资源简介

章建跃文集
（熊裕欢编辑）
目 录
教师做教科研要“小中见大”……………………………………………………………………1
数学教学要“准”“精”“简” ………………………………………………………………2
“增效、减负”──数学教师的责任与使命…………………………………………………3
关注学生的感受最重要…………………………………………………………………………4
思想决定行为　细节决定成败………………………………………………… ………………5
闻思修　得智慧…………………………………………………………………………………6
回归基础…………………………………………………………………………………………7
探究式学习的天时地利人和………………………………………………………… …………8
高分是怎样得到的………………………………………………………………………………9
没有“过程”＝没有“思想” ……………………………………………… ………………10
课堂教学的两个关键……………………………………………………………………………11
数学教学的首要问题是“教什么” ……………………………………………………………12
教学中培养创造能力……………………………………………………………………………13
概括──概念教学的核心……………………………………………… ……………………14
“创造性使用教材”≠“脱离教材” …………………………………… …………………15
在领悟数学知识蕴含的思想方法上下功夫……………………………………………………16
要把精力集中在核心知识的研究上……………………………………………………………17
必须关注教学内容的变革………………………………………………………… …………18
改变习惯从加深理解内容开始…………………………………………………………………19
改进教学从加深理解内容入手…………………………………………………………………20
过程自然才能使学生“会” ……………………………………………… …………………21
核心概念最有力量……………………………………………………………………… ……23
时代发展与数学课程改革………………………………………………………………………24
“题型+技巧”的危害……………………………………………………… ………………25
我讲了n遍了你怎么还不会……………………………………………………………………26
为什么学生听懂了却不会用……………………………………………………………………27
从整体性上把握好数学内容……………………………………………………………………28
以课本为本才是好数学教学……………………………………………………………………29
与大师为伍………………………………………………………………………………………30
怎样使高考复习成为好数学教学………………………………………………………………31
知识能力与素质…………………………………………………………………………………33
注重通性通法才是好数学教学…………………………………………………………………34
追求本质、简单、自然的数学教学……………………………………………………………36
做题目为什么？…………………………………………………………………………………38
数学教学反思的内容与方法（指导意见）……………………………………………………40
数学学习迁移概述………………………………………………………………………………44
影响学习迁移的条件……………………………………………………………………………48
数学思维能力的培养……………………………………………………………………………56
数学课堂教学——到底教什么…………………………………………………………………64
如何推进数学教育改革…………………………………………………………………………70
围绕“概念的核心”展开课堂教学……………………………………………………………76
聚焦数学核心概念、思想方法的课堂教学设计………………………………………………83
关于数学归纳法的理解………………………………………………………………………89
函数概念的学与教……………………………………………………………………………90
注重学生思维参与和感悟的函数概念教学…………………………………………………98
对数学本质特征的若干认识…………………………………………………………………116
对数学教育改革的一点认识…………………………………………………………………119
课程标准制定中若干问题的思考……………………………………………………………123
知识分类与数学教学…………………………………………………………………………128
知识与数学知识……………………………………………… ……………………………133
代数学习困难的心理学分析及解决措施……………………………………………………137
积极稳妥地推进高中数学课程改革…………………………………………………………142
对当前数学课程改革的几点认识……………………………………………………………145
当前数学课改中的一些问题…………………………………………………………………152
新课程实施中的数学课堂教学设计…………………………………………………………160
数学课堂教学设计研究………………………………………………………………………163
为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数………………………………………172
探究教学规律，造就教学名师………………………………………………………………177
数学教学方法的现代发展……………………………………………………………………186
有效改进课堂教学——第四次课题会成果综述……………………………………………191
准确把握核心概念、合理渗透思想方法、设计自然教学过程——第五次课题会成果综述199
追求数学课堂的本来面目——第七次课题会成果综述……………………………………202
课题为载体，有效促进教师专业化成长——第八次课题会成果综述……………………208
积极开展“统计与概率”的教学研究——第九次课题会成果综述………………………215
努力探索数学教育的本来面目──第14届年会论文综述暨会议总结…………………221
人教A版高中数学课标教材实验经验交流会总结…………………………………………227
理解数学 理解学生 理解教学………………………………………………………………231
影响数学概念学习的因素……………………………………………………………………240
数学课改的十个论题…………………………………………………………………………246
“平面的基本性质”教案、教案说明及点评………………………………………………254
中学数学核心概念结构体系及教学设计研究与实践………………………………………261
数学概念的学与教……………………………………………………………………………293
三次国际数学教育改革运动及其启示………………………………………………………300
函数概念的学习及其困难……………………………………………………………………303
论数学教学中的基础与创新…………………………………………………………………310
数学概念的分类、特征及其教学探讨………………………………………………………316
数学教育改革中几个问题的思考……………………………………………………………321
中学数学教学目的──变革与完善…………………………………………………………330
从“新十二年制课本”谈教材编写实验的规范化机制……………………………………341
我国中学数学教材的建设与发展……………………………………………………………351
解析几何的思想、内容和意义──“中学数学中的解析几何”之一……………………358
我国中学解析几何教材的沿革──“中学数学中的解析几何”之二……………………363
中学解析几何的核心结构──“中学数学中的解析几何”之三……………………………368
人教A版高中数学课标教材中的解析几何──“中学数学中的解析几何”之四………372
附录： 中学数学核心概念、思想方法教学设计框架结构……………………………377
教师做教科研要“小中见大”我
章建跃
随着高中课改的不断深入，数学教学改革中的各种深层次矛盾不断暴露，促使广大数学教师开展不同形式的教科研。教科研活动不仅使数学教学的质量和效益有了一定保证，而且使数学教师专业化发展有了坚实的平台。不过，常常困扰广大数学教师的问题是，怎样才能使教科研活动切实有效呢？

本期刊登的沈金兴老师的“一次概率事件的测试对新课程概率教学的启示”一文，为一线教师结合自己的日常工作开展教科研做出了一定的示范。从他的报告中可以看到，他所选择的研究课题很具体、很“小”：为了了解学生对不确定现象的理解方式，了解学生在概率学习中普遍产生的错误认识及其原因，从而为自己的概率教学提供依据，他借鉴国内外一些研究中的成熟方法，以自己的学生为被试，通过测试收集数据，通过统计分析得到学生概率认知水平发展状况的描述，并以统计数据为支持，区分出学生在概率概念理解中的错误类型，在此基础上提出有理有据的概率教学建议。由于概率是许多教师心里没底的、深感棘手的内容，因而这样的研究又实实在在地为这一内容的教学提供了指导——学生的概率学习困难有哪些，应当采取怎样的教学措施帮助学生理解概率中的相关概念，概率教学中应注意哪些问题等，所以我们说，沈老师的研究是“小中见大”的。

一线教师搞教科研，最需要防止两种倾向：一是大而空，例如有的老师以“全球化背景下的数学教育”“建构主义理论指导下的数学教学”“构建系统观念下的数学课堂”“新课程理念下的数学课堂教学模式”
数学教学要“准”“精”“简”
章建跃
第三期的选稿、审稿终于完成时，长长地舒了一口气。由于本刊尚属初创，稿源不足，除了部分约稿外，其余的稿件选择余地不大，因此有的既定栏目只能“留空”，而“课堂教学研究”等栏目的稿件又稍嫌多了。这样的“不平衡”希望能在广大读者的关注下很快得到改观。另外，时逢春节，本期排版、编校方面也由于人手不够等原因而肯定存在瑕疵。就像一个婴儿蹒跚学步一样，本刊在初创阶段出现的不足，希望得到读者的谅解。

因为本期关于课堂教学研究的文章多了，所以对这方面的问题谈点个人想法。数学教学研究，如何提高课堂教学质量和效益始终是核心问题。在“大众教育”的前提下，大面积提高数学教学质量更是关键。为此，数年前，本人曾提出提高课堂教学质量的“三、二、一”：

三个理解——理解数学、理解学生、理解教学；

两个关键——提好的问题、设计自然的过程；

一个核心——概括。

其依据是本人长期、大量的数学课堂观察。从数学教师的专业化角度看，导致教学质量不高的因素主要有：首要的是教师自己的数学理解不到位，导致教得不“准”——或者是没有围绕概念的核心，或者教错了；由此产生的连带问题是教得不“精”——让学生在知识的外围重复训练，耗费学生大量时间、精力却达不到对知识的深入理解，教得不“简”——在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化了；第三，违反学生的认知规律，典型做法是：基础知识教学搞“一个定义，三项注意”，学生没有经历知识发生发展过程的机会，没有经过自己独立思考而概括出概念和原理的机会，解题教学搞“一步到位”，在学生没有必须的认知准备时就要他们做高难度的题目。最近的调研发现，这些问题有越来越严重的趋势。

总之，提高课堂教学质量，任重道远。希望广大数学教师能贡献自己的智慧，把自己实践中的经验教训总结出来，以有说服力的案例方式参与讨论。
“增效、减负”
──数学教师的责任与使命
章建跃
本期我们刊登了我国老一辈数学教育工作者、已近88岁高龄的陈振宣先生的《建议开展增效与减负的大讨论》一文。陈先生是我国改革开放后中学数学教育改革的积极倡导者，也是义无反顾的改革实践者，相信熟悉我国数学教改的读者，对他早在上世纪80年代初提出的在中学数学中引入向量，以向量为抓手改革三角、平面解析几何、立体几何等教学内容的思想及其实践一定记忆犹新。本文他又以一位中学数学教育前辈的高度责任感，针对积重难返的“学习负担过重”问题，呼吁开展“增效与减负”大讨论。
陈先生认为，造成“负担过重”的原因主要有如下几方面：
第一，教材的体系不科学，不能显示知识的内在道理，不能展示知识的“发明本源”，“在教材建设中光做减法，甚至不惜破坏数学的科学体系，硬性规定减少教学课时”而违背了科学发展观；
第二，违背数学教育规律，不重视数学思维方法的教学，以“题海”代替数学思维基本功训练，试图“以多取胜”；
第三，粗制滥造、质量低劣、错误百出的教辅资料泛滥，直接加剧“负担过重”；
第四，考试制度改革、高考命题改革与课程教材改革相分离，迫使学生为高考分数而大量做高考模拟卷，催生了与模拟卷相关的“利益链”；
第五，“数学是进大学的敲门砖”的急功近利思想，导致对数学教育功能的认识偏差，是造成“负担过重”的思想根源。
陈先生的剖析可谓鞭辟入里、一针见血。他还提出了许多扭转负担过重现象的措施，指出关键是要采取切实措施激发学生的学习兴趣、改进学习方法，认为这是一条数学教学的“公理”。
温总理在《政府工作报告》中提出，今年教育要重点抓好的工作之一是推进素质教育，“各级各类教育都要着眼于促进人的全面发展，加快课程、教材、教育方法和考试评价制度改革，把中小学生从过重的课业负担中解放出来，让学生有更多的时间思考、实践、创造。”说明“负担过重”已引起中央的高度关注，并要从教育改革入手解决之。但平心而论，“负担过重”是社会、各级教育管理部门、学校、家长的“合力”所致，教育功利化等现象是我国社会发展现状在教育领域的客观反映，因此解决这一问题难度很大。不过，作为一名着眼于学生发展、懂得教育教学规律的教师，必须意识到这种现象是不正常的。教育的要义是教学生做人、做事，教育应当充满理想化色彩，教育必须远离功利。

