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高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线
1. 已知椭圆C的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B为椭圆上的两个动点，，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．
2. 设直线与双曲线相交于A,B两点，O为坐标原点.
（I）为何值时，以AB为直径的圆过原点.
（II）是否存在实数，使且，若存在，求的值，若不存在，说明理由.
3. （理）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．
　　（1）求双曲线C的离心率e的值；
　　（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为求双曲线c的方程．
　　（文）在△ABC中，A点的坐标为（3，0），BC边长为2，且BC在y轴上的区间[-3，3]上滑动．
　　（1）求△ABC外心的轨迹方程；
　　（2）设直线l∶y＝3x＋b与（1）的轨迹交于E，F两点，原点到直线l的距离为d，求的最大值．并求出此时b的值．
4. 已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且
（1）求直线AB的方程；
（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
5. 设（为常数），若，且只有唯一实数根
（1）求的解析式
（2）令求数列的通项公式。
6. 已知点C（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足
（1）当点P在y轴上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）是否存在一个点H，使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。
7. 设为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量，若向量.
(1)求点M（x,y）的轨迹C的方程；
(2)过点(0,3)作直线与曲线C 的交于A、B两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
8. 已知倾斜角为的直线过点和点，点在第一象限，。
（1）求点的坐标；
（2）若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求的值；
（3）对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离。已知在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式。
9. 如图，已知定点，动点P在y轴上运动，过点P作交x轴于点M，延长MP到N，使
⑴求动点N的轨迹C的方程；
⑵设直线与动点N的轨迹C交于A，B两点，若若线段AB的长度满足：
，求直线的斜率的取值范围。
10. 在中,点分线段所成的比为,以、所在的直线为渐近线且离心率为的双曲线恰好经过点.
⑴求双曲线的标准方程;
⑵若直线与双曲线交
于不同的两点、,且、两点都在以点
为圆心的同一圆上,求实数的取值范围.
11. 经过抛物线y的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点.
若线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程；
若直线的斜率k＞2，且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为，试确定m的取值范围。
12. 一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．
（Ⅰ）求点关于直线的对称点的坐标；
（Ⅱ）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；
（Ⅲ）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．
13. 已知椭圆E：，点P是椭圆上一点。
（1）求的最值。
（2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形面积的最大值。
14. 已知椭圆的一个焦点，对应的准线方程为，且离心率满足，，成等比数列.
(1)求椭圆的方程；
(2)试问是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、，且线段恰被直线平分？若存在，求出的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.
15. 已知向量.
（Ⅰ）求点的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设曲线C与直线相交于不同的两点M、N，又点，当时，求实数的取值范围。
16. 设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.
（I）证明：；
（II）若的面积取得最大值时的椭圆方程.
17. 如图，已知⊙：及点A，在 ⊙上任取一点A′，连AA′并作AA′的中垂线l，设l与直线A′交于点P，若点A′取遍⊙上的点.
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若过点的直线与曲线交于、两点,且,则当时,求直线的斜率的取值范围.
18. 如图，已知⊙：及点 ，在 ⊙上任取一点′，连′，并作′的中垂线l，设l与′交于点P， 若点′取遍⊙上的点.
