资源简介

直线与圆锥曲线专题
一．考点说明：
（一）直线与圆
1.理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.
2.掌握两条直线平行与垂直的条件、两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的关系.
3.了解二元一次不等式表示平面区域.
4.了解线性规划的意义，并会简单的应用.
5.了解解析几何的基本思想，了解坐标法.
6.掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.
（二）圆锥曲线
1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.
2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.
3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.
4.能够根据具体条件利用各种不同的工具画椭圆、双曲线、抛物线的图形，了解它们在实际问题中的初步应用.
5.结合所学内容，进一步加强对运动变化和对立统一等观点的认识.
二．考情分析：
解析几何是高中数学的一个重要内容，在高考中该部分内容约占总分的20%，一般有2至3道小题有针对性的考查线性规划及直线与圆、圆锥曲线中椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单几何性质的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本数学思想，此题往往试卷的把关题之一。预测：（1）直线与圆以小题或大题一小问的形式出现；（2）圆锥曲线的标准方程为大题的第一小问；（3）圆锥曲线的几何性质以小题形式重点在离心率、焦半径、及定义的考查；(4)求曲线（轨迹）方程，特别是求曲线（轨迹）方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考解析几何问题的热中之热。
三．高考展望
1.在求直线方程中，若选择点斜式、斜截式，要注意斜率不存在的情况；若选择截距式，要注意截距为零的情况。
2.目标函数最值的求法：根据 的几何意义求最值。如
3.处理直线与圆、圆与圆的位置关系常用几何法。
4.求圆锥曲线方程
求圆锥曲线是解析几何的基本问题之一，其求解的基本方法有：
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，那么我们只需要把这种关系转化成含有x、y的数值表达式，通过化简整理便可得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹方程的方法我们称之为直接法。（2）定义法：当动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线），我们可以直接根据定义写出动点的轨迹方程。这种方法称为定义法。（3）代入法：代入法又称为转移法或相关点法，若动点依赖于已知曲线上的另一动点 而运动，且可求出关系式。于是将这个Q点的坐标表达式代入已知曲线的方程，化简后即可得点的轨迹方程。（4）参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较容易这个动点的运动常常受到另一个变量的制约，或者用这个变量可以将动点坐标中x、y表示出来，我们可以取这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法。（5）交轨法：在求动点的轨迹方程时，经常会遇到要求两动曲线的交点轨迹方程问题。这类问题的解法具有一定的技巧性，主要是想方设法消去动曲线中的参数，得出所求的轨迹方程，这种方法便称为交轨法。（6）几何法根据已知图形的几何性质来求动点轨迹方程的方法称为几何法。要善于数行结合，根据曲线的某些显著的几何特征和性质列出等式求出轨迹方程，常可以收到简化运算、快速求解之功效。（7）解析几何中弦中点的轨迹的求法：解析几何中弦中点的轨迹主要有以下三类：一是过定点的弦中点；二是斜率为定值的平行弦中点；三是长为定值的动弦中点。
5.椭圆与双曲线的离心率
离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点。这类问题一般有两种：一是根据一定的条件求双曲线或椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围。无论是哪类问题，其难点都是建立关于a、b、c的关系式（等式或不等式），并且把其中的b用a、c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆和双曲线的离心率难点的基本方法。
6.直线与圆锥曲线的位置关系
在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上截然不同，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方。圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式为零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况（抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行），反映在消元后方程上，该方程是一次的。
7.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据韦达定理，进行整体代入。即当直线（斜率为k）与圆锥曲线交于点时，则 ，而 ，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用韦达定理进行整体代入求解。
8.圆锥曲线中的分点弦
在解决有关直线和圆锥曲线相交于两点的问题时，若在直线上还存在一个第三点，这三点组成的线段成一定的比例关系，结合具体情境，让我们解决问题（如求参数的值或参数的取值范围，证明一些问题等），这是圆锥曲线中的一个难点。化解这个难点有两种基本方法：一是根据比例关系建立三点坐标之间的一个关系式，比如关于三点的横坐标的关系式，再根据韦达定理建立圆锥曲线上两点坐标的两个关系式，从这三个关系式入手解决；二是由第三个点的坐标和圆锥曲线上其中一点的坐标，根据比例关系得到等式，去表示圆锥曲线上另一点的坐标，又由于这个点也在圆锥曲线上，适合圆锥曲线方程，联立方程组即可解决。
9.圆锥曲线点的一个对称问题
圆锥曲线上存在不同的两点关于某条直线对称，试确定圆锥曲线中或直线中的某个参数的取值范围，化解这个难点的方法有两种：一是利用两点关于直线对称的两个条件即垂直和中点在直线上，写出用参数表达的直线方程，利用直线与圆锥曲线有两个交点，判别式大于零解决；二是利用圆锥曲线上与对称轴垂直的平行弦中点的轨迹与对称轴的交点在曲线内部，列关于参数的不等式解决。
10.圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定点定值问题是高考命题的一个热点，解决这个难点没有常规的方法，但基本思想是明确的，定点、定值必然是在变化中所表现出的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不守变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值。关键是引进变化的直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受影响的量。
11.圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值、范围问题既是高考的热点也是难点问题，解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此难点就是如何建立目标函数和不等关系，其关键是选一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、截距、点的坐标等，主要是根据问题的实际情况灵活处理。
12.解析几何中的探索性问题
解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或计算对结论作出明确的肯定或否定，因此解决起来具有较大的难度。化解这类试题难点的主要方法是明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就是肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答，在这个解题思想指导下解决探索性问题就可以转变为具有明确结论的问题。
四．经典例题
五．规律小结
本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单几何性质.它们作为研究曲线和方程的典型问题，成了解析几何的主要内容，在日常生活、生产实践和科学技术上有着广泛的应用.因此在高考中，圆锥曲线成为命题的热点之一.分析近几年高考试题，有下面几个显著特点：
1.注重双基 保持稳定
圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特，每年的试卷中客观题2至3道，主观题1道，分值占全卷的15%左右，“难、中、易”层次分明，既有基础题，又有能力题.
2.全面考查 重点突出
试题中，圆锥曲线的内容几乎全部涉及，考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三，通过知识的重新组合，考查学生系统掌握课程知识的内在联系，重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上.
3.考查能力 探究创新
试题具有一定的综合性，重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.
在今后的高考中，圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点，解析几何中的定值及最值问题也会有所加强.圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中.
4.两个手段，争取得分
（1）代点消元；（2）韦达定理

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