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20212021年人教版六年级数学知识要点导航
目
录
第一部分
数与代数
…………………………………………………………2
第一节
数的认识…………………………………………………………2
第二节
数的运算…………………………………………………………6
第三节、实际应用
…………………………………………………………10
第四节、简易方程
…………………………………………………………18
第五节、
比和比例
………………………………………………………18
第六节、常见的计量单位及其进率
………………………………………20
第二部分
空间与图形…………………………………………………………20
第一节：线与角
……………………………………………………………20
第二节：平面图形的认识
…………………………………………………21
第三节：平面图形的周长和面积
…………………………………………22
第四节：立体图形的认识
…………………………………………………24
第五节、立体图形的表面积和体积
………………………………………24
第六节
图形与变换………………………………………………………25
第七节
图形与位置………………………………………………………26
第三部分
统计与可能性………………………………………………………27
第一部分
数与代数
第一节
数的认识
一、整数与自然数
整数
：自然数和0都是整数。
自然数
：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。
二、计数单位和数位
计数单位
：个、十、百……以及十分之一、百分之一、千分之一……都是计数单位。“一”是基本单位，其他单位又叫做辅助单位。
十进制计数法
：
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。
数位
：在计数时，计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所在的位置叫做数位。
数位顺序表
：
三、数的性质
1、整数
倍数和约数
：
如果数a能被数b（b
≠
0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。
如：，所以35是7的倍数，7是35的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的
约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3
，没有最大的倍数。
最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
注意：
1）如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
2）如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
3）如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
4）如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
5）几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
求几个数的最小公倍数的方法：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
质数：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如
4、6、8、9、12都是合数。
1既不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5
叫做15的质因数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。
成互质关系的两个数，有下列几种情况：
（1）、1和任何自然数互质。
（2）、相邻的两个自然数互质。
（3）、两个不同的质数互质。
（4）、当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
（5）、两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
整除：
数a除以整数b(b
≠
0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a
。
整除数的特征
：
（1）、个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。
（2）、个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。
（3）、一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
（4）、一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
（5）、能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
（6）、一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
（7）、一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
偶数
：
能被2整除的数叫做偶数。
0是偶数
奇数
：
不能被2整除的数叫做奇数。
2、
小数
小数的意义
:
把整数1平均分成10份、100份、1000份……
得到的十分之几、百分之几、千分之几……
可以用小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。
在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
小数的基本性质
：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。
纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：
0.25
、
0.368
都是纯小数。
带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。
例如：
3.25
、
5.26
都是带小数。
有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。
例如：
41.7
、
25.3
、
0.23
都是有限小数。
无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。
例如：
4.33
……
3.1415926
……
无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。
例如：
循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。
例如：
3.555
……
0.0333
……
12.109109
……
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
例如：
3.99
……的循环节是“
9
”
，
0.5454
……的循环节是“
54
”
。
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。
例如：
3.111
……
0.5656
……
混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。
3.1222
……
0.03333
……
注意：写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环
节只有
一个数字，就只在它的上面点一个点。例如：
3.777
……
简写作;
0.5302302
……
简写作
。
3、
分数
分数的意义
：
(1）把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
(2）在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
(3）把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
分数的基本性质
：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数的分类
：
(1）真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
(2）假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。
(3）带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
约分和通分
：
(1）把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数
，叫做约分。
(2）分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
(3）把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
4、
百分数
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。
第二节
数的运算
1、整数四则运算
加法
：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。
加数+加数=和
一个加数=和－另一个加数
减法
：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
乘法
：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。
在乘法里，0和任何数相乘都得0.；
1和任何数相乘都的任何数。
一个因数×
一个因数
=积
；
一个因数=积÷另一个因数
除法
：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算。
在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。
被除数÷除数=商
除数=被除数÷商
被除数=商×除数
2、小数四则运算
小数加法
：小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。
小数减法
：小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算.
