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第六章
统计与概率
第2节
频率与概率
■考点1
概率及公式?
1．概率定义：表示一个事件发生的可能性大小的数．
概率公式P(A)＝(m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
2．用频率可以估计概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝.
3．事件的类型及其概率
事件类型
概率
确定性事件
1或0
必然事件
1
不可能事件
0
不确定性事件(随机事件)
0■考点2
随机事件概率的计算?
4．随机事件概率的计算方法
（1）一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；
（2）两步完成：列表法、画树状图法；
（3）两步以上：画树状图法
■考点3
几何概率的计算?
几何概率的计算方法求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率.
考点4
利用频率估计概率?
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
■考点1：概率及公式?
◇典例：一个封闭的箱子里装有只白色小球，只黑色小球，每只小球除颜色外均相同，从中任意拿出一只小球，则拿出小球为黑色的概率是_______．
【答案】
【解析】结合题意，根据列举法性质求概率，即可得到答案．
解：从中任意拿出一只小球，共5种情况，其中小球是黑色的情况为2种，
∴拿出小球为黑色的概率是
故答案为：．
◆变式训练
1．如图随机闭合开关中的两个，能让灯泡至少一盏发光的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依据题意先用列举法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
解：由题意可得：
开关
K1K2
K1K3
K2K3
结果
L2亮
L1L2均亮
L1L2均不亮
共有3种等可能结果，其中能让灯泡至少一盏发光的有2种，
∴随机闭合开关中的两个，能让灯泡至少一盏发光的概率为，
故选：D：
2．如图，4×2的正方形网格中，在，，，四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（
）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先列举所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，继而根据概率公式解题．
解：在A、B、C、D中四点任选三个点，有如下四种情况：ABC、ABD、ACD、BCD，
其中能够组成等腰三角形的有ACD、BCD两种情况，
故能够组成等腰三角形的概率为：，
故选：C．
■考点2：随机事件概率的计算?
◇典例：小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好进入同一社区的结果数，然后根据概率公式求解即可．
解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，
则两人恰好进入同一社区的概率=．
故选：B．
◆变式训练
1．从2名男生和2名女生中随机抽取上海迪斯尼乐园志愿者．
（1）抽取1名，恰好是男生的概率是　
　；
（2）抽取2名，用列表法或画树状图法求恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）；（2）图表见解析，P=
【解析】（1）根据题意，抽取1名志愿者总共有4种可能，男生有2人，利用概率公式即可求解抽取1名恰好是男生的概率；
（2）根据题意列表，可分别得到总共有多少种等可能的结果与符合条件的结果，根据概率公式即可求解．
解：（1）抽取1名，恰好是男生的概率为：，
（2）列表得：
由表格可知：总共有12种等可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的结果有8种结果，所以抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率为：．
2．为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾．小明、小亮各自投放了一袋垃圾．
（1）小明投放的垃圾恰好是C类的概率是　
　；
（2）求小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是类的概率；
（2）首先利用树状图法得出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
解：（1）∵垃圾要按，，，四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，
∴小明投放的垃圾恰好是类的概率为：，
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：
由图可知，共有16种可能结果，其中小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的结果有4种，
∴小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率为．
■考点3：几何概率的计算?
◇典例：如图，是由半圆和长方形拼成一个转盘，其中点O是半圆的圆心，半圆的直径与长方形的宽相等，直径和过点O的长方形长边的平行线，把转盘分成4个部分若任意转动指针，指针停止的位置是等可能的，则指针指向阴影部分的概率是（
）
A．
B．
C．
D．因长方形的长没有告知，所以概率不确定
【答案】A
【解析】确定指针在阴影部分转过的角度在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率．
解：转动转盘指针转过的角度为360，指针在阴影部分转过的角度为90，
转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是：．
故选：A．
◆变式训练
1．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤⑥中的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成轴对称图形的概率是_____．
【答案】．
【解析】直接利用轴对称图形的性质结合概率公式得出答案．
解：只有将②③④中的一个小正方形涂黑，图中的阴影部分才构成轴对称图形，
故图中的阴影部分构成轴对称图形的概率为：．
故答案为：．
2．如图，正方形是一飞镖游戏板，其中点，，，分别是各边中点，并将该游戏板划分成如图中所示的9个区域，现随机向正方形内投掷一枚飞镖（投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次），则投中阴影区域的概率是______．
【答案】
【解析】用阴影部分的面积除以正方形ABCD的面积得到概率．
解：阴影部分组合起来的面积就等于三角形ABF的面积，
设正方形ABCD的边长是，则，
∵F是BC中点，
∴，
∴，
概率是．
故答案是：．
考点4：利用频率估计概率?
