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八年级数学《第1章 三角形的证明》单元易错题训练
一、选择题
1．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（　　）
A．25° B．25°或40° C．25°或 35° D．40°
2．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则DE＝（　　）
A． B．2 C． D．3
3．如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（　　）
A．S1＜S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＞S2+S3 D．无法确定S1与（S2+S3）的大小
4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD⊥AB于点D，△ABC的面积为120，则△BCD的面积为（　　）
A．20 B．24 C．30 D．40
5．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，DE是AB的垂直平分线交AB于点E，则∠CBD的度数是（　　）
A．22° B．22.5° C．24° D．24.5°
6．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．则线段PC的长度为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
7．平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（2，0）．若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（　　）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
9．如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（　　）
A．90°﹣m° B．180°﹣2m° C．30°+m° D．m°
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，连接AE，∠AEB的度数是（　　）
A．30° B．35° C．45° D．35°
二、填空题
11．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是　 　．
12．已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，动点P在线段BC上从B点向C点运动，连接AP，则AP的最小值为等于　 　．
13．如图，已知△ABC的周长是8，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是　 　．
14．在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为　 　．
15．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝65°，则∠B的度数为　 　．
16．如图，在△ABC中，高AD和BE交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝　 　．
17．如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为　 　．
18．如图，△ABC为等边三角形，延长BC到点D，且BC＝CD，连结AD，作CE∥AB交AD于点E，若AB＝4cm，则ED＝　 　cm．
三、解答题
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，∠BAD＝90°﹣∠C，点F在AC上，BF⊥AD，垂足为E，若CD＝2，AD＝4．
求：（1）线段BD的长为：　 　；
（2）线段EF的长为：　 　．
20．如图，等腰△ABC中，顶角∠A＝42°，点E，F是内角∠ABC与外角∠ACD三等分线的交点，连接EF，则∠BFC＝　 　°．
21．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若AB＝6，求DE的长．
22．如图，在△ABC中，点 E、F分别在AB、AC上，AD是EF的垂直平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，EF交AD于点G．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC＝60°，求证：DE＝2DG．
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．
24．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
（1）求∠PAQ的度数．
（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
25．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；
（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．
①补全图2；
②若BN＝DN，求证：MB＝MN．
26．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
参考答案
1．解：当50°为底角时，
∵∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
当50°为顶角时，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝65°，
∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
2．解：
延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，
∵DE∥AC，∠C＝90°，
∴∠BGE＝∠C＝90°，
∴EG⊥BC，
∴∠DGC＝∠DHC＝∠C＝90°，
∴四边形DGCH为矩形，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥AC，DG⊥BC，
∴DF＝DM，DG＝DF，
∴DH＝DG，
∴四边形DGCH为正方形，
在Rt△BDG和Rt△BDF中，
，
∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），
∴BF＝BG，
同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，
由勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2＝100，
∴AB＝10，
设CH＝CG＝x，则AH＝6﹣x，BG＝8﹣x，
∴AF＝6﹣x，BF＝8﹣x，
∴AB＝10＝AF+BF＝6﹣x+8﹣x＝14﹣2x，
即14﹣2x＝10，
解得：x＝2，
∴CH＝CG＝2，BG＝6，
∵DE∥AC，
∴△BEG∽△BAC，
∴，
即，
∴EG＝4.5，
∴DE＝EG﹣DG＝4.5﹣2＝2.5，
故选：A．
3．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵P是△ABC的三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF，
∵S1＝?AB?PD，S2＝?BC?PF，S3＝?AC?PE，
∴S2+S3＝?（AC+BC）?PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：A．
4．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝30°，
∴BC＝2BD，
∴AB＝4BD，
∴S△ABC＝4S△BCD，
∵S△ABC＝120，
∴S△BCD＝30，
故选：C．
5．解：∵BD⊥AC，DE是AB的垂直平分线，
∴∠ADB＝90°，DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝67.5°﹣45°＝22.5°，
故选：B．
6．解：过P作PE⊥OB于E，
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，
∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，
∵OD＝DP，
∴∠BOP＝∠DPO，
∴∠AOP＝∠DPO，
∴PD∥OA，
∴∠PDE＝∠AOB，
∵∠AOB＝30°，
∴∠PDE＝30°，
∵∠PEO＝90°，DP＝2，
∴PE＝DP＝1，
∴PC＝1，
故选：C．
7．解：∵点A、B的坐标分别为A（1，1），B（2，0）．
∴AB＝，
①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即（0，0）、（2，0），
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有4个．
故选：C．
8．解：①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成等腰三角形；
②当等腰三角形的三边长是3，7，7时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此三角形的周长是3+7+7＝17；
综合上述：三角形的周长是17，
故选：C．
9．解：∵AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵AB＝AC，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠BEC＝∠BEA+∠ACE，
∵∠BAC＝m°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，
∴∠BEC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝[180°﹣（180°﹣m°）]＝m°，
故选：D．
10．解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴EF＝EH，EG＝EH，
∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，
∴AE平分∠FAG，
∵∠CAB＝40°，
∴∠BAF＝140°，
∴∠EAB＝70°，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∴∠ABH＝130°，又BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝65°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°，