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）设直线与轨迹C相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点D.若的面积取得最大值时的椭圆方程．
19. 点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，
（1）求椭圆C的的方程；
（2）求点P的坐标；
（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值。
20. 已知正方形的外接圆方程为，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD所在直线的方向向量为(3，1)．
（1）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；
（2）若顶点在原点，焦点在轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程．
答案：
1. （1）设椭圆C的方程为．
由题意可得：，，
（2）（1）当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为
，
，
即，
①
又， ②
又点在直线AB上，
③
把②③代入①得，
点D的轨迹方程为
（2）当直线AB的斜率不存在时，，满足
点D的轨迹方程为
2. 解（I）设
由
且，
又以AB为直径的圆过原点.既
（II）
右准线l的方程为：x＝，两条渐近线方程为：．
　　∴　两交点坐标为　，、，．
　　∵　△PFQ为等边三角形，则有（如图）．
　　∴　，即．
　　解得　，c＝2a．∴　．
　　（2）由（1）得双曲线C的方程为把．
　　把代入得．
　　依题意　　∴　，且．
　　∴　双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为
　　
　　
　　∵　．
　　∴　．
　　整理得　．
　　∴　或．
　　∴　双曲线C的方程为：或．
　　（文）（1）设B点的坐标为（0，），则C点坐标为（0，＋2）（-3≤≤1），
　　则BC边的垂直平分线为y＝＋1　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①
　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 ②
　　由①②消去，得．
　　∵　，∴　．
　　故所求的△ABC外心的轨迹方程为：．
　　（2）将代入得．
　　由及，得．
　　所以方程①在区间，2有两个实根．
　　设，则方程③在，2上有两个不等实根的充要条件是：
　　
　　之得．
　　∵　
　　∴　由弦长公式，得
　　又原点到直线l的距离为，
　　∴　
　　∵　，∴　．
　　∴　当，即时，．
4. （1）设直线AB：代入得
（＊）
令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根
∴ 且
∵ ∴ N是AB的中点 ∴
∴ k = 1 ∴AB方程为：y = x + 1
（2）将k = 1代入方程（＊）得 或
由得，
∴ ，
∵ ∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直线方程为
即代入双曲线方程整理得
令，及CD中点
则，， ∴，
|CD| =，
，即A、B、C、D到M距离相等
∴ A、B、C、D四点共圆 12分
5. （1）直线方程为代入得
，设则
点的坐标为
在椭圆上即
（2）
已知
椭圆方程为
22．（1），又
令得
当时得方程的实数根和 于是
当时方程有唯一实数根
或
（2）当时，，令则，
当时， 为等比数列，
或
6. （1）设M(x,y), P(0, t), Q(s, 0)
则
由得3s—t2=0……………………………………………………①
又由得
， ……………………………………②
把②代入①得=0，即y2=4x，又x≠0
∴点M的轨迹方程为：y2=4x（x≠0）
（2）如图示，假设存在点H，满足题意，则
设，则由可得
解得
又
则直线AB的方程为：
即把代入，化简得
令y=0代入得x=4，∴动直线AB过定点（4，0）
答，存在点H（4，0），满足题意。
7. (1)
即点M(x,y)到两个定点F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为8,
点M（x,y）的轨迹C为以F1(0,-2)、F2(0,2)为焦点的椭圆，其方程为
.
(2)由题意可设直线方程为，
由消去y得：(4+3k)x2 +18kx-21=0.
此时，△=(18k)2-4(4+3k2 (-21)>0恒成立，且
由知：四边形OAPB为平行四边形.
假设存在直线，使得四边形OAPB为矩形，则 .
因为，所以，
而，
故，即.
所以，存在直线：，使得四边形OAPB为矩形.
8. （1）设，
，
（2）设
由 得，
，
（3）设线段上任意一点
当时，即时，当时，；
当时，即时，当时，；
当时，即时，当时，。
9. (1) 设动点则直线的方程为，令。是MN的中点，，故，消去得N的轨迹C的方程为.
(2) 直线的方程为，直线与抛物线的交点坐标分别为,由得，
又由得
由可得，解得的取值范围是
10. (1)由已知得即,∴,
∴
(2)当时,,
∴,
∴……
(3) （）,假设存在符合条件的使命题成立,则
①当为偶数时,为奇数,则,由得.
②当为奇数时,是偶数,则,
由得矛盾.
综合以上知,存在使得.
20.解:(1)因为双曲线离心率为,所以可设双曲线的标准方程
由此可得渐近线的斜率从而,又因为点分线段所成的比为,所以,将点的坐标代入双曲线方程的,
所以双曲线的方程为.
(2)设线段的中点为.