◇典例：某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验可能是（
）
A．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上
B．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于3
C．小聪和小明玩剪刀、石头、布的游戏，小聪获胜
D．一个班级中（班级人数为50人）有两人生日相同
【答案】C
【解析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
解：A、先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的概率为，不符合题意；
B、先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于3的概率为，不符合题意；
C、小聪和小明玩剪刀、石头、布的游戏，小聪获胜的概率为，符合题意；
D、一个班级中（班级人数为50人）有两人生日相同的概率为，不符合题意；
故选：C．
◆变式训练
1．在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有________．
【答案】13
【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
解：设袋中有黑球x个，
由题意得：=0.2，
解得：x=13，
经检验x=13是原方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有13个．
故答案为：13．
2．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用，如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为3cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的頻率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为________．
【答案】5.4
【解析】先求出正方形二维码的面积，再根据点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，然后进行计算即可得出答案．
解：∵正方形二维码的边长为3cm，
∴正方形二维码的面积为9cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积约为：9×0.6＝5.4；
故答案为：5.4．
1．黑色不透明袋子里有3个红球和两个白球．这些球除颜色有区别外，其他特征相同．随机从袋子中取出两个球的颜色相同的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意列出表格，即可求出取出两个球的颜色相同的概率．
解：设3个红球为A，B，C，两个白球为D，E，
根据题意列出表格：
根据表格可知：
所有等可能的结果共有20种，
取出两个球的颜色相同的有8种，
所以取出两个球的颜色相同的概率是．
故选：C．
2．抛掷两枚均匀的硬币，当抛掷次数很多以后，两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在（
）
A．25%
B．50%
C．75%
D．33.3%
【答案】B
【解析】先计算出两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的概率，从而得到频率值的估计值．
解：抛掷两枚均匀的硬币，
可能出现：两个正面朝上、两个反面朝上、一个正面朝上一个反面朝上、一个反面朝上一个正面朝上共4种情况，
∴出现一个正面朝上一个反面朝上的概率为=50%，
即出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在50%，
故选B．
3．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从G出口落出的概率是（　　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解．
解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以小球从E出口落出的概率是：；
故选：C．
4．在如图所示的网格中由四个相同的小正方形组成，网格图中有9个网格点，点M，N都在网格的格点上，在剩余的格点中任取一点P，使为等腰三角形的概率是（　　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】找到可以组成等腰三角形的点，根据概率公式解答即可．
解：如图所示：所标位置都是符合题意的位置，
故使△MNP为等腰三角形的概率是，
故选：B．
5．计算机的“扫雷”游戏是在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．若游戏时先踩中一个小方格，显示数字3，它表示与这个方格相邻的8个小方格中埋藏着3颗地雷．如图，是小明某次游戏时随机点开一个方块所显示的数字，小明接下来在数字“2”的周围随机点开一个方块，没有踩中地雷的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据概率公式直接求解即可．
解：∵8个位置有2颗地雷，则没有地雷的有6颗，
∴没有踩中地雷的概率为；
故选择：D．
6．甲、乙两人做“锤子、剪刀、布”的游戏，游戏规则是：剪刀胜布，布胜锤子，锤子胜剪刀，若两人一样，则算打平．若游戏只进行一局，那么两人打平的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】列举出所有情况，看两人打平的情况数占所有情况数的多少即可．
解：如图，
共有9种情况，打平的情况数有3种，所以概率为．
故选：C．
7．由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说法正确的是（
）
A．两个转盘转出蓝色的概率一样大
B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C．游戏者配成紫色的概率为
D．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同
【答案】C
【解析】根据古典概率模型的定义和列树状图求概率分别对每个选项逐一判断可得．