实事求是地说，数学学科的题海最大、最深，在造成学生“负担过重”中难辞其咎。同时，大量优秀数学教师的实践表明，只要不断提高自己的教师专业化素养，坚持不懈地改进教学方法，就一定能使学生脱离题海的苦难，学得轻松且成绩卓越。因此，“增效减负”是时代发展赋予广大数学教师的责任和使命。

希望大家积极参与讨论，为增效减负献计献策。愿我们共同努力，不辱使命。
关注学生的感受最重要
章建跃
大家都认同“关注学生的感受最重要”这一命题，因为学习终究是学生自己的事情。课堂教学中，如果我们的教学不能打动学生，学生对我们的讲解无动于衷，那么他们就不可能有心领神会的心灵共鸣，我们讲得再精彩也只能是无功而返。所以，时刻观察学生的一举一动、表情神态，采取一定措施了解他们对新知识的理解程度，并根据他们的表现及时调整教学进程，就成为考察教师专业化发展水平的指标之一。那么，怎样才能有效地得到学生学习状况的信息，从而准确把握学生的感受呢？

本期刊登的“‘古典概型’教学应该侧重什么”和“一例程序框图的教学思考”两文给我很多启发。从他们的文章中可以看到，教师准确理解概念并作出教学解读，教学过程中认真观察和忠实记录学生的反应——特别是出现理解偏差的地方，课后做好教学反思（必要时对学生做针对性访谈），是准确把握学生学习感受的三个重要环节。

强调教师对概念的理解和教学解读，是因为教师可以从这一过程中大致了解学生的概念理解心路历程，从中获得把握学生学习感受的启发。事实上，概念的教学解读必须关注到学生的感受，这样才能使教学预设成为教学实践的有效线索。例如，学习“古典概型”，重要的是理解它的两个特征。在解释“标准化考试中，为什么多选题比单选题更难猜对”时，学生有两种回答：因为选项不确定，可能选两个，也可能选三个，选错一个就错了；基本事件的总数多了，选错的可能性就大了。这种回答隐藏着什么问题呢？学生是在用古典概型的特征作判断吗？我认为，教师能否关注到这些，取决于他自己对这一问题的理解深度。如果理解不到位，那么他就不会意识到强调“假定考生不会做”和“选择其中任何一个答案的可能性相等”的重要性，这必然会给古典概型的教学埋下隐患。

对学生的概念理解偏差作忠实记录，其意义在于为教学反思提供依据，这一点不用多说。这里着重说说课后反思问题。对学生学习感受的分析应当成为反思的重点之一。例如，在阅读“判断整数（大于2）是否为质数”的程序框图时，鲁老师他们发现，学生对判断框中的“或”后的走向有疑惑：“或”是一个式子成立还是两个都成立呢？“或”成立后怎么还问“”是否成立？经过分析，他们不仅找到了原因，而且形成了化解的方法：先为学生架一座“桥”——将“自然语言”直接翻译成用文字语言描述的“程序框图”，再在后续的学习中逐步完善。反思后的教学设计充分关注了学生的感受，教学的效益一定会大大提升。

“关注学生的感受”，其本质是“学生是主体”的学生观在教师教学行为上的反映。观念变为行动的过程，实质是教学行为习惯养成的过程，常常需要我们的终身努力。
思想决定行为　细节决定成败
章建跃
我们在大量的数学课堂观察中发现，教学中，关注思想性严重不足，数学教学缺乏整体性、结构性，从而也就缺少了应有的“大气”而陷于细枝末节的“小气”。因此，数学教学改革中，强调“思想性”“整体性”“结构性”应当成为努力的重点。但是，如果思想不落实在“细节”上，也就是在具体操作上得不到体现，那么“思想”就只是一种“空想”，对学生的发展也起不了多大作用。本期刊登了两篇争鸣文章，一定程度上反映了广大教师对宏观“思想”与操作“细节”之间关系的认识。

我想，在等差数列、等比数列求和公式的推导中，首先对推导公式的思想方法——以等差数列、等比数列的定义与性质为依据和出发点，对“如何用n、d(q)、a1及an表示Sn”进行讨论——是大家都会认同的；其次，在有了某种想法，有了比较明确的思考方向后，在把想法付诸行动的过程中，必须强调细节。正如夏新桥老师在《抓住学生的疏漏，引领学生做好思维体操》中指出的，细节是培养学生思维严谨性的大好时机，夏老师文中所谈到的细节必须关注到。当然，对于“细节”可以有进一步的认识。其中，有两个问题特别要注意，一是注意区分“细节”与“细枝末节”；二是要注意学生的“细节”。

事实上，人们对数学的“细节”会有不同理解。例如，吴生辉和宋文科两位老师的文章《浅谈概率问题中的基本事件》表明，他们对基本事件的“不可再分”的理解，与田载今老师的理解不同。我认为，对于确定基本事件到底能不能“以要解决的具体问题为依据”，“可能出现的每一个结果”的“不能再分”到底该怎样理解（是否可以是“不必再分”的结果），读者可以讨论。事实上，上述不同源于对“一个结果”的含义的不同解释。显然，对“细节”的这种讨论是非常必要的。

其次是注意学生的“细节”，也就是要关注学生思维水平、思维过程的细节。本期刊登的彭潜、张雪莉等老师的《教学中关心数学差生的一些构想》，就是关注学生思维细节的一个范例。他们的学生大部分是所谓的数学“差生”。在困难面前，他们不是沉湎于“怨天尤人”的哀叹，而是“认真研究数学差生的教学规律”，勇敢地“迎接这份远比教好优等生艰巨得多的工作挑战”，而且将这样的思想落实在“细节”上：对造成“差生”的原因、到底“差”在那里、应当采取哪些措施等都进行了细致入微的分析。实践表明，教师这样关注“细节”，“差生”是完全可以转变的。

“思想决定行为，细节决定成败”。数学概念理解得是否深刻的标志是对概念的细节把握得是否准确。但理解“细节”的过程中必须要有“思想”的指引，这样才能把知识的教学与能力的培养融合一起，真正发挥数学教育的“育人”功能。
闻思修　得智慧
章建跃
本期我们集中刊登了关于高中数学课标教材必修模块的一组实验经验交流文章。薛红霞、张曜光、李学军、李昌官、吴明华都是一线教研员，其他都是一线教师，他们是本次课改的亲历亲为者，可说是尝遍课改的酸甜苦辣，因而对课改是最有发言权的，因此这组文章可以算得上是“闻思修”而得的智慧成果。

众所周知，本次课改是为了适应我国社会发展新需要，以提高教育质量为核心，全面推进素质教育，切实减轻学生负担，努力提高青少年思想道德、科学文化和健康素质，着力培养青少年的社会责任感、创新精神和实践能力，因此其大方向是完全正确的。但是，由于种种原因，课改实施过程中存在许多不尽如人意的地方。一段时间以来，急功近利倾向甚至把课改引入歧途，严重损害了课改的声誉。对此，有各种不同的态度。怨天尤人者有之，我行我素者有之，盲目跟风者有之。而大多数老师则是理性思考、谨慎行动，薛红霞等老师的文章就是例证。

教育改革不以人的意志为转移。客观地说，当前我国数学教学确实存在许多需要改进的地方，其中特别突出的是数学教学缺少亲和力，问题意识淡薄，重结果轻过程，讲逻辑不讲思想，重题型、技巧轻通性通法引导。因此，需要广大数学教育工作者“闻思修”以获得走向课改成功的智慧，使改革的成果惠及学生，达到学得轻松、愉快而成效显著。

由于思维惯性所致，人们面对新事物的第一反应是排斥。然而明智的做法是静心听闻，而且要善听、会听，听到“无声之声”。所谓兼听则明，这样才能了解改革的真实意图，才能“闻所成慧”。

在深入了解改革意图后，还要“三思而后行”。因为改革的理想要变成现实，必须结合现实，需要我们根据当地教育发展的水平、教师自身状况、生源情况等进行周密思考，以确定改革的具体方案和步骤。如果我们能做到上下求索、反省内观，那么就能“思所成慧”了。

修，就是实践。真正的改革发生在课堂，改革的成功有赖于“苦修、乐修、真修、内修、共修、自修”。千里之行始于足下，“思所成慧”而获得的改革蓝图，只有经过实践才能变为现实，也只有经过实践才能获得修正前行的机会，这也就是“修所成慧”了。

数学教育改革需要全体数学教育工作者的智慧。一线教师，无论你是否愿意，总是处于课改的滚滚洪流中，我们可以把它看成是专业化成长的机遇，“闻、思、修，照着这个方法做，一定有成果。”

