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课题：6.3
平面向量基本定理及坐标表示（第二课时）
学习目标：
通过具体实例，会把向量正交分解,会用坐标表示向量，会运用坐标进行向量的线性运算，培养学生观察分析问题的能力，数形结合的思想
重点难点：平面向量的坐标表示及坐标运算
新课学习：
我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？能不能象点一样也用坐标来表示？
1、正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2、向量的坐标表示：
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向
量分别为、，取{，}作为基底。对于平面内的一个向量，由平
面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得＝x＋y
这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，我们把有序数对
（x，y）叫做向量的坐标，记作＝(x，y)①，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①式叫做向量的坐标表示.
显然，＝__________，＝__________，＝__________
在直角坐标平面内，以原点为起点作，则点的位置
由唯一确定.
设，则向量的坐标就是终点的坐标；
反过来，终点的坐标也就是向量的坐标.因为，所以终点的坐标也就是向量的坐标.这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
3、平面向量加、减、数乘运算的坐标表示
若，，
（1）＝____________________，＝____________________，
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的___________
（2）若，，则①（
）
，＝（
）
②A，B两点的中点坐标为M（
）
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_________________________________________
（3）若和实数，则＝__________
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的__________.
（4）若，
则_____________
典型例题：
例1、如图，分别用基底{，}表示向量，，，，并求出它们的坐标。
例2、已知＝(2，1)，
＝(－3，4)，求＋，－的坐标
例3、如图，已知□ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（－2，1）.（－1，3），（3，4），求顶点D的坐标.
针对练习：
1、在下列各小题中，已知向量，的坐标，分别求，的坐标：
（1）=（－2，4），=（5，2）；
（2）=（4，3），=（－3，8）；
（3）=（2，3），=（－2，－3）；
（4）=（3，0），=（0，4）.
2、在下列各小题中，已知A，B两点的坐标，分别求，的坐标：
（1）A（3，5），B（6，9）；
（2）A（－3，4），B（6，3）；
（3）A（0，3），B（0，5）；
（4）A（3，0），B（8，0）.
3、若点A（0，1），B（1，0），C（1，2），D（2，1），则AB与CD有什么位置关系？证明你的猜想.
4、已知=（3，2），=（0，－1），求－2+4，4+3的坐标.
5、求线段AB的中点坐标：
（1）A（2，1），B（4，3）；
（2）A（－1，2），B（3，6）；
（3）A（5，－4），B（3，－6）.
6、已知作用在坐标原点的三个力分别为=（3，4），=（2，－5），=（3，1），求作用在原点的合力++的坐标.
7、下列各题中，已知向量的坐标，以及表示的有向线段的起点A的坐标，求终点B的坐标：
（1）=（－2，1），A（0，0）；
（2）=（1，3），A（－1，5）；
（3）=（－2，－5），A（3，7）.
8、已知□ABCD的顶点A（－1，－2），B（3，－1），C（5，6），求顶点D的坐标.
9、已知点O（0，0），A（1，2），B（－1，3），且，，求点A'，B'及向量
的坐标.
课后作业：
1、＋＝（2，－8），－＝（－8,10），则＝________________
＝___________
2、＝（4，6）且＝2，则＝___________
3、（3，4），A（－2，－1）则B点坐标为___________________
4、已知A（－1,－2），B（2,3），C（－2,0），D（且，则_____________
5、A（1,2），B（3,2），＝（与相等，则_____，y=__________
6、已知A（x，2），B（5，y－2)，若＝（4，6），则x、y分别为
7、已知M（3，－2），N（－5，－1），＝，则P点的坐标
8、若＝（1，2），＋＝(4，－10），则＝_______________
9、已知平行四边形ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x=
10、已知，，，且，，求点，的坐标及向量的坐标；
001
002课题：6.3
平面向量基本定理及坐标表示（第一课时）
学习目标：
通过具体实例，能推导出平面向量基本定理，能利用两个不共线的向量表示平面图形中的
任意一个向量，培养学生观察分析问题的能力，数形结合的思想
重点难点：平面向量基本定理
新课学习：
设、是同一平面内的两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量，则与、之间有什么关系呢？
平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个
向量，那么对于这一平面内的任一向量，
一对实数、，使
.若、不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个_________
说明：（1）基底不惟一，关键是不共线；
（2）由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；
（3）基底给定时，分解形式唯一
典型例题：
例1、如图，，不共线，且（t∈R），用，表示。
例2、如图，CD是△ABC的中线，CD=AB，用向量方法证明△ABC是直角三角形。
针对练习：
1、如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，=，=.用，表示，，，
2、如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，=，=，点E，F分别是OA，OC的中点，G是CD的三等分点（DG=CD）.
（1）用，表示，，；
（2）能由（1）得出DE，BF的关系吗？
3、如图，在△ABC中，AD=AB，点E，F分别是AC，BC的中点.设=，=.
（1）用，表示，。
（2）如果∠A=60°，AB=2AC，CD，EF有什么关系？用向量方法证明你的结论.
4、如图，在△ABC中，AD=AB，点E是CD的中点.设=，=，用，表示，.
5、如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点（AF=AD，BG=BC）.设=，=，
（1）用，表示，.
（2）如果，EF，EG有什么位置关系？
用向量方法证明你的结论.
课后作业：
1、设、是同一平面内的两个向量，则有(
)
A.
、一定平行
B.