解：A、A盘转出蓝色的概率为、B盘转出蓝色的概率为，此选项错误；
B、如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误；
C、画树状图如下：
由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种，
所以游戏者配成紫色的概率为，
D、由于A、B两个转盘是相互独立的，先转动A
转盘再转动B
转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误；
故选：C．
8．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上的频数
53
98
156
202
249
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（
）
A．200
B．300
C．400
D．500
【答案】D
【解析】随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
解：观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，
所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近1000×0.5=500次，
故选：D．
9．用直角边长分别为2、1的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成了如图所示的大正方形飞镖游戏板．某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分别计算出大正方形和小正方形的面积，再利用概率公式计算即可
解：大正方形的面积为：，
阴影部分的小正方形的面积为：，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故选：C．
10．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区城，并分别标有数字5，6，7，8.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区城的数字(当指针恰好指在分界线上时重转)，记录第一次转到的数当成一个两位数的个位，第二次转到的数字记为十位，则记录的数字是偶数的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与记录的数字是偶数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案．
解：画树状图得：
∵共有16个等可能的结果，记录的数字是偶数的结果有8个，
∴记录的数字是偶数的概率为；
故选：D．
11．在一个装满红球的口袋里，摸出一个球是白球，这个事件属于_____________．（填“必然事件”或“随机事件”或“不可能事件”）
【答案】不可能事件
【解析】根据事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，进行判断即可．
解：在一个装满红球的口袋里，由于没有白球，
∴摸出一个球是白球这个事件是不可能事件，
故答案为：不可能事件．
12．华维西桥十字路口南北方向的红绿灯设置为：红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒，小华由南向北经过路口遇到红灯的概率为__________．
【答案】
【解析】由红灯的时间为30秒，绿灯的时间为60秒，黄灯的时间为3秒，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解：∵该路口红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒，
∴小华由南往北开车经过该路口时遇到红灯的概率是，
故答案为：．
13．如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是_________．
【答案】
【解析】根据正方形表面展开图的结构即可求出判断出构成这个正方体的表面展开图的概率．
解：∵空白部分的小正方形共有7个，
其中在最下面一行中取任意一个涂上阴影均能构成这个正方体的表面展开图，
最下面一行共有4个空格，
∴任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是．
故答案为：．
14．某公司生产的4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．若在这4件产品中加入件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则的值是______．
【答案】16
【解析】根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值．
解：∵通过大量重复试验后发现抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴＝0.95，
解得x＝16，
经检验：x＝16是所列方程的根，
故答案为：16．
15．为了防控新型冠状病毒感染，我区要从3名男士和2名女士中随机抽取2人做宣传活动，抽取的恰好是一名男士和一名女士的概率为______．
【答案】
【解析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出抽取的学生恰好是一名男士和一名女士的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中抽取的学生恰好是一名男士和一名女士的结果数为12，
所以抽取的恰好是一名男士和一名女士的概率为，
故答案为：．
16．在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴围成一个．现将背面完全相同，正面分别标有数1，2，3，，的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点的横坐标，将该数的倒数作为点的纵坐标，则点落在内的概率为______．
【答案】
【解析】此题可以利用列举的方法代入函数关系式或者在图中表示出来即可求概率．
解：由题意得，所得点有5个分别为，，，，，在坐标轴中画上直线与两坐标轴围成的在平面直角坐标系中描出以上5个点，如下图所示，可发现在内的点为，，，
∴落在内的概率为．