注：本文标题采自《星云大师谈智慧》，文中多处引用大师妙语。如有不当，敬请见谅。
回归基础
章建跃
我国数学教学有重视双基和能力培养的传统，这是我国数学教育保持优势的基石。然而，教育功利化所导致的短期行为，使人为技巧化难题和过分强调细枝末节的内容充斥课堂，数学教学=题型教学，教学远离双基，不仅使学生的创新精神和实践能力得不到培养，而且使双基优势逐步丧失。阅读“英国AQA数学A水平考试内容介绍”一文，这种感觉尤为强烈。从文中看到，作为英国大学招收新生的入学标准，考察的内容不仅涉及我们熟悉的初等数学内容（立几等除外），而且还有微积分(含微分方程)、概率统计、向量、矩阵等现代数学内容，知识面之广我们无法企及，大部分考题都是“基础题”，但“对部分知识的考察也有一定的难度”。比较“A水平考试”，反观我们的数学教育，确有危机感。
要改变现状，我认为提高对“基础”的认识是当务之急，先要解决“什么叫基础”“如何落实基础”等问题。
我们知道，“基，始也”，事物发展的起点叫“基”，没有它就是“无源之水”；“基，根本也”，事物的本源叫“基”，没有它就是“无本之木”；“基，基调也”，主要观点、基本思想就是“基调”，没有它会失去方向。中学数学的基础应是那些为学生终生发展奠基的初等数学核心部分，具体内容则需深入研究。当然，要有广与深的辩证统一，广而浅（蜻蜓点水、走马观花）不行，窄而深（深度挖掘、层层拔高）也不行。但无论怎样，人为制造的繁题、特技等肯定不在此列。
那么，如何落实基础呢？相信大家都有这种感受：知识，教得简单、自然而有思想性，难；教得复杂、造作而形式化，易。解题，讲难题、讲技巧，易；精中求简、回归概念、循循善诱、引人入胜，难。为了教得准、精、简，需在如下几方面努力：
首先，教师“必须要对基础数学的本质和基本思想下一番深切的返璞归真的功夫”（项武义），并在使数学变得易学、好懂，使学生能懂、会用上下苦功，以切实减轻学生负担，真正提高教学质量和效果。
第二，应真正解决学习兴趣问题，如陈振宣先生在“数学教学公理刍议”中所述，通过有丰富数学内涵的情景，将数学定理、公式等的学习融入创造性解决问题中。
第三，提高“思想性”，使学生逐渐掌握数学研究的“基本套路”是当务之急。例如，“不等式基本性质”的教学，要在“数及其运算”的系统中，以“运算中的不变性、规律性就是性质”为基本思想，引导学生运用实数大小的基本事实和实数运算律，一以贯之地推导所有不等式的性质和其他不等式。
第四，解题教学要强调基本概念所反映的思想方法这一根本大法的应用，而不是“对题型、想技巧”。要让学生养成“回到概念去”思考和解决问题的习惯，“把一个比较复杂的问题，‘退’成最简单最原始的问题，把这个最简单最原始的问题想通了、想透了”，然后再归纳、综合而实现飞跃，“这是学好数学的一个诀窍” （华罗庚）。
数学教学应回归基础，在让学生认识数学“基本套路”的过程中，理解数学的基本思想、方法和精神，这样才是数学育人。
探究式学习的天时地利人和
章建跃
本世纪初开始的这一轮课改，“探究式学习”被放在改革的突出位置。《普通高中数学课程标准（实验）》提出，“高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”。广大数学教师对教学中如何引导学生开展探究式学习进行了深入研究。本期中，有众多的文章涉及这一话题，因此我想对这一问题谈谈自己的想法。
探究式学习的实施需要天时、地利与人和。
首先讲“天时”。当今世界，经济全球化和知识经济步伐不断加快。为了掌握21世纪社会经济发展的战略制高点，我国正竭力倡导从模仿创新转向自主创新，培育自身的科技原创力。相应地，要求教育“以培养学生的创新精神和实践能力为重点”。因此，强调探究式学习顺应了我国社会经济科技发展的要求，大力加强探究式学习“适逢其时”。
其次看“地利”。是否具有探究式学习的“地利”，主要看学习内容是否适宜于探究。一般而言，解题教学适宜于用探究式学习方式，都应当安排学生的自主探究活动。这里主要讨论数学基础知识的探究式学习问题。应当说，大部分数学概念、性质、法则、公式、定理等，都适宜于用探究式学习方式。例如“不等式的性质”，可以让学生“类比等式的性质”提出猜想，并利用实数大小的“基本事实”加以证明，这就是一个探究式学习过程；“平面向量基本定理”，可以在“用向量及其运算表示几何元素”的思想指引下，借助建立直角坐标系的方法、两条相交直线确定一个平面等经验，让学生探究而获得结论；“诱导公式”也可以在“三角函数是（单位）圆的几何性质的代数表示”的思想下，让学生通过探究终边关于坐标轴、原点以及直线y=x对称的两个角的关系，进而得到所有公式；等。显然，数学思想方法在自主探究中有关键作用，但常常需要教师的启发引导。
当然，并不是所有学习内容都适宜于探究，有的甚至不需要探究。例如，数学中某些原始性的概念定义，没有多少“开放性”，不必探究。这样的内容，重要的是让学生了解来龙去脉，理解其引入的必要性、合理性，因此采用教师讲授或让学生看书的方式即可。例如，直线与平面垂直的定义，通过生活中的事例，让学生感受到定义与自己的经验相吻合，从而确认其合理性，然后由教师叙述定义，这样安排教与学的过程是合适的。这里，用“说得清道得明”的几何关系（即“直线与直线垂直”），来定义“无法说清”的几何关系（即“直线与平面垂直”），这是一种公理化思想，教师必须向学生交待清楚，而学生则只要采用接受式学习方式即可。而关于概念的名称、符号、某些规定（如0！=1，0与任意向量平行）等，直接告诉学生可矣。
再次看“人和”。探究式学习的“人和”，就是师生所共同营造的“探究氛围”。这种氛围，一方面有赖于学生“探究式学习的心向”，另一方面也有赖于教师的“探究型教学的意识”。如果学生缺乏“遇事问个为什么”“打破沙锅问到底”的习惯和勇气，那么探究式学习就失去了内因；同样的，如果教师只注重给学生灌输现成数学结论，不给学生独立思考、自主探究的机会，那么探究式学习也就失去了其生存的时间和空间。当然，“人和”气象的出现，还需要一个位于学生思维最近发展区内的、蕴涵当前学习内容本质的问题情境，作为探究式学习的“引子”、“平台”，使探究式学习得以展开、深入，开花结果。
最后，学习是知与行相统一的主动行为，接受式和探究式是学习的两种基本形态．以学生发展为本的教学，应体现接受和探究的相辅相成，要协调与平衡认知与情感、指导与自主、能动与受动、抽象思维与形象思维、动手实践与大脑意识活动、独立思考与合作交流等各种因素，进而使学习成为一个完整的认识过程．
高分是怎样得到的
章建跃
一年一度的高考刚尘埃落定，新一轮高考大战又如火如荼地展开。
从我国腐败横行的现实考虑，高考虽然残酷但尚算得一片净土，是无权无钱的平民百姓改变命运的少数机会之一，因此高考不能取消。我们可以把高考看成学生人生道路上的炼狱，把追求高分的过程看成一种人生历练。从教学的角度看，关键在于：如何使学生更有效地实现凤凰涅磐、浴火重生？
本期我们有意刊登了较多的“高考研究”文章。从中可见，追求高分，真可谓是“八仙过海，各显神通”：有考题“追根溯源”的；有进行“题型归类”的；有揣摩命题者“心思”的；有分析高考“解题术”的；有贯彻高考题“指示精神”开展高考复习的……。
受老师们的启发，我也想谈谈高考如何得高分的看法。
首先，尽管数学高考题千变万化，但考数学是无法改变的。万变不离其宗，这个“宗”就是高中数学核心知识以及由内容反映的数学思想方法。因此，教好数学特别是千方百计让学生领悟数学基本概念才是根本，这样才能与数学“声气相通”，才有能力识破“七十二般变化”的“真身”。
其次，应试确实有技巧，但获得技巧的途径有天壤之别。一种是靠大量做题卖苦力，其结果可能是“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”；另一种是靠智慧而实现的“四两拨千斤”，其结果一定是高奏高考的凯旋之歌。
第三，提高学生的解题能力，需要经历一个以数学双基训练为载体的“悟道——得道——进入自由王国”的过程，必须有一个从有“型”到无“型”、从有招到无招的过程，这样才能实现融会贯通，达到随心所欲、见招拆招的境界。当前的问题在于：执著于“型”，执著于“招”，即执著于题型及其对应的技巧，深陷题海不能自拔，无法“悟道”，进入自由王国就更无从谈起，解题能力也就无法精进而上层次了。
当然，“师傅领进门，修行在个人”，学生能上到怎样的层次，要看他自己的造化，但作为人生导师，责任在于点化学生的智慧，使他在现有水平上开悟，帮助他实现人生目标。不过，教师自己开悟才有可能使学生开悟。因此，教师应提升自己的层次，以提高点化学生智慧的能力。
曾经有老师与我说，“章老师，你说得都对。我知道，按你的方法，做十个题目就可以得十分；而我要求学生做五十个题目只能得十一分。虽然你的方法质量、效率高多了，但我仍然会让学生做五十个题目。因为很可能多一分学生就能上重点了，而家长、社会、行政看的是最终结果，不会在乎过程是怎么做的。”确实，改变评价标准与机制，不以一张试卷定乾坤，是解决问题的要件之一。但我们是否有勇气这样做：让学生做十个题目就能得到十一分，甚至是十二分！高考高分就应该这样得到！
没有“过程”＝没有“思想”
章建跃
伴随高考自主命题，每年都涌现大量“高考新题”。为了体现“公平性”“选拔性”，命题者绞尽脑汁编“新题”是必要的，但由此为依据，搞占卜算卦式的“新题研究及高考新动向预测”，并作为新学年数学教学的“方向”，却是令人担忧的。不过也有例外，本期刊登的“题型教学可以休矣”一文，给出了“高考指挥棒作用”的新解读，特别是其中对“理（12）这样一道容易题但得分率很低”的原因分析，引发我对“过程”与“思想”关系的思考。

