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第2课时　等比数列的前n项和公式的性质及应用
内　容　标　准
学　科　素　养
1.理解等比数列前n项和公式的函数特征．2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
提升数学运算发展逻辑推理
授课提示：对应学生用书第43页
[基础认识]
知识点　有关等比数列前n项和的性质
　类比等差数列前n项和的性质，等比数列前n项和有哪些性质？
(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？
提示：n＝1时，a1＝S1＝2－1＝1.
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，
适合n＝1，a1＝1，
∴{an}为首项是1，公比是2的等比数列．
(2)若an＝2n－1，S6，S12－S6，S18－S12能成等比数列吗？
提示：由an＝2n－1可得Sn＝2n－1.
∴S6＝26－1，S12－S6＝212－26＝26(26－1)，
S18－S12＝218－212＝212(26－1)，
∴＝26，＝26.
故S6，S12－S6，S18－S12是公比为26的等比数列．　　　
　知识梳理　(1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指数型函数．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．
(2)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
(3)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N
)．
(4)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．
[自我检测]
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为(　　)
A.　　　　　　
B．－
C.
D．－
答案：C
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.
答案：
授课提示：对应学生用书第44页
探究一　等比数列前n项和公式的函数特征应用
[例1]　已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，求证：数列{an}为等比数列．
[证明]　当n＝1时，a1＝S1＝a－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1＝an－1(a－1)
∴an＋1＝an(a－1)≠0，∴＝a.
∴{an}是以a－1为首项，公比为a的等比数列．
方法技巧　等比数列{an}的前n项和Sn＝·qn－，利用它可判定为等比数列．
跟踪探究　1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n＋1＋λ，则λ＝(　　)
A．－2　　　　　　　
B．－1
C．1
D．2
解析：法一：当n＝1时，a1＝S1＝4＋λ.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时＝＝2.
因为{an}是等比数列，所以＝2，
即＝2，解得λ＝－2.故选A.
法二：依题意，a1＝S1＝4＋λ，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8，
因为{an}是等比数列，所以a＝a1·a3，
所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.
答案：A
探究二　等比数列前n项和的性质
[阅读教材P62第2题]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，求证：S7，S14－S7，S21－S14也成等比数列．
证明：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
当q＝1时，S7＝7a1，S14－S7＝7a1，S21－S14＝7a1，显然S7，S14－S7，S21－S14成等比数列．
当q≠1时，由S7＝，S14＝，S21＝，可得S7(S21－S14)＝＝(S14－S7)2，因此S7，S14－S7，S21－S14成等比数列．
综上，等比数列{an}中，S7，S14－S7，S21－S14也成等比数列．
[例2]　(1)已知在等比数列{an}中，S10＝10，S20＝30，则S30＝________.
[解析]　由已知条件S10＝10，S20＝30，易得q≠±1，运用性质
得＝，即＝，∴q10＝2.
又＝，∴S30＝70.
[答案]　70
(2)等比数列{an}各项为正，a3，a5，－a4成等差数列．Sn为{an}的前n项和，则＝________.
[解析]　因为等比数列{an}各项为正，a3，a5，－a4成等差数列，所以a1q2－a1q3＝2a1q4,2q2＋q－1＝0，q＝或q＝－1(舍去)，＝＝1＋3＝.
[答案]　
方法技巧　恰当地使用等比数列的前n项和的性质，不仅简化了运算，而且避免了对公比q的讨论．
(3)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，且前3项之积为64，求该数列的通项公式．
[解析]　设该数列的首项为a1，公比为q，奇数项之和、偶数项之和分别记为S奇、S偶，由题意知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
∵该数列的项数为偶数，∴q＝＝.
又a1·a1q·a1q2＝64，∴a·q3＝64，即a1＝12.
故所求通项公式为an＝12·()n－1.
方法技巧　本题在求公比时直接应用了等比数列前n项和的性质：若项数为2n，则＝q.
跟踪探究　2.等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
解析：由题意，知
∴
∴公比q＝＝＝2.
答案：2
探究三　等差、等比数列的综合问题
　[阅读教材P61第6题]已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列．求证：a2，a8，a5成等差数列．
证明：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1，则S3＝，S9＝，S6＝.由S3，S9，S6成等差数列，
得2×＝＋，整理得2q9＝q3＋q6，即2q7＝q＋q4，
∴2a1q7＝a1q＋a1q4，
∴2a8＝a2＋a5，
∴a2，a8，a5成等差数列．
[例3]　已知公差不为0的等差数列{an}，满足S7＝77，a1，a3，a11成等比数列．
(1)求an；
(2)若bn＝2an，求{bn}的前n项和Tn.
[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由S7＝＝77可得7a4＝77，则a1＋3d＝11.①
因为a1，a3，a11成等比数列，所以a＝a1a11，整理得2d2＝3a1d.
又d≠0，所以2d＝3a1.②
联立①②，解得a1＝2，d＝3，所以an＝3n－1.
(2)因为bn＝2an＝23n－1＝4·8n－1，所以{bn}是首项为4，公比为8的等比数列，所以Tn＝＝.
方法技巧　解等差、等比数列综合题的注意点
等差数列与等比数列既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强类比记忆．
(1)设出首项和公差(比)，利用待定系数法可以解决两个数列的所有问题，用好性质会降低解题的运算量，从而减少差错．
(2)等差数列的单调性只与公差有关，但等比数列的单调性不但与公比有关，也与首项有关．
(3)既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列．
(4)若{an}是等比数列且an＞0，则{lg
an}是等差数列．
(5)若一个数列的通项公式可以看作是一个等差数列与一个等比数列的通项公式的积，则该数列可以用错位相减法求和．
跟踪探究　3.各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)
A.
B．
C.
D.或
解析：因为a2，a3，a1成等差数列，所以a3＝a2＋a1，因为{an}是公比为q的等比数列，所以a1q2＝a1q＋a1，
所以q2－q－1＝0，因为q＞0，
所以q＝，
所以＝＝＝.
答案：C
授课提示：对应学生用书第45页
[课后小结]
(1)若数列{an}为非常数列的等比数列，且其前n项和为Sn＝A·qn＋B(A≠0，B≠0，q≠0，q≠1)，则必有A＋B＝0；反之，若某一非常数列的前n项和为Sn＝A·qn－A(A≠0，q≠0，q≠1)，则该数列必为等比数列．
(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，特别地，如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
[素养培优]
1．忽略对公比q的讨论
在数列{an}中，an＝a2n－an(a≠0)，求{an}的前n项和Sn.
易错分析　不讨论a的取值，直接按等比数列求和公式代入求解．
自我纠正　当a＝1时，an＝0，∴Sn＝0；
当a＝－1时，a2＝1，∴Sn＝n＋；
当a≠±1时，Sn＝(a2＋a4＋…＋a2n)－(a＋a2＋…＋an)＝－.
综上，Sn＝
2．忽略题目中的隐含条件
在等比数列{an}中，前n项和为2，紧接着后面的2n项和为12，再紧接着后面的3n项和S是多少？
易错分析　产生错误的原因是求出“qn＝2或qn＝－3”后没有考虑它成立的合理性，直接得出：
当时，S＝112；当时，S＝－378.
事实上，当n为偶数时，qn不可能等于－3.
自我纠正　设数列{an}的公比为q，显然q≠1，
则
解得或
当n为偶数时，只有qn＝2，＝－2符合题意，
故S＝－(2＋12)＝(－2)×(1－26)－14＝112.
当n为奇数时，qn＝2，＝－2和qn＝－3，＝都符合题意，
故S＝112，或S＝[1－(－3)6]－14＝－378.
3．对等比数列求和的项数用错致误
在等比数列{an}中，公比q＝2，前87项和S87＝140，则a3＋a6＋a9＋…＋a87＝________.
易错分析　此题中，易把项数弄错．
本题的求解利用定义显然比较麻烦．从题干以及待求式子的特征观察，得b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a86，b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a87三个等式，然后从等比数列的性质出发，寻找三者之间的内在关系，即可求解，相对比较简单．
自我纠正　法一：a3＋a6＋a9＋…＋a87＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q84)＝a1q2·＝·＝×140＝80.
法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a86，b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a87，
因为b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝140，
所以b1(1＋q＋q2)＝140，而1＋q＋q2＝7，所以b1＝20，b3＝q2b1＝4×20＝80.
答案：80
PAGE2．5　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列的前n项和公式的推导及简单应用
内　容　标　准
学　科　素　养
1.理解等比数列前n项和公式的推导过程．2.掌握等比数列前n项和的公式，会用前n项和公式解决等比数列问题.
提升数学运算发展逻辑推理应用数学建模
授课提示：对应学生用书第41页
[基础认识]
知识点　等比数列前n项和公式
等差数列有求和公式，对于等比数列，可用a1和q求Sn＝a1＋a2＋…＋an吗？
(1)若等比数列{an}的公比q＝1，这时数列{an}是什么数列？其前n项和公式是什么？
提示：常数列
(2)对于等比数列{an}，q≠1.
Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1·qn－1＋a1qn，②
①－②后Sn能用a1和q表示吗？
提示：Sn＝.　　　
　知识梳理　等比数列的前n项和公式Sn＝.
Sn用an、a1和q怎么表示，Sn＝.
[自我检测]
1．数列{2n－1}的前99项和为(　　)
A．2100－1　　　　　　　
B．1－2100
C．299－1
D．1－299
答案：C
2．在等比数列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，则a1＝________.
答案：2
授课提示：对应学生用书第41页
探究一　等比数列的前n项和公式的基本运算
　[阅读教材P56例1及P61A组第1题]方法步骤：
(1)确定a1和q.
(2)利用Sn及an建立方程．
[例1]　(1)若an＝3×2n，求S6.
[解析]　因为an＝3×2n＝6×2n－1，所以该等比数列的首项a1＝6，公比q＝2，于是S6＝＝378.
(2)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
①求{an}的通项公式；
②求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
[解析]　①设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.
则a2＋a4＝2a3＝10，即a3＝5.
故a3－a1＝2d＝5－1＝4，即d＝2.
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N
)．
②由①知a5＝9，即b2b4＝9，
则bq4＝9，q2＝3.
∵{bn}是公比为q的等比数列，
∴b1，b3，b5，…，b2n－1构成首项为1，公比为q2＝3的等比数列，
∴b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝
＝(n∈N
)．
方法技巧　(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便．
跟踪探究　1.求和：Sn＝1＋a＋a2＋…＋an－1.
解析：(1)当a＝0时，数列1，a，a2，…，an－1不是等比数列，Sn＝1.
(2)当a＝1时，Sn＝na1，即Sn＝n.
(3)当a≠0且a≠1时，Sn＝.
若令a＝0，可得Sn＝1，满足关系式Sn＝.
故Sn＝
[例2]　在等比数列{an}中，
(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5；
(3)若q＝2，S4＝1，求S8.
[解析]　(1)由Sn＝，an＝a1qn－1以及已知条件得
∴a1·2n＝192，∴2n＝.
∴189＝a1(2n－1)＝a1(－1)，∴a1＝3.
又∵2n－1＝＝32，n＝6.
(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得
即
∵a1≠0,1＋q2≠0，
∴②÷①得q3＝，
即q＝，
∴a1＝8.∴a4＝a1q3＝8×3＝1，
S5＝＝＝.
(3)法一：∵q＝2，S4＝1，
∴＝1，
即a1＝，∴S8＝＝＝17.
法二：∵S4＝＝1，且q＝2，
∴S8＝＝(1＋q4)＝S4(1＋q4)
＝1×(1＋24)＝17.
方法技巧　(1)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时用整体代换的思想．
(2)在等比数列中，对于a1，q，n，an，Sn五个量，若已知其中三个量就可求出其余两量，常常列方程组来解答问题．
跟踪探究　2.已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝(　　)
A．3　　　　　　　
B．4
C.
D.
解析：已知等比数列{an}的首项为a1，则＝＝.
答案：C
3．若首项为1的等比数列{an}(n∈N
)的前3项和为3，则公比q为(　　)
A．－2
B．1
C．－2或1
D．2或－1
解析：当q＝1时，S3＝3a1＝3，符合题意；当q≠1时，S3＝＝1＋q＋q2＝3，解得q＝－2.
答案：C
探究二　等比数列前n项和的实际应用
　[阅读教材P56例2]方法步骤：
(1)判断等比数列．
(2)写明已知条件．
(3)建立Sn的关系式求n.
[例3]　某市决定将燃油型公交车，尽快换为电力型公交车．该市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2019年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.
(1)该市在2025年应该投入电力型公交车多少辆？
(2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？
[解析]　(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5，∴2025年应投入电力型公交车为a7＝a1q6＝128×1.56＝1
458(辆)．
(2)设{an}的前n项和为Sn，
则Sn＝＝256×(1.5n－1)，
由Sn＞(10
000＋Sn)×，即Sn＞5
000，解得n＞7.
到2026年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
方法技巧　应用数列知识解决实际问题的步骤
(1)根据实际问题提取数据；
(2)建立数据关系，对提取的数据进行分析、归纳，建立数列的通项公式或递推关系；
(3)检验关系是否符合实际，符合实际可以使用，不符合则要修改关系；
(4)利用合理的结论对实际问题展开讨论．
跟踪探究　4.一个热气球在第一分钟上升了25
m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125
m
吗？
解析：用an表示热气球在第n分钟内上升的高度，
由题意，得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝＝
＝125×<125，
即这个热气球上升的高度不可能超过125
m.
授课提示：对应学生用书第42页
[课后小结]
　(1)等比数列前n项和的三点说明
①求和公式中是qn，通项公式中是qn－1，不要混淆．
②应用求和公式时注意公比q的取值，必要时应讨论q≠1和q＝1的情况．
③利用方程思想在a1，q，n，Sn和a1，an，q，Sn中，各已知三个量可求第四个量．
(2)等比数列前n项和的推导方法
①错位相减法：即本节的课前探究的方法．
②定义法：由等比数列的定义，得＝＝…＝＝q.根据比例的性质，得＝＝q(n≥2)，故(1－q)Sn＝a1－anq.所得结论同上．
[素养培优]
　等比数列前n项和公式推导方法的拓展应用
错位相减法是一种重要的数列求和方法，等比数列前n项和公式的推导用的就是错位相减法．当一个数列由等差数列与等比数列对应项的乘积构成时，可使用此法求数列的前n项和．
设数列{an}为等差数列，公差为d；数列{bn}为等比数列，公比为q(q≠1)；数列{anbn}的前n项和为Tn.则Tn的求解步骤如下：
(1)列出和式Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn.
(2)两边同乘以公比q：qTn＝a1b1q＋a2b2q＋a3b3q＋…＋anbnq＝a1b2＋a2b3＋a3b4＋…＋anbn＋1.
(3)两式相减(错位相减)并求和：
(1－q)Tn＝a1b1＋(a2b2－a1b2)＋(a3b3－a2b3)＋…＋(anbn－an－1bn)－anbn＋1＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1＝a1b1＋d×－anbn＋1.
(4)两边同除以(1－q)即得数列{anbn}的前n项和Tn.
1．求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1，…的前n项和Sn，其中a≠0.
解析：当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，…，则Sn＝＝n2.
当a≠1时，Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)·an－1，①
∴aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an.②
①－②，得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，
即(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋…＋an－1)
＝1－(2n－1)an＋2·
＝1－(2n－1)an＋.
∵1－a≠0，∴Sn＝＋.
2．已知数列{an}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝an·3n，求数列{bn}的前n项和Sn.
解析：(1)设数列{an}的公差为d，则
a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12.
又a1＝2，得d＝2，∴an＝2n.
(2)由bn＝an·3n＝2n·3n，得
Sn＝2·3＋4·32＋…＋(2n－2)·3n－1＋2n·3n，①
3Sn＝2·32＋4·33＋…＋(2n－2)·3n＋2n·3n＋1.②
①－②得
－2Sn＝2(3＋32＋33＋…＋3n)－2n·3n＋1
＝3(3n－1)－2n·3n＋1＝(1－2n)×3n＋1－3，
所以Sn＝×3n＋1＋.
PAGE第2课时　等比数列的性质
内　容　标　准
学　科　素　养
1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质的由来．2.理解等比数列的性质并能应用．3.掌握等比数列的性质并能综合应用.
提升数学运算发展逻辑推理应用数学建模
授课提示：对应学生用书第38页
[基础认识]
知识点一　等比数列的项与序号的关系
　知识梳理　设等比数列{an}的公比为q.
(1)两项关系：an＝am·qn－m(m，n∈N
)．
(2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则aman＝apaq.
(3)若m，n，p(m，n，p∈N
)成等差数列，am，an，ap成等比数列．即若m＋p＝2n，则a＝am·ap.
(4)等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝
(n为正奇数)．
知识点二　等比数列的“子数列”的性质
　知识梳理　若数列{an}是公比为q的等比数列，则
(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列；
(2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列；偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列；
(3)在数列{an}中每隔k(k∈N
)项取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1；
(4)若an＞0，则{}是等比数列，公比为；
(5)若{an}为等比数列，则数列{a}为等比数列，公比为q2；
(6)若数列{an}是公比为q的等比数列，则数列是公比为的等比数列．
知识点三　等比数列{an}的函数性质
　知识梳理　(1){an}为公比是q的等比数列，an＝a1·qn－1＝·qn，数列的点在函数y＝·qx上．
(2)等比数列的单调性
公比q单调性首项a1
q＞1
0＜q＜1
q＝1
q＜0
a1＞0
单调递增数列
单调递减数列
常数数列
摆动数列
a1＜0
单调递减数列
单调递增数列
[自我检测]
1．在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝(　　)
A．27　　　　　　
B．27或－27
C．81
D．81或－81
答案：B
2．在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2－2x－6＝0的两根，则a4a7＝(　　)
A．－6
B．－2
C．2
D.