17．如图，⊙O的内接四边形ABCD的一个外角∠DAE＝45°，连结OB，OD，若将一骰子（看着一个点）投到⊙O中，则骰子落在阴影部分的概率为_______．
【答案】
【解析】首先求出阴影部分面积，利用阴影部分面积除以总面积，进而求出投到阴影部分的概率即可．
解：的内接四边形的一个外角，
，
，
设的半径为，
，
骰子落在阴影部分的概率为，
故答案为：．
18．有三张正面分别标有数字0，1，的卡片，它们除了数字不同外其众全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后在从中随机抽出一张记下数字．
（1）请用列表或画树状图的方法，表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；
（2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点落在抛物线上的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）根据题意画出树状图即可得；
（2）结合树状图，利用概率公式计算即可．
解：（1）画树状图如下：
（2）在所有9种等可能结果中，落在抛物线y＝x2+2x-3上的有（0，-3）、（1，0）、（-3，0）这3种结果，
∴点（x，y）落在抛物线y＝x2+2x-3上的概率为．
19．在“五?一”劳动节期间，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成20份），并规定：顾客每购物满200元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准标有数字的区域（未标数字的视为0），则顾客就可以分别获得该区域相应数字的返金券，凭返金券可以在该商场继续购物．若顾客不愿意转转盘，则每购物满200元可享受九五折优惠．
（1）写出转动一次转盘获得返金券的概率；
（2）转转盘和直接享受九五折优惠，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由．
【答案】（1）；（2）选择转转盘比较合算．
【解析】1）由共有20种可能的结果，获得返金券的有9种情况，直接利用概率公式求解即可；（2）首先根据题意可得转转盘：50×+30×+20×=12（元），直接享受九五折优惠：200×（1-95%）=10（元），比较即可求得答案．
解：（1）∵共有20种可能的结果，获得返金券的有9种情况，
∴转动一次转盘获得返金券的概率为：；
（2）转盘合算．
理由：∵转转盘：50×+30×+20×=12（元），
直接享受九五折优惠：200×（1﹣95%）=10（元），
∴选择转转盘比较合算．
20．五行是中华民族创造的哲学思想之一，古代先民认为，天下万物皆由五种元素组成，分别是金、木、水、火、土．金代表坚固的物质，木代表生长的物质，水代表流动的物质，火代表可以散发热能的物质，土代表自然本身．五种元素中，木和火在土的上面，水和金在土的下面，所以木、火属阳性；金、水属阴性；土是中性，既不属阳性也不属阴性．五行是指金、木、水、火、土五种元素的运动变化，这五种元素彼此之间存在相生相克的运行关系，如图1所示，顺着外围循环来，五行便会互相生发，即金生水、水生木，木生火、火生土、土生金；顺着内部循环来，五行便会互相克制，即土克水、金克木、水克火、木克土，火克金．古人用五行这种相生相克的关系，来阐释一切事物之间的相互联系．
课余时间，小明和小红合作设计了如图2的五行卡片：张背面完全相同的卡片，正面分别写有文字“金、木、水、火、土”．完成设计后，他俩一共制作了两副该五行卡片，每人各拿一副，然后按照五行运行关系进行游戏，请帮他们完成下列问题：
（1）小明和小红将各自的卡片拿出放到一起，然后将这10张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面文字代表的元素属阳性的概率为_________________；
（2）小明和小红共同约定游戏规则:两人只拿一副卡片，将这张卡片背面朝上洗匀后，一人从中随机抽取张不放回，另一人从剩下的卡片中随机抽取张，若抽取的两张卡片正面文字代表的元素相生，则小明获胜，否则小红获胜，请用列表或画树状图的方法判断这个游戏规则是否公平．
【答案】（1）；（2）游戏规则公平．
【解析】（1）直接利用简单事件的概率公式即可得；
（2）先列出表格，再找出抽取的两张卡片的所有可能结果，然后找出两张卡片正面文字代表的元素相生的结果，最后利用概率公式可得出小明获胜的概率，由此即可得出答案．
解：（1）从这10张卡片中随机抽取一张共有10中等可能的结果，其中，其正面文字代表的元素属阳性的结果有4种，
则所求的概率为，
故答案为：；
（2）由题意，列表如下：
小明
小红
金
木
水
火
土
金
克
生
克
生
木
克
生
生
克
水
生
生
克
克
火
克
生
克
生
土
生
克
克
生
由表可知，总共有种等可能结果，其中，相生的有种结果，相克的有种结果，
则小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，
因为，
所以游戏规则公平．
1．（2020·北京中考）不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可．
解：画树状图如下：
所以共4种情况：其中满足题意的有两种，
所以两次记录的数字之和为3的概率是
故选C．
2．（2020·襄阳中考）下列说法正确的是（
）
A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B．“汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件
C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着襄阳明天一定下雨
D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定
【答案】D
【解析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质逐一分析即可．
解：A.
“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故不符合题意；
B.
“汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故不符合题意；
C.
襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，但是襄阳明天只是有可能下雨，故不符合题意；
D.