小数乘法
：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
小数除法
：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
乘方
:
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如：
3、分数四则运算
分数加法
：分数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一个数的运算。
分数减法
：分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。
分数乘法
：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。
乘积是1的两个数叫做互为倒数。
分数除法
：分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
4、运算定律
加法交换律
：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a
。
加法结合律
：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c)
。
乘法交换律
：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。
乘法结合律
：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c)
。
乘法分配律
：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c
。
减法的性质
：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c)
。
5、运算法则
整数加法计算法则
：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。
整数减法计算法则
：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。
整数乘法计算法则
：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。
整数除法计算法则
：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；
如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。
小数乘法法则
：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。
除数是整数的小数除法计算法则
：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。
除数是小数的除法计算法则
：先移动除数的小数点，使它变成整数，同时被除数的小数点也向右移动相周的数位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
同分母分数加减法计算方法
：同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母分数加减法计算方法
：先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
带分数加减法的计算方法
：整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
分数乘法的计算法则
：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
分数除法的计算法则
：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。
6、运算顺序
没有括号的混合运算
：同级运算从左往右依次运算；两级运算
先算乘、除法，后算加减法。
有括号的混合运算
：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
第一级运算
：加法和减法叫做第一级运算。
第二级运算
：乘法和除法叫做第二级运算。
小数四则混合运算
：小数四则混合运算的顺序和整数四则运算顺序相同。
分数四则混合运算
：分数四则混合运算的顺序和整数四则运算顺序相同。
第三节、实际应用
（1）、平均数问题
：平均数是等分除法的发展。
解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。
算术平均数
：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。
加权平均数
：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。
数量关系式
（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。
差额平均数
：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。
数量关系式：所有数量之和÷数量的个数=算术平均数。
例：一辆汽车以每小时
100
千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时
60
千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。
分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“
1
”，则汽车行驶的总路程为“
2
”，从甲地到乙地的速度为
100
，所用的时间为
，汽车从乙地到甲地速度为
60
千米
，所用的时间是
，汽车共行的时间为
+
=
,
汽车的平均速度为
2
÷
=75
（千米）
（2）、
归一问题
：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。
数量关系式：单一量×份数=总数量
总数量÷单一量=份数
例：
一个织布工人，在七月份织布
4774
米
，
照这样计算，织布
6930
米
，需要多少天？
分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。
693
0
÷（
477
4
÷
31
）
=45
（天）
（3）、归总问题：已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。
特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。
数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量
=
另一个单位数量
单位数量×单位个数÷另一个单位数量=
另一个单位数量。
例：
修一条水渠，原计划每天修
800
米
，
6
天修完。实际
4
天修完，每天修了多少米？
分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。
80
0
×
6
÷
4=1200
（米）
（4）、
和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。
解题关键：把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。
解题规律：（和＋差）÷2
=
大数
大数－差=小数
（和－差）÷2=小数
和－小数=
大数
例：
某加工厂甲班和乙班共有工人
94
人，因工作需要临时从乙班调
46
人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少
12
人，求原来甲班和乙班各有多少人？
分析：从乙班调
46
人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成
2
个乙班，即
9
4
－
12
，由此得到现在的乙班是（
9
4
－
12
）÷
2=41
（人），乙班在调出
46
人之前应该为
41+46=87
（人），甲班为
9
4
－
87=7
（人）
（5）、和倍问题
：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。
解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。
解题规律
