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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破配套训练
专题05
数列
（测试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·浙江绍兴市·高三二模）已知等比数列满足，，则（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设等比数列为公比为，
由，
得，化简得，
，又由，可得，得，答案：B
2．（2020·北京高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（
）．
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
【答案】B
【详解】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B.
3．（2020·浙江杭州市·学军中学高三其他模拟）已知数列的前项和为，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】充分性：若，则有，即，得，于是有成立，故充分性成立.
必要性：若成立，取数列为，但推不出，故必要性不成立.故选:A
4．（2019·浙江高考真题）设，数列中，，
,则（
）
A．当
B．当
C．当
D．当
【答案】A
【详解】若数列为常数列，则，由，可设方程
选项A：时，，，，
故此时不为常数列，，且，
，则，故选项A正确；
选项B：时，，，则该方程的解为，
即当时，数列为常数列，，则，故选项B错误；
选项C：时，，该方程的解为或，
即当或时，数列为常数列，或，同样不满足，则选项C也错误；
选项D：时，，
该方程的解为，
同理可知，此时的常数列也不能使，则选项D错误.故选：A.
5．（2021·浙江高三开学考试）数列是等比数列，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，
因为，可得，所以，
所以数列构成首项为，公比为的等比数列，
则，所以.故选：A.
6．（2019·浙江高三专题练习）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N
)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且an=则解下4个环所需的最少移动次a4数为（
）
A．7
B．10
C．12
D．22
【答案】A
【详解】因为数列{an}满足a1=1，且an=
所以a2=2a1-1=2-1=1，所以a3=2a2+2=2×1+2=4，所以a4=2a3-1=2×4-1=7.故选:A
7．（2020·浙江宁波市·高三期中）公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即，，，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。若将此数列的各项除以2后的余数构成一个新数列，设数列的前项的和为；若数列满足：，设数列的前项的和为，则（
）
A．1348
B．1347
C．674
D．673
【答案】B
【详解】
“兔子数列”的各项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，
此数列被2除后的余数依次为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，，
即，，，，，，，
数列是以3为周期的周期数列，，
由题意知，
由于，所以，所以．
则．故选：B
8．（2020·浙江高三专题练习）已知等差数列的前项和为，公差，和是函数的极值点，则（
）
A．－38
B．38
C．－17
D．17
【答案】A
【详解】由题意，函数，其中，
可得令，解得或，
又和是函数的极值点，且公差，所以，，
所以，解得，所以.故选：A.
9．（2021·浙江高三月考）设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【详解】令，知：在定义域内为递增函数，
∴由题意知：，即，
又知：关于原点对称，
∴，而.故选：A
10．（2020·浙江高三专题练习）已知数列满足，是数列的前项和，则（
）
A．是定值，是定值
B．不是定值，是定值
C．是定值，不是定值
D．不是定值，不是定值
【答案】A
【详解】当，则，，
∴，即有，，
作差得，∴，
∴，令可得，，∴为定值．
而也为定值．故选：A．
二、填空题：本大题共7小题，共35分。
11．（2020·杭州高级中学钱塘学校高三月考）在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，若垣厚33尺，则两鼠______日可相逢.
【答案】6
【详解】大老鼠打洞构成首项为1，公比为2的等比数列，
小老鼠打洞构成首项为1，公比为的等比数列，
设相遇时是第n天，则，即，即
，
令
，在上是增函数，又，
所以相遇时是第6天，故答案为：6
12．（2021·浙江高三学业考试）设等比数列的公比为，前项和为.若，则____，____.
【答案】4
21
【详解】因为，所以.
.故答案为：；
13．（2020·海南高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】
【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，故答案为：.
14．（2020·江苏高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．
【答案】
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.
等差数列的前项和公式为，
等比数列的前项和公式为，
依题意，即，
通过对比系数可知，故.故答案为：
15．（2020·浙江湖州市·湖州中学高三其他模拟）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，得到橘子最多的人所得的橘子个数是_____；得到橘子最少的人所得的橘子个数是_____
.
【答案】18
6
【详解】设得橘子最少的个数为，公差为3
所以
所以得橘子最多的个数为故答案为：18，6
16．（2020·浙江高三月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为，设(为常数)，则______；_____.
【答案】
【详解】因为斐波那契数列满足，
，，
∴；；；
…；
所以，
因为
．
故答案为：，．
17．（2020·浙江高三专题练习）在数列中，，，则______，对所有恒成立，则的取值范围是______.