若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，该说法正确，故符合题意；
故选：D．
3．（2020·盘锦中考）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．
身高
人数
60
260
550
130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（
）
A．0.32
B．0.55
C．0.68
D．0.87
【答案】C
【解析】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
解：样本中身高不低于170cm的频率，
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．
故选：C．
4．（2020·湘潭中考）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：、“北斗卫星”：、“时代”；、“智轨快运系统”；、“东风快递”；、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“时代”的频率是（
）
A．0.25
B．0.3
C．25
D．30
【答案】B
【解析】先计算出八年级（3）班的全体人数，然后用选择“5G时代”的人数除以八年级（3）班的全体人数即可．
解：由图知，八年级（3）班的全体人数为：（人）
选择“5G时代”的人数为：30人
∴选择“时代”的频率是：
故选：B．
5．（2020·泰州中考）如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（
）
A．只闭合个开关
B．只闭合个开关
C．只闭合个开关
D．闭合个开关
【答案】B
【解析】观察电路发现，闭合或闭合或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案．
解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路，
只闭合个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意；
闭合个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意；
只闭合个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意；
只闭合个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意．
故选B．
6．（2020·绵阳中考）将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有一个篮子为空的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
解：三个不同的篮子分别用A、B、C表示，根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种，
则恰有一个篮子为空的概率为．
故选：A．
7．（2020·呼和浩特中考）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是（
）
A．0.75
B．0.625
C．0.5
D．0.25
【答案】A
【解析】根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，可得两个元件同时不正常工作的概率为0.25，进而由概率的意义可得一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率．
解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，
即某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，
则两个元件同时不正常工作的概率为0.25；
故在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为=0.75，
故选A.
8．（2020·山西中考）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】连接菱形对角线，设大矩形的长=2a，大矩形的宽=2b，可得大矩形的面积，根据题意可得菱形的对角线长，从而求出菱形的面积，根据“顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形”，可得小矩形的长，宽分别是菱形对角线的一半，可求出小矩形的面积，根据阴影部分的面积=菱形的面积-小矩形的面积可求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大矩形面积之比即可得到飞镖落在阴影区域的概率．
解：如图，连接EG，FH，
设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
则FH=AD=2a，EG=AB=2b，
∵四边形EFGH是菱形，
∴S菱形EFGH===2ab，
∵M，O，P，N点分别是各边的中点，
∴OP=MN=FH=a，MO=NP=EG=b，
∵四边形MOPN是矩形，
∴S矩形MOPN=OPMO=ab，
∴S阴影=
S菱形EFGH-S矩形MOPN=2ab-ab=ab，
∵S矩形ABCD=ABBC=2a2b=4ab，
∴飞镖落在阴影区域的概率是，
故选B．
9．（2020·宁夏中考）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；
2、6、7；4、6、7；
其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况，
所以能构成三角形的概率是，
故选：B．
10．（2020·广西中考）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
∴它有6种路径，
∵获得食物的有2种路径，
∴获得食物的概率是：，
故选：C．
11．（2020·邵阳中考）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
解：假设不规则图案面积为x，
由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：
，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，解得．
故选：B．
12．（2020·鞍山中考）在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为_________．
【答案】24
【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
解：∵共试验100次，其中有20次摸到红球，
∴白球所占的比例为：，
设袋子中共有白球x个，则，
解得：x=24，
经检验：x=24是原方程的解，
故答案为：24．
13．（2020·浙江中考）在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ．两次摸球的所有可能的结果如表所示，
第二次
第一次
白
红Ⅰ
红Ⅱ
白
白，白
白，红Ⅰ
白，红Ⅱ
红Ⅰ
红Ⅰ，白
红Ⅰ，红Ⅰ
红Ⅰ，红Ⅱ
红Ⅱ
红Ⅱ，白
红Ⅱ，红Ⅰ
红Ⅱ，红Ⅱ
则两次摸出的球都是红球的概率是_____．
【答案】
【解析】由图表求得所有等可能的结果及两次都摸到红球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解：根据图表给可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有4种，
则两次摸出的球都是红球的概率为；
故答案为：．
14．（2020·荆州中考）若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是___________．
【答案】
【解析】画树状图得出所有的结果有3种，再找出最后一只摘到B的结果数为2，由概率公式即可得出答案．
解：依题意，画树状图如图：
共有3个等可能的结果，最后一只摘到B的结果有2个，
∴最后一只摘到B的概率为；
故答案为：．
15．（2020·襄阳中考）《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为或），如正北方向的卦为．从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为______．
【答案】
【解析】利用概率公式即可求解．
解：
观察图形可得，一共有8种情况，恰有2根和1根的的情况有3种，
所以P=，
故答案为：．
16．（2020·新疆中考）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为_____．(精确到0.1)
【答案】0.9
【解析】利用表格中的数据求出多批次成活率的平均数即可估算这种苹果树移植成活率的概率．
解：根据表格数据可知：
苹果树苗移植成活率的平均数：
所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为0.9．
故答案为：0.9．
17．（2020·阿坝州中考）在单词（数学）中任意选择-一个字母，选中字母“”的概率为______．
【答案】
【解析】由题意可知总共有11个字母，求出字母的个数，利用概率公式进行求解即可．
解：共有个字母，其中有个，
所以选中字母“”的概率为.