：和÷倍数和=标准数
标准数×倍数=另一个数
例：:汽车运输场有大小货车
115
辆，大货车比小货车的
5
倍多
7
辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？
分析：大货车比小货车的
5
倍还多
7
辆，这
7
辆也在总数
115
辆内，为了使总数与（
5+1
）倍对应，总车辆数应（
115-7
）辆
。
列式为（
115-7
）÷（
5+1
）
=18
（辆），
18
×
5+7=97
（辆）
（6）、差倍问题
：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。
解题规律：两个数的差÷（倍数－1
）=
标准数
标准数×倍数=另一个数。
例：
甲乙两根绳子，甲绳长
63
米
，乙绳长
29
米
，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳
长的
3
倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？
各减去多少米？
分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，所剩的长度甲绳是乙绳的
3
倍，实际甲绳比乙绳多（
3-1
）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（
63-29
）÷（
3-1
）
=17
（米）
甲绳剩下的长度，
17
×
3=51
（米）
两根绳子剪去的长度为：29
-
17=12。
（7）、行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。
解题关键和规律
：
同时同地相背而行：路程=速度和×时间。
同时相向而行（相遇问题）：相遇路程=速度和×时间
同时同向而行（追及问题）（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程÷速度差。
（8）、流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。
船速：船在静水中航行的速度。
水速：水流动的速度。
顺水速度：船顺流航行的速度。
顺水航行的速度=船在静水中的速度＋水流的速度；
逆水速度：船逆流航行的速度。
逆水航行的速度=船在静水中的速度－水流的速度。
解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。
解题时要以水流为线索。
解题规律：船行速度=（顺水速度
+
逆流速度）÷2
流水速度=（顺流速度
-
逆流速度）÷2
路程=顺流速度
×
顺流航行所需时间
路程=逆流速度
×
逆流航行所需时间
（9）、
还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。
解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。
解题规律：从最后结果出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。
根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。
解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。
例
：某小学三年级四个班共有学生
168
人，如果四班调
3
人到三班，三班调
6
人到二班，二班调
6
人到一班，一班调
2
人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？
分析：当四个班人数相等时，应为
168
÷
4
，以四班为例，它调给三班
3
人，又从一班调入
2
人，所以四班原有的人数减去
3
再加上
2
等于平均数。四班原有人数列式为
168
÷
4-2+3=43
（人）
一班原有人数列式为
168
÷
4-6+2=38
（人）；二班原有人数列式为
168
÷
4-6+6=42
（人）
三班原有人数列式为
168
÷
4-3+6=45
（人）。
（10）、植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。
解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。
解题规律：
①沿线段植树：
棵树=段数+1
棵树=总路程÷株距+1
株距=总路程÷（棵树-1）
总路程=株距×（棵树-1）
②沿周长植树：
棵树=总路程÷株距
株距=总路程÷棵树
总路程=株距×棵树
例：
沿公路一旁埋电线杆
301
根，每相邻的两根的间距是
50
米
。后来全部改装，只埋了201
根。求改装后每相邻两根的间距。
分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为
50
×（
301-1
）÷（
201-1
）
=75
（米）
（11）、盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。
他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余，或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。
解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。
解题规律：总差额÷每人差额=人数
总差额的求法可以分为以下四种情况：
第一次多余，第二次不足，总差额=多余+
不足
第一次正好，第二次多余或不足
，总差额=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足，
总差额=
大不足-小不足
例：
参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组
10
人，则多
25
支，如果小组有
12
人，色笔多余
5
支。求每人分得几支？共有多少支色铅笔？
分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有
12
人，比
10
人多
2
人，而色笔多出了（
25-5
）
=20
支
，
2
个人多出
20
支，一个人分得
10
支。列式为（
25-5
）÷（
12-10
）
=10
（支）
10
×
12+5=125
（支）。
（12）、年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。
解题关键：年龄问题与和差、和倍、
差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。
例：
父亲
48
岁，儿子
21
岁。问几年前父亲的年龄是儿子的
4
倍？
分析：父子的年龄差为
48-21=27
（岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的
4
倍，可知父子年龄的倍数差是（
4-1
）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的
4
倍。列式为：
21
-（
48-21
）÷（
4-1
）
=12
（年）
（13）、鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题
解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。
解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数
兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2
如果假设全是兔子，可以有下面的式子：
鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2
兔的头数=总头数-鸡的只数
例：
鸡兔同笼共
50
个头，
170
条腿。问鸡兔各有多少只？
兔子只数
（
170-2
×
50
）÷
2
=35
（只）
鸡的只数
50-35=15
（只）
-
（14）、
出勤率问题：
发芽率=发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率=
面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率=合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%