【答案】
.
【详解】解：由于，
所以当时，有，
两式相减可得，即当时，，当时，求得，即也符合该递推关系，所以.
由于，令，
由于，当时，，当单调递增，当单调递减，所以，故数列最大项为，即.
故答案为：；.
三、解答题：本大题共5小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2020·浙江高三月考）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列.
（1）求的公比；（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）依题意，有，∴，
由于，故，又，从而.
（2）由已知，得，故，
从而.
19．（2020·浙江高三其他模拟）已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式及；（2）求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【详解】（1）由条件，∴，
可得是首项为1，公比为的等比数列，∴，
当，，∴，∴；
（2）当时，．
当时，记，
，
相减可得，
化简可得，
所以数列的前项和．
当时，也满足成立．
综上数列的前项和．
20．（2021·浙江高三月考）已知数列的前项和为，且满足，当时，.（Ⅰ）证明为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）记数列，记为前项的积，证明：.
【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）证明见解析.
【详解】（Ⅰ）由题知，，
整理化简为，，
等式两边同除以，得，.
故为以为首项，公差为的等差数列.
所以，则，.
当时，
当时，，故符合；
因此数列的通项公式为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
即证.
21．（2020·浙江高三月考）已知数列，，其中为等差数列，且满足，，，．（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求证：．
【答案】（1）；；（2）证明见解析.
【详解】解（1）当，时，，
已知，，解得，公差，.
因此，，
累加得;
（2）法一：,
.
法二：因为时，，成立，时，成立.
下面用数学归纳法证明时不等式成立.
（1）当时，成立.
（2）假设时，成立,
那么时，.
要证成立,只要证成立,
只要证,只要证，显然成立,
所以，当时，不等式成立.
根据（1）（2）不等式对任意，成立.
所以对任意，不等式成立.
22．（2020·浙江高三二模）已知数列，，，若数列、都是等比数列，公比分别是、，设是数列的前项和，数列是的零点按从小到大的顺序排成的数列.（1）求数列的通项公式，并证明：；（2）证明：，有.
【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）因为数列、的公比分别为、，
所以，
②①得，③；②①得，④.
，由④可得，.
又分别又③④可得，
联立，可得，
解得或（不合题意，舍去）.由④得.
因为，
所以；
（2）由题，，故，则，显然，
且，故点在第一、四象限，
即时，，其中，
又，
令，可得，解得；
令，可得，解得.
所以，函数在递增，递减.
①当时，，，所以，有且只有一解；
②当时，，，，故当，无解；
当，有且仅有一解.
综合①②可得：点在第一、四象限交替出现，且，故易得为函数在内的零点，且满足.（
）
（i）当时，显然有，即；
（ii）当时，由函数的单调性可知，要证，
只需即可，
令，则，当时，；当时，.
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以，，即，
所以，，
又令，其中，则，
所以，函数在区间上单调递减，则，
又，故，故
由可知，，
综合（i）、（ii）和（
）可知，，.
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精品试卷·第
2
页
（共
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题05
数列
【考纲解读与命题趋势】?
?浙江新高考环境下，数列依然会作为一个热点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出，数列试题每年都考。
1、题目分布：浙江卷历年考试基本上是1道解答题和1-2道选择题（填空题），以中高档题为主。
2、考察的知识内容：数列的概念、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、放缩法证明数列中的不等式等。
3、与其它知识交汇的考察：（1）与函数、导数的结合；（2）与逻辑的结合；（3）与不等式的结合。
4、做数列题时要注意以下几点：
1）在小题中主要以等差数列和等比数列为主，偶尔也和不等函数结合考查难度较高，解答题主要考察利用递推式求通项公式及数列求和、不等式放缩等，整体来看数列解答题考察难度比较高。
本专题针对高考中数列中高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列。
2）等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质，基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。
3）数列求通项主要方法有：公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法；这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。
4）数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，错位相减求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案；这里要注意各个方法中数列通项的结构模型；本专题有相应的题目供参考。
【知识梳理】
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数).
(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
4.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，其中G＝±.
5.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
6.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，
ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
7.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
裂项求和常用的三种变形：(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
【考点突破】
考点一：等差（比）数列的基本运算
等差数列等比数列的基本运算考向主要有：1.等差数列的基本运算；2.等比数列的基本运算；3.等差数列、等比数列的综合运算.