故答案为：.
18．（2020·益阳中考）时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了“弹珠”。小朋友甲的口袋中有粒弹珠，其中粒红色，粒绿色，他随机拿出颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是__________．
【答案】．
【解析】直接利用概率公式求解即可．
解：∵口袋中有6个小球，分别为2个红球和4个绿球，
∴随机取出一个小球，取出的小球的颜色是红色的概率为，
故答案为：．
19．（2020·吉林中考）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物，如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片，，，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有卡片的概率．
【答案】两张卡片中含有A的概率为，详解见解析．
【解析】分别使用树状图法或列表法将小吉同学抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出含有A卡片的抽取结果，即可算出概率．
解：解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：
由树状图可以看出，所有等可能出现的概率一共有9种，而两张卡片中含有A卡片的结果有5种，所以P（小吉抽到两张卡片中有A卡片）=．
解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：
结果为：（第一次抽取情况，第二次抽取情况）
由表可以看出，所有等可能出现的概率一共有9种，而两张卡片中含有A卡片的结果有5种，所以P（小吉抽到两张卡片中有A卡片）=．
20．共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自已感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　
　；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
解：（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=．
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精品试卷·第
2
页
（共
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加
分
宝
·
一
轮
复
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件
精
耕
细
作
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一
针
见
血
。
研
究
教
育
根
本
，
解
决
根
本
问
题
。
第2节
频率与概率
考
点
梳
理
考
点
突
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基
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co
联合些品第六章
统计与概率
第2节
频率与概率
■考点1
概率及公式?
1．概率定义：表示一个事件发生的可能性大小的数．
概率公式P(A)＝________(m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
2．用频率可以估计概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的________会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝.
3．事件的类型及其概率
事件类型
概率
确定性事件
1或0
必然事件
________
不可能事件
0
不确定性事件(随机事件)
________■考点2
随机事件概率的计算?
4．随机事件概率的计算方法
（1）一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；
（2）两步完成：列表法、画树状图法；
（3）两步以上：画树状图法
■考点3
几何概率的计算?
几何概率的计算方法求出阴影区域面积与________之比即为该事件发生的概率.
考点4
利用频率估计概率?
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
■考点1：概率及公式?
◇典例：一个封闭的箱子里装有只白色小球，只黑色小球，每只小球除颜色外均相同，从中任意拿出一只小球，则拿出小球为黑色的概率是_______．
◆变式训练
1．如图随机闭合开关中的两个，能让灯泡至少一盏发光的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，4×2的正方形网格中，在，，，四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（
）
A．0
B．
C．
D．
■考点2：随机事件概率的计算?
◇典例：小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
◆变式训练
1．从2名男生和2名女生中随机抽取上海迪斯尼乐园志愿者．
（1）抽取1名，恰好是男生的概率是　
　；
（2）抽取2名，用列表法或画树状图法求恰好是1名男生和1名女生的概率．
2．为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾．小明、小亮各自投放了一袋垃圾．
（1）小明投放的垃圾恰好是C类的概率是　
　；
（2）求小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率．
■考点3：几何概率的计算?