答案：B
授课提示：对应学生用书第38页
探究一　等比数列性质的应用
　[阅读教材P68
B组1(1)]等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)
A．12　　　　　　　
B．10
C．8
D．2＋log35
解析：a5·a6＋a4·a7＝2a5·a6＝18，
∴a5·a6＝9.
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·a3…a9·a10)＝log3(a5·a6)5＝log3310＝10.故选B.
答案：B
[例1]　在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求数列{an}的通项公式．
[解析]　由a4a7＝－512，知a3a8＝－512.
解方程组
得或
因为q为整数，所以q＝＝－2，
所以an＝a3qn－3＝－4×(－2)n－3＝(－1)n－2×2n－1.
延伸探究　1.将例1中条件“a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数”改为“a7·a11＝6，a4＋a14＝5”，则结果又如何？
解析：因为数列{an}是等比数列，
所以a4·a14＝a7·a11＝6，解方程组
得或
所以q＝＝或q＝
.
所以an＝a4qn－4＝2×或an＝3×.
2．将例1中等比数列满足的条件改为a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.
解析：因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8.
联立可解得或
当时，q3＝－，故a1＋a10＝＋a7q3＝－7；
当时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.
综上可得，a1＋a10＝－7.
方法技巧　利用等比数列的性质解题
(1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；
(2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
探究二　等比数列的设项方法
　[阅读教材P54第8题]在9与243中间插入两个数，使它们成等比数列．
解析：设公比为q，首项a1＝9，
则这四个数依次为9,9q,9q2,9q3，
∴9q3＝243，∴q＝3，即这四个数为9,27,81,243.
[例2]　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[解析]　法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，，
由条件得
解得或
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
法二：设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)．
由条件得解得或
当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q＝时，所求四个数为15,9,3,1.
故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
方法技巧　合理地设出未知数是解决此类问题的技巧．一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.若四个同号的数成等比数列，可设为，，aq，aq3；四个数成等差数列，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
跟踪探究　1.有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积为－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求这四个数．
解析：由题意，设这四个数为，b，bq，a，
则解得或
∴这四个数依次为1，－2,4,10或－，－2，－5，－8.
探究三　等比数列的实际应用
　[阅读教材P50例1]方法步骤：
(1)判断等比数列．
(2)写出已知条件的首项和公比．
(3)写通项公式及n的方程求解．
[例3]　为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg
2＝0.3，最后结果精确到整数)
[解析]　设该地区总面积为1,2014年底绿化面积为a1＝，经过n年后绿洲面积为an＋1，设2014年底沙漠面积为b1，
经过n年后沙漠面积为bn＋1，
则a1＋b1＝1，an＋bn＝1.
依题意，an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，
∴an＋1＝92%·an＋12%(1－an)
＝an＋，
即an＋1－＝，
a1－＝－＝－，
∴是以－为首项，为公比的等比数列，
∴an－＝n－1，
∴an＝－n－1，
则an＋1＝－n，
∵an＋1＞50%，∴－n＞，
∴n＜，n＞log
＝≈3.1，
则当n≥4时，不等式n＜恒成立．
∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.
方法技巧　解等比数列应用题的一般步骤
跟踪探究　2.某市2018年建成共有产权住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年年底．
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2018年为累计的第一年)将首次不少于4
750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
解析：(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，
则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n.
令25n2＋225n≥4
750，得n2＋9n－190≥0，
令f(n)＝n2＋9n－190，
当f(n)＝0时，n1＝－19，n2＝10，
由二次函数的图象得n≤－19或n≥10时，f(n)≥0，而n是正整数．所以n≥10.
故到2027年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4
750万平方米．
(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知，
{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，
则bn＝400×1.08n－1，由题意可知an＞0.85bn，即250＋(n－1)×50＞400×1.08n－1×0.85，满足不等式的最小正整数n＝6.
故到2023年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
授课提示：对应学生用书第40页
[课后小结]
　(1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题．
(2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系，充分利用：①若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则aman＝apaq；②若m＋n＝2t(m，n，t∈N
)，则aman＝a进行求解．
(3)解决等比数列的问题，通常考虑两种方法：
①基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，先求公比，后求其他量．这是解等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较烦琐．
②数列性质：利用性质时要根据题意灵活选取．
[素养培优]
1．有关等比数列的“点列”问题
解析几何背景下的数列问题，以下简称为“点列”问题，这类问题往往以解析几何的点、直线、曲线的无限运动为背景，融数列、解析几何知识为一体．
“点列”问题的主要解题步骤可分为三步：第一步是根据解析几何背景抽象出数列的递推关系式；第二步是在递推关系式的基础上求得数列的通项或分析通项的性质；第三步是由通项解决数列的其他问题．
如图所示，△OBC的三个顶点坐标分别为(0,0)、(1,0)、(0,2)，设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn＋3为线段PnPn＋1的中点，令Pn的坐标为(xn，yn)，an＝yn＋yn＋1＋yn＋2.
(1)求a1，a2，a3及an；
(2)证明：yn＋4＝1－，n∈N
；
(3)若记bn＝y4n＋4－y4n，n∈N
，证明：{bn}是等比数列．
解析：(1)因为y1＝y2＝y4＝1，y3＝，y5＝，
所以a1＝a2＝a3＝2，又由题意可知yn＋3＝，
则an＋1＝yn＋1＋yn＋2＋yn＋3＝yn＋1＋yn＋2＋＝yn＋yn＋1＋yn＋2＝an，
所以{an}为常数列．因此，有an＝a1＝2，n∈N
.
(2)证明：将等式yn＋yn＋1＋yn＋2＝2两边除以2，
得yn＋＝1，
又yn＋4＝，得yn＋4＝1－.
(3)证明：bn＋1＝y4n＋8－y4n＋4＝－＝－(y4n＋4－y4n)＝－bn，
又b1＝y8－y4＝－≠0，
因此，{bn}是公比为－的等比数列．
2．忽视等比数列中奇、偶项符号致误
已知－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则＝________.
易错分析　忽视等比数列中b2与－4同号，而出现b2＝2或b2＝±2的错误．
自我纠正　法一：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有－7＋3d＝－1，－4×q4＝－1，解得d＝2，q2＝，
所以a2－a1＝d＝2，b2＝－4×q2＝－4×＝－2，
所以＝＝＝－1.
法二：因为－7，a1，a2，－1四个实数成等差数列，
所以a2－a1＝[(－1)－(－7)]＝2，
因为－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，
所以－4，b2，－1成等比数列，所以b＝(－4)×(－1)＝4，所以b2＝2或b2＝－2，
由b＝－4×b2>0知b2<0，所以b2＝－2，
所以＝＝－1.
答案：－1
3．变形中忽略项的变化而致错
在数1和100之间插入n个实数，使得这(n＋2)个数构成递增的等比数列，将这(n＋2)个数的乘积记作Tn，再令an＝lg
Tn，n≥1.求数列{an}的通项公式．
易错分析　解决此题时，一些同学可能会由题设及对数运算想到先构建{an}的递推关系，再求其通项公式，得到错解．
自我纠正　法一：设在1和100之间插入n个实数构成的递增的等比数列的公比为q，则qn＋1＝100，所以Tn＝1·q·q2·…·qn·100＝100q＝10n＋2.故an＝lg
Tn＝n＋2.
法二：设在1和100之间插入n个实数构成的递增的等比数列的公比为q.由题意得到Tn＝1·q·q2…qn·100，①
则Tn＝100·qn…q2·q·1.②
①×②，再根据等比数列性质，得(Tn)2＝100n＋2＝102n＋4，又Tn＞0，从而Tn＝10n＋2，an＝lg
Tn＝n＋2.
PAGE2.4　等比数列
第1课时　等比数列的概念和通项公式
内　容　标　准
学　科　素　养
1.理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列．2.掌握等比数列的通项公式并能熟练应用．3.掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题．4.了解等比数列的通项公式与指数函数的关系.
发展逻辑推理提升数学运算应用数学抽象
授课提示：对应学生用书第35页
[基础认识]
知识点一　等比数列的概念
　数列1,2,4,8，…是等差数列吗？后一项与前一项的比值是多少？
(1)对于数列1,2,4,8，…从第2项起，每一项与前一项的比都等于________．
提示：同一常数．
(2)对于数列，1,20,202,203，…从第2项起，每一项与前一项的比都等于________．
提示：20.
(3)对于数列1，，，，…从第2项起，每一项与前一项的比都等于________．
提示：同一个常数．　　　
　知识梳理　等比数列的定义：
(1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)上述三个数列是(填“是”或“不是”)等比数列，其公比分别为2,20，.