众所周知，“重结果轻过程”是我国数学教学的一大弊端，尤其表现在概念教学和解题教学中：

概念教学搞“一个定义三项注意”，不讲概念产生的背景，也不经历概念的概括过程，仅从 “逻辑意义”列举“概念要素”和“注意事项”，忽视“概念所反映的数学思想方法”，导致学生难以达成对概念的实质性理解，无法形成相应的“心理意义”。没有“过程”的教学，因为缺乏数学思想方法为纽带，概念间的关系无法认识、联系也难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、可辨别性和稳定性等“功能指标”都会大打折扣。

有些教师往往用例题教学替代概念的概括过程，认为“应用概念的过程就是理解概念的过程”。殊不知没有概括过程必然导致概念理解的先天不足，没有理解的应用是盲目的应用。结果不仅“事倍功半”，而且“功能僵化”——面对新情境时无法“透过现象看本质”，难以实现概念的正确、有效应用，质量效益都无保障。

解题教学退化为“题型教学”，试图穷尽“题型”，幻想通过“题型”的机械重复、强化训练，让学生掌握对应的“特技”和“动作要领”而提高考试分数。对具有普适意义的、迁移能力强的“根本大法”——数学思想方法的教学，却因其不是“立竿见影”，需要较长时间的坚持才能奏效，是一种潜移默化、润物无声的“慢工”，被有些老师判为“不实惠”而得不到应有的渗透、提炼和概括。结果是在稍有变化的情境中，因为没有数学思想方法的支撑，“特技”失灵，“动作”变形，灵活应用数学知识解决问题的能力成为“泡影”。在“能力立意”的高考中出现“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”的结局就不足为奇了。

数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中。“思想”是概念的灵魂，是“数学素养”的源泉，是从技能到能力的桥梁；“过程”是“思想”的载体，是领悟概念本质的平台，是培养数学能力的土壤。

数学是思维的科学。没有“过程”的教学把“思维的体操”降格为“刺激—反应”训练，是教育功利化在数学教学中的集中表现。为使数学教学成为“有思想的教学”，成为提高思维能力的舞台，成为培育理性精神的阵地，必须坚持“过程与结果并重”的原则。
课堂教学的两个关键
章建跃
本期刊登了沈顺良老师的原文和我们对该文的修改，试图通过对比，一方面说明如何修改文章，提高写作水平（当然，修改后的文章也未必臻于完善），另一方面，更重要的是想利用修改后的文章说明保证课堂教学质量和效益的两个关键——“自然的过程”和“恰时恰点的问题”。

课堂教学中，“自然的过程”来源于数学知识发生发展过程和学生认知过程的融合，具体表现为对数学概念、原理的不断归纳和概括的过程。沈老师提供的教学案例，从课堂教学整体结构看，在“引入（哥德巴赫猜想）——理解（拼图与前n个正奇数的和）——应用（例题、练习）——小结”等各环节中，围绕“一种观察”，选择若干具体事例，安排了“语言转换”“变形”“不同角度观察”等活动，使学生经历了“突出共性”的过程，学习了观察的方法，这是好的。欠缺的是“过程”不精细，对学生思维的引导不够精确，数学上的实质性思考不到位。而这些不足正是源于对具体事例的数学本质和学生的认知过程的把握还不到位，由此而影响了本课的教学效果，真是“细节决定成败”。例如，“拼图游戏”的教学，因为对拼图的“过程”和“结果”（从数及其运算角度看）的数学含义挖掘不够，对学生在“形”转化为“数”中的困难估计不充分，致使教学出现如下问题：“拼图过程”的“从头至尾”的性质没有得到揭示；“一种观察”没有列出而使“共性”不够突出；“拼图结果”的解释不到位；将“拼图过程和结果”转化为“数及其运算的表示”不够自然；对归纳推理的难点分析太笼统；等。

我们认为，“问题引导学习”应当成为一条重要的教学原则，是改进教学方式的主要平台，而“恰时恰点的问题”则是提高教学质量的关键。“问题”既需要课前预设，也要强调课中生成。课前预设基于教师对数学知识发生发展过程的关键点及其学生理解困难的分析，预设的问题应当围绕当前内容的本质与核心，明确具体、易于理解；课中生成的问题主要源于学生对学习内容的理解偏差，靠教师的教学机智。例如，在对“拼图”的观察中，“观察得到什么？”的数学含义不够清楚，思维指向也不明确，而“观察到什么共性？”有明确的数学含义——共性，指出了观察的目标，有较好的思维导向；同样，例1中，“此问题中你能直接观察吗？”改成“根据上述经验，如何转化问题才有利于我们观察？”，其目的是引导学生回顾“几个事实——一种观察——归纳共性”的经验，从已知条件中转化出“几个事实”，通过观察“看出”它们的“共性”；等。

总之，“自然的过程”和“恰时恰点的问题”是提高课堂教学质量和效益的关键，同时也集中反映了教师的专业化水平，是提高教学能力的抓手，值得我们付出努力。

最后，应当说明，沈老师提出的通过突出“一种观察”而获得一类事物中“几个事实”的共同特征，进而归纳出该类事物的某一性质，抓住了“归纳推理”教学的核心，这是最难能可贵的。我们的“修改”也是在这样的思想指导下进行的再完善。
数学教学的首要问题是“教什么”
章建跃
本期我们集中刊发了“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”第八次课题研讨会成果。从中可以发现，这一课题抓住了数学核心概念及其反映的数学思想方法的教学问题，正在尝试解决“教什么”这一数学教学的首要问题。

“数学归纳法”一课“教什么”，可以有很大差异。许多老师把重点放在数学归纳法的形式讲解，放在操作步骤的训练上，放在用数学归纳法证明问题的技巧上；而课题组老师则把主要精力放在数学归纳法本质的理解上，即引导学生：理解两个步骤的含义，特别是第二步是证明一个命题“p(k)真p(k+1)真”，了解“两步缺一不可”的原因。在处理形式与本质、过程与结果、逻辑与思想、技巧与能力、记忆与理解等诸方面关系上，两者都表现出不同的教学思想。

一般地，我们可以从知识和认知过程两个角度来认识“教什么”的问题。

从知识的角度看，我们应该教“结构良好的知识”（因此，以“模块化”构建的高中数学课程，因为其结构尚存在诸多缺陷而亟待改进）；应该教核心概念、主干知识；应该“既讲逻辑又讲思想”；应该围绕“概念的核心”进行教学；应当教概念的联系与转化。

从认知过程看，我们应当教概念的概括过程；应当教理解（使学生学会在背景中建构数学意义）；应当教应用（使学生学会根据问题需要调动头脑中的知识）；应当教发现与创造。一句话，就是要教会学生数学地看待问题、思考问题和解决问题的方法。

之所以说“教什么”是首要问题，是因为这一问题解决不好，课堂教学就是无米之炊，无论你的教学方法多么好，结果都是竹篮打水一场空，不仅浪费学生宝贵的时间和精力，而且会消减学生学习数学的兴趣和热情。课堂中，只有教货真价实的数学知识，教知识蕴含的思维过程和数学思想方法时，改进教学方式才有意义，教学质量的提高才能有前提和保证。

所有老师都懂得“授人以鱼，不如授人以渔”的道理，但有些人一进课堂就把它抛到九霄云外，急功近利地、迫不及待地要把现成的鱼强加给学生，结果不仅使学生“消化不良”而导致概念模糊、原理不清、知识联系不紧密，而且考试成绩也难以有效提高，并因为不知“渔”的方法而失去可持续发展的基础。这样的教训俯拾皆是，广大教师应当谨记。
教学中培养创造能力
章建跃
2009年10月11日，温总理以《教育大计，教师为本》为题，正式发表他教师节前去北京35中听课的点评和讲话。因为有对数学课的点评，自然引起我的格外兴趣。给我印象最深的点评是：“基础课必须给学生以清楚的概念”；“这堂数学课概念清楚、启发教育、教会工具、联系实际，说明我们数学的教学方法有很大的改进”。给我强烈震动的是他对我国教育问题的准确判断：“这些年甚至建国以来培养的人才尤其是杰出人才，确实不能满足国家的需要，还不能说在世界上占到应有的地位。”“中国培养的学生往往书本知识掌握得很好，但是实践能力和创造精神还比较缺乏……我们在过去相当长的一段时间里比较重视认知教育和应试的教学方法，而相对忽视对学生独立思考和创造能力的培养。”
温总理的讲话切中我国教育时弊，其实广大教师也“早就看到了这些问题”。作为“太阳底下最光辉的职业”的从业者，我们在解决这些问题时应做些什么？在无法回避的应试环境中，如何加强对学生独立思考和创造能力的培养？
南京师大附中“数学课堂研究性教和学实验”课题组的做法给我们很大启发。为了使研究性学习落到实处，他们提出“把研究性学习引入常态化的课堂教学”并开展探索。他们区分了研究性教学的类型，结合概念课、习题课、复习课等不同课型的特点，有针对性地开展研究性教学，培养了学生的探究创新能力和协作精神，使学生从模仿记忆学习逐渐向创造性学习发展，取得了较好成效。这表明，只要像温总理说的，“树立先进的教育理念，敢于冲破传统观念的束缚，在……教学内容、教育方法……等方面进行大胆地探索和改革”，在课堂上“创造自由的环境”，“做到学思的联系、知行的统一”，就能使学生学会学习，培养他们的创新思维。
受此启发，我想就概念教学中培养创造能力的问题谈点想法。
数学是基础学科；数学教育的目的是提高学生的数学素养，为学生的终生发展打好基础；数学学习的任务是掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，学会有条理地思考、有逻辑地表达，培育理性精神，学会用数学的眼光看、用数学的头脑想、用数学的手段做。这些都与“基础”紧密相关。基础课必须给学生以清楚的概念！教好概念是重中之重！
数学概念教学能培养学生的实践能力和创新精神吗？当然能！这是因为数学概念高度凝结着数学家的思维，是数学地认识事物的思想结晶，蕴含了最丰富的创新教育素材。数学是玩概念的，数学是用概念思维的，在概念学习中养成的思维方式方法迁移能力最强。所以数学概念教学的意义不仅在于使学生掌握“书本知识”，更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学认识世界的思想真谛，学会用概念思维，进而发展智力和培养能力。
数学教师，一介平民，没有权力和平台去决策国家大事。但你是教学的主导，课堂的一切“你说了算”，你的行为对学生有重大影响。因此，在基础知识教学中融入探究成分，讲逻辑推理之前先让学生进行归纳、类比、猜想等合情推理，把创新精神与实践能力的培养落实在课堂，这是想做就能做、用心能做好的。
国家兴亡，匹夫有责。温总理高度重视教育和对杰出人才的渴望深深地打动着我们，他对我国当前教育的忧虑极大地感染着我们。愿广大教师能与总理气息相通，把危机感化作教育创新的不竭动力，行动起来，为培养人才尤其是杰出人才作出贡献。
概括
──概念教学的核心
章建跃
函数是中学数学最重要的、也是学生最难理解的概念之一，因此如何设计好它的教学过程，是数学教研中经久不衰的热点问题。本期刊登的“函数概念教学的再思考”一文，从对函数概念学习的渐进性分析入手，明确了高一阶段函数概念的核心是“对应法则”，在APOS理论指导下分析了学习“集合对应说”函数概念应经历的阶段，比较了函数概念的不同呈现方式，通过问卷方式了解学生的函数概念认知基础，然后再设计出精细的函数概念教学过程。我们相信，这样精雕细琢地设计概念的概括过程，学生对函数概念的理解将容易得多、到位得多。