【经典例题】
1.（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（
）
A．2a4=a2+a6
B．2b4=b2+b6
C．
D．
【变式探究】
1．（2021·浙江高三开学考试）数列是等比数列，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江绍兴市·高三二模）已知等比数列满足，，则（
）
A．2
B．
C．
D．
3．（2020·浙江宁波市·高三期中）设等差数列的前项和为，且，，则______.
4．（2020·浙江台州市·高三期中）设等差数列的公差为非零常数，且，若，，成等比数列，则公差________﹔数列的前100项和________.
考点二：利用递推式求通项公式
【经典例题】
1．（2020·浙江高三专题练习）已知数列满足，是数列的前项和，则（
）
A．是定值，是定值
B．不是定值，是定值
C．是定值，不是定值
D．不是定值，不是定值
2．（2020·浙江高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中,．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
【变式探究】
1．（2021·浙江高三开学考试）数列中，且，其中为的前n项和.求的通项公式；
2．（2020·浙江高三其他模拟）数列满足，（），求的通项公式.
3．（2021·浙江温州市·高三期末）数列的前n项和为，满足，．
求的通项公式；
4．（2020·浙江宁波市·镇海中学高三期中）已知数列满足，，.求数列的通项公式；
考点三：常见数列求和
【经典例题】
1．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知数列中，，().
（1）证明：数列是等比数列，并求前项的和；
（2）令，求证：.
2．（2021·浙江宁波市·高三期末）已知正项等比数列，，；数列的前项和满足.（Ⅰ）求，；（Ⅱ）证明：.
【变式探究】
1．（2021·浙江高三月考）已知数列为各项非零的等差数列，其前项和为，满足，
（1）求数列的通项公式
（2）记，求数列的前项和
2．（2021·浙江省宁海中学高三月考）已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足数列前项和为，求数列的前项和.
3．（2021·浙江绍兴市·高三期末）在数列，和中，为等差数列，设前n项的和为，的前n项和为，，，，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求证：.
4．（2020·浙江高三专题练习）已知数列和满足，（1）求与；（2）记数列的前项和为，求.
考点四：数列中的数学文化
数列中的数学文化，主要考向有：1.等差数列的应用；2.等比数列的应用；3.数列的概念与性质.
【经典例题】
1.（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列
的前3项和是________．
【变式探究】
1．（2020·浙江湖州市·湖州中学高三其他模拟）“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，从第三项开始每一项都是数列中前两项之和.这个数列是斐波那契在他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的.在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？即斐波那契数列中，，,
，则______；若，则数列的前项和是_______（用表示）.
2．（2020·浙江高三二模）“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第n天所织布的尺数为，则______．
3．（2020·浙江省宁海中学高三月考）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则____________；____________.
4．（2020·浙江衢州市·高三月考）古希腊著名数学家毕达格拉斯发现：数量为的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，第个“三角形数”是，则第5个“三角形数”是______，前6个“三角形数”的和是________.
考点五：逻辑中的数列问题
【经典例题】
1．（2017·浙江高考真题）已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>0”是
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式探究】
1．（2020·浙江省桐庐中学高三月考）已知数列为等比数列，则“，”是“为递减数列”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2019·浙江省柯桥中学高三月考）已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等差数列”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2020·浙江高三其他模拟）正项等比数列，，“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2020·浙江高三其他模拟）已知数列是公差不为零的等差数列，前项和为，则“，”是“数列是递增数列”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
考点六：数列与不等式的结合
解题技巧：等比数列与不等式的结合，一般涉及等比数列的通项公式、求和公式以及等比数列的常用性质.其中与“错位相减法”、“数学归纳法”、“放缩法”相结合的情形较多.运算中要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
【经典例题】
1．（2019·浙江高考真题）设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.（1）求数列的通项公式；
（2）记
证明：
2．（2017·浙江高考真题）已知数列满足：，
证明：当时，（I）；（II）；（III）.
【变式探究】
1．（2021·浙江温州市·高三期末）已知正数数列满足，且对任意，都有，则的取值范围为______．
2．（2021·浙江高三开学考试）数列中，且，其中为的前n项和.（1）求的通项公式；（2）证明：.
3．（2021·浙江省高三月考）已知数列的前项和满足（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）设的前项和为，求证：.