由
则且 ①
由韦达定理的由题意知,
所以 ②
由①、②得 或
11. .(1)设A(直线AB的方程为y=k(x-1) (k≠0),代入,得
kx-(2k+4)x+k=0
设M(x ,y).则
∴点M的坐标为(
消去k可得M的轨迹方程为
(2)由 d=
得
即 0＜＜,得
0＜,
即 或
故的取值范围为 (-
12. （Ⅰ）设的坐标为，则且．
解得， 因此，点 的坐标为．
（Ⅱ），根据椭圆定义，
得，
，．
∴所求椭圆方程为．
（Ⅲ），椭圆的准线方程为．
设点的坐标为,表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离．
则，．
，
令，则，
当，， ，．
∴ 在时取得最小值．
因此，最小值＝，此时点的坐标为．
注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．
说明：求得的点即为切点，的最小值即为椭圆的离心率．
13. （1）由得，则
则
所以的最大值为25，最小值为16。
（2）如图，由及椭圆方程得A（5，0）。同理C（0，4），设为椭圆上任一点，又AC方程为，即。所以B到AC的距离为
同理得D到直线AC的距离
所以四边形ABCD最大面积。
14. （1）∵成等比数列　∴　
设是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得
即为所求的椭圆方程.
（2）假设存在，因与直线相交，不可能垂直轴
因此可设的方程为：由
　 ①
方程①有两个不等的实数根
∴　②
设两个交点、的坐标分别为　∴
∵线段恰被直线平分　∴
∵　∴ ③　把③代入②得
∵　 ∴　∴解得或
∴直线的倾斜角范围为
15. 由题意得：
（II）由得,
由于直线与椭圆有两个不同的交点，，即 ①
（1）当时，设弦MN的中点为分别为点M、N的横坐标，则
又 ②.
将②代入①得，解得, 由②得 ,
故所求的取值范围是
（2）当时，
16. 依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故
将，得
①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得
，
即
（II）解：设由①，得
因为，代入上式，得
于是，△OAB的面积
其中，上式取等号的条件是
由
将这两组值分别代入①，均可解出
所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是
17. (1)　∵l是线段A的中垂线，∴,
∴||PA|－|P||=||P|－|P||=||=.即点P在以、A为焦点，以4为焦距，以为实轴长的双曲线上，故轨迹C的方程为.
(2)设,,则直线的方程为,则由,得
,.由,得.∴,
,.由,,,
消去,得.∵,函数在上单调递增.
∴,，所以 或.
故斜率的取值范围为.
18. (1)　∵l是线段的中垂线，∴,
∴|PM|+|P|=|P|+|P|=||=2m.即点P在以、M为焦点，以为焦距，以为长轴长的椭圆上，故轨迹C的方程为，即.
（2）由 得
将代入消去，得 ①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得
整理得，即
设由①，得.
∵而点, ∴，所以，
代入上式，得
于是，△OAB的面积
其中，上式取等号的条件是即
由可得.
将及这两组值分别代入①，均可解出
∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是
19. （1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2，半焦距c1=，
∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴=，
∴所求的椭圆方程为
（2）由已知,，设点P的坐标为，则
由已知得
则，解之得，
由于y>0，所以只能取，于是，所以点P的坐标为9分
（3）直线，设点M是，则点M到直线AP的距离是，于是，
又∵点M在椭圆的长轴上，即
∴当时，椭圆上的点到的距离
又 ∴当时，d取最小值
20. (1) 由（x－12）2+y2=144－a(a<144),可知圆心M的坐标为(12，0)，
依题意，∠ABM=∠BAM=，kAB= , 设MA、MB的斜率k.
则且,
解得=2，=－ ．
∴所求BD方程为x+2y－12=0，AC方程为2x－y－24=0．
(2) 设MB、MA的倾斜角分别为θ1，θ2，则tanθ1＝2，tanθ2＝－，
设圆半径为r，则A（12＋），B（12－，），
再设抛物线方程为y2＝2px (p＞0)，由于A，B两点在抛物线上，
∴ ∴ r=4，p=2．
得抛物线方程为y2＝4x 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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