故选：C．
11．解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝8，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，＝AB?DE+BC?CD，＝×12×8+×18×8，＝120．
故答案为：120．
12．解：如图，P在BC上运动时，由垂线段最短知，
P在AP⊥BC时，AP最短，
作AM⊥BC，
∵AB＝BC，
∴BM＝MC＝BC＝3，
在Rt△ABM中，BM2+AM2＝AB2，
即32+AM2＝52，
∴AM＝4，
即AP最最小值为4．
故答案为：4．
13．解：
连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OD＝3，
∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，
∵△ABC的周长是8，
∴AB+BC+AC＝8，
∴△ABC的面积S＝S△ABO+S△BCO+S△ACO＝AB×OE++
＝＝×（AB+BC+AC）＝＝12，
故答案为：12．
14．解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴AD+AE＝BD+CE，
∵BC＝10，DE＝4，
当BD与CE无重合时，如图1，
AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，
当BD与CE有重合时，如图2，
AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+4＝14，
综上所述，AD+AE＝6或14．
故答案为：6或14．
15．解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
设∠CAD＝∠BAD＝x°，
∵EF垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵∠FAC＝65°，
∴∠FAD＝∠FAC+∠CAD＝65°+x°，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，
∴65°+x°＝∠B+x°，
∴∠B＝65°，
故答案为：65°．
16．解：∵△ABC为锐角三角形，
∴高AD和BE在三角形内．
∵高AD和BE交于点H，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°．
∵∠EBD+∠BHD＝90°，∠AHE+∠HAE＝90°，∠BHD＝∠AHE，
∴∠EAD＝∠EBD，
又∵BH＝AC，∠ADC＝∠BDH＝90°，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴BD＝AD，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ABC＝45°．
故答案为45°
17．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，
又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+CD＝13cm，
即AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．
故答案为19cm．
18．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4cm，∠BAC＝60°，
∵BC＝CD，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝60°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+30°＝90°，
∵CE∥AB，
∴∠CED＝∠BAD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴CE＝CD＝2cm，
∴ED＝2（cm）．
故答案为：2．
19．解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，
设∠C＝α，则∠BAD＝90°﹣α
∵BF⊥AD，
∴∠AEB＝90°
∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝α
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABE＝α＝∠CBE，
∵∠AEB＝∠DEB＝90°，BE＝BE，
∴△ABE≌△DBE（ASA），
∴AE＝DE，AB＝BD，
设AB＝BD＝AC＝x，
∴BC＝x+2，
∴BH＝CH＝，
∴DH＝﹣2，
∵∠AHD＝∠BED＝90°，∠ADH＝∠BDE，
∴△ADH∽△BDE，
∴，
∴，
∴x1＝﹣8（舍），x2＝10，
∴BD＝10；
故答案为：10；
（2）∴AB＝BD＝AC＝10，DH＝4，
∴AH＝8，
如图2，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，
∴∠G＝∠AHD＝90°，
∵∠ADH＝∠CDG，
∴△ADH∽△CDG，
∴，
∴，
∴CG＝，DG＝
∵EF⊥AD，CG⊥AD，
∴EF∥CG，
∴△AEF∽△AGC，
∴，即＝，
解得：EF＝，
故答案为：．
20．解：∵等腰△ABC中，顶角∠A＝42°，
∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣42°）＝69°，
∴∠ACD＝111°，
∵点E，F是内角∠ABC与外角∠ACD三等分线的交点，
∴∠FBC＝×69°＝23°，∠FCA＝×111°＝74°，
∴∠BCF＝143°，
∴∠BFC＝180°﹣23°﹣143°＝14°．
故答案为：14．
21．证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，
即∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝6，
∴AD＝3，
在Rt△ADE中，AD＝3，∠DAE＝30°，
∴DE＝．
22．证明：（1）∵AD是EF的垂直平分线，
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC
（2）∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠BAC＝30°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD+∠AEG＝∠DEG+∠AEG＝90°，
∴∠DEG＝∠EAD＝30°，
∴DE＝2DG．
23．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．
24．解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝PB，AQ＝CQ，
∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，
∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝100°，
即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，
∴x＝20°，
∴∠PAQ＝20°；
（2）∵△APQ周长为12，
∴AQ+PQ+AP＝12，
∵AQ＝CQ，AP＝PB，
∴CQ+PQ+PB＝12，
即CQ+BQ+2PQ＝12，
BC+2PQ＝12，
∵BC＝8，
∴PQ＝2．
25．（1）解：如图1中，
在等边三角形△ACD中，
∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC．
∵E为AC的中点，
∴∠ADE＝∠ADC＝30°，
∵AB＝AC，
∴AD＝AB，
∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝160°，
∴∠ADB＝∠ABD＝10°，
∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝20°．
（2）①补全图形，如图所示．
②证明：连接AN．
∵CM平分∠ACB，
∴设∠ACM＝∠BCM＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α． 在等边三角形△ACD中，
∵E为AC的中点，
∴DN⊥AC，
∴NA＝NC，
∴∠NAC＝∠NCA＝α，
∴∠DAN＝60°+α，
在△ABN 和△ADN 中，
∴△ABN≌△ADN（SSS），
∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，
∴∠BAC＝60°+2α，
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴60°+2α+2α+2 α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°，
∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°，
∴∠MNB＝∠MBN，
∴MB＝MN．
26．（1）证明：如图1所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，BC＝．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°．
∴DA＝DB．
∵DE⊥AB于点E．
∴AE＝BE＝．
∴BC＝BE．
∴△EBC是等边三角形；
（2）结论：AD＝DG+DM．
证明：如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，
又∵DM＝DW，
∴△WDM是等边三角形，
∴MW＝DM，
在△WGM和△DBM中，
∵
∴△WGM≌△DBM，
∴BD＝WG＝DG+DM，
∴AD＝DG+DM．
（3）结论：AD＝DG﹣DN．
证明：延长BD至H，使得DH＝DN．
由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．
∵DE⊥AB于点E．
∴∠2＝∠3＝60°．
∴∠4＝∠5＝60°．
∴△NDH是等边三角形．
∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．
∴∠H＝∠2．
∵∠BNG＝60°，
∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．
即∠DNG＝∠HNB．
在△DNG和△HNB中，
∴△DNG≌△HNB（ASA）．
∴DG＝HB．
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD．
∴AD＝DG﹣ND．

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