在数列{an}中，如果＝q(n≥2，n∈N
)(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比．
知识点二　等比中项
　(1)是否存在实数G，使1，G,4成等比数列？
提示：存在，G＝±2.
(2)是否存在实数G，使1，G，－4成等比数列？
提示：不存在．　　　
知识点三　等比数列的通项公式
知识梳理　已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则数列{an}的通项公式为an＝a1·qn－1.
在等比数列a1，a2，…，am，…，an中，有an＝am·qn－m.
[自我检测]
1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N
)，则a4＝________.
答案：54
2．2＋与2－的等比中项是________．
答案：±1
授课提示：对应学生用书第36页
探究一　等比数列通项公式的应用
　[阅读教材P51例3]已知等比数列的某两项求其他项方法步骤：
(1)用a1和q表示已知项．
(2)联立方程组求a1和q.
(3)写通项公式及其他项．
1．等比数列基本量的求解
[例1]　在等比数列{an}中，
(1)已知a3＝9，a6＝243，求a5；
(2)已知a1＝，an＝，q＝，求n.
[解析]　(1)法一：由a3＝9，a6＝243，
得a1q2＝9，a1q5＝243.
∴q3＝＝27，∴q＝3，∴a1＝1.
∴a5＝a1q4＝1×34＝81.
法二：∵a6＝a3q3，∴q3＝＝＝27，∴q＝3.
∴a5＝a3q2＝9×32＝81.
(2)∵a1＝，an＝，q＝，
∴＝×n－1.
∴n－1＝＝3.
∴n－1＝3，∴n＝4.
方法技巧　(1)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意一项．
(2)在等比数列{an}中，若已知a1，q，n，an四个量中的三个，就可以求出另一个量．
跟踪探究　1.设{an}是公比为负数的等比数列，a1＝2，a3－4＝a2，则a3＝(　　)
A．2　　　　　　
B．－2
C．8
D．－8
解析：设等比数列{an}的公比为q＜0，
∵a1＝2，a3－4＝a2，∴2q2－4＝2q，解得q＝－1，
则a3＝2×(－1)2＝2.故选A.
答案：A
2．等比数列通项公式及变形的应用
[例2]　(1)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于(　　)
A．1＋
B．1－
C．3＋2
D．3－2
[解析]　设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q，∴q2－2q－1＝0，
∴q＝1±.
∵an＞0，∴q＞0，则q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
[答案]　C
(2)已知数列{an}为等比数列，若a2＝2，a10＝8，则a6＝(　　)
A．±4
B．－4
C．4
D．5
[解析]　由题意可得q8＝＝4，∴q4＝2，a6＝a2q4＝2×2＝4.
[答案]　C
方法技巧　在已知等比数列中任意两项的前提下，利用an＝amqn－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项．
跟踪探究　2.在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝(　　)
A．12
B．18
C．24
D．36
解析：设公比为q，∵a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，∴a3＋a3q2＋a3q4＝78，即6＋6q2＋6q4＝78，解得q2＝3，∴a5＝a3q2＝6×3＝18，故选B.
答案：B
探究二　等比中项的应用
　[阅读教材P54习题第7题]求下列各组数的等比中项：
(1)7＋3与7－3；
(2)a4＋a2b2与b4＋a2b2(a≠0，b≠0)．
解析：(1)G2＝(7＋3)(7－3)＝4，∴G＝±2.
(2)G2＝(a4＋a2b2)(b4＋a2b2)＝a2b2(a2＋b2)2，
∴G＝±ab(a2＋b2)．
[例3]　(1)已知等比数列{an}的公比为正数，且a5·a7＝4a，a2＝1，则a1＝(　　)
A.
B．
C.
D．2
[解析]　因为等比数列{an}的公比为正数，且a5·a7＝4a，a2＝1，
所以a＝4a，即a6＝2a4，
所以q2＝＝2，所以q＝，a1＝＝.
[答案]　B
(2)已知a，－，b，－，c这五个数依次排列成等比数列，求a，b，c的值．
[解析]　∵b2＝×＝6，
∴b＝±.
当b＝时，ab＝2，解得a＝；
bc＝2＝10，解得c＝7.
同理，当b＝－时，a＝－，c＝－7.
综上所述，a，b，c的值分别为，，7或－，
－，－7.
方法技巧　应用等比中项解题的两个注意点
(1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零．
(2)已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即a＝an－1an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程．
跟踪探究　3.已知等比数列{an}中，a3a9＝2a，且a3＝2，则a5＝(　　)
A．－4
B．4
C．－2
D．2
解析：因为等比数列{an}中，a3a9＝2a，且a3＝2，所以2a9＝2a.
因为a＝a1a9，所以a1＝1，
由等比中项的性质得a1a5＝a，
所以a5＝＝4.
答案：B
4．已知b是a与c的等比中项，且abc＝27，则b等于(　　)
A．－3
B．3
C．3或－3
D．9
解析：∵b是a与c的等比中项，∴ac＝b2.又abc＝27，∴b3＝27，解得b＝3.
答案：B
探究三　等比数列的判定
　[阅读教材P51例4]方法步骤：证明是一个与n无关的常数．
[例4]　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N
)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
[解析]　(1)由S1＝(a1－1)，
得a1＝(a1－1)，所以a1＝－，
又S2＝(a2－1)，
即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－，又a1＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
延伸探究　将本例的条件改为“a1＝，且an＋1＝an＋”，求证数列是等比数列．
证明：由an＋1＝an＋得an＋1－＝an－，
即an＋1－＝.
∵a1＝，∴a1－＝≠0，∴an－≠0，
∴＝，
∴是以为首项，为公比的等比数列．
方法技巧　判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N
且an≠0)，则数列{an}为等比数列．
跟踪探究　5.已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋n＋1，求证：是等比数列，并求an的通项公式．
证明：令an＋1－A·n＋1＝，
则an＋1＝an＋·n＋1.
由已知条件知＝1，得A＝3，
所以an＋1－3·n＋1＝.
又a1－3·1＝－≠0，
所以是首项为－，公比为的等比数列．
于是an－3·n＝－·n－1，
故an＝3·n－2n.
授课提示：对应学生用书第37页
[课后小结]
　(1)对等比数列定义的理解
①定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项；
②每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征)；
③公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比，不要把分子与分母弄颠倒；
④等比数列中的任何一项均不能为零；
⑤等比数列的公比可以是正数、负数，但不能为零．
(2)等比中项的两点认识
①在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
②a，G，b成等比数列?G2＝ab；
若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列，因为a，G，b中可能有等于零的．
(3)等比数列通项公式的应用
①根据等比数列的通项公式，已知四个量a1，n，q，an中的三个，就可以求出第四个．
②由等比数列的通项公式可验证某数是否为等比数列的项．
[素养培优]
1．求两数的等比中项易丢解
等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)
A．±4　　　　　　　　
B．4
C．±
D.
易错分析　a4，a8就是两个实数，其等比中项就是±，不能为其一．
自我纠正　a4＝a1q3＝×23＝1，a8＝a1q7＝×27＝16，a4与a8的等比中项为±，即±4.
答案：A
2．利用等比中项求数的项易增解
如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)
A．b＝±3，ac＝±9
B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9
易错分析　把b看作－1与－9的等比中项，求出的值是两个，是错误的，应把b放在该数列中，确定其值的可能性．
自我纠正　∵b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9.
答案：B
PAGE第2课时　等差数列的前n项和公式的性质及应用
内　容　标　准
学　科　素　养
1.掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用．2.能熟练应用公式解决实际问题，并体会方程思想.
发展逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第32页
[基础认识]
知识点　与等差数列的前n项和Sn有关的性质
知识梳理　(1)等差数列的依次每k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．
(2)①若等差数列的项数为2n(n∈N
)，则S2n＝n(an＋an＋1)(an，an＋1为中间两项)且S偶－S奇＝nd，＝.
②若项数为2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)且S奇－S偶＝an，＝.
[自我检测]
1．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于(　　)
A．2　　　　　　　
B．3
C．6
D．7
答案：B
2．已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为(　　)
A．5
B．－5
C．－2.5
D．2.5
答案：C
授课提示：对应学生用书第32页
探究一　等差数列前n项和性质的应用
　[教材P68复习参考题A组第10题]在以d为公差的等差数列{an}中，设S1＝a1＋a2＋…＋an，S2＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n，S3＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n.
求证：S1，S2，S3也是等差数列，并求其公差．
思路：S2－S1＝(an＋1－a1)＋(an＋2－a2)＋…＋(a2n－an)＝＝n2d.
S3－S2＝(a2n＋1－an＋1)＋(a2n＋2－an＋2)＋…＋(a3n－a2n)＝n2d.
[例1]　(1)在等差数列{an}中，前n项和为Sn，＝，则等于(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C.
D.
[解析]　因为＝，故S4－S2＝2S2，因为S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6为等差数列，故四项可分别写成S2,2S2,3S2,4S2，故S8＝10S2，S4＝3S2，故＝.
