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圆锥曲线范围中不等关系的构建策略
以解析几何为载体的求参数范围问题是高考中常见的题型，这类问题涉及知识范围广、条件隐含深、运算难度大、能力要求高。不少同学对这类问题处理普遍感到困难，只好望题兴叹，究其原因是学生无法合理构建不等式，为此，本文介绍不等关系构建的几种方法与技巧，供同学们学习参考。
一 常用曲线性质
例1 已知椭圆，过点D（0，2）的直线与椭圆相交于P、Q两点，且满足，求的取值范围。
解：设P（），Q（ ），由，得Q（），将P、Q两点坐标分别代入椭圆方程，得消去，并整理，得，由，可得， 解得
评析：在求共线系数的取值范围时，可以用共线系数表示已知椭圆上一点的坐标，利用椭圆性质求解，如椭圆(a＞0，b＞0)的范围是：，，在本题中利用求出的取值范围。当解析几何范围问题涉及的变量较多时，一般而言，可事先理清各变量的制约关系，最后确定主变量与待求参数关系式，利用曲线性质挖掘主变量的取值范围。
二 善用判别式法
例2 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为。
（1）求椭圆的方程；
（2）若存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上，
求的取值范围。 （2008年湖南省文科高考试题）
解 ： （Ⅰ）设椭圆的方程为(a＞b＞0).
由条件知c=2,且=λ,所以a2=λ,
b2=a2-c2=λ-4.故椭圆的方程是
(Ⅱ)依题意，直线l的斜率存在且不为0,记为k,则直线l的方程是y=k(x-1).设点F(2,0)关于直线l的对称点为F′ (x0,y0),则
解得
因为点F′(x0,y0)在椭圆上，所以即
λ(λ-4)k4+2λ(λ-6)k2+(λ-4)2=0.
设k2=t,则λ(λ-4)t2+2λ(λ-6)t+(λ-4)2=0.
因为λ＞4,所以＞0.于是，当且仅当，上述方程存在正实根，即直线l存在，解得，所以，即λ的取值范围是
评析：上述解法紧扣解题目标，把问题转换为利用一元二次方程的判别式来解决，判别式往往是产生不等式的根源，一般来说，韦达定理总是充当求解这种问题的桥梁，本题借助韦达定理得到相应的关系式，再应用隐含条件得到不等关系，从而使问题获解。
三 巧用平面区域
例3 A（，） C（，）为椭圆上两动点，且，若AC的垂直平分线方程为y=kx+m，求m的取值范围。
解：设AC的中点坐标为P（4，），由A、C在椭圆上，得
两式相减得，
∴ ①
又P（4，）在y=kx+m，∴ ②
由①、②解得 ③
又P（4，）在椭圆内部，∴ ④
由③、④解得
评析：本题通过点差法的运用可简化运算，利用点与圆锥曲线的位置关系，即借助平面区域范围构建不等式，大大降低运算难度，省时又省力。
四 借用平几知识
例4已知F1、F2是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）（2008年江西省理科高考试题）
A．(0，1) B．(0，] C．(0，) D．[，1)
解：依题意可得点M的轨迹是以为直径的圆，又因为点M总在椭圆内部，所以此圆包含在椭圆内，故，即，， 故，选C
评析：求解圆锥曲线范围问题时，根据平面几何中的不等关系可以确定解析几何中变量的取值范围，譬如利用“三角形两边之和大于第三边”、“斜边大于直角边”等构造不等式。
五 妙用数形结合
例5 如图，椭圆左、右两个顶点分别为、，若椭圆上存在一点P，使∠=，求椭圆离心率的取值范围。
解：椭圆上点P由（或）向（或）运动时
逐渐变大，当P与（或）重合时达到最大，故
，则，即，
求得
评析：本题的常规解法是先寻求问题中涉及到的基本量，将其化归为曲线方程的范围问题，再利用范围解题，那么费时费力，而通过数形结合巧妙地构建不等式，问题便可迎刃而解。运用这一数学思想，要熟练地掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。
六 引用平面向量
例6　如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.
　　　　　　　　　　　　　　
（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，恒有,求a的取值范围. （2008年福建省理科高考试题）
解：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，
因为△MNF为正三角形，所以， 即,解得 因此，椭圆方程为
(Ⅱ)设
(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，
设直线AB的方程为：
整理得
所以
因为恒有，所以AOB恒为钝角.
即恒成立.
又,所以对mR恒成立，
即对mR恒成立.
当mR时，最小值为0，所以<0， ，
因为a>0,b>0,所以,即,
解得或 (舍去)，即,
综合（i）(ii)，a的取值范围为
评析：向量被引入中学教材后，大大地丰富和发展了中学数学知识和结构体系，也拓展了中学数学问题的思维空间，平面向量在解析几何中的应用，主要体现在向量的“工具性”上，即向量将几何问题坐标化、符号化，数量化，从而将推理转化为运算顺利地解决问题。
七 活用函数思想
例7 已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围. （2006年福建省理科高考试题）
解： (1) ∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(-1,0),l:x=-2.
∵圆过点O、F.
∴圆心M在直线x=-
设M(-),则圆半径
r=|(-)-(-2)|=.
由|OM|=r,得
解得t=±,
∴所求圆的方程为(x+)2+(y±) 2=.
(2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),
代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.
∵直线AB过椭圆的左焦点F,
∴方程有两个不等实根.
记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0),
则x1+x1=-
x0=
AB垂直平分线NG的方程为
令y=0，得
∵
∴点G横坐标的取值范围为（）。
评析：本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合能力。先寻求问题中的涉及的基本量，即点G的横坐标用k的代数式表示，从而产生函数关系式，把问题转化为求函数的值域，使问题获解，对于一些动点，在变化过程中引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来就较为方便。
链接练习：1、设椭圆的2个焦点为、，左准线为l，椭圆上存在一点P满足是点P到l的距离和的比例中项，求椭圆离心率的取值范围。
2、在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．求的取值范围；
3、在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．
4、双线的两个焦点为、,若P其上一点，且,则双曲线离心率的取值范围为 ）
A.(1,3) B. C.(3,+) D.
5、对任意实数k，线y=kxa+b与椭圆恒有公共点，则b的取值范围是__________
6、设、分别是椭圆的左、右焦点.设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
参考答案：
1、解：由题设，得；由椭圆第二定义，得，因此，解得，又，所以，即，解得
2、解：由已知条件，直线的方程为，
代入椭圆方程得．
整理得　　　直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得或．即的取值范围为．
3、解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ．
得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得．
设，由成等比数列，得
，即 ．
在圆内，故
由此得．所以的取值范围为．
4、解：曲线定义得，，，∵
∴，，故离心率的取值范围是，故选B。
5、解：将椭圆化为普通方程：，椭圆交y轴于、 两点，易知直线y=kx+b恒过点A（0，b）,要使任意实数k,直线y=kx+b与椭圆恒有公共点，易知当点A在线段PQ上时，不论k取任何实数时，直线与椭圆恒有公共点，从而，即b的取值范围是
6、解：显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或
又
∴
又
∵，即 ∴
故由①、②得或
P
O
x
y

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