、的模相等
C.同一平面内的任一向量都有
(λ、μ∈R)
D.若、不共线，则同一平面内的任一向量都有(λ、u∈R)
2、已知矢量，，其中、不共线，则与的关系（
）
A.不共线
B.共线
C.相等
D.无法确定
3、已知向量、不共线，实数x、y满足(3x-4y)+(2x-3y)=，则x－y的值等于(
)
A.3
B.-3
C.0
D.2
4、在等边三角形中，求：与,与,与的夹角分别是多少？
5、已知G为的重心，设=，=，试用，表示
003
004课题：6.3
平面向量基本定理及坐标表示（第四课时）
学习目标：
通过具体实例，学会平面向量数量积的坐标表示、平面内两点间的距离公式、向量垂直的坐标表示、平面两向量的夹角的坐标表示，培养学生观察分析问题的能力，数形结合的思想
重点难点：平面向量数量积的坐标表示
新课学习：
引入：已知＝，＝（其中、的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量），求：·
1、平面向量的数量积的坐标表示：
已知两个非零向量，，
·＝____________________________
即：两个向量的数量积等于它们对应坐标_____________________
2、平面内两点间的距离公式：
（1），则＝_____________________或＝___________________________
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点坐标分别为，，那么：
＝_______________________，=___________________
3、两向量垂直的坐标表示：
已知两个非零向量，，
则_______________________________________________
4、两平面向量夹角的坐标表示：
设两个非零向量，，是与的夹角，则
cos＝___________________________＝_____________________________
5、归纳总结：
已知两个非零向量，，且，
（1）·＝_________________________＝________________________
（2）//_________________________
________________________
（3）_________________________________________________
典型例题：
例1、若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是什么形状？证明你的猜想.
例2、设=（5，－7），=（－6，－4），求·及与的夹角的余弦值.
针对练习：
1、已知＝（－3，4），＝（5，2），求，||，·
2、已知＝（3，2），＝（5，－7），求与的夹角的余弦值
3、已知＝（2，3），＝（－2，4），＝（－1，－2），求·，(+)·
(－)，
·
(＋)，(＋)
4、已知=3，=（1，2），且/，求的坐标.
5、已知=（4，2），求与垂直的单位向量的坐标。
6、求证：以A（1，0），B（5，－2），C（8，4），D（4，6）为顶点的四边形是一个矩形。
课后作业：
1、＝（3，－1），＝（1,－2），求，，·，与的夹角，
2、已知平面向量=（3，1），＝（x，－3），且，则x等于__________
3、已知A（1，2），B（2，3）C（－2，5），试判断的形状，并给出证明。
4、猜想以A，B，C为顶点的三角形的形状，然后给出证明：
（1）A（－1，－4），B（5，2），C（3，4）；
（2）A（－2，－3），B（19，4），C（－1，－6）；
（3）A（2，5），B（5，2），C（10，7）.
001
002课题：6.3
平面向量基本定理及坐标表示（第三课时）
学习目标：
通过具体实例，学会运用坐标判断向量是否共线，会运用坐标进行向量的线性运算，培养学生观察分析问题的能力，数形结合的思想
重点难点：运用坐标判断向量是否共线
新课学面向量共线（平行）的坐标表示:
设＝，＝，其中
∥
(≠)______________________________________________
典型例题：
例1、已知＝(4，2)，＝(6，y)，且∥，求y
例2、已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断A，B，C三点之间的位置关系
例3、设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是、
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
针对练习：
1、当x为何值时，＝（2，3）与＝（x，－6）共线？
2、若点A（－2，－3），B（2，2），C（－1，3），D（－7，－4.5），则与是否共线？
3、已知点O（0，0），向量=（2，3），=（6，－3），点P是线段AB的三等分点，
求点P的坐标。
4、已知点A（1，1），B（－1，5）且，，，求点C，D，E的坐标。
5、你认为下列各组点具有什么样的位置关系？
（1）A（1，2），B（－3，－4），C（2，3.5）；
（2）P（－1，2），Q（0.5，0），R（5，－6）；
（3）E（9，1），F（1，－3），G（8，0.5）.
6、已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），.当t=1，，－2，2时，分别求点P的坐标.
7、已知A（2，3），B（4，－3），点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标
课后作业：
1、已知＝（－1，3），＝（x，1），且∥，则x等于
2、若向量＝（－1，x)，＝(－x，2）共线且方向相同，则x＝
.
3、已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（10，k）若A、B、C三点共线，则k＝
.
4、已知=(1，2)，=(x，1)，若+2与2－平行，则x的值为__________________
5、下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的是
①1＝(－1，2)，2＝(5，7)；②1＝(3，5)，2＝(6，10)；③1＝(2，－3)，2＝(，－)
6、若＝(2，3)，＝(4，－1+y)，且∥，则y＝（
）
A.6
B.5
C.7
D.8
7、若A(x，－1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（
）
A.－3
B.－1
C.1
D.3
8、若＝＋2，
＝(3－x)
＋(4－y)
，
(其中、的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).
与共线，则x、y的值可能分别为（
）
A.1，2
B.2，2
C.3，2
D.2，4
9、已知A（2，3），B（－1，5），满足＝，＝－3，求C、D点坐标.
10、设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(2，3)、(4，－3.)
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
（3）当点P在线段的延长线上，且=，求P点坐标。
003
004

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