[答案]　A
(2)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有＝，则＋＝(　　)
A.
B．
C.
D.
[解析]　因为等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
等差数列的前n项和为：Sn＝.
所以＝＝
所以＋
＝＋＝＋
＝＝＝
＝＝＝.
[答案]　A
方法技巧　等差数列前n项和的有关性质在解题过程中，要根据题型及题设条件，恰当选用，达到化繁为简．
跟踪探究　1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m.
解析：在等差数列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
2．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
解析：设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，
∴
即解得
∴＝a1＋(n－1)d＝n－，
∴－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n×(－2)＋×＝n2－n.
探究二　与等差数列求和有关的裂项求和
　[教材P47第4题]数列的前n项和Sn＝＋＋＋…＋.
研究一下，能否找到Sn的一个公式，你能对这个问题作一些拓展吗？
探究：Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.
[例2]　设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
[解析]　(1)由已知a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
所以当n＞1时有a1＋3a2＋…＋(2n－3)·an－1＝2(n－1)，
所以两式作差可得：(2n－1)an＝2，
即an＝(n＞1，且n∈N
)，
又因为n＝1时，a1＝2符合，
所以an＝(n∈N
)．
(2)设bn＝，则bn＝＝－，
所以数列的前n项和为
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
延伸探究　1.本例中若将条件改为“数列{an}的通项公式an＝2n－1，bn＝”，试求数列{bn}的前n项和Tn.
解析：因为bn＝
＝，
所以Tn
＝
＝＝.
2．本例中若将条件改为“an＝”，试求数列{an}的前n项和S′n.
解析：因为an＝＝，
所以S′n＝1－＋－＋…＋－＋－＝1＋－－＝－－.
方法技巧　裂项相消求和
(1)适用数列：形如(bn－an＝d，d为常数)的数列可以用裂项求和．
(2)裂项形式：＝.
(3)规律发现：一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形，如分离常数、有理化等；二是裂项后不是相邻项相消的，要写出前两组、后两组，观察消去项、保留项．
探究三　等差数列的实际应用
　[教材P46习题A组第3题]为了参加长跑比赛，某同学制订了7天的训练计划：第1天跑5
000
m，以后每天比前一天多跑500
m，这个同学7天一共将跑多长的距离？
解析：每天跑的距离成为一个等差数列{an}．
a1＝5
000，d＝500.
则S7＝7×5
000＋×500＝45
500
m.
[例3]　有两个加工资的方案：一是每年年末加1
000元；二是每半年结束时加300元．如果在该公司工作10年，问：
(1)选择哪一种方案好？选准了较好的方案，与另一方案相比，10年中多加薪多少元？
(2)如果第二方案中的每半年加300元改成每半年加a元，问a取何值时，总是选择第二方案比第一方案加薪多？
[解析]　(1)第10年的年末，依第一方案可得共加薪
1
000＋2
000＋3
000＋…＋10
000＝55
000(元)．
依第二方案可得共加薪
300＋300×2＋300×3＋300×4＋…＋300×20＝63
000(元)，
因此在公司工作10年，选择第二方案好，多加薪63
000－55
000＝8
000(元)．
(2)到第n年年末，依第一方案可得共加薪1
000(1＋2＋…＋n)＝500n(n＋1)(元)．
依第二方案可得共加薪
a(1＋2＋3＋4＋…＋2n)＝an(2n＋1)(元)．
由题意an(2n＋1)＞500n(n＋1)对一切n∈N
都成立，
即a＞＝250＋，
又因为250＋≤250＋，
所以a＞250＋＝.
所以当a＞元时，总是选择第二方案比第一方案加薪多．
方法技巧　应用等差数列解决实际问题的一般思路
跟踪探究　3.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50
m，最远一根电线杆距离电站1
550
m，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工．若该汽车往返运输总行程为17
500
m，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？
解析：由题意知汽车逐趟(由远及近)往返运输行程组成一个等差数列，记为{an}，
则an＝1
550×2＝3
100，d＝50×3×2＝300，Sn＝17
500.
由等差数列的通项公式及前n项和公式，
得
由①得a1＝3
400－300n.
代入②得n(3
400－300n)＋150n(n－1)－17
500＝0，
整理得3n2－65n＋350＝0，
解得n＝10或n＝(舍去)，
所以a1＝3
400－300×10＝400.
故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400
m，
第一根电线杆距离电站×400－100＝100(m)．
所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100
m.
授课提示：对应学生用书第34页
[课后小结]
　(1)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算．
(2)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解．
(3)对于形如的数列，{an}{bn}都为等差数列，可采用裂项相消法求和．
[素养培优]
1．等差数列奇偶性问题
已知等差数列{an}共有(2n－1)项，则其奇数项之和与偶数项之和的比为(　　)
A.　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：等差数列{an}共有(2n－1)项，那么奇数项有n项，偶数项有(n－1)项，
S奇＝＝nan，
S偶＝＝(n－1)an，
所以＝＝.
故选C.
答案：C
点评　明确S奇、S偶的表达方法．
2．含有(－1)n类型的数列
已知数列{an}满足：an＋1＋(－1)n·an＝n＋2(n∈N
)，则S20＝(　　)
A．130
B．135
C．260
D．270
解析：∵an＋1＋(－1)nan＝n＋2，
∴a2－a1＝3，a3＋a2＝4，a4－a3＝5，
∴a3＋a1＝1，a2＋a4＝9，
同理可得a5＋a7＝a3＋a1＝a9＋a11＝a13＋a15＝a17＋a19＝1.
a6＋a8＝17，a10＋a12＝25，a14＋a16＝33，a18＋a20＝41.
∴{an}的前20项和S20＝(a1＋a3)＋…＋(a17＋a19)＋(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋…＋(a18＋a20)＝5＋9＋17＋25＋33＋41＝130.
故选A.
答案：A
点评　注意(－1)n中n的奇偶性的影响．
3．含有(－1)n型需讨论n的奇偶性问题
数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N
.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若Tn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)n＋1an，求Tn.
解析：(1)证明：由已知可得＝＋1，
即－＝1，
∴是以＝1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)得＝n，
∴an＝n2，
∵Tn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)n＋1an，
当n为偶数时，设n＝2k，
∴T2k＝a1－a2＋a3－a4＋…＋a2k－1－a2k
＝12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2
＝－[(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋…＋(2k＋2k－1)(2k－2k＋1)]
＝－(3＋7＋…＋4k－1)
＝－
＝－2k2－k.
∴Tn＝－－
当n为奇数时，n－1为偶数，∴Tn－1＝－－.
∴Tn＝Tn－1＋(－1)n＋1an＝－－＋n2
＝.
综上，Tn＝.
点评　注意讨论n的奇偶性对Tn的影响．
4．隔项成等差数列问题
若数列{an}满足：a1＝1，an＋an＋1＝4n，
(1)求数列{a2n－1}的前n项和；
(2)求数列{an}的前2n－1项和．
解析：(1)∵an＋1＋an＝4n，①
∴an＋2＋an＋1＝4n＋4，②
②－①得an＋2－an＝4，
则数列{a2n－1}是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴数列{a2n－1}的前n项和是×n＝2n2－n.
(2)∵a1＋a2＝4，∴a2＝3，{a2n}是以3为首项，4为公差的等差数列．
数列{an}的前2n－1项中，有a1，a3，…，a2n－1共n项．
有a2，a4，a6，…，a2n－2共n－1项，其和S偶＝(n－1)×3＋×4＝2n2－3n＋1，
∴{an}的前2n－1项和为(2n2－n)＋(2n2－3n＋1)＝4n2－4n＋1.
点评　{an}的奇数项、偶数项分别成等差数列，但{an}不是等差数列．
PAGE2.3　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和
内　容　标　准
学　科　素　养
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路．2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．3.能用an与Sn的关系求an.
发展逻辑推理提升数学运算应用数学建模
授课提示：对应学生用书第29页
[基础认识]
知识点一　等差数列前n项和公式
(1)高斯求和的故事我们一定耳熟能详，高斯是怎样求出1＋2＋3＋…＋100的结果的呢？
提示：高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．
高斯的算法妙在“等和性”
1＋2＋3＋4＋…＋98＋99＋100与100＋99＋98＋…＋3＋2＋1相等，对应项相加也相等．
(2)如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多1根，最下面的一层有9根．
问题①：一共有几层？图形的横截面是什么形状？
提示：6层，梯形．
问题②：假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样一共有多少根钢管？
提示：6×(4＋9)．　　　
问题③：原来有多少根钢管？
提示：.
问题④：能否利用这种方法推导等差数列{an}的前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an?
提示：Sn＝an＋an－1＋…＋a2＋a1，
2Sn＝n(a1＋an)，故Sn＝.
　知识梳理　(1)数列的前n项和的概念
一般地，我们称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.
(2)等差数列已知a1，n和an来表示Sn＝.