实际上，概念教学的核心就是“概括”：将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。数学教学要“讲背景，讲思想，讲应用”，概念教学则要强调让学生经历概念的概括过程。这里有几个要点值得注意：

第一，数学概念的高度抽象性，决定了对它的认识过程的曲折性，不可能一步到位，需要一个螺旋上升地、在已有基础上进一步概括的过程；

第二，人类认识数学概念具有“渐进性”，个体对数学概念的认识要“重演”人类的认识过程，因此学习像函数这样的核心概念，需要区分不同年龄阶段的概括层次（如变量说、对应说、关系说等），这也是“教学与学生认知水平相适应”的本意所在；

第三，为了更有利于学生开展概括活动，例子的选择至关重要，“一个好例子胜过一千条说教”；

第四，“细节决定成败”，必须安排概念的精致过程，即要对概念内涵进行“深加工”，对概念要素作具体界定，让学生在对概念的正例、反例作判断的过程，更准确地把握概念的细节；

第五，在概念的系统中学习概念，即要通过概念的应用，形成用概念作判断的“操作步骤”的同时，建立相关概念的联系，这是一次新的概括过程。

顺便提及，在我们的一次有3200多位教师参与的调查中，有68.04%的老师认为应当“从映射到函数”地进行函数教学。这样做在数学的严谨性上无懈可击，但从人类对函数概念认识的渐进性考虑，从学生“重演”人类认识过程的规律出发，从“让学生经历概念的概括过程”考虑，“从映射到函数”的处理方式是否都存在诸多不利呢？

数学概念教学的重要性是公认的，但对概念教学过程的理解是仁者见仁的。不过，无论有多少不同理解，概念教学的核心就是两个字——概括。
“创造性使用教材”≠“脱离教材”
章建跃
本期刊登的文章中，有多篇文章不约而同地谈到要重视教材的问题。薛红霞以函数概念的教学为例，阐述了理解教材编写意图对于实现教学目标、提高课堂教学质量的重要意义；连春兴和王霞阐述了以“学案”引导学生阅读教材、开展探究性学习的做法；而对最容易脱离课本的高考复习，韦华荣也提出要以课本为依据、充分重视课本例习题的观点。这些观点值得重视。
不过，在最近的大量课堂观察中（其中包括全国优质课评比活动中的课），我发现脱离课本进行教学的现象很普遍，这是令人担忧的。
调研表明，出现脱离课本进行教学的原因主要有三个方面：
第一，许多教师认为教材内容“简单”，不足以应付高考；
第二，误解本次课改提倡的“不是教教材，而是用教材教”、要“创造性地使用教材”的真正意图；
第三，许多教师不善于或不愿意花大力气研究教材。
对上述问题，我有如下几点思考：
首先，一定要正确理解“不是教教材，而是用教材教”的内涵，我认为这是针对“照本宣科”而言的，绝对不是提倡大家“脱离教材”进行教学（当然，某些“课改专家”确实提出过“教材仅仅是课程资源的一种”“教师是课程资源的开发主体”等，但实践证明，这些观点过于理想化了）。
其次，“教材太简单，不足以应付高考”的观点是偏颇的。诚然，教材的“基础性”与高考的“选拔性”确有一定的目标差异，但学好教材一定是高考取得好成绩的前提，教师的主要精力应当放在帮助学生熟练掌握教材内容上。
第三，理解教材是当好数学教师的前提，而“理解教材”的第一要义是“理解数学”：了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等。
第四，要仔细分析教材编写意图：教材的结构体系、内容顺序是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习题是精挑细选的。因此，在处理教材时，内容顺序的调整要十分小心（否则容易导致教学目标的偏离），例子可以根据学生基础和当地教学环境替换，但所换的例子要反映教科书的意图，要能承载书上例子的教学任务。
在1999年出版的《数学教育心理学》中我曾说，“教之道在于‘度’，学之道在于‘悟’”。在课标教材实验过程中，许多老师觉得这个“度”不好把握。我认为这主要是对课标教材的研读还不够深入所致，不领悟教材就不可能把握好“度”。
课本、课本，一科之本。课堂教学应“以课本为本”。
在领悟数学知识蕴含的思想方法上下功夫
章建跃
陈振宣先生关于“构建数学核心概念意象”的论述，其主旨是追究概念的本源，寻找适当的模型表达。其实，中学数学的内容，追本溯源，都有本质的精简性、思想的朴实性，本源上都是自然且直观的。因此，把数学教得平易近人、精简实用应是数学教师的基本追求。
不久前看到一篇“等差数列前n项和公式的推导”的教学论文。文中提到，“倒序求和”是重要的思想方法，由高斯求1+2+…+100的方法得不出“倒序求和法”。因此，“人教A版”应当改变设计思路，以“梯形钢管堆的计数”“梯形面积”等引出“倒序求和”法。
是否老师们都认为“倒序求和”是重要的思想方法呢？在网上搜索相关文献，发现大多数老师持这一观点，并且都紧紧围绕这一“思想方法”展开教学，不遗余力地要让学生掌握这一方法。教材培训时的“即兴调查”结果也一样，大多数老师认为推导等差数列求和公式的思想方法是“倒序求和”。
我认为，“倒序求和”并不是什么思想方法，“重要”就更谈不上了，它只是为了避免对项数n进行奇偶讨论而引入的一个技巧，并不具有根本的重要性。
事实上，推导等差数列{an}前n项和公式的核心思想是：用等差数列的性质“等差数列{ an }中，当m +n=p +q时，am + an = ap + aq ”，将不同数求和化归为相同数求和，数量关系上看是利用了“平均数”概念；进一步地，如果从等差数列的概念和通项公式出发，由于Sn=na1 +d[1+2+…+(n－1)]，问题可化归为求1+2+…+(n－1)。所以，“人教A版”的设计思路，即：从“高斯的故事”引入，再归纳高斯方法的本质，明确其实质是用了上述性质，然后再用这一方法求1+2+…+n的值（需要分n为奇数、偶数），最后再过渡到一般等差数列的求和公式，是一种聚焦基本概念和基本原理，引导学生经历从特殊到一般的归纳过程，从中领悟“化归”的思想方法的思路。“倒序求和”的技巧可以在讨论n的奇偶性而获得求和公式后，再让学生思考“能否想个办法避免讨论”，把公式变形为2 Sn=n(a1 + an)，再联系性质而得到。因此，“倒序求和”的技巧实际上是“倒过来想”的产物，估计前人也是出于避免对n的奇偶讨论而想到的。许多老师都在为这一“思想方法”的自然引出而绞尽脑汁，但我认为，如果仅仅盯在“倒序求和”上是做不到的，因为它不是“原发性”的，不是求和公式这一“内容所反映的思想方法”。
因此，应把“等差数列前n项和公式”看成是等差数列概念、性质的应用课。这一课的教学，重要的是要培养学生从基本概念、基本原理出发思考问题的习惯。具体教学时，应在明确任务（即用基本量a1，d，n(或a1，an，n)表示Sn）的基础上，引导学生从基本性质、通项公式入手，寻找化归的方法，在不断“求简”的追求中得到“倒序求和”。
顺便提及，在等差数列{an}中，看看a1=1，d=1这一特例，考察一下它与一般等差数列的关系，不难发现：最简单、最本质的等差数列就是1，2，3，…，n…，这就是等差数列的意象。其他都是它的“变式”——a1代表不同“起点”，d代表不同“步长”。研究等差数列时，想想自然数的性质是很有启发的。
领悟数学知识所蕴含的思想方法是教师的基本功，也是构建合理的教学过程、提高课堂教学有效性的前提。
要把精力集中在核心知识的研究上
章建跃
本期有两篇讨论“零向量”问题的文章。从赵宏伟老师的参考文献中看到，许多老师对这个问题感兴趣。在我平时的调研中也常有老师问及于此。这些都说明“零向量与任一向量平行”“零向量与任一向量垂直”之类的规定，真的困惑了不少老师。对此，我有如下想法与大家交流。
首先，从向量代数的角度看，我们首先感兴趣的是非零向量，它们有好的运算—加法，并由此延伸出数乘向量。为了使它的逆运算（即减法）完满、不留空白，必须引进零向量。这是零向量的核心意义，就像实数集中的0在运算中的地位一样。由于零向量的位置特殊，数学家们约定“零向量的方向不确定”。这样，在处理具体问题时，让它与某一向量平行或垂直都可以。这是一种人为的、合乎习惯的并且方便于应用的规定，就像“0既不是正数，也不是负数”（其实也可以说成是“0既是正数，也是负数”）一样。
其次，向量有它的几何原型—有向线段，而且我们借助于几何图形，用“三角形法则”等定义它的运算，因此“向量集数与形于一身”。在研究了向量的运算及其规律后，回头再看向量运算及其结果的几何意义，就有了解决几何问题的向量法，而且向量法的力量无限。这种力量集中体现在它仅用“向量相加的‘首尾相接法则’”、“向量数乘的意义和运算律”、“向量数量积的意义和运算律”、“平面向量基本定理”等四条基本法则来解决几何问题。这些是中学向量教学应关注的核心问题。
第三，我们应把精力集中在核心的、更重要的内容上。例如：
如何理解函数概念？为什么课标提倡“从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念”？
如何帮助学生建立向量概念？为什么要强调向量的几何背景、物理背景？向量法的特色是什么？
如何与时俱进地理解任意角的三角函数？为什么要强调单位圆的作用？
为什么说“等差数列是自然数列的变式”？
为什么说“统计的核心思想是归纳的思想”？统计教学为什么要强调让学生亲自动手收集数据？
为什么说“概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义”？为什么在古典概型之前不讲计数原理？
如何理解“瞬时变化率就是导数”？导数的思想及其内涵是什么？
当然，教师在自己深刻理解的基础上，还要将这种理解做出教学表达，其目的是要有利于学生的理解。例如，把“零向量的方向不确定”与“0的符号不确定”作类比，可以帮助学生体会零向量的“味道”。
这篇短文是我在绍兴讲课时写成的。突然有一个联想，对零向量的这种“考证”，是否与当年孔乙己对茴香豆的“茴”有多少种写法的考证一样呢？这个联想对考证零向量的老师确实是大不敬了，望海涵。但无论如何，费那么多的笔墨于零向量，确实不够大气。