◇典例：如图，是由半圆和长方形拼成一个转盘，其中点O是半圆的圆心，半圆的直径与长方形的宽相等，直径和过点O的长方形长边的平行线，把转盘分成4个部分若任意转动指针，指针停止的位置是等可能的，则指针指向阴影部分的概率是（
）
A．
B．
C．
D．因长方形的长没有告知，所以概率不确定
◆变式训练
1．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤⑥中的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成轴对称图形的概率是_____．
2．如图，正方形是一飞镖游戏板，其中点，，，分别是各边中点，并将该游戏板划分成如图中所示的9个区域，现随机向正方形内投掷一枚飞镖（投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次），则投中阴影区域的概率是______．
考点4：利用频率估计概率?
◇典例：某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验可能是（
）
A．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上
B．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于3
C．小聪和小明玩剪刀、石头、布的游戏，小聪获胜
D．一个班级中（班级人数为50人）有两人生日相同
◆变式训练
1．在一个不透明的布袋中装有52个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.2左右，则布袋中黑球的个数可能有________．
2．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用，如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为3cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的頻率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为________．
1．黑色不透明袋子里有3个红球和两个白球．这些球除颜色有区别外，其他特征相同．随机从袋子中取出两个球的颜色相同的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
2．抛掷两枚均匀的硬币，当抛掷次数很多以后，两个硬币出现一个正面朝上一个反面朝上的频率值大约稳定在（
）
A．25%
B．50%
C．75%
D．33.3%
3．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从G出口落出的概率是（　　　）
A．
B．
C．
D．
4．在如图所示的网格中由四个相同的小正方形组成，网格图中有9个网格点，点M，N都在网格的格点上，在剩余的格点中任取一点P，使为等腰三角形的概率是（　　　）
A．
B．
C．
D．
5．计算机的“扫雷”游戏是在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着10颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷．若游戏时先踩中一个小方格，显示数字3，它表示与这个方格相邻的8个小方格中埋藏着3颗地雷．如图，是小明某次游戏时随机点开一个方块所显示的数字，小明接下来在数字“2”的周围随机点开一个方块，没有踩中地雷的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．甲、乙两人做“锤子、剪刀、布”的游戏，游戏规则是：剪刀胜布，布胜锤子，锤子胜剪刀，若两人一样，则算打平．若游戏只进行一局，那么两人打平的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
7．由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说法正确的是（
）
A．两个转盘转出蓝色的概率一样大
B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C．游戏者配成紫色的概率为
D．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同
8．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如下表
抛掷次数
100
200
300
400
500
正面朝上的频数
53
98
156
202
249
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（
）
A．200
B．300
C．400
D．500
9．用直角边长分别为2、1的四个直角三角形和一个小正方形（阴影部分）拼成了如图所示的大正方形飞镖游戏板．某人向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区城，并分别标有数字5，6，7，8.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区城的数字(当指针恰好指在分界线上时重转)，记录第一次转到的数当成一个两位数的个位，第二次转到的数字记为十位，则记录的数字是偶数的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
11．在一个装满红球的口袋里，摸出一个球是白球，这个事件属于_____________．（填“必然事件”或“随机事件”或“不可能事件”）
12．华维西桥十字路口南北方向的红绿灯设置为：红灯30秒，绿灯60秒，黄灯3秒，小华由南向北经过路口遇到红灯的概率为__________．
13．如图，共有12个大小相同的小正方形，其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分，现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影，能构成这个正方体的表面展开图的概率是_________．
14．某公司生产的4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．若在这4件产品中加入件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则的值是______．
15．为了防控新型冠状病毒感染，我区要从3名男士和2名女士中随机抽取2人做宣传活动，抽取的恰好是一名男士和一名女士的概率为______．
16．在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴围成一个．现将背面完全相同，正面分别标有数1，2，3，，的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点的横坐标，将该数的倒数作为点的纵坐标，则点落在内的概率为______．
17．如图，⊙O的内接四边形ABCD的一个外角∠DAE＝45°，连结OB，OD，若将一骰子（看着一个点）投到⊙O中，则骰子落在阴影部分的概率为_______．
18．有三张正面分别标有数字0，1，的卡片，它们除了数字不同外其众全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后在从中随机抽出一张记下数字．
（1）请用列表或画树状图的方法，表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；
（2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点落在抛物线上的概率．