（15）、
工程问题：
是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。
解题关键：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。
数量关系式：
工作总量=工作效率×工作时间；
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率；
合作时间=工作总量÷工作效率和
（16）、
纳税问题
：
纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的分率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
缴纳的税款叫应纳税款。
应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额
……）的百分率叫做税率。
（17）、利息问题
：
本金
：存入银行的钱叫做本金。
利息
：取款时银行多支付的钱叫做利息。
利率
：利息与本金的比值叫做利率。
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
第四节、简易方程
1、方程和方程的解
方程
：含有未知数的等式叫做方程。
注意：方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。
方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时
，方程才成立
。
方程的解
：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
2、解方程
解方程
：求方程的解的过程叫做解方程。
3、列方程解应用题
列方程解应用题的意义
：用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
列方程解答应用题的步骤
：
①弄清题意，确定未知数并用x表示；
②找出题中的数量之间的相等关系；
③列方程；
④解方程；
⑤检查或验算；
⑥写出答案。
第五节、
比和比例
1、比的意义和性质
比的意义
：
两个数相除又叫做两个数的比。
“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。
比的性质
：
比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。
求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。
比例尺
：图上距离∶实际距离=比例尺
线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。
按比例分配
：
在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。
按比例分配的方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
2、
比例的意义和性质
比例的意义
：
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
比例的基本性质
：
在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。
解比例
：
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。
3、正比例和反比例
成正比例的量
：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示
(一定）
成反比例的量
：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示x×y=k(一定)
第六节、常见的计量单位及其进率
1、长度单位：
常见长度单位：
千米（km）
米（m）
分米（dm）
厘米（cm）
毫米（mm）
1千米=1000米
1米=10分米
1分米=10厘米
1厘米=10毫米
2、面积单位：
常见的面积单位：
平方千米（km?）
公顷（hm?）
平方米（m?）
平方分米（dm?）
平方厘米（cm?）
1平方千米=100公顷
1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
3、体积单位：
常见的体积单位：
立方米（m?）
立方分米（dm?）
立方厘米（cm?）
升(L)
毫升（ml）
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方厘米=1立方毫米
1升=1000毫升
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
4、质量单位：
常见的质量单位：
吨（t）
千克（kg）
克（g）
1吨=1000千克
1千克=1000克
5、时间单位：
常见的时间单位：
世纪
年
月
日
时
分
秒
1世纪=100年
1年=12个月
28天（平年二月）
1个月=
29天（闰年二月）
30天（四、六、九、十一月）
31天（一、三、五、七、八、十、十二月）
1天=24小时
1小时=60分
1分=60秒
第二部分
空间与图形
第一节：线与角
1、直线、射线和线段
（1）联系与区别
名称
意义
特点
线段
直线上两点间的一段叫做线段。
线段有两个端点，它可以度量长度。
射线
把线段的一端无限延长，就得到一条射线。
射线只有一个端点，它是无限长的，不能度量长度。
直线
把线段的两端无限延长，就可以得到一条直线。
直线没有端点，它是无限长的，不能度量长度。
（2）垂直与平行
垂直和垂线
：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
平行线
：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的距离相等。
同一平面内的两条直线不是平行，就是相交。
点到直线的距离
：
从直线外的一点向该直线引垂线，从这点到垂足的线段的长，叫做这个点到直线的距离。
2、角
角的意义
：从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关。
角的分类
：角可分为：锐角、直角、钝角、平角、周角
1周角=2平角=4直角
1平角=2直角
周角＞平角＞钝角＞直角＞锐角
第二节：平面图形的认识
1、三角形
三角形的意义
：三角形是由三条线段首尾相接围城的图形。
三角形的特性
：三角形具有稳定性。
三角形的分类
：
按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形（正三角形）
2、四边形的分类
名称
一般四边形
平行四边形
长方形
正方形
梯形
图形
特征
四条边围成
对边平行且相等
有一个角是直角的平行四边形
四边都相等的长方形
只有一组对边平行的四边形
3、圆
圆的意义
：圆是平面上的一种曲线图形。圆上任意一点到圆心的距离都相等。
圆的各部分名称
：圆心(o)、直径(d)、半径（r）、周长（c）
圆的特征
：
①在同圆或等圆中，d=2r或r=。
②圆是轴对称图形，圆的直径所在的直线都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴。
第三节：平面图形的周长和面积
1、周长的意义：围成一个图形的所有边长的总和，叫做这个图形的周长。
2、平面图形的周长计算公式：
名称
长方形
正方形
平行四边形
梯形
三角形
圆
图形
周长公式
文字公式
长方形的周长=（长+宽）×2
正方形的周长=边长×4
平行四边形的周长=4条边长总和
梯形周长=上、下底加上两腰
三角形周长=三边和
圆周长=圆周率×直径
字母公式
C=2(a+b)
C=4a
C=2(a+b)
C=a+b+c+d
C=a+b+c
C=πdC=2πr
3、圆周率：
圆的周长与直径的比值叫做圆周率，用“π”表示。圆周率是一个无限不循环小数，π=3.14159……,在计算时一般只取它的两位小数，即π≈3.14.
4、面积的意义：
物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。
5、平面图形面积的计算公式：
名称
长方形
正方形
平行四边形
梯形
三角形
圆
图形
面积公式
文字公式
长方形的面积=长×宽
正方形的面积=边长×边长
平行四边形的面积=底×高
梯形面积=（上底+下底）×高÷2
三角形面积=底×高÷2
圆面积=圆周率×半径的平方
字母公式
S=ab
S=a?
