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直线与圆锥曲线的位置关系
在圆锥曲线的问题中，有关弦的问题、直线及其夹角的问题是解析几何中最常见的问题．对于这类问题的求解，往往要联立方程组，构造一元二次方程，并要考虑判别式及韦达定理，恰当地运用整体化思想，设而不求思想，并注重数形结合和分类讨论等数学思想方法．
例1已知点A、点B的坐标分别为(- 1, 0)与(1, 0)．曲线C上的任意一点P，且点P满足条件：
,(1) 求曲线C的方程；
(2) 过点B的直线L与曲线C相交于M、N两点，若∠MAN为钝角，求直线L倾斜角α的取值范围．
分析 由易知点P的轨迹是一椭圆，又易知点P不是AB的中垂线上的点，
于是，要使∠MAN为钝角，当考虑tan∠MAN < 0时，可得解法1；当考虑cos∠MAN < 0可得解法2．
解 (1) ∵ , ∴ ，
又∵ ，∴ x≠0．
故 点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴为4除去y上的两点的椭圆弧，即 ( x≠0 )．
(2) 解法1 若L与x 垂直，则L的方程为 x = 1，此时有，
若L与x轴重合，则∠MAN =π不为钝角．
若L与x轴斜交，因为B(1, 0)∈L，故可设其方程为 y = k (x- 1)，k≠0,
代入椭圆方程中，得 (3 + 4k2 ) x2- 8k2x + 4k2- 12 = 0 ，
由于直线L过椭圆的右焦点，故L与椭圆恒有两个交点．设此两点为M(x1 , y1), N(x2 , y2)，则有
，
∴
，
∵ ∠MAN为钝角，∴ ，故 ，
∴ ．
故 倾角α的取值范围是．
解法2 设M(x1 , y1), N(x2 , y2)，因为A(-1, 0) , B(1, 0), 如图9-7, 于是，有
tan∠MAN
，
又由图9-7可知：当x1 > x2时，显然有k > 0，当x1 < x2时，显然有k< 0，
因此，恒有 (x1- x2)·k·(3 + 4k2) > 0，
故要使∠MAN为钝角，则只要7k2-9 < 0即可．∴ ，
故倾角α的取值范围是 ．
点评 本题是向量与解析几何等知识的综合性试题．对于(2)求解，因为在已知的条件中有向量式，从而考虑用向量的内积来求解是理所当然的．解法2是常见的一种基本方法．由此可知，运用向量法求解要优越得多．因此，我们要注重运用向量的知识解题，增强向量思想方法的意识．
例2 已知P为椭圆b2x2 + a2y2 = a2b2的左准线l与x轴的交点，过左焦点F1的直线和椭圆交于A、B两点，连接PA、PB，
求证：∠APB被x轴平分；
(2)若∠APF1取最大值时的正弦值为0.6，且此时，求椭圆方程．
证明 (1) 证法1 如图9-8，设A(x1, y1), B(x2, y2)，AB所在的直线为y = k(x +c) ,………………………… ①
将①代入椭圆方程　b2x2 + a2y2 = a2b2　② ，得 (a2k2 +b2 ) x2 +2c a2 k2 x+a2k2c2- a2b2 = 0，
∴ ，，
又∵ ∴
从而 ，
上式的分子：=
== 0.
