数为－2，点B表示的数为m，若原点O为线段AB的一个黄金分割点（AO＞BO），则点B表示的数为（
）．
A．
B．
C．
D．
6．如图，在中，点在边上，，，联结，与相交于点，则下列结论一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在中，是斜边上的高线，且，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，己知在ABC中，点D、点E是边BC上的两点，连接AD、AE，且AD＝AE，如果ABE∽CBA，那么下列等式错误的是（
）
A．AB2＝BE?BC
B．CD?AB＝AD?AC
C．AE2＝CD?BE
D．AB?AC＝BE?CD
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
10．如图，在中，点，分别是边，的中点，与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．如图，，如果，
，，那么的长是______．
12．已知为实数，且满足，则一次函数的图象一定经过___________象限．
13．如图，已知在中，，，，正方形的顶点G、F分别在边、上，点D、E在斜边上，那么正方形的边长为_____．
14．已知：如图，的中线与交于点，交于，那么______．
15．如图，已知在平行四边形中，点E在边上，，联结交对角线于点O，那么的值为_____．
16．如图，在□中，点在边上，交对角线于，若，的面积等于，那么的面积等于______．
17．如图，在中，点、分别在边、上，，，与交于点，且．
求证：（1）；
（2）．
18．课间休息时小明同学望向窗外，看着校园里的一棵古树突发奇想，能不能利用刚学过的数学知识来测量这棵古树的高度呢？经过思考他和同学们一起实践起来．如图所示，他站在教室里点A处的凳子上，从教室的窗口望出去，恰好能看见古树的整个树冠DK，古树长在一个小坡上，经测量，斜坡HJ长2.2米，坡角∠JHL＝30°，窗口高EF＝1.2米，树干底部KC＝0.9m，A点距墙根G为1.5m，树干距墙面的水平距离IC为4.5m，请根据上面的信息，计算出树项到地面的距离DL的长度．
19．20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．
20．已知：如图，四边形是菱形，点、分别在边、上，联结、交对角线于、两点，且．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
1．（2020·贵港中考）如图，在中，点在边上，若，，且，则线段的长为（
）
A．2
B．
C．3
D．
2．（2020·毕节中考）已知，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·永州中考）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（
）
A．
B．25
C．35
D．63
4．（2020·哈尔滨中考）如图，在中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作，交AD于点F，过点E作，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·泸州中考）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·荆门中考）在平面直角坐标系中，的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为，将沿直线翻折，得到，过作垂直于交y轴于点C，则点C的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·威海中考）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2020·益阳中考）如图，在矩形中，是上的一点，是等边三角形，交于点，则下列结论不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·广西中考）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·眉山中考）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（
　
）
A．个
B．个
C．个
D．个
11．（2020·昆明中考）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
12．（2020·湘潭中考）若，则________．
13．（2020·娄底中考）若，则________．
14．（2020·锦州中考）如图，在中，D是中点，，若的周长为6，则的周长为______．
15．（2020·阜新中考）如图，把沿边平移到的位置，图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5，若，则此三角形移动的距离是____________．
16．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②2S△BFG＝5S△FGH；③△DEF∽△ABG；④4CE＝5ED．其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）
17．（2020·无锡中考）如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．
（1）求证：；
（2）求的周长．
18．（2020·荆州中考）如图矩形ABCD中，AB=20，点E是BC上一点，将沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上的点G处，点F在DG上，将沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时．
（1）求证：
（2）求AD的长；
（3）求的值．
19．（2020·南京中考）如图，在和中，D、分别是AB、上一点，．
（1）当时，求证：
证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格　
（2）当时，判断与是否相似，并说明理由
20．（2020·武汉中考）问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．
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精品试卷·第
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