4．（2020·浙江高三其他模拟）已知无穷数列满足：，．
（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）证明：．
考点七：数列与函数、导数的结合
解题技巧：数列本身就是“特殊的函数”，因此，其更易于和函数相结合，一是数列的本身由函数呈现，二是在处理数列问题的过程中，可通过构造函数，利用函数的性质、导数等达到解题目的．
【经典例题】
1.（2018年浙江高考真题）已知成等比数列，且．若，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．
【变式探究】
1．（2021·浙江高三月考）设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
2．（2020·浙江温州市·高三期末）已知数列满足：，，若对任意的正整数，都有，则实数的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
3．（2021·浙江高三月考）已知数列满足，，若对任意n∈N
，都，则下列可能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·浙江高三月考）已知数列的前项和为，且，，数列满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）若数列满足且对任意恒成立，求实数的取值范围.
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破配套训练
专题05
数列
（测试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·浙江绍兴市·高三二模）已知等比数列满足，，则（
）
A．2
B．
C．
D．
2．（2020·北京高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（
）．
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
3．（2020·浙江杭州市·学军中学高三其他模拟）已知数列的前项和为，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2019·浙江高考真题）设，数列中，，
,则（
）
A．当
B．当
C．当
D．当
5．（2021·浙江高三开学考试）数列是等比数列，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2019·浙江高三专题练习）九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N
)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1=1，且an=则解下4个环所需的最少移动次a4数为（
）
A．7
B．10
C．12
D．22
7．（2020·浙江宁波市·高三期中）公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即，，，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。若将此数列的各项除以2后的余数构成一个新数列，设数列的前项的和为；若数列满足：，设数列的前项的和为，则（
）
A．1348
B．1347
C．674
D．673
8．（2020·浙江高三专题练习）已知等差数列的前项和为，公差，和是函数的极值点，则（
）
A．－38
B．38
C．－17
D．17
9．（2021·浙江高三月考）设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．（2020·浙江高三专题练习）已知数列满足，是数列的前项和，则（
）
A．是定值，是定值
B．不是定值，是定值
C．是定值，不是定值
D．不是定值，不是定值
二、填空题：本大题共7小题，共35分。
11．（2020·杭州高级中学钱塘学校高三月考）在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，若垣厚33尺，则两鼠______日可相逢.
12．（2021·浙江高三学业考试）设等比数列的公比为，前项和为.若，则____，____.
13．（2020·海南高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
14．（2020·江苏高考真题）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．
15．（2020·浙江湖州市·湖州中学高三其他模拟）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，得到橘子最多的人所得的橘子个数是_____；得到橘子最少的人所得的橘子个数是_____
.
16．（2020·浙江高三月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为，设(为常数)，则______；_____.
17．（2020·浙江高三专题练习）在数列中，，，则______，对所有恒成立，则的取值范围是______.
三、解答题：本大题共5小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2020·浙江高三月考）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列.
（1）求的公比；（2）若，求.
19．（2020·浙江高三其他模拟）已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式及；（2）求数列的前项和．
20．（2021·浙江高三月考）已知数列的前项和为，且满足，当时，.（Ⅰ）证明为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）记数列，记为前项的积，证明：.
21．（2020·浙江高三月考）已知数列，，其中为等差数列，且满足，，，．（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求证：．
22．（2020·浙江高三二模）已知数列，，，若数列、都是等比数列，公比分别是、，设是数列的前项和，数列是的零点按从小到大的顺序排成的数列.（1）求数列的通项公式，并证明：；（2）证明：，有.
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2021年新高考数学(浙江专用)二轮复习专题突破
专题05
数列
【考纲解读与命题趋势】?
?浙江新高考环境下，数列依然会作为一个热点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出，数列试题每年都考。
1、题目分布：浙江卷历年考试基本上是1道解答题和1-2道选择题（填空题），以中高档题为主。
2、考察的知识内容：数列的概念、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、放缩法证明数列中的不等式等。
3、与其它知识交汇的考察：（1）与函数、导数的结合；（2）与逻辑的结合；（3）与不等式的结合。
4、做数列题时要注意以下几点：
1）在小题中主要以等差数列和等比数列为主，偶尔也和不等函数结合考查难度较高，解答题主要考察利用递推式求通项公式及数列求和、不等式放缩等，整体来看数列解答题考察难度比较高。
本专题针对高考中数列中高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列。
2）等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质，基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。
3）数列求通项主要方法有：公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法；这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。
4）数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，错位相减求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案；这里要注意各个方法中数列通项的结构模型；本专题有相应的题目供参考。
【知识梳理】
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数).