思考　如果已知等差数列的首项a1及公差d，项数n，如何表示Sn?
提示：将an＝a1＋(n－1)d代入Sn＝，
得Sn＝na1＋d.
知识点二　数列中an与Sn的关系
　知识梳理　a1＋a2＋…＋an－1＝Sn－1.
思考　an＝Sn－Sn－1对任意n∈N
都成立吗？
提示：不是，只对于n≥2，n∈N
成立．
[自我检测]
　已知等差数列{an}中，a1＝1，a2＋a3＝8，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
答案：n2
授课提示：对应学生用书第30页
探究一　与等差数列前n项和有关的基本量的计算
　[阅读教材P43例1与P44例2]方法步骤：
(1)从题设中确定a1和d.
(2)选用Sn公式代入．
[例1]　(1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A．－12　　　　　　
B．－10
C．10
D．12
[解析]　法一：设等差数列{an}的公差为d，
∵3S3＝S2＋S4，
∴3(3a1＋d)＝2a1＋d＋4a1＋d，
解得d＝－a1，∵a1＝2，∴d＝－3，
∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.
法二：设等差数列{an}的公差为d，
∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，
∴S3＝a4－a3，∴3a1＋d＝d，
∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.
[答案]　B
(2)在等差数列{an}中：
①已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
②已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
[解析]　①法一：由已知条件得
解得
∴S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210.
法二：由已知条件得
∴a1＋a10＝42，
∴S10＝＝5×42＝210.
②S7＝＝7a4＝42，
∴a4＝6.
∴Sn＝＝＝＝510.
∴n＝20.
方法技巧　等差数列前n项和的运算技巧
(1)列方程：此类运算涉及的基本量有a1，d，n，an，Sn，一般转化为关于a1，d，n的方程组，解出方程组后再求其他的基本量．
(2)用性质：利用等差数列的性质简化运算，常用的性质如等差中项am＋an＝ap＋aq.
(3)当已知首项、末项和项数时，用Sn＝较为简便；当已知首项、公差和项数时，用Sn＝na1＋d较简便．
跟踪探究　1.在等差数列{an}中，
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解析：(1)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.又a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.
∴n＝15，d＝－.
(2)由已知得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
探究二　数列的前n项和Sn与通项an之间的关系
　[阅读教材P44例3]方法步骤：
(1)由Sn构造Sn－1.
(2)利用an＝Sn－Sn－1.
(3)验证n＝1.
(4)写通项公式an.
[例2]　若数列{an}的前n项和为Sn＝n2－n，则数列{an}的通项an＝________.
[解析]　由Sn＝n2－n知，
当n＞1时Sn－1＝(n－1)2－(n－1)，
∴an＝Sn－Sn－1＝(n2－n)
－＝n－1.
当n＝1时，a1＝－＝，适合an＝n－1，
∴an＝n－1.
[答案]　n－1
延伸探究　1.本例中若Sn＝n2＋2n＋1，试求an.
解析：由Sn＝n2＋2n＋1＝(n＋1)2得
当n＞1时，Sn－1＝n2，
∴an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2－n2＝2n＋1.
当n＝1时，a1＝1＋2＋1＝4，不适合an＝2n＋1，
故an＝.
2．若将本例中的条件改为“a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1”，试求an.
解析：∵an＋1＝SnSn＋1，且an＋1＝Sn＋1－Sn，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，
∴－＝1，
即－＝－1.又＝＝－1，
∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．
∴＝－1＋(n－1)(－1)＝－n，
∴Sn＝－.
当n＞1时，Sn－1＝－，
∴an＝Sn－Sn－1＝－＋＝，
∴an＝.
方法技巧　Sn与an的关系式的应用
(1)“和”变“项”．
首先根据题目条件，得到新式(与条件相邻)，然后作差将“和”转化为“项”之间的关系，最后求通项公式．
(2)“项”变“和”．
首先将an转化为Sn－Sn－1，得到Sn与Sn－1的关系式，然后求Sn.
探究三　等差数列前n项和的最值问题
　[阅读教材P45例4]方法步骤：
(1)写出Sn的表达式．
(2)利用Sn关于n的二次函数求最值．
[例3]　记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值．
[解析]　(1)设{an}的公差为d，
由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
跟踪探究　2.已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解析：(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)法一：a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
法二：由(1)知a1＝9，d＝－2＜0，
∴{an}是递减数列．
令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.
∵n∈N
，∴n≤5时，an＞0，n≥6时，an＜0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
授课提示：对应学生用书第31页
[课后小结]
　(1)求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
(2)等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N
)；
若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
(3)由Sn与an的关系求an，
主要使用an＝
[素养培优]
1．整体思想
等差数列{an}的前n项和Sn＝可视a1＋an为一整体．进行等值的整体代换．
在等差数列{an}中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n项之和是100，则项数n为(　　)
A．9　　　　　　　　
B．10
C．11
D．12
解析：由题意及等差数列的性质可得4(a1＋an)＝20＋60＝80，
∴a1＋an＝20.∵前n项之和是100＝，解得n＝10，故选B.
答案：B
2．分类讨论思想
在数列求和时，常出现对n、an等量的讨论．
已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解析：由S2＝16，S4＝24，
得
即解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N
)．
①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)
＝n2－10n＋50，
故Tn＝
3．函数思想
当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝n2＋n，类比二次函数求解Sn的问题．
在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．
解析：法一：∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d＝17×25＋d，
解得d＝－2.
∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169.
∴当n＝13时，Sn有最大值169.
法二：由于a1＝25＞0，S9＝S17，∴d＜0.
故Sn是关于n开口向下的抛物线，
对称轴n＝＝13，
∴当n＝13，Sn最大．
又∵S17－S9＝0，∴a13＋a14＝0，∴2a1＋25d＝0.
∴d＝－2，∴S13＝13a1＋×d＝13×25＋×(－2)＝169.
PAGE第2课时　等差数列的性质
内　容　标　准
学　科　素　养
1.进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．2.理解等差数列的性质．3.会运用等差数列的性质解决问题.
发展逻辑推理提升数学运算应用数学抽象
授课提示：对应学生用书第26页
[基础认识]
知识点一　等差数列的项与序号的关系
　(1)等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d.
那么an＝a2＋________d？　an＝a3＋________d?
an＝am＋________d？(m＜n)
提示：(n－2)　(n－3)　(n－m)
(2)等差数列{an}中，a1＋an与a2＋an－1，a3＋an－2有什么关系？
提示：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2.　　　
　知识梳理
两项关系
an＝am＋(n－m)d(n，m∈N
)
多项关系
若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am＋an＝ap＋aq
在有穷等差数列{an}中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
知识点二　等差数列“子数列”的性质
已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
(1)将数列的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，首项、公差各是多少？
(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，首项、公差各是多少？
(3)取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列呢？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？
提示：上述问题中(1)是等差数列，首项为am＋1，公差为d.
(2)是等差数列，首项为a1，公差为2d.
(3)是等差数列，首项为a7，公差为7d.　　　
　知识梳理　已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
(1)将数列中的前m项去掉，其余各项组成首项为am＋1，公差为d的等差数列．
(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列．
偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列．
(3)若数列{kn}是等差数列，则数列{akn}也是等差数列．
(4){c＋an}为公差为d的等差数列(c为任一常数)．
(5){c·an}为公差为cd的等差数列(c为任一常数)．
(6){an＋an＋k}为公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N
)．
(7){pan＋qbn}为公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)．
知识点三　等差数列的函数性质
　在直角坐标系中，画出通项公式为an＝3n－5的数列的图象，这个图象有什么特点？
(1)数列an＝3n－5为等差数列，其图象的孤立的点在__________上．
提示：直线y＝3x－5.
(2)数列an＝3n－5的公差是直线y＝3x－5的________．
提示：斜率．　　　
　知识梳理　(1)等差数列与一次函数
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d＝0时，an是关于n的常数函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数，点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点．
(2)公差d与斜率
等差数列{an}的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d，即d＝(n≥2，n∈N
)．
(3)等差数列的单调性
等差数列{an}的公差为d，
①当d＞0时，数列{an}为递增数列．
②当d＜0时，数列{an}为递减数列．
③当d＝0时，数列{an}为常数列．
[自我检测]
1．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是(　　)
A．15　　　　　　
B．30
C．31
D．64
答案：A
2．已知(1,1)，(3,5)是等差数列{an}图象上的两点，则an＝________.
答案：2n－1
授课提示：对应学生用书第27页
探究一　等差数列性质的应用
　[阅读教材P68
复习参考题A组第8题]1.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，那么a2＋a8等于多少？
提示：a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，
故a2＋a8＝2a5＝180.
