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2011年温州市初中数学学业考试典型试题分析、诊断
及应对措施
第9题．已知二次函数的图像如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ▲ ）
A、有最小值0，有最大值3 B、有最小值-1，有最大值0
C、有最小值-1，有最大值3 D、有最小值-1，无最大值
【试题分析】本题考查的是函数在所给自变量取值范围内的最值情况，学生要理解自变量取值对二次函数图像的影响，进而结合图像找到最高点和最低点，考查数形结合思想。正确答案选C .
【试题诊断】本题有17.50%的学生选A，2.90%的学生选B，18.80%的学生选D，说明近39.2%的学生没有掌握好，没能从图像上理解函数最值。
【改进措施】在教学中加强学生对函数图像的理解，培养数形结合意识。
第11题．因式分解： ▲ .
【试题分析】本题考查了用平方差公式因式分解。
【试题诊断】本题学生的错误解答有：；；；；；……
出现以上错误的原因可归纳为：①粗心大意；②没有理解因式分解的概念；③与用完全平方公式因式分解混淆。
【改进措施】根据以上诊断，教学中应加强对学生学习习惯的培养，加强对负迁移知识间的梳理，深刻理解因式分解的概念。
第15题．汛期来临前，滨海区决定实施“海堤加固”工程.某工程队承包了该项目，计划每天加固60米.在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风”袭击滨海区，于是工程队改变计划，每天加固的海堤长度是原计划的1.5倍，这样赶在“台风”来临前完成加固任务.设滨海区要加固的海堤长为a米，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了 ▲ 天（用含a的代数式表示）.
【试题分析】本题考查的是用整式的加减解决实际问题。本题文字稍长，需要学生有一定的阅读理解能力。根据题意列出代数式后还要熟练掌握整式的加减对代数式进行化简。题目较常规，能有效考查学生基础知识的掌握与应用。
【试题诊断】本题错解有：；；；；；；；；……
出现以上错解的主要原因有：①阅读理解能力不够，审题不清；②没掌握好字母与数一起参与运算时的正确写法；③列出代数式后没有化简。
【改进措施】加强必要的化简运算训练，实际问题的建模训练，促进学生解决问题能力的提升，培养学生良好的解题习惯。
第16题．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股
定理，创制了一副“弦图”，后人称其为
“赵爽弦图”（如图1）.图2由弦图变化
得到，它是用八个全等的直角三角形拼接
而成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，
正方形MNKT的面积分别为,,.
若,则的值是 ▲ .
【试题分析】本题用正方形“框”住“弦图”，给出合适的条件，使得图中三个正方形的面积变化存在一个美妙的关系——等差数列。此题背景清晰，构思独特，解题方法灵活，可以用代数方法设元再利用等式变形解题，也可以观察图形面积之间关系得出结果，还可以用特殊值法等。
【试题诊断】主要错解有：；；；；；3；……
主要错因有：①结果没化简；②从丰富的图形信息中难以找到解题的切入点。
【改进措施】学习数学重要的是领会数学思想，用数学的思想和方法去分析问题，解决问题。本题除了常规设元求解外，还能用整体法发现是,,的平均数，甚至还能将图形摆到特殊位置猜出答案。所以要加强学生分析和解决问题能力的培养，重视对数学思想方法的教学，提高学生的数学素养。
第17题．（1）计算：；
（2）化简：．
【试题分析】本题考查学生对数与式基本的运算能力，涉及的知识基础，方法常规。
【试题诊断】对于第（1）小题，常见错误有：
原式=；
原式=；
原式=；
原式=；
原式=；
原式=；……
对于第（2）小题，常见问题有：
原式=
误解有：误解（1）：原式=；
误解（2）：原式=；
误解（3）：原式=；
误解（4）：原式=；
误解（5）：原式=；
误解（6）：原式=；
误解（7）：原式= ∴；
误解（8）：原式=；
误解（9）：原式=；……
根据以上错误分析：①解题中审题不仔细，导致笔误；②运算法则、去括号法则等掌握不好；③过分依赖计算器而直接给出近似值；④化简计算与因式分解混淆。
【改进措施】落实基本的运算法则公式、概念，加强必要的化简运算训练，培养良好的解题习惯。
第18题．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，点M是AB的中点．
求证：△ADM≌△BCM．
【试题分析】本题以等腰梯形为背景考查全等三角形的判定，学生要掌握等腰梯形的相关性质及判定两个三角形全等的条件。