19．在“五?一”劳动节期间，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成20份），并规定：顾客每购物满200元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准标有数字的区域（未标数字的视为0），则顾客就可以分别获得该区域相应数字的返金券，凭返金券可以在该商场继续购物．若顾客不愿意转转盘，则每购物满200元可享受九五折优惠．
（1）写出转动一次转盘获得返金券的概率；
（2）转转盘和直接享受九五折优惠，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由．
20．五行是中华民族创造的哲学思想之一，古代先民认为，天下万物皆由五种元素组成，分别是金、木、水、火、土．金代表坚固的物质，木代表生长的物质，水代表流动的物质，火代表可以散发热能的物质，土代表自然本身．五种元素中，木和火在土的上面，水和金在土的下面，所以木、火属阳性；金、水属阴性；土是中性，既不属阳性也不属阴性．五行是指金、木、水、火、土五种元素的运动变化，这五种元素彼此之间存在相生相克的运行关系，如图1所示，顺着外围循环来，五行便会互相生发，即金生水、水生木，木生火、火生土、土生金；顺着内部循环来，五行便会互相克制，即土克水、金克木、水克火、木克土，火克金．古人用五行这种相生相克的关系，来阐释一切事物之间的相互联系．
课余时间，小明和小红合作设计了如图2的五行卡片：张背面完全相同的卡片，正面分别写有文字“金、木、水、火、土”．完成设计后，他俩一共制作了两副该五行卡片，每人各拿一副，然后按照五行运行关系进行游戏，请帮他们完成下列问题：
（1）小明和小红将各自的卡片拿出放到一起，然后将这10张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面文字代表的元素属阳性的概率为_________________；
（2）小明和小红共同约定游戏规则:两人只拿一副卡片，将这张卡片背面朝上洗匀后，一人从中随机抽取张不放回，另一人从剩下的卡片中随机抽取张，若抽取的两张卡片正面文字代表的元素相生，则小明获胜，否则小红获胜，请用列表或画树状图的方法判断这个游戏规则是否公平．
1．（2020·北京中考）不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·襄阳中考）下列说法正确的是（
）
A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B．“汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件
C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着襄阳明天一定下雨
D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定
3．（2020·盘锦中考）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．
身高
人数
60
260
550
130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（
）
A．0.32
B．0.55
C．0.68
D．0.87
4．（2020·湘潭中考）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：、“北斗卫星”：、“时代”；、“智轨快运系统”；、“东风快递”；、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“时代”的频率是（
）
A．0.25
B．0.3
C．25
D．30
5．（2020·泰州中考）如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（
）
A．只闭合个开关
B．只闭合个开关
C．只闭合个开关
D．闭合个开关
6．（2020·绵阳中考）将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2020·呼和浩特中考）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是（
）
A．0.75
B．0.625
C．0.5
D．0.25
8．（2020·山西中考）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·宁夏中考）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·广西中考）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·邵阳中考）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·鞍山中考）在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为_________．
13．（2020·浙江中考）在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ．两次摸球的所有可能的结果如表所示，
第二次
第一次
白
红Ⅰ
红Ⅱ
白
白，白
白，红Ⅰ
白，红Ⅱ
红Ⅰ
红Ⅰ，白
红Ⅰ，红Ⅰ
红Ⅰ，红Ⅱ
红Ⅱ
红Ⅱ，白
红Ⅱ，红Ⅰ
红Ⅱ，红Ⅱ
则两次摸出的球都是红球的概率是_____．
14．（2020·荆州中考）若标有A，B，C的三只灯笼按图示悬挂，每次摘取一只（摘B先摘C），直到摘完，则最后一只摘到B的概率是___________．
15．（2020·襄阳中考）《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为或），如正北方向的卦为．从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为______．
16．（2020·新疆中考）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为_____．(精确到0.1)
17．（2020·阿坝州中考）在单词（数学）中任意选择-一个字母，选中字母“”的概率为______．
18．（2020·益阳中考）时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了“弹珠”。小朋友甲的口袋中有粒弹珠，其中粒红色，粒绿色，他随机拿出颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是__________．
19．（2020·吉林中考）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物，如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片，，，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有卡片的概率．
20．共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自已感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　
　；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
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精品试卷·第
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页
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