注：本文涉及刊物内容详见张景中等《向量教学存在的问题及对策》，载《数学通报》2009年第9期。
必须关注教学内容的变革
章建跃
也许，大多数老师都认为，变革教学内容是课程专家的事。我们是教书的，只要照章行事，教好课标规定的内容就行。果真如此吗？据我的观察，问题并不这么简单。教师对内容变革的合理性及其精神实质的理解，无形中会对教学产生很大影响。
本期阮伟强老师《一道课本例题解法的质疑与探究》一文，本质是对立体几何中向量法地位的质疑。事实上，人教A版给出的解法并不是地道的向量法，有“为向量而向量”的嫌疑。难怪学生会有“多此一举”的质疑。阮老师的教学处理有机智，在学生有质疑时，让他们自己给出“向量味”十足的证法。只是，在他的教材修改建议中，又提议用旁白等形式提醒学生用综合法证明。这种表现很有代表性。事实上，很多老师由于对立体几何课程改革的敏感性不够，导致对向量法态度上的举棋不定，有的甚至认为中学应取消向量法。当然，这种状况“教材和教参的编写者要负相当大的责任”①。
立体几何课程改革中，应强调解析方法（包括向量法）还是综合法？一般地，几何问题代数化易于找到确定的解法，不会无从下手，对学与教都有好处，遗憾在于直观性不强，如果运算繁复更会让人感到缺乏综合法的灵巧。综合法较难，但确有引人入胜的魅力，解题中的神来之笔令人心花怒放，能从中真正体验到数学的美。难怪有人因学欧氏几何而爱上数学。因此，取舍很难。
但从几何学的发展看，研究方法的进步是标志。实验几何用归纳实验发现空间的本质；推理几何用演绎法，以逻辑推理探索新知，并将几何整理成公理化体系；坐标解析几何用坐标法研究几何性质，不但将几何与代数简明有力地结合起来，开创了近代数学的先河，而且导致微积分的产生，解析法在自然现象的研究中也得到广泛使用；向量几何本质上是坐标解析几何的返璞归真，最大优越性在于向量运算的正交不变性，由于几何学研究的是空间所有保长变换所构成的变换群的不变量理论，因此向量是最有力工具。向量几何是不依赖于坐标系的解析几何，它自然而然地化解了由坐标系的选取所引入的各种（非几何的）非不变量的困扰②。因此，向量法很重要，代表了几何发展的方向，这样先进的工具应让学生学习。
另外，高中以学习向量几何为主已是世界潮流。美国的高中数学课程强调“发展用坐标、网络、变换、向量及矩阵来表达几何思想”，并要懂得各种表征方法的联系；从本期王奋平介绍的英国“高考”内容看，英国的几何课程没有综合几何，但有较高的向量几何要求；法国的课程也如此；日本、新加坡、我国港澳台地区等也如此。类似的，增加统计、概率内容，也是潮流；西方早在1960年代就已把微积分作为优秀高中生的必学课程了。我们必须思考为什么会有这种趋势。我认为，这不是赶时髦的结果，而是为了反映数学发展的趋势和信息化社会对公民数学素养的需求。
综上，高中几何应以向量几何为主，综合法应在初中平面几何中得到更好的训练。目前的问题是大家对向量法的优美和力量注意不够，需要我们加强研究，改变习惯思维和做法，使向量几何真正融入高中数学，成为主角。
注：
①张景中等. 向量教学存在的问题及对策[J]。数学通报，2009（9），8
②项武义. 基础几何学[M]。北京：人民教育出版社，2004，2~3
改变习惯从加深理解内容开始
章建跃
本期刊登了王能斌的《对三角函数定义修改的感悟》。文中指出，对于三角函数的定义，许多老师很怀古，钟情于“任意角终边上一点的坐标比值”的定义方法，而对“单位圆上点的坐标就是三角函数”的定义方法不适应，提出种种理由拒绝它。早在2007年之初，我就在《数学通报》上发文，剖析了这些“理由”，这里不再赘述。其实，数学定义是选择的结果。教材的选择，既要考虑定义本身是否简单、易学及对后续学习的影响，还要考虑它是否反映了现代数学的发展和实际应用的需要。人教A版用单位圆上点的坐标定义三角函数，是因为它体现了“三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现”，并能给后续学习带来极大方便，这在王老师的教学中也得到了证实。这里我想谈的是要以开放的心态，更新自我，通过深入理解内容而实现习惯的改变。
公元前的亚历山大里亚时期，为了建立定量的天文学，以便用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时、计算日历、航海和研究地理等，三角术在希腊定量几何学中应运而生。到托勒密（Ptolemy，公元168年去世）出版《数学汇编》，希腊三角术及在天文学上的应用达到顶峰。这部著作中有大量三角恒等变形问题，包括和（差）角公式、和差化积公式等，证明采用了初等几何方法。三角学的发展与天文学相互交织，且服务于天文学。到十六世纪，三角学开始从天文学里分离出来，并成为数学的一个分支。为了应付航海、天文、测量等实践之需，制作三角函数表成为三角学研究的核心工作。因为在制作过程中需要大量的三角恒等变形，所以三角恒等变形问题占据了重要地位。后来，随着对数的发明，特别是微积分的创立，三角函数表的制作变得轻而易举，繁杂的三角恒等变形不再需要，曾经重要的三角公式也风光不再。因此，在中学数学课程中，三角恒等变形应逐渐退出历史舞台。
那么，三角函数课程应如何与时俱进呢？
首先，从应用的角度看，应强调三角函数作为描述周期现象的重要数学模型的地位，因为“三角函数与其它学科的联系与结合非常重要，最重要的是它与振动和波动的联系，可以说，它几乎是全部高科技的基础之一”①。要特别重视对y=Asin(ωx+φ)的研究。
第二，“正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接反映。”②所以，要充分发挥单位圆的作用，三角函数课程要用单位圆为载体来组织，要借助单位圆的性质研究三角函数的所有内容。
第三，在思想、方法上，要强调函数的变换（映射）与坐标系的变换及其关系、对称性与不变性等数学的主流思想和方法。例如，把诱导公式作为“关于x轴的轴对称变换T1：”和“将θ的终边绕原点逆时针旋转的旋转变换T2：”的合成；把和（差）角公式作为“角α旋转任意角β的旋转变换公式”等。
第四，要强调三角函数与向量、复数、解析几何等的联系与综合。
总之，定义三角函数的最好方式是利用直角坐标系中的单位圆③。抓住三角函数作为刻画匀速圆周运动的数学模型，这就真正抓住了要领，就能以简驭繁。
注：
①齐民友. 三角函数 向量 复数[J]。数学通报，2007（10）（11）
②项武义. 基础数学讲义丛书·基础几何学[M]．北京：人民教育出版社，2004，82页
③[美]R·柯朗等. 什么是数学. 左平，张饴慈译. 上海：复旦大学出版社，2005，283页
2011
改进教学从加深理解内容入手
章建跃
本期刊登了“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”课题组第九次研讨会成果。会议聚焦的“统计、概率的教育价值”“章起始课的教学”“概念教学”等都是当前数学教学中需要重点研究的课题，也是课堂教学的难点问题。这里就提高统计与概率教学水平问题谈点看法。
大量课堂观察发现，制约统计与概率教学水平的瓶颈首先在教师自身的知识储备。有些老师甚至“照本宣科”都做得不好。因为对统计、概率的基础知识理解不深、把握不准，课堂中出现一些常识性错误。例如，在概率课上，不止一次听到教师与学生这样的对话：“概率为0的事件是？”—“不可能事件！”—“对！”又例如，由于对随机变量的“定义域”是“试验结果的集合”理解不深，许多老师将“随机变量”等同于“函数”。
更常见的是，因为教师对内容不熟悉，导致对学生出现的知识理解偏差缺乏敏感性，不敢理直气壮地纠正学生的错误。因为怕说“外行话”，许多老师甚至对学生的问题采取听而不闻、视而不见的“明智”办法。例如，引入随机变量概念是为了能用数学工具和方法研究随机现象，因此在定义具体问题中的随机变量时，除了注意其实际意义，更要考虑是否有利于随机现象的研究。但很多老师却囿于“随机变量可以自由定义”，不能做到瞻前顾后，在掷硬币的试验中，当学生提出用“1”和“－1”、“1”和“2”等分别表示硬币的“正面向上”和“反面向上”时，不仅认可，还用“一对相反数正好对应于一正一反”加以鼓励，甚至问“还有别的定义方法吗？”殊不知，这样定义会给后续研究带来很大不便。
从思维习惯看，也因为对内容理解不深入，许多老师会不自觉地从确定性思维出发理解随机数学。例如，有些老师这样来解释概率的统计定义：“随着试验次数的增加，频率会越来越趋近于一个常数p，p就是概率。”
因为对统计与概率的学科特点理解不深，许多老师把统计与概率“教成了算术、画图表、计数”，而对于由它的“应用性”特点所决定的必需让学生动手实践，解决一些真实的应用问题，在实践中学会一些统计方法等并不在意。例如，有些老师对教材没有线性回归方程的推导过程很不满，因此在“两个变量的线性相关”的教学中，把主要精力集中在系数公式的推导、训练学生记忆和熟练用公式计算上。这样处理并没有抓住内容的本质，没有体现其特点。实际上，这是“用样本估计总体”的一次典型实践，主要目的是让学生在实在地处理一类统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，学习用样本的频率分布估计总体分布、用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法，并体会样本频率分布和数字特征的随机性（即线性回归方程是随机的）。因此教学中应让学生处理一些典型案例，使他们经历较系统的数据处理全过程，把重点放在体会最小二乘法的思想上，放在理解回归方程系数的意义上，放在理解线性回归方程的意义上（线性回归直线是由样本数据决定的，有随机性，是对总体的一个估计），放在用回归直线对总体的分布和数字特征等作出估计上。公式的推导不是主要的，系数的计算可由计算器完成。
综上，改进统计与概率的教学，必须从加深理解内容入手。老师亲自解决一些真实的概率统计问题是一条捷径。其实，数学教学质量的提高又何尝不是如此呢？
过程自然才能使学生“会”
章建跃
最近看到一个“余弦定理”的教学过程：
师：在△ABC中，已知CB=a，CA=b，a≥b。当∠C从小到大变化时，AB的长变化趋势如何？
生：随∠C的增大而增大。
师：特别地，∠C=0°，90°，180°，AB的长等于多少？
生：a－b；；a+b。
师：把三个结论在形式上写得更接近些，即
∠C=0°时，AB=；
∠C=90°，AB=；
∠C=180°，AB=。
你能根据上述三个特例的结果猜想∠C=θ(0°＜θ＜180°)时，AB的长是多少吗？
生：AB=。
师：很好。大家能给出证明吗？
生：……
师：怎么不会呢？我们可以这样来证（教师板书证明过程）。
这段描述引发了我的思考：学生不会的原因是什么？
我认为，上述教学不包含使学生“会”的成分。三个特例的“统一形式”是老师以变魔术的方式变出来的，过程不自然，学生的“猜想”只是照猫画虎。因为过程不自然，所以“猜想”是老师强加给学生的；因为没有体现“内容所反映的数学思想方法”，所以学生得到的“猜想”是没有灵魂的；因为“猜想”不蕴含思想，所以学生不会证明是自然的。
那么，如何才能使学生“会”呢？我认为，在理解余弦定理及其反映的数学思想方法的基础上，再设计自然的过程，就能水到渠成地使学生“会”。可以从两个角度看“自然的过程”：
从解三角形角度，就是“已知三角形的两边及其夹角，求三角形的其他边和角”，解决它的核心思想方法是将它转化为已解决的问题，如解直角三角形、利用正弦定理等。
从向量及其运算角度，就是“在△ABC中，已知向量，的长和∠A，如何计算向量的长”，解决它的基本思想是利用和向量的数量积概念。由此可以发现余弦定理是勾股定理的推广。
根据上述理解，可按如下思路设计教学过程：
思路1（1）明确问题——在△ABC中，已知AB=c，CA=b和∠A，求BC；（2）有哪些知识可用？——三角形内角和定理，勾股定理，锐角三角函数，正弦定理等；（3）能否将问题转化为已解决的问题？如何转化？