【试题诊断】典型错误：
1.由等腰梯形得出AD=BC，，再加上，
证得△ADM≌△BCM；
2.根据AM=BM，DM=CM，，证得△ADM≌△BCM；
3.将两个三角形的所有条件：“三边相等”“三角相等”全写出来或写4、5个条件出来，从而得证；
4.把△ADM≌△BCM作为已知得出条件后又说明全等；
5.取CD的中点N，则整个图形关于MN对折后重合，从而得证；
6.前后无因果关系，如∵点M是AB的中点 ∴ ；……
主要错因有：①等腰梯形和三角形全等相关知识掌握不好；②逻辑性错误严重，前后无因果关系；③没有把图形和题目结合审题，想当然地根据图形自行添加条件；④学生几何表达能力弱。
【改进措施】几何作为一种对人类逻辑思维训练的主要方法从来没有过时，本身它就是严密的科学，当然要有严密的推导和书写，这也是学生学习几何应该达到的一个要求，一名合格的初中毕业生应该会用严密的几何语言表述相对简单的几何问题。因此，教学中需要加强对学生推理证明的分析与表述，把一些几何题的过程进行板书，让学生体会知识产生的过程，把他们脑子的轮廓更清晰的勾勒出来，这样学生自己尝试推理证明时可以比较顺利的完成从脑子里的想法到纸上的转化。
第19题．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它可以拼出多种图形，请你用七巧板中标号为①②③的三块板（如图1）经过平移、旋转拼成图形．
（1）拼成矩形，在图2中画出示意图；
（2）拼成等腰直角三角形，在图3中画出示意图．
注意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格顶点上．
【试题分析】本题考查学生的动手实践能力，蕴含着图形变换、矩形、等腰直角三角形的概念等知识点。本题以“七巧板”为背景，情境生动活泼，充满趣味性，既能缓解学生的考试紧张感，又彰显了劳动人民的智慧，弘扬了我国古代文化。
【试题诊断】本题学生主要错误在审题不清，具体表现在：
1.取多个板进行拼图；
2.只取两个拼图；
3.左右两图位置画反；
4.随意从七块中拿了三块，并非指定的三块；
5.没有画在格点上或长度不对；
6.没按要求画矩形或等腰直角三角形，而是画出等腰梯形、菱形等。
【改进措施】在审清题意后本题较易得分，但从答题情况看部分学生审题仍存在较大问题，教学中应加强审题能力的培养。引导学生仔细读题，明确题意，为进一步思考做好准备。养成认真推敲的习惯，才能为正确审题扫清障碍。审题能力的培养对于学生学好数学是非常重要的，这种能力的培养需要一个过程，需要教师在教学中不断实践和摸索。
第21题．一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求摸出1个球是白球的概率；
（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个球．求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；
（3）现再将个白球放入布袋，搅均后，使摸出1个球是白球的概率为，求的值．
【试题分析】本题以概率教学中最常见的摸球实验为背景设计问题，让学生有亲切感。本题主要考查学生对概率的理解，会运用列表或树状图分析等可能事件发生的结果总数，会运用公式计算等可能事件发生的概率。
【试题诊断】对于第（1）小题，主要错误结果有：0.3；0.33；30%；；……
对于第（2）小题，主要错误有：
1.放回误以为不放回；
2.画树状图或列表错误：
如：
红1 红２ 红２ 白
红２ 红1 红２ 白
白 红1 红２ 白
3.用数字或字母代表各出入口，但没有对数字，字母作出标记说明等。
对于第（3）小题，主要错误有：
1.题意理解错误，列出错误式子，如，等
2.说明的理由不充分，给出式子 ；……
【改进措施】本题满分10分，难度值为0.76，从测试结果看，部分学生难以运用树状图去解决概率问题，可见了教学中分化严重，学生解决实际问题能力差异较大。另部分同学定向思维严重，审题错误。在概率问题教学中，要加强学生对基本模型的理解和审题能力的培养，教学中多让学生思考、讨论。模型理解透了，就自然提高了运用水平与解决问题的能力。
第23题．2011年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况.他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）.根据信息，解答下列问题.
（1）求这份快餐中所含脂肪质量；
（2）若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；
（3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值.
