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小结与复习
第4章 一次函数
湘教版·八年级数学下册 上课课件
学习目标
【知识与技能】
使学生理解一次函数的意义，掌握根据条件确定一次函数表达式的方法，会画一次函数图象.探究并掌握一次函数性质，并用之解决实际问题.
【过程与方法】
通过例题讲解，学会一次函数性质及应用.
【情感态度】
体会函数作为数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
【教学重点】
应用一次函数的概念、图象和性质解题.
【教学难点】
一次函数在实际问题中的应用.
知识框图
变量
函数
函数的表示法
一次函数
列表法
图像法
公式法
一次函数的图像
用待定系数法确定一次函数的表达式
一次函数的应用
知识回顾
1.一次函数的概念
一次函数的概念：如果函数y=_______(k、b为常数，且k_____)，那么y叫做x的一次函数.
kx+b
≠0
特别地，当b____时，函数y=____(k____)叫做正比例函数.
kx
=0
≠0
★理解一次函数概念应注意下面两点：
　　⑴解析式中自变量x的次数是___次，
⑵比例系数_____.
1
≠0
例1.若y=(m-1)x|m|+1是一次函数，则m的值为______.
【解析】本题考查一次函数的概念.由一次函数的概念可知解析式中自变量x的次数是1次，故|m|=1，所以m=±1，又因为m-1≠0，所以m=-1.
-1
2.一次函数的图象
a. 正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过点(_____)，(_____)的__________.
b.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0，___)，(____，0)的__________.
0，0
1，k
一条直线
b
一条直线
c.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与k，b符号的关系：
k___0，b___0
k___0，b___0
k___0，b___0
k___0，b___0
>
>
>
<
<
>
<
<
例2.某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离y与时间x的关系的大致图象是（ ）
【解析】根据每段中离家的距离随时间的变化情况即可进行判断，故选B.
B
一次函数 y=kx+b(k≠0) (特别地，当b=0时，为正比例函数y=kx) k、b符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b=0 b＞0 b＜0 b=0
图象
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四
增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 3.一次函数的性质
例3. （1）正比例函数y=2x的图象经过第_______象限，y随x的增大而______；
（2）已知y=(2m-1)xm -3是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值是_____.
【解析】（1）因为k=2>0，所以由正比例函数的性质可知，它的图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）y=(2m-1)xm -3是正比例函数的条件是m2-3=1且2m-1≠0，要使y随x的增大而减小还应满足条件2m-1<0，综合这些条件得：当m2-3=1，2m-1<0时， y=(2m-1)xm -3是正比例函数，且y随x的增大而减小，故（1）一、三；增大；（2）-2.
一、三
增大
-2
4.一次函数的应用
（1）待定系数法：
①设这个函数表达式为y=kx+b；
②把已知点的坐标x，y的对应值代入解析式列出方程组；
③解这个二元一次方程组，求出k、b的值；
④把所求出k、b的值代入y=kx+b中，可具体写出一次函数的表达式.
即：一设二列三解四还原.
（2）利用一次函数解决实际问题：
通过建立函数模型，对变量的变化情况进行预测问题的解题步骤：
1.分析数据，找出自变量和因变量，发现对应关系；
2.抽象出函数表达式；
3.将验证并化简函数表达式，得出问题的变化规律.
例4.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x(小时)之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地距离y(千米)与x(小时)之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
(1)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？
解：根据图象信息：货车的速度V货=300÷5=60（千米/时），由图象可知货车比轿车迟到0.5小时，∴此时货车距乙地的路程为0.5×60=30（千米）；
(2)求线段CD对应的函数解析式.
解：设CD段函数解析式为y=kx+b(k≠0)(2.5≤x≤4.5).
∵C(2.5，80)，D(4.5，300)在其图象上，∴2.5k+b=80，4.5k+b=300，解得k=110，b=-195.
∴CD段函数解析式为：y=110x-195(2.5≤x≤4.5)；
(3)轿车到达乙地后，马上沿原路以CD段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）.
解：设轿车从甲地出发x小时后再与货车相遇，∵v货车=60千米/时，v轿车=300-804.5-2.5=110（千米/时）
∴110（x-4.5）+60x=300，解得x≈4.68(小时).
答：轿车从甲地出发约4.68小时后再与货车相遇.
随堂练习
1.某型号体温计中，刻度为35 ℃处，水银柱长2.5 cm．体温每升高1 ℃，水银柱就伸长0.7 cm．
（1）求水银柱长y（cm） 随体温x（℃） 而变化的函数表达式，其中35≤x≤42. 这是不是一次函数？画出它的图象.
（2）分别求当体温为37 ℃，38.6 ℃时，水银柱长多少？
(1)解：y=2.5+(x-35)·0.7=0.7x-22(35≤x≤42)，是一次函数.
(2)解：当x=37时，y=3.9；
当x=38.6时，y=5.02.
2.在同一直角坐标系中，画出下列一次函数的图象，并利用图象法和公式法分别求出该函数图象与x轴的交点.
解：与x轴的交点分别为(-6，0)，( ，0)，( ，0).
3.某公司急需租一辆汽车，甲汽车出租公司的出租条件为每千米的租车费为2 元，乙汽车出租公司的条件是每月需支付固定租金800 元，另外每千米的租车费为1.2 元. 若设汽车行驶路程为x（km），租用甲公司的费用为y1（元），租用乙公司的费用为y2（元）．
（1）分别写出y1，y2随x而变化的函数表达式；
（2）在1 个月内，当汽车行驶路程超过多少千米时， 租用乙公司的汽车较合算？
(1)解：y1=2x(x≥0)；y2=800+1.2x (x≥0)
y1=2x
y2=800+1.2x
(2)解：分别画出函数y1=2x(x≥0)与y2=800+1.2x (x≥0)图像如下图所示，由图象可知当汽车行驶路程超过1100km时， 租用乙公司的汽车较合算.
4.某城市的一种出租汽车，当行驶路程小于3 km时，车费都为10 元；大于或等于3 km，但小于15 km时，超过3 km 的那部分路程每千米收费1.6 元；大于或等于15 km 时，超过15 km 的那部分每千米收费2.4元. 乘客为了估算应付的车费， 需要一个较简单的计费公式.
（1）你能给出估算车费y（元）与行驶路程x（km）之间的函数表达式吗？
解：由题意得出：当行驶路小于3km时，车费都为10元；则y=10(0＜x＜3)；当大于或等于3km但小于15km时，超过3km的那部分路程每千米收费1.5元；则y=10+1.6(x-3)(3≤x＜15)；当大于或等于15km时，超过15km的那部分每千米收费2.5元，则y=10+1.6(15-3)+2.4(x-15)=29.2+2.4(x-15)(x≥15)，
综上所述
（2）画出这个函数的图象；
（3）当行驶路程为30 km时， 估算车费是多少？
解：当行驶路程为35km时，车费是：
29.2+2.4×(30-15)=65.2(元)．
答：当行驶路程为30 km时， 估算车费是65.2元.
课堂小结
1. 说一说本节课的收获。
2. 你还存在哪些疑惑？
课后作业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
谢谢欣赏

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