[教材P68复习参考题B组第2题第(1)问]2.如果a，b，c成等差数列，，，能构成等差数列吗？
你能用函数图象解释一下吗？
提示：不能构成等差数列，可以从图象上解释．如果a，b，c成等差数列，则通项公式为y＝pn＋q的形式，且a，b，c位于同一直线上，而，，的通项公式却是y＝的形式，，，不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列．
[例1]　(1)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；
(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
[解析]　(1)∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9，
∴a5＝3.∴a2＋a8＝a3＋a7＝6，①
又a3a5a7＝－21，
∴a3a7＝－7.②
由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.
∴a3＝－1，d＝2，或a3＝7，d＝－2.
由通项公式的变形公式an＝a3＋(n－3)d，
得an＝2n－7或an＝－2n＋13.
(2)∵a60＝a15＋(60－15)d，
∴d＝＝，
∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
方法技巧　等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N
)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
跟踪探究　1.在单调递减的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝(　　)
A．1　　　　　　
B．2
C.
D．3
解析：由题知，a2＋a4＝2a3＝2，
又因a2a4＝，数列{an}单调递减，
所以a4＝，a2＝.
所以公差d＝＝－.
所以a1＝a2－d＝2.
答案：B
2．在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．
解析：∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，
(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，
∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列．
∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27.
探究二　等差数列的设法与求解
[教材P40
A组第3题]如果三角形的三个内角的度数成等差数列，那么中间的角是多少度？
提示：设三个角分别为a－d，a，a＋d，
则a－d＋a＋a＋d＝180°，∴a＝60°.
[例2]　已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．
[解析]　设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
又因为是递增数列，所以d＞0，所以解得a＝±，d＝，
此等差数列为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.
延伸探究　1.若本例改为：已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
解析：法一：设这三个数为a，b，c，则由题意得
解得a＝4，b＝6，c＝8.
这三个数为4,6,8.
法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知可得
由①得a＝6，代入②得d＝±2，
∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去，∴这三个数为4,6,8.
2．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
解析：法一：根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，则
即
解得或
因为数列{an}为单调递增数列，所以从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
法二：由于数列{an}为等差数列，所以可设前三项分别为a－d，a，a＋d，由题意得
即解得或
由于数列{an}为单调递增数列，所以从而an＝4n－1.
方法技巧　等差数列项的常见设法
(1)通项法：设数列的通项公式，即设an＝a1＋(n－1)d.
(2)对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….
授课提示：对应学生用书第28页
[课后小结]
　在等差数列中，一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算，借助于a1，d建立方程组进行运算，这是最基本的方法；二是利用性质运算，运用等差数列的性质可简化计算，往往会有事半功倍的效果．
[素养培优]
1．错用等差数列的性质致误
在等差数列{an}中，若a6＝10，a15＝1，求a21的值．
易错分析　将性质错用为“ap＋aq＝ap＋q”导致错解．
自我纠正　设等差数列{an}的公差为d，则
解得故a21＝a1＋20d＝15－20＝－5.
2．混淆两个等差数列的有关量
两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
易错分析　解决问题时，没弄清公式中各量的含义，不同的数列各量所用符号不能相同．
本例中项数n在数列{an}和数列{bn}中的意义有区别，当项相同时，对应的序号n不一定相同．
自我纠正　设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11.
又等差数列5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2，
等差数列3,7,11，…的通项公式为bn＝4n－1.
所以数列{cn}为等差数列，且公差d＝12，①
所以cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1.
又a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302，②
得n≤25，
可见两数列共有25个相同的项．
PAGE2．2　等差数列
第1课时　等差数列的概念和通项公式
内　容　标　准
学　科　素　养
1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，并灵活应用．3.掌握等差数列的证明方法.
加强概念理解形成逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第23页
[基础认识]
知识点一　等差数列的概念
　知识梳理　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．
知识点二　等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，A与a和b之间有什么关系？
下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列？
(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b.
提示：(1)设插入的一个数为x，则x－2＝4－x，∴x＝3；　　　
(2)x＋1＝5－x，x＝2；
(3)x－0＝0－x，x＝0；
(4)x－a＝b－x，x＝.
　知识梳理　如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A＝.
思考　任何两个数都有等差中项吗？
提示：都有且唯一．
知识点三　等差数列的通项公式
　等差数列能写出通项公式吗？
(1)对于等差数列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2.
试猜想an＝a1＋(　　)×2.
提示：n－1.　　　
(2)对于任一个等差数列{an}，首项为a1，公差为d.
a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝a1＋________d，
a4＝a3＋d＝a1＋________d，
?　?　?
an＝an－1＋d＝a1＋________d.
提示：2　3　(n－1)
知识梳理　(1)条件：等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
[自我检测]
1．已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝3，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝3n－1　　　　　
B．an＝2n＋1
C．an＝2n＋3
D．an＝3n＋2
答案：A
2．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为________．
答案：
授课提示：对应学生用书第24页
探究一　等差数列的通项公式及其应用
　[阅读教材P38例1，例2]方法步骤：
(1)已知a1和d，可求an及各项．
(2)已知a1和d及an，可求n.
[例1]　(1)在等差数列{an}中，a3＋a6＝11，a5＋a8＝39，则公差d为(　　)
A．－14　　　　　　　
B．－7
C．7
D．14
[解析]　因为a3＋a6＝11，a5＋a8＝39，则4d＝28，解得d＝7.
[答案]　C
(2)在等差数列{an}中，已知a5＋a10＝12，则3a7＋a9＝(　　)
A．12
B．18
C．24
D．30
[解析]　因为在等差数列{an}中，a5＋a10＝12，所以2a1＋13d＝12，
3a7＋a9＝3(a1＋6d)＋a1＋8d＝4a1＋26d＝2(2a1＋13d)＝2×12＝24.
[答案]　C
[例2]　在等差数列{an}中：
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
[解析]　(1)由题意知
解得
(2)由题意知
解得
所以a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17.
方法技巧　
1．求等差数列通项公式的步骤
2．等差数列通项公式中的四个参数及其关系
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d
四个参数
a1，d，n，an
“知三求一”
知a1，d，n求an
知a1，d，an求n
知a1，n，an求d
知d，n，an求a1
跟踪探究　1.已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
解析：依题意得
∴
解得或
∵数列{an}是递减等差数列，
∴d＜0.故取a1＝11，d＝－5.
∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.
即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项．
探究二　等差数列的判定
　[阅读教材P38例3]方法步骤：
用定义法：判定an＋1－an为与n无关的常数．
[例3]　判定下列数列是否为等差数列：
(1)an＝3n＋2；(2)an＝n2＋n.
[解析]　(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列．
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列．
[例4]　(1)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝4,2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N
)，当an＝298时，序号n＝(　　)
A．100
B．99
C．96
D．101
[解析]　因为2an＝an－1＋an＋1，
所以数列{an}为等差数列，
因为a1＝1，a2＝4，所以公差d＝3，
所以an＝298＝1＋3(n－1)，解得n＝100.
[答案]　A
(2)已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n＞1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列．
[证明]　因为bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.
又b1＝＝.
所以数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
方法技巧　
跟踪探究　2.已知等差数列{an}的公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，试判断{bn}是否为等差数列，并说明理由．
解析：{bn}是等差数列，理由如下：
因为{an}是公差为d的等差数列，
所以an＋1－an＝d(n∈N
)，
又bn＝3an＋4，所以bn＋1＝3an＋1＋4，
则bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)
＝3(an＋1－an)＝3d(常数)(n∈N
)．
由等差数列的定义知，数列{bn}是等差数列．
3．已知a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1，证明为等差数列，并求{an}的通项公式．
证明：由于an＋1＝2an＋2n＋1，
∴－＝－＝1，
∴是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴＝1＋(n－1)·1，即＝n，
∴an＝n·2n.又当n＝1时，上式也符合．故an＝n·2n.
探究三　等差中项的应用
　[阅读教材P39练习第5题]已知{an}是等差数列．
(1)2a5＝a3＋a7是否成立？2a5＝a1＋a9呢？为什么？
(2)2an＝an－1＋an＋1(n＞1)是否成立？
2an＝an－k＋an＋k(n＞k＞0)是否成立？能得出什么结论？
提示：成立，a5是a3和a7及a1和a9的等差中项．
成立，an是an－1和an＋1及an－k和an＋k的等差中项．
[例5]　(1)在等差数列{an}，若a3＝16，a9＝80，则a6等于(　　)
A．13
B．15
C．17
D．48
[解析]　在等差数列{an}中，由a3＝16，a9＝80，得2a6＝a3＋a9＝16＋80＝96，所以a6＝48.
[答案]　D
(2)已知2a＝3b＝m，且a，ab，b成等差数列，a，b为正数，则m＝(　　)
A.
B．
C.
D．6
[解析]　由2a＝3b＝m，得a＝log2m，b＝log3m，又a，ab，b成等差数列，则a＋b＝2ab，即＋＝2，所以logm2＋logm3＝logm6＝2，解得m＝.
[答案]　C
(3)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
[解析]　法一：设a1＝－1，a5＝7.
∴7＝－1＋(5－1)d?d＝2.
