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课题：1.1.1
空间向量及其线性运算
1、空间向量
（1）空间向量的定义
在空间，把具有_______和______的量叫做空间向量，向量的_______叫做向量的长度或模。
注意：向量不能比较大小。
（2）空间向量的表示方法
空间向量用_________表示，有向线段的_______表示向量的模。
若向量的起点是A，终点是B，则向量也可记作______，其模为_____或_______。
（3）特殊向量
①零向量：规定_______________叫做零向量，记作_____.
当有向线段的起点A与终点B重合时，=____
②单位向量：___________________叫做单位向量。
③相反向量：与长度________而方向________的向量称为的相反向量，记作_______
④共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相_____________，则这些向量叫做__________或________，记作_______
注意：①与任意向量都是共线向量。
②向量的平行(共线)不具备传递性，即若//，//，不一定有//，只有当为非零向量时，平行(共线)的传递性才成立，即≠，//，//，则//
⑤相等向量：方向__________且模_________的向量称为相等向量。在空间中，
__________________的有向线段表示同一向量或相等向量。
2、空间向量的线性运算
（1）空间向量的加法、减法
类似平面向量，定义空间向量的加减法运算（如图）：
=______+_______，=______—_______
注意：
①向量加法：平行四边形法则要求两向量共起点，运用三角形法则要求两向量首尾顺次相连。
②向量的减法：要求两向量共起点。
（2）空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积_______仍是一个__________，称为向量的数乘运算。
λ的范围
方向关系
大小关系
λ>0
方向_________________
λ的长度是的长度的_____
λ=0
λ=______，其方向是______
λ<0
方向_________________
3、空间向量运算律
（1）交换律：_____________；（2）结合律：_____________
（3）分配率：______________；_______________；
（4）数乘结合律：______
4、共线向量定理
对于空间任意两向量，（），//的充要条件是存在实数λ使___________
5、方向向量
如图，O是直线1上ー点，在直线l上取非零向量，则对于直线上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得。我们把与向量______的非零向量称为直线l的方向向量。这样，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定
6、共面向量
（1）共面向量的概念
如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行于直线1。如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量平行于平面α。_____于同一个平面的向量，叫做共面向量。
（2）共面向量定理
若两个向量，不共线，则向量与，共面的充要条件是存在惟一的有序实数对（x，y）使_______________________________
典型例题：
例1、如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使。求证：E，F，G，H四点共面
针对练习：
1、如图，E，F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB，CD的中点。化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量。
（1）
（2）
（3）
（4）
2、如图，用，，表示，及
4、如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点。化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
（1）
（2）
（3）
5、如图，已知正方体ABCD—A'B'C'D'，点E，F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心，求下列各式中x，y的值：
（1）
（2）
（3）
001
002课题：1.1.2
空间向量的数量积运算
1、空间向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量,，在空间中任取一点O，作＝，＝，则_________叫做向量，的夹角
（2）图示：
（3）记法：________
（4）范围：________，当＝0，两向量_____________，当＝，两向量_____________，
所以若//，则<,>＝_________________。
（5）如果<,>＝，那么向量,___________，记作___________
注意：空间任意两个向量,，有：①<,>＝<,>；②<,－>＝<－,>＝π－<,>
2、空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量,，则______________________叫做,的数量积。
（2）记法：________
（3）表达式：________________________
（4）零向量与任何向量的数量积为0。特别地，＝______________＝_________
3、数量积的性质：
（1）__________
（2）若与同向，则＝_____________；若与反向，则＝_____________
特别地：||＝___________
（3）cos<,>＝_______________
（4）||_____||||
4、投影向量
如图（1），在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，
向量称为向量在向量上的投影向量。类似地，可以将向量向直线l投影（图（2））
如图（3），向量向平面β投影，就是分别由向量的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量在平面β上的投影向量。这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面β所成的角
5、数量积的运算
（1）数乘向量与向量数量积的结合律：＝_____________
（2）交换律：＝______________
（3）分配率：＝______________
典型例题：
例1、如图，在平行六面体ABCD—A'B'C'D'中AB=5，AD=4，AA'=7，∠BAD=60°，
∠BAA'=∠DAA'=45°。
求：（1）?；（2）AC'的长
001
002

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