由此可得　直线AP与BP关于x轴对称，即 ∠APB被x轴平分．
证法2　 如图9-8, 过A作AC⊥l于C, 过B作BD⊥l于D,　
由平行线截线段成比例性质，得 ，又 ， ∴ ,
又∠ACP =∠BDP = 90o , 故 △ACP ∽△BDP, ∴ ∠APC =∠BPD,
由此可得　∠APF1 =∠BPF1, 即 ∠APB被x轴平分．
证法3　不妨设点A在x轴上方．过A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则 |PA1| = |AC|，
如图9-8,又设椭圆的离心率为e，∠AF1A1＝β，
由椭圆的定义，得 ，又|AA1|＝|AF1|sinβ,于是，由图可得
，………………………①
同理可得 = e sinβ．
由此可得　tan∠APF1 = tan∠BPF1,
又∵ ∠APF1 与∠BPF1均为锐角，∴ ∠APF1 =∠BPF1．即x轴平分∠APB．
(2) 解法1 由①知 tan∠APF1 = e·sinβ, 因此，当β＝90o时，A1、F1两点重合．此时e·sinβ取最大值，
从而tan∠APF1亦最大，且最大值为 ，∴ ，
又由 ，得，即 ，
又∵ PF1⊥x轴，∴ ，而，由此解得 c = 9，a = 12 , b2 = 63．
故所求的椭圆方程为 ．
解法2　由题意知，当PA与椭圆相切时，有∠APF1 最大，设A(x0, y0)为切点，
又设PA所在的切线方程为 ，则有 ,
∴　AF1⊥x轴，且有, 从而 ,
于是，有 ,
又∵ ，∴ 49 = ，即49 =,
又 , 故 ，以下同解法1．
解法3　若∠APF1 最大，则PA必与椭圆相切，设A为切点，则对应的B也为切点．
显然有PA = PB，由对称性得 AF1⊥x轴．
∵ 当∠APF1取最大值时，其正弦值为，∴ ，
tan∠APF1=,
又∵ ，∴ ，由此可得 ，
又∵ ，∴ c = 9，以下同解法1．
解法4 不妨设A在椭圆上半圆弧上，且A(a cosθ，b sinθ), (0 <θ<π)，
则有tan∠APF1 =, 设，
令故的关系为：
θ
+ 0 －
↗ 极大 ↘
∴ , 此时x = a cosθ=- c，y = b sinθ=，
从而 (tan∠APF1)MAX =, ∴ AF1⊥x轴，且 |PA| = |PF1|,
又由 ，得
,
∴ = 7, 即 ，以下同解法1．
解法5 不妨设 A(x, y)是椭圆上半圆弧上的点，
则有 tan∠APF1=， 从而 tan2∠APF1=，
令，则有 ，
令F＇(x) = 0 得 x = - c ,
由此可得F(x)在x = - c处取得最大值．以下同解法4．
点评 对于(1)的解法1是最基本的方法，解法2、3充分运用了平面几何的知识和椭圆的定义，是我们常用的思想方法．(2)解法1是从(1)的解法3所联想到的；解法2、3是通过考查其图形而得到的，因为当直线PA与椭圆有两个交点时，显然它在其切线的下方，从而对应的角小于切线对应的角,另外切线方程也可设y = k(x- c); 解法4、5是从最大角的概念出发考查其相应的极值，从而联想到运用导数的思想方法．这些解法都是我们应掌握的．
要注意的是：对于第(2)问我们若是从∠APF1 最大时的 的方向出发考查用导数法求解，显然不可取．因为式子繁杂，不易求导．因此，解题方法的选取，所用的表达式的确定是非常重要的．在平时的解题中，我们应不断总结经验，善于从多方面的考查问题．促进数学思维的发展．
例3 已知圆O：x2 + y2 = 1和抛物线y = x2-2上三个不同的点A、B、C，如果直线AB、AC都与圆O相切，求证：直线BC也与圆O相切．
分析 要证圆O和直线BC相切，只要证得圆心到直线BC的距离等于半径即可．由直线AB、AC与圆O相切会带来些什么结论？这些结论对直线BC与圆相切又有什么影响？直线BC与圆O相切应满足什么条件？一旦把这三个问题弄明确时，问题也就相应得到解决．
解 设A(a, a2- 2), B(b, b2- 2), C(c, c2- 2)．
则直线AB的方程为，即 (a+b) x- y- ab- 2 = 0．
同理 直线AC、BC的方程 (a+c)x- y- ac- 2 = 0，(b+c)x- y- bc- 2 = 0．
由于AB与圆O相切，得 ，
整理得 (a2- 1)b2 + 2ab + 3 - a2 = 0，…………………………………………………… ①
同理直线AC与圆O相切时，亦有 (a2-1)c2 + 2ac + 3 - a2 = 0，………………………②
由①②可得 b , c是方程 (a2 -1)x2 + 2ax + 3 - a2 = 0的两根，
由此可得 ．
另一方面，圆心O到直线BC的距离为 ．
故 直线BC也与圆O相切．
点评 此题运用的是点参法．点参法的思想方法在解题中经常用到的基本方法．
M
y
x
A
B
O
N
图9-7
y
x
O
A
A1
F1
B1
B
D
P
C
图9-8

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