思路2 （1）明确问题——在△ABC中，已知，和∠A，求；（2）有哪些知识可用？——根据向量加法的三角形法则有，而，再由向量的数量积定义可得结果。
上述思路1反映了“解三角形”的需要，体现了“将新问题化归为旧问题”的思想，学生容易接受，但局限是仅在平面几何中转圈圈，只反映了余弦定理的一个小应用；思路2简单且视野开阔，是“用另一种眼光看问题”，蕴含着“作为相对量的线段”的思想，不仅可以“解三角形”，而且具有深远的发展空间。
核心概念最有力量
章建跃
本期刊登了年届九十的陈振宣老先生撰写的《向量在轴上的射影的辨析》一文，本刊感到荣幸。从陈老先生的文章中我们感受到了我国数学教育前辈孜孜不倦、严谨求真的风范。他的责任心令人钦佩，他“默而识之，学而不厌，诲人不倦”的精神值得大家学习。
陈老先生文中提到的轴上的向量（即一维向量）的数量这一核心概念，与大家熟悉的有向线段的数量相通，直观、易懂、有用、好用。这种直观性与人的直觉完全一致，与学生在实数学习中建立的经验相吻合——用正、负数表示具有相反意义的量。向量是带有方向的量，它有大小和方向两个属性；向量的数量也有两个属性，符号（正、负）和模（大小）。两者之间的内在联系是：正、负号表示了向量的方向（以单位向量的方向为基准），模表示了向量的长度。
特别值得重视的是用符号代表方向，它奠定了轴上向量数量化的基础，由此就可以实现用实数表示向量：
在轴x（具有方向和长度单位的直线）上取一点O为原点，得数轴Ox，并设它的基向量为e，则Ox上任意一点P与向量一一对应，而且＝e。实际上，就是数轴Ox上点P的坐标p。由此可方便地推出数轴上两点间距离公式。
进一步地，可以把点在轴上的运动、轴上的向量加法、实数的代数和等统一起来：
在轴x上，一个点从点A运动到点B，再从点B运动到点C，无论两次运动的方向如何（可以区分出四种情况），都有。这一等式的代数意义实际上就是实数的代数和（表示了多次变化的结果）。
更进一步地，在平面直角坐标系中，借助于平面向量在轴上的射影概念（联系平面向量与一维向量的桥梁），利用轴上向量的数量，就可推出平面直角坐标系的基本定理，从而方便地推出两点间的距离公式、斜率公式、定比分点公式、三角形面积公式……这一套概念和理论能容易地推广到三维空间中去。
在上面的讨论中，我们特别强调了用符号表示方向的重要性，由此才有。也许有人会问，这不就是一个常识吗？值得如此重视吗？是的，值得重视，而且它很重要。它叫夏尔（或译为沙尔）定理，夏尔本人（Michel Chasles，19世纪重要的法国数学家）称之为“几何学的基本定理”，其实质意义是让几何量带上符号。“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处。初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括。”（F·克莱因）例如，让角带上符号而成为任意角，于是就有：设角α的始边、终边分别为OA，OB，让OB旋转任意角β到OC，则由OA旋转到OC的角是α＋β。否则就必须考虑：在OB旋转到OC时，是按顺时针还是按逆时针？因此，夏尔定理也是研究三角函数的基础。
中学数学核心概念往往具有鲜明的直观背景，简单、易懂且威力无穷，是开启中学数学大门的金钥匙。广大教师应加强修行，远离“题型+技巧”的雕虫小技，提升自己的鉴宝能力，集中注意力于核心概念，学会用金钥匙打开数学宝藏的方法，这样才能实现“减轻负担，提高质量”的宏愿，同时也使自己功德圆满。
时代发展与数学课程改革
章建跃
本期刊登了王奋平老师的《英国Edexcel数学A水平考试内容介绍》。至此，王老师对英国五大考试委员会（AQA、CCEA、OCR、Edexcel 、WJEC/CBAC）组织的A水平课程考试（相当于我国的“高考”）内容全部刊登了。从这一系列介绍中可以感受到我国高中数学课程内容与英国的巨大差异：他们的内容时代气息更加浓厚，范围更加广泛，更加针对现实应用的需要。当我们有些老师还在为删去韦达定理而不能简捷地求解“弦的中点轨迹问题”而非常生气时，他们已经在要求学生用区间分半法、线性插值法、牛顿-拉扑逊方法（The Newton-Raphson process）求形如f(x)=0的解了。这实在是一件令人害怕的事情。
在谈论我国数学教育时，我们都为中国学生在运算技能和逻辑推理能力上的优势而感到骄傲。确实值得骄傲。但如果我们的学生只有“纸上功夫”，我们还能骄傲得起来吗？另外，取得“优势”的“性价比”是否也需要考量一下呢？我认为，强调运算技能，其意义并不在迅速获得答案，而在于训练运算技能的过程中所形成的对数及其运算的敏感性，这种敏感性对于数学的高水平理解有重要意义，同时也有助于提高学生用数表达和处理实际问题的能力，这也是运算技能作为“双基”的意义所在。但当前的教学，为了应试，为了使学生在选择题、填空题上既快又准，以争取时间做后面的“选拔题”，不惜让学生进行大量刺激-反应训练。这种训练对建立“敏感性”没有好处，而且还可能导致学生厌烦数学。把追求更高的分数当成唯一目标显然是落后于时代发展的。