S=ah
S=(a+b)h
S=ah
S=πr?
第四节：立体图形的认识
1、长方体和正方体的特点：
相同点
：长方体和正方体都有6个面，8个顶点和12条棱。
不同点
：长方体至少有4个面是长方形，而正方体6个面都是正方形。
联系
：正方体可以看作是特殊的长方体。
2、圆柱和圆锥的特点：
圆柱
：
圆柱的两个圆面叫底面，周围的面叫侧面。上、下两底面之间的距离叫圆柱的高。圆柱有无数条高。
圆锥
：
圆锥的圆面叫底面，周围的曲面叫侧面。顶点到底面圆心的距离叫圆锥的高。圆锥只有一条高。
3、从不同方向看到的立体图形的形状：
长方体
：从上、下、前、后、左、右看一般会看到长方形，特殊情况下可能看到正方形。
正方体
：从上、下、前、后、左、右看，都会看到一个正方形。
圆柱
：
从上或下看，会看到一个圆。
从侧面看，会看到一个长方形或正方形。
圆锥
：
从上面看，会看到一个圆（有圆心）；
从侧面看，会看到等腰三角形。
第五节、立体图形的表面积和体积
表面积的意义
：
一个立体图形所有面的面积总和，叫做它的表面积。
体积的意义
：
一个立体图形所占空间的大小，叫做它的体积。
立体图形的表面积和体积的计算公式：
名称
图形
侧面积
表面积
体积
长方体
S=2(a+b)h
S=(ab+ah+bh)×2
V=abh
正方体
S=4a?
S=6
a?
V=a?
圆柱
S=Ch=2πrh
S=Ch+2πr?
V=Sh=πr?h
圆锥
V=Sh=πr?h
第六节
图形与变换
1、轴对称图形
轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形。
这条折痕所在的直线叫做对称轴；对称轴是一条直线。
2、平移和旋转
平移
：
物体或图形在同一平面内沿直线移动，而本身没有发生方向上的改变，像这样的物体或图形所做的直线运动叫做平移。
平移的两个要素：
一是移动的方向，二是移动的距离。
旋转
：
物体或图形以一个点或一个轴为中心进行圆周运动，像这样的物体或图形所做的运动叫做旋转。
旋转的三个要素：
一是围绕的定点或轴，
二是旋转方向（逆时针方向或顺时针方向），三是旋转角度。
利用图形的平移和旋转，可以设计出美丽的图案。
3、图形的扩大与缩小
图形按照一定的比例扩大或缩小后，大小改变，形状不变。
第七节
图形与位置
1、辨认方向
2、绘制示意图
在绘制某地点的示意图时，需要把实际距离按一定比例缩小，再画在图纸上，还要确定图上距离和相对应的实际距离的比。
3、确定物体的位置
（1）、根据行、列用数对表示物体的位置。
竖排叫做列，横排叫做行，确定第几列一般是从左往右数，确定第几行一般是从前往后（从下往上）数。数对：（列数，行数）
（2）、根据物体的方向和距离可以确定物体的位置。
第三部分
统计与可能性
1、统计
统计表
：
统计表分为单式统计表和复式统计表。
统计图
：常用的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。
（1）条形统计图能清楚地看出各数量的多少。
（2）折线统计图能清楚地看出数量增减变化的情况，也能看出数量的多少。
（3）扇形统计图能清楚地看出各部分占总数的百分比，以及部分与部分之间的关系。
2、平均数、中位数、众数
平均数、中位数和众数是三个常见的统计量。
平均数
：求平均数的实质就是将几个数量，在总量（和）不变的情况下，通过移多补少，使它们变为相等。
总数量÷总份数=平均数。
中位数
：把调查得到的一组数据，按照从大到小的顺序排列起来，其中处于正中间的那一个数叫做这组数据的中位数。如果数据是偶数个时，则取正中间的两个数的平均数。
众数
：在一组数据中，出现次数最多的那个数叫做这组数据的众数。如果一组数据出现次数最多的数据有多个，那么这组数据的众数就有多个。
3、可能性
可能性知识主要包括：
（1）体验事件发生的等可能性及游戏规则的公平性。
（2）会求一些简单事件发生的可能性。
（3）能设计一个方案，符合指定的要求。这是对等可能性的一种逆向思维。
（4）对简单事件发生的等可能性做出预测。
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