(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
4.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，其中G＝±.
5.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
6.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，
ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
7.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
裂项求和常用的三种变形：(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
【考点突破】
考点一：等差（比）数列的基本运算
等差数列等比数列的基本运算考向主要有：1.等差数列的基本运算；2.等比数列的基本运算；3.等差数列、等比数列的综合运算.
【经典例题】
1.（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（
）
A．2a4=a2+a6
B．2b4=b2+b6
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
【变式探究】
1．（2021·浙江高三开学考试）数列是等比数列，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，
因为，可得，所以，
所以数列构成首项为，公比为的等比数列，
则，所以.故选：A.
2．（2020·浙江绍兴市·高三二模）已知等比数列满足，，则（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设等比数列为公比为，
由，
得，化简得，
，又由，可得，得，答案：B
3．（2020·浙江宁波市·高三期中）设等差数列的前项和为，且，，则______.
【答案】305
【详解】设等差数列的公差为，，，
，解得．则．故答案为：305．
4．（2020·浙江台州市·高三期中）设等差数列的公差为非零常数，且，若，，成等比数列，则公差________﹔数列的前100项和________.
【答案】1
【详解】∵，，成等比数列，∴，即，又，解得．
∴，，∴．
故答案为：1；．
考点二：利用递推式求通项公式
【经典例题】
1．（2020·浙江高三专题练习）已知数列满足，是数列的前项和，则（
）
A．是定值，是定值
B．不是定值，是定值
C．是定值，不是定值
D．不是定值，不是定值
【答案】A
【详解】当，则，，
∴，即有，，
作差得，∴，
∴，令可得，，∴为定值．
而也为定值．故选：A．
2．（2020·浙江高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中,．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：．
【答案】（I）；（II）证明见解析.
【详解】（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.所以（）.
所以，又，符合，故.
（II）依题意设，由于，所以，
故
.
又，而，
故
所以.
由于，所以，所以.
即，
.
【变式探究】
1．（2021·浙江高三开学考试）数列中，且，其中为的前n项和.求的通项公式；
【答案】；
【详解】中，令，有，得
当时，由已知得
两式相减得，即
所以
两式再相减得，
即，所以为等差数列，
又因为，所以公差为，所以
2．（2020·浙江高三其他模拟）数列满足，（），求的通项公式.
【答案】
【详解】，
，.
3．（2021·浙江温州市·高三期末）数列的前n项和为，满足，．
求的通项公式；
【答案】
【解析】，
当时，，解得，
当时，，解得.
当时，，
作差，可得，
，
作差，，
当为偶数时，,
当为奇数时,
,
4．（2020·浙江宁波市·镇海中学高三期中）已知数列满足，，.求数列的通项公式；
【答案】；
【详解】由可得，
∵，∴，依此类推，∴，∴，
∴数列是首项为2，公差为1的等差数列，∴，即，
考点三：常见数列求和
【经典例题】
1．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知数列中，，().
（1）证明：数列是等比数列，并求前项的和；
（2）令，求证：.
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【详解】（1）因为，所以.
又，所以，从而，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以，即；
所以.
（2）由（1）可知，，所以.
所以，
.
当时，.
当时，
2．（2021·浙江宁波市·高三期末）已知正项等比数列，，；数列的前项和满足.（Ⅰ）求，；（Ⅱ）证明：.
【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）证明见解析.
【详解】（1）设正项等比数列的公比为，由，得
解得或（舍）又由，得
时，则
（2）设
则
两式相减得
得得
【变式探究】
1．（2021·浙江高三月考）已知数列为各项非零的等差数列，其前项和为，满足，
（1）求数列的通项公式
（2）记，求数列的前项和
【答案】（1）；（2）.
【详解】解析：（1），
（2）
当为偶数时
当为奇数时
．
所以．
2．（2021·浙江省宁海中学高三月考）已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足数列前项和为，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）∵，，∴当时，，∴，
又，∴，
两式作商，有，所以数列隔项成以4为公比的等比数列.
∴，即，所以
（2）由已知数列前项和为.
∴，∴.
两式相减得，，∴，
令，则，①
所以，②
①②可得，
所以，
所以数列的前项和
3．（2021·浙江绍兴市·高三期末）在数列，和中，为等差数列，设前n项的和为，的前n项和为，，，，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求证：.
