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如何建立圆锥曲线中的不等关系
在有关圆锥曲线的参数范围问题、最值问题、存在性等问题中，建立不等关系是解题过程的一个难点。本文归纳整理几种常用的方法，共参考。
一. 利用判别式
挖掘条件中隐含着的一元二次方程的根的存在性，利用判别式建立不等关系。
例1. 已知椭圆C:，若椭圆上存在不同两点关于直线对称，求m的取值范围。
解：设椭圆上存在两点A（），B（）关于已知直线对称，并设AB的中点为P（a，b），直线AB与椭圆C应有两个不同的交点，依次可用判别式大于零建立不等关系。
两式作差，整理得
而，
所以，即P（a，3a）。又P在直线上，则
于是点P的坐标为（），直线AB的方程为
，
代入椭圆方程中消去y，得
由
解得
二. 利用曲线的几何性质
将所考虑的参数与圆锥曲线自身的范围联系起来，得到不等关系。
例2. （1992年高考题）已知椭圆，点A、B是椭圆上两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（），求的取值范围。
解：设A（），B（），AB的中点为M（m，n），则，且
（1）
（2）
（1）-（2）整理得
由于，故
即
由此得，其中
由椭圆的几何性质知（等号不同时成立），
所以，
从而
三. 利用已知参数的范围
寻找待求参数与已知参数的关系，利用已知参数的范围建立不等关系。
例3. （2000年全国高考题）如图1，已知梯形ABCD中，，点E分有向线段所成的比为p，双曲线过C、D、E三点且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围。
解：建立如图1所示的直角坐标系，设双曲线的方程为：
图1
，
A（），B（c，0），C（，h），E（m，n），
其中
由定比分点公式得
将C、E的坐标代入双曲线的方程得
由（1）得，代入（2），化简整理得
由，知，
解得
四. 利用平面几何知识
充分挖掘几何条件，利用平面几何中的有关知识建立不等关系。
例4. 已知双曲线的离心率，左右焦点分别为，左准线为，是否在双曲线的左支上存在一点P，使得是P到的距离d与的比例中项？
解：若存在点P满足条件，则
（1）
由双曲线的第一定义知
（2）
由双曲线的第二定义知
（3）
由平面几何知识可得
（4）
由（1）（2）（3）解得
代入（4）可得。故不存在满足条件的点P。
五. 利用均值不等式
例5. 给定椭圆，求与这椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它们的交点为顶点的四边形的面积最大，最大面积是多少？
图2
解：设公共上焦点为F（0，c），双曲线的方程为，其中，第一象限的一个公共点为M（x，y）（）。由第二定义得
，
。
二者相等得，代入椭圆方程中得。所以
，
四边形的最大面积是。
此时，
双曲线的方程为
六. 利用点在曲线内部的相关结论
例6. 已知的顶点B为椭圆短轴的一个端点，另两个顶点A、C在椭圆上，若的重心恰为椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围。
解：设椭圆为（），B（0，b），F（c，0）为的重心，M为AC的中点，则BM：MF=-3。由定比分点公式得点M的坐标为（）。而M必在椭圆内部，则
，
即，解得。
七. 数形结合
从“形”的角度解决“数”的问题，数形结合，可优化解题过程，起到事半功倍之效。
例7. 椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，求点P横坐标的取值范围。
解：考虑为直角时P的坐标。如图3，以为直径作圆，当点P在圆上时，为直角；当P在圆内时，为钝角。
图3
由
解得
所以P的横坐标的范围是。
八. 利用函数的单调性
建立所考虑的参数与某个变量的函数关系，利用函数的单调性得到不等关系。
例8. 已知直线与抛物线相交于两点A、B，直线与x轴的交点在抛物线准线的右侧，O为坐标原点，且。若，求p的取值范围。
解：由直线与x轴的交点在准线右侧得。
设A（），B（），
由相交知恒成立，
且
因为，所以
又
可得
所以
由，知。
结合得p的定义域为。
，
令，
易知函数在［1，2）上是减函数，在（2，3］上是增函数。
从而或。
所以当时，；
当时，。

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