当前，数学课程改革正在世界范围内如火如荼地开展。外面的世界很精彩。无论从国家的竞争力还是从学生的发展，抑或是教师自身的发展而言，都值得我们认真分析、把握其中的趋势。固守己见将面临被淘汰的危险。虽然对中学教师的挑战主要在数学课堂上，但要从容地应对这种挑战却需要多方面的准备。除积极变革教学方式外，理解课程改革、把握课程内容的变化也至关重要。当前，信息技术的飞速发展使社会职业结构发生了很大变化，许多低技术含量的工作被高度智能化的机器所替代。以加减乘除的熟练技能为基础的工作越来越少了，对数学（如微积分、向量、统计、概率、离散数学、算法等）要求较高的新工作大量增加了。这是时代发展对数学课程的新要求，也是对数学教师的实质性挑战。我们应把握住时代发展对数学需求的脉搏，让学生学那些适应信息技术时代要求的数学知识，并要大力加强数学应用，从而为学生今后能在社会上找到自己的位置并获得成功打下必须的数学基础。
“题型+技巧”的危害
章建跃
郑良老师在《教什么永远比怎样教重要——从两道习题谈起》中，以亲身经历佐证了一个现象：数学教学中流行着“题型+技巧”，从高一到高二，“这类题目教师讲解、学生训练十来遍，解题程序学生倒背如流”，结果是学生的解法千篇一律。这样的做法，试图通过强化训练达到考高分的目的，非常符合“操作强化原理”。
“操作强化原理”是行为主义心理学中一个遭到人们普遍质疑和批判的学习原理，它抹杀人类学习与动物学习的本质区别，把源于动物学习的规律搬到人类学习活动中，试图通过条件作用的强化，让人对某种刺激形成特定的行为反应。据此，行为主义心理学大师斯金纳设计了程序教学，把学习分解和编制成详细的行为目录，采取连续渐进法施教。
在“题型+技巧”的教学中，“题型”即“特定刺激”，“强化物”即“分数”，“行为反应”就是对同类题目给出“千篇一律的解法”——“技巧”。虽然郑老师在文中未阐明“教什么”中的“什么”指什么，但他明确地反对把题目归类后再机械套用“正难则反”之类的“思想”（其实算不上思想）解题的做法，值得肯定。因为把解法（即技巧）固化在题型上，再经强化训练使学生模仿并记住，定会导致学生不顾题目具体特征而照搬技巧，使数学的思维训练价值荡然无存。
其实，“题型+技巧”的危害甚多。例如：
违背数学的基本精神。数学是一种理性精神。“正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，也正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵。”显然，“题型+技巧”不可能让学生领略理性精神的奥秘，就连学习中本来应有的直觉、想象、类比、归纳、概括等也鲜有使用，智力上的好奇心和对纯粹思维的兴趣更无法激发，必然导致数学学习的枯燥乏味。
使数学变得难学。数学是自然的、清楚的，数学知识的发展是水到渠成的。只要抓住数学的本质和精要所在，就可把数学教得“精简实用，平实近人，引人入胜”，就能使数学“易学，好懂，能懂，会用”，也就能使数学教育在提升国民的思维素质和创造性上发挥应有作用。“题型+技巧”把知识点生硬叠加，人为制造了大量偏题、怪题，把简单问题复杂化，“浅入深出”地设置思维障碍，使原本好懂能懂的数学变成了艰深晦涩的“玄学”。
增加学生的负担。学数学，要解题。这是理解概念、加强概念联系性的需要；同时，概念的深入理解和概念间顺畅的联系通道，能使解题思路变得本质且灵活。“题型+技巧”在细枝末节上下苦功，在犄角旮旯里深挖洞，在特殊技巧上捉迷藏，既加重学生负担，更使学生失去学好数学的自信。
导致学生数学学业成绩不良。我们常常陶醉于学生双基扎实，且把功劳归于“题型+技巧”。殊不知，由于模仿、记忆性学习使用过多，理解、探究性学习使用太少，“对题型，想技巧”的过程使学生没有机会经历概念的概括过程，结论的归纳过程，用概念推理的演绎过程，当他们独立面对新问题时，就会因对不上题型、想不起技巧而败北。至于那些与想象力、创造力相关的问题就更是一筹莫展了。
我认为，人们热衷于“题型+技巧”的原因是教育功利化，社会、各级政府和家长所认可的“教育GDP”是强大推手。但我们必须意识到，这种做法使高雅的智力活动退化成机械的简单劳动，对提升考分可能有效，而对学生成才却是祸根。“题型+技巧”可以休矣！
我讲了n遍了你怎么还不会
章建跃
标题中的疑问，许多老师不仅内心疑惑，而且经常会对学生“脱口而出”。这个话不仅伤人，而且不公平。因为，你那“n遍”到底讲了什么？是能让学生“会”的讲法，还是把他们引向“似是而非”、“盲点遍地”的讲法？董老师在“注重过程的教学才是有效的教学”中记录的教学过程，较好地诠释了为什么老师讲了n遍学生还不会。
作为“和（差）角公式”的典型应用，“二化一公式”（暂且叫它“公式”吧）实际上是“逆用公式解决问题”，既可以锻炼学生的观察力，又能训练思维的发散性。正如董老师所言，如果从学生熟悉的和（差）角公式的“正用”出发，再提出“逆用”的问题，通过铺设合理的认知台阶，在关键的地方（即发现“提取”）放手让学生探索，他们就不仅能掌握“公式”（它的结构特征和使用条件），而且适当训练后就能灵活应用。但遗憾的是教师A却把本应是自然而水到渠成的结果变成了“神兵天降”，而且是“使用暴力”。例如，在学生不知道如何把化成时，强制学生“提出2试试”；不顾学生“您怎么想到提出2？”的疑问，又让他们将sinx－cosx化成的形式，并再次强迫他们“提出试试”。在学生“发现”了提出的系数的规律，得出“公式”后，老师没有在分析“公式”的结构特征、明确使用条件上下功夫，而是迫不及待地引出另一个“知识点叠加的问题”：求函数的周期和最值。当学生依样画葫芦时，教师又一次使用“暴力”：“你怎么能这样化简呢？二倍角公式不知道使用吗？大家再用二倍角公式试试！”最后，在学生费尽九牛二虎之力而“仍然不会”时，教师“只好亲自上阵，演示化简过程”，这时的教师大概已黔驴技穷了。
教师A对“为何是您告诉学生提出系数2，，而不是让学生自己探究呢？”的回答：“学生自己也看不出来，这个问题就是一层窗户纸，一旦捅破了，什么神秘也没有了，直接告诉他们，再让他们发现就是，节约了时间，为下面的练习赢得了时间，教学效果会更好。”比较典型地反映了当前概念、原理教学中的教师心态。许多老师以为，让学生探究太费时间，老师点破，学生能懂，节约时间，效率提高。殊不知，这是剥夺学生思考的权利，是导致学生“不会”的根源。当然，从中也暴露出老师不懂学生数学认知规律，是专业素养不高的表现。
总之，如果教师讲的“n遍”是不讲理的、越俎代庖的、强加于人的，少了循循善诱，缺乏心智启迪，没有给学生以豁然开朗的思维体验，那么这个n趋向于∞也是枉然。
我认为，如果讲一遍学生不明白，老师就应扪心自问，“我对这个内容的理解是否深刻？”“我哪个地方讲得不到位？”“我是以学生能懂的方式讲解的吗？”“我的讲解是否针对了学生的理解困难？”如果你经常遇到“讲了n遍学生还不会”的情况，那么该怀疑的是你自己的数学教学水平，而不是学生的数学学习能力！
为什么学生听懂了却不会用
章建跃
常常听到老师这样的疑惑：我讲完课后问学生“听懂了吗？”学生都答“听懂了！”但解题时却是“我不会！”为什么学生听懂的知识却不会用呢？
我想，问题在于老师是怎么让学生“听懂”的。进一步地，学生是“真懂”还是“假懂”？本期刊登的沈顺良老师的“三种不同引出的比较与分析”可以为“什么才是真懂”和“怎样才能使学生真懂”作些注解。
沈老师从听课中发现，由于教师对教学内容及相关知识的联系性的认识不同而给出了不同的教学设计，由此导致了不同的教学效果。在“片段一”和“片段二”中，值得我们注意的是学生的那两个“？”号。这是两个大大的问号！
在“片段一”中，老师设“局”太明显，学生虽然猜到老师的意图，得出了一般结论“logaM+ logaN= loga(M·N)”，但这样的结论并不是从知识发展的自然过程中产生的，是被老师“套”出来的。因为其中没有“内容所反映的数学思想方法”的启发，没有给出证明的基础，所以学生产生大大的“？”号是自然的。
“片段二”中，教师先让学生回顾对数的定义和指数幂的运算性质，然后提出“能否将am·an=am+n转化为对数运算的性质？”这是一个从天而降的问题，缺乏逻辑的必然性，因此必然让学生感到莫名其妙而产生大大的“？”号。这样的教学，学生也能听懂，但它是从指数幂的运算性质出发经“形式化变形”而得的，因为学生缺少将新问题化归为已有知识的心理过程，因此不利于对数运算性质的理解和掌握。这样，学生“听懂了但不会用”就在所难免。
实际上，人教A版在本节内容的开篇设计了一个“探究”：“从指数与对数的关系以及指数幂的运算性质，你能得出相应的对数运算性质吗？”其意图很明显，是希望学生利用指数和对数的关系，把对数问题化归为指数问题，借助指数幂的运算性质，导出对数的运算性质。这是本课内容的核心，应围绕它展开教学。当然，具体教学时还应根据学生的认知规律设计相应的过程。“片段三”理解了教材的编写意图，引导学生根据指数与对数的关系实现化归，从而得出对数的运算性质。这样的过程是自然的、水到渠成的。在此，学生不仅得到了对数运算的性质，而且理解了其中蕴含的数学思想方法。这是一种思维的教学，是使学生“学会思考”的教学，这样才能使学生“听懂了就会用”。
当然，要使学生真懂、会用，还是要通过学生自己的独立思考、自主探究。对数运算性质的推导并不难，教师可以先让学生明确教科书中那个“探究”的意图，与学生讨论清楚对数运算性质的研究思路，然后放手让学生自己探究，最后组织学生集体交流、相互补充就可以了。
顺便指出，有的老师把logaN理解为“对数运算”，认为“log39的运算结果是2”，这是不正确的。logaN就是一个数，其意义是=N。而对数运算是指对数之间的运算。
另外，数学史上，对数的发明与指数并无瓜葛，人教A版对此已有介绍。如果以自然对数的定义——为出发点，那么lnx表示函数f(x)=介于ξ=1和ξ=x之间的“曲边梯形”的面积。根据积分的定义，我们很容易证明lnx1+lnx2=ln(x1x2)。
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