【答案】（1），；（2）证明见解析；
【详解】解：（1）因为为等差数列，且前n项的和为，设其公差为，
因为，，所以，所以，所以，
因为，，，所以，因为的前n项和为且，当时，，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，因为，所以
（2）因为
所以
4．（2020·浙江高三专题练习）已知数列和满足，（1）求与；（2）记数列的前项和为，求.
【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）由
可得为以首项，公比的等比数列，所以，
当时，，故，
当时，，整理得，即，所以，所以，又当时，也满足，所以.综上可得：，.
（2）由（1）知，
所以
所以
所以.
考点四：数列中的数学文化
数列中的数学文化，主要考向有：1.等差数列的应用；2.等比数列的应用；3.数列的概念与性质.
【经典例题】
1.（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列
的前3项和是________．
【答案】
【解析】因为，所以．
即．故答案为：.
【变式探究】
1．（2020·浙江湖州市·湖州中学高三其他模拟）“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，从第三项开始每一项都是数列中前两项之和.这个数列是斐波那契在他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的.在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？即斐波那契数列中，，,
，则______；若，则数列的前项和是_______（用表示）.
【答案】144
【详解】解：因为，,
，
所以，同理，
因为，,
，所以……
以上累加得，，
所以，故答案为：144；
2．（2020·浙江高三二模）“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第n天所织布的尺数为，则______．
【答案】
52
【详解】设从第2天开始,每天比前一天多织d尺布,则,
解得,即每天增加的数量为，
，故答案为，52.
3．（2020·浙江省宁海中学高三月考）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则____________；____________.
【答案】2
86
【详解】由题意知，，所以2，86故答案为2；86
4．（2020·浙江衢州市·高三月考）古希腊著名数学家毕达格拉斯发现：数量为的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，第个“三角形数”是，则第5个“三角形数”是______，前6个“三角形数”的和是________.
【答案】
【详解】因为第个“三角形数”是，所以第5个“三角形数”是，
第6个“三角形数”是，所以前6个“三角形数”的和是，
故答案为：15，56
考点五：逻辑中的数列问题
【经典例题】
1．（2017·浙江高考真题）已知等差数列的公差为d,前n项和为,则“d>0”是
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4
+
S6>2S5”的充要条件，选C．
【变式探究】
1．（2020·浙江省桐庐中学高三月考）已知数列为等比数列，则“，”是“为递减数列”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若等比数列满足、，则数列为递减数列，
故“，”是“为递减数列”的充分条件，
因为若等比数列满足、，则数列也是递减数列，
所以“，”不是“为递减数列”的必要条件，
综上所述，“，”是“为递减数列”的充分不必要条件，故选：A.
2．（2019·浙江省柯桥中学高三月考）已知数列满足，，(，，)，则“”是“数列为等差数列”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当时，，所以数列为公差为1的等差数列，即充分性成立；，所以若数列为等差数列，则或，即必要性不成立，
综上，“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，故选A
3．（2020·浙江高三其他模拟）正项等比数列，，“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】解：设正项等比数列的公比为，因为，
当时，令，不等式成立，但是不成立；
故“”是“”的不充分条件；
当时，显然互不相等，设公比为
等价于，即，
因为，，所以，即，
不妨假设最大，所以最小，所以，
当时，，，∴；
当时，；
当时，，，∴；
综上知，当时，有，故“”是“”的必要条件.
即“”是“”的必要不充分条件.故选：B．
4．（2020·浙江高三其他模拟）已知数列是公差不为零的等差数列，前项和为，则“，”是“数列是递增数列”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】∵恒成立，∴，∴递增；
反之，可取，则递增，但，
所以“，”是“数列是递增数列”的充分不必要条件.故选：A.
考点六：数列与不等式的结合
解题技巧：等比数列与不等式的结合，一般涉及等比数列的通项公式、求和公式以及等比数列的常用性质.其中与“错位相减法”、“数学归纳法”、“放缩法”相结合的情形较多.运算中要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
【经典例题】
1．（2019·浙江高考真题）设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.（1）求数列的通项公式；
（2）记
证明：
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【详解】(1)由题意可得：，解得：，
则数列的通项公式为
.其前n项和.
则成等比数列，即：
，
据此有：，
故.
(2)结合(1)中的通项公式可得：
，
则.