【试题分析】本题是一道立足教材、拓展创新的改编题（原题为浙教版七下例题p96改编），命题采用了“多问把关”的形式，由易到难逐步推进。第(1)问数量关系简单容易解决；第（2）问数量关系稍显复杂，考查学生应用分析能力，学生需审清题意后列示计算或适当设元列出方程求解；第(3)问是本题的一个亮点，改变条件，给出两个量的和的范围，求其中一个量的最值，隐含着函数最值思想。本题学生切入点较多，方法灵活，解题多样化，即可用不等式解题，也可用极端思想求解，不同的解答反应出思维的不同层次。
【试题诊断】第（2）题典型解法：由题意，得，
答：所含蛋白质的质量是克。
第（3）题典型解法：
（1）设所含碳水化合物质量为克
得，解得
答：所含碳水化合物质量的最大值是180克。
（2）由题意可知，矿物质所占百分比不低于10%；所以蛋白质所占百分比不低于40%；碳水化合物所占百分比不高于85%-40%=45%
所含碳水化合物质量不高于
答：所含碳水化合物质量的最大值是180克。
第（2）题典型错误：
1.设与方程不一致
设所含蛋白质质量为克，得，
解得，
答：所含蛋白质的质量是克。
2.设所含蛋白质质量为克，得，
解得
答：所含蛋白质的质量是克。
3.题意理解错误，，
答：所含蛋白质的质量是克。
第（3）题典型错误：
1.直接引用第2问结果，如
设所含碳水化合物质量为克
得，
解得，
答：所含碳水化合物质量的最大值是164克。
2.用方程解题，未说明极端思想的原因，如：
答：所含碳水化合物质量的最大值是180克。
3.采用不完全归纳法，如：
设碳水化合物所占百分比为41%，则
设碳水化合物所占百分比为42%，则
设碳水化合物所占百分比为43%，44%…
所以当碳水化合物所占百分比多1%，碳水化合物和蛋白质所占百分比多0.2%
答：所含碳水化合物质量的最大值是180克。
【改进措施】本题将书本例题进行改编，意在考查学生应用建模能力的同时引导师生重视教材、用好教材。因此在对书本例题、习题进行教学时，要注重对题目的理解，挖掘题目的内涵。同时要引导学生对综合题条件的审题，避免出现（2）的条件直接用到（3）的错误。此外，还要关注应用问题的主动建构和数学模型的理解与运用。
第24题．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（，），点B的坐标为（，）.P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C.记点关于y轴的对称点为（点不在y轴上），连结,,.设点的横坐标为.
（1）当＝3时，①求直线AB的解析式；②若点的坐标是（，），求的值；
（2）若点在第一象限，记直线AB与的交点为D.
当∶＝ 1∶3时，求的值；
（3）是否同时存在，，使△为等腰直角三角形？
若存在，请求出所有满足要求的，的值；若不存在，
请说明理由.
【试题分析】本题由易到难逐步推进，梯度合理，入口易，
深入难，体现了“不同的人在数学上有不同的发展”的理念。
本题设计新颖，不落俗套，淡化繁杂的运算和技巧性很强的方法，注重思维能力的考查。第（3）题是本题的难点也是关键所在，该问属于存在性探究型问题，它对学生分析、解决问题的能力提出了较高的要求。本题尝试设计两个独立的动点，一个“点动”带来“线动”，另一个“点动”带来“线动”并引起“形动”。设计巧妙之处还在于两个独立的动点又并不“独立”，为了得到等腰直角三角形，它们需要合作，当一个“点动”带来直角时，需另一个“点动”带来等腰，进而解决问题（用这种方式考查学生的思维能力，是一种大胆创新尝试）。学生还需要对点P的位置进行讨论，在不同象限画出符合题意的图形，让学生经历问题探究的全过程。本题把观察、操作、探究、计算融合在一起，将相似三角形、等腰直角三角形、一次函数、方程、轴对称变换等初中数学的核心知识融为一体，蕴含着函数思想、方程思想、分类讨论思想、转化思想、对称变换思想等重要的数学思想方法。
【试题诊断】
典型错误包括：
第（1）题①中：由得或
第（1）题②中：1.没有求出的对称点，直接把代入得到；
2.在得出第①题中的错误答案后，把代入得
第（2）题中：1.把第（1）题的结论运用到第（2）小题，求得；
2.利用相似得比例式后，求得
第（3）题中：1.分类不到位，很多学生只考虑在第一象限的三种情况，而忽略了在第二、三象限的情况；
2.有学生考虑到在第二、三象限时，说明△不为等腰直角三角形的理由不充分；
3.有个别学生只求出一个或的值，而没有求出另一个；……
【改进措施】数学家哈尔莫斯说过：问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。依照“数学思想、数学方法、解题技巧、解题过程”的顺序，在教育教学的意义下是由高到低的。因此解决综合性问题应重视重视数学思想的渗透，培养良好的数学素养；重视合作探究，激发学生的探究意识。
（图1）
（图2）
红
红1
红2
白
白
红1
红2
白
（1）
(3)
……
（2）
红1
红2
白

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