2．（2017·浙江高考真题）已知数列满足：，
证明：当时，（I）；（II）；（III）.
【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.
【详解】（Ⅰ）用数学归纳法证明：．
当时，．
假设时，，那么时，若，
则，矛盾，故．
因此，所以，因此．
（Ⅱ）由得，
．
记函数，，
函数在上单调递增，所以，
因此，故．
（Ⅲ）因为，所以，
由，得，
所以，故．
综上，．
【变式探究】
1．（2021·浙江温州市·高三期末）已知正数数列满足，且对任意，都有，则的取值范围为______．
【答案】
【详解】由题意可知，对任意，都有，则，则，
整理可得，，
解不等式可得，
当时，，所以，，
令，
则数列为单调递减数列，所以，，，
所以，.
下面来说明，当时，对任意的，.
由双勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数，
，则，可得，
由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，
则，可得，假设当时，，
由于函数在上为增函数，则，
可得.由上可知，当时，对任意的，.
综上所述，的取值范围是.故答案为：.
2．（2021·浙江高三开学考试）数列中，且，其中为的前n项和.（1）求的通项公式；（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见详解.
【详解】（1）中，令，有，得
当时，由已知得
两式相减得，即
所以
两式再相减得，
即，所以为等差数列，
又因为，所以公差为，所以
（2）即证
因为
所以
.
3．（2021·浙江省高三月考）已知数列的前项和满足（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）设的前项和为，求证：.
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【详解】（1）当时，
时.两式相减，得
得，
则为常数
数列是等比数列，首项为，
，所以，
（2）当时，，
当时，，
当时，，
令，则，，
因为，所以，所以，
所以，所以，所以当时，数列单调递减，
所以当时，，
所以当时，，
所以当时，，
综上所述：.
4．（2020·浙江高三其他模拟）已知无穷数列满足：，．
（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）证明：．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【详解】（Ⅰ）证明：由，，，……，
叠加可得，因为，即．
（Ⅱ）证法一：因为，所以，，所以．
因为，所以．
，所以．所以．
证法二：由（Ⅰ）知，，，且．
因为，所以，所以．
所以．
（Ⅲ）证明：当时，由（Ⅱ）知结论成立；
假设时，不等式成立，即．
当时，
．
要证成立，
只需证成立，
即证成立，
因为，，……，，
叠加可得．所以成立．
综上所述，．
考点七：数列与函数、导数的结合
解题技巧：数列本身就是“特殊的函数”，因此，其更易于和函数相结合，一是数列的本身由函数呈现，二是在处理数列问题的过程中，可通过构造函数，利用函数的性质、导数等达到解题目的．
【经典例题】
1.（2018年浙江高考真题）已知成等比数列，且．若，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.
详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，
若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.
2.（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．
①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）①bn=n；②5.
【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.
由，得，解得．因此数列为“M—数列”.
（2）①因为，所以．由得，则.
由，得，
当时，由，得，整理得．
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{bn}的通项公式为bn=n.
②由①知，bk=k，.因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.
因为ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.
当k=1时，有q≥1；
当k=2，3，…，m时，有．设f（x）=，则．
令，得x=e.列表如下：
x
e
(e，+∞)
+
0
–
f（x）
极大值
因为，所以．
取，当k=1，2，3，4，5时，，即，
经检验知也成立．因此所求m的最大值不小于5．
若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．
【变式探究】
1．（2021·浙江高三月考）设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【详解】令，知：在定义域内为递增函数，
∴由题意知：，即，
又知：关于原点对称，
∴，而.故选：A
2．（2020·浙江温州市·高三期末）已知数列满足：，，若对任意的正整数，都有，则实数的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：，
又在区间上单调递增，，实数的取值范围，
故选：．
3．（2021·浙江高三月考）已知数列满足，，若对任意n∈N
，都，则下列可能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设，所以，故
在上单调递减，
当时，，即
，当时，，即
，
当任意n∈N
，都，
，即，所以，即
.故选：A.
4．（2020·浙江高三月考）已知数列的前项和为，且，，数列满足，.（1）求数列、的通项公式；（2）若数列满足且对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）因为，，所以，
则，即，，
因为，，
所以数列是以为首项、为公比的等比数列，，
因为，所以，即，
则
.
（2），
令，
则，
因为对任意恒成立，
所以对任意恒成立，即，
令，，
则，当时，即当时取到最小值，故，实数的取值范围为.
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