∴所求的数列为－1,1,3,5,7.
法二：∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
方法技巧　(1)在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N
)，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．
(2)an是它前面的隔k项an－k与它后面的隔k项an＋k的等差中项．
跟踪探究　4.在等差数列{an}中，若a6＋a8＋a10＝72，则2a10－a12的值为(　　)
A．20
B．22
C．24
D．28
解析：因为在等差数列{an}中，a6＋a8＋a10＝72，
所以a6＋a8＋a10＝3a8＝72，解得a8＝24，所以2a10－a12＝2(a1＋9d)－(a1＋11d)＝a1＋7d＝a8＝24.
答案：C
授课提示：对应学生用书第25页
[课后小结]
　对等差数列定义的理解
(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中的“与前一项的差”相吻合．
(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．
定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：
①作差an＋1－an；
②对差式进行变形；
③当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，而是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
[素养培优]
1．对等差数列的定义理解不透
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式．
易错分析　由an＋1－an＝2n推出{an}是等差数列，这是由于对等差数列的定义理解不深刻而造成的，事实上，“2n”并不是一个常数，因此{an}不是等差数列．
自我纠正　由已知，得an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，a4－a3＝2×3，…，an－an－1＝2(n－1)，
以上各式相加，得an－a1＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，所以an＝n2－n＋1.
2．通项公式应用失误
首项为－4的等差数列{an}从第10项起为正数，则公差d的取值范围为(　　)
A.　　　　　　　
B.
C.
D.
易错分析　本题出错的根本原因是对条件的转化错误，原题意应转化为
自我纠正　由题意可得
解不等式组可得＜d≤.
答案：C
3．混淆等差数列形式
数列{an}满足a1＝1，a2＝，且＋＝(n≥2)，则an＝(　　)
A.
B．()n－1
C.n
D.
易错分析　此题易把{an}和混淆，是等差数列，{an}不是等差数列，公差d＝－，而不是a2－a1.
自我纠正　因为a1＝1，a2＝，
所以－＝－1＝.
因为＋＝(n≥2)，
所以－＝－(n≥2)．
所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
所以＝1＋(n－1)＝，
所以an＝.当n＝1时，上式也符合．
答案：A
PAGE第2课时　数列的通项公式与递推公式
内　容　标　准
学　科　素　养
1.了解递推公式是给出数列的一种方法．2.理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项．3.掌握由一些简单的递推公式求数列通项公式的方法.
发展逻辑推理提升数学运算运用数学抽象
授课提示：对应学生用书第20页
[基础认识]
知识点　数列递推公式
数列除用通项表示外，还可以通过数列的前后两项或三项间的关系(递推关系)结合首项或前n项给出．
(1)如图(教材P30例2)谢宾斯基三角形中，
　　　
着色的小三角形的个数依次构成一个数列1,3,9，…，
＝________，＝________，猜想递推关系＝________(n≥2，n∈N
)．
提示：3　3　3
(2)三角形数构成的数列1,3,6,10，….
　a2与a1的关系为______，a3与a2的关系为________，a4与a3的关系为________．
猜想：an与an－1的关系为________(n≥2，n∈N
)．
提示：a2＝a1＋2　a3＝a2＋3　a4＝a3＋4　an＝an－1＋n
　知识梳理　递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
思考　由数列的递推公式确定数列的各项，递推的基础是什么？递推的依据是什么？
提示：(1)要给出数列的首项或前几项，这是递推的基础；
(2)要给出任一项an与它的前一项或前几项的关系式，这是递推的依据．
[自我检测]
1．数列0,2,4,6，…的递推公式可以是(　　)
A．an＋1＝an＋2
B．an＋1＝2an
C．an＋1＝an，a1＝0
D．an＋1＝an＋2，a1＝0
答案：D
2．已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是(　　)
A.　　　　　　　
B.
C.
D．6
答案：B
授课提示：对应学生用书第21页
探究一　由递推公式写数列的前几项
　[阅读教材P31例3]方法步骤：
当n＝1时，a1＝1，
当n＝2时，由a1→a2，
当n＝3时，由a2→a3，
当n＝4时，由a3→a4，
当n＝5时，由a4→a5.
[例1]　(1)在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，则a5＝(　　)
A．2　　　　　　　　　
B．3
C．－1
D.
(2)数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2
019的值是(　　)
A.
B．
C.
D.
[解析]　(1)a1＝，an＋1＝1－，
则a2＝1－2＝－1，a3＝1＋1＝2，
a4＝1－＝1－＝，
a5＝1－＝1－2＝－1.
(2)由于a1＝∈[，1]，
∴a2＝2a1－1＝－1＝∈[，1]，
a3＝2a2－1＝－1＝∈[0，)，
a4＝2a3＝，可归纳为a4＝a1，a5＝a2，a6＝a3，…，
an＋3＝an，
故a2
019＝a2
016＝…＝a672×3＋3＝a3＝.
[答案]　(1)C　(2)C
方法技巧　由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式．
跟踪探究　1.已知数列{an}中，an－1＝man＋1(n＞1)，且a2＝3，a3＝5，则实数m＝________.
答案：
探究二　用累加法、累乘法求通项公式
　
[教材P33第5题第二个图]求数列的通项公式．
方法步骤：
a2－a1＝3，
a3－a2＝3，
a4－a3＝3，
?
an－an－1＝3，
将上述(n－1)个式子两边分别相加得
an－a1＝3(n－1)，a1＝1，
∴an＝3n－2.
[例2]　已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求an.
[解析]　因为an＝an－1＋(n≥2)，
所以an－an－1＝＝－，
所以a1＝1，
a2－a1＝－，
a3－a2＝－，
a4－a3＝－，
…
an－an－1＝－.
所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝1＋(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＋1.
当n＝1时，a1＝1也符合上式，
所以an＝－＋1.
延伸探究　1.本例中的条件“an＝an－1＋”改为“＝”，其他条件不变，求an.
解析：因为a1＝1，且＝(n≥2)，
所以···…··＝···…··，
即an＝，
经检验，n＝1时，a1＝1也满足上式，
所以an＝.
2．本例中的条件“an＝an－1＋”改为“ln
an－ln
an－1＝1(n≥2)”，其他条件不变，求an.
解析：因为a1＝1，且ln
an－ln
an－1＝1(n≥2)，
所以ln
a2－ln
a1＝1，ln
a3－ln
a2＝1，…，
ln
an－ln
an－1＝1，以上各式相加可得
ln
an－ln
a1＝n－1，又ln
a1＝ln
1＝0，
所以ln
an＝n－1，∴an＝en－1.
当n＝1时，a1＝e0＝1符合题意，
所以an＝en－1.
方法技巧　
1．由递推公式写出通项公式的步骤
(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)．
(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式．
(3)写出一个通项公式并证明．
2．递推公式的常见类型及通项公式的求法
(1)求形如an＋1＝an＋f(n)的通项公式．
将原来的递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)．
(2)求形如an＋1＝f(n)an的通项公式．
将原递推公式转化为＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由＝f(1)，＝f(2)，…，＝f(n－1)，累乘可得＝f(1)f(2)…f(n－1)．
跟踪探究　2.若数列{an}中各项均不为零，则有a1···…·＝an(n≥2，n∈N
)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，＝(n≥2，n∈N
)，求通项an.
解析：当n≥2时，
an＝a1···…·
＝1···…·＝.
a1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝.
探究三　数列的函数特性
[例3]　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·()n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
[解析]　法一：an＋1－an＝(n＋2)()n＋1－(n＋1)()n＝，
当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
则a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×()9.
法二：根据题意，令，
即，解得9≤n≤10.
又n∈N
，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×()9.
方法技巧　
1．数列单调性的判断方法
(1)根据定义判断：若an＋1＞an，则{an}是单调递增数列；若an＋1＜an，则{an}是单调递减数列；若an＋1＝an，则{an}是常数列．
(2)作差法：若an＋1－an＞0，则数列{an}是单调递增数列；若an＋1－an＜0，则数列{an}是单调递减数列；若an＋1－an＝0，则数列{an}是常数列．
(3)作商法：若＞1(an＞0，n∈N
)或＜1(an＜0，n∈N
)，则数列{an}是单调递增数列；若＜1(an＞0，n∈N
)或＞1(an＜0，n∈N
)，则数列{an}是单调递减数列；若＝1(an≠0，n∈N
)，则数列{an}是常数列．
2．数列单调性的应用
(1)求数列的最大项，首先判断数列的单调性或项的增减特征，确定最大项的项数后求出相应的项．
(2)求参数的范围，由数列的单调性，列出关于an＋1，an的不等式，利用不等式及函数知识求范围，其中分离参数是常用的解题技巧．
跟踪探究　3.已知an＝(n∈N
)，则在数列{an}的前100项中最小项和最大项分别是(　　)
A．a1，a100
B．a100，a44
C．a45，a44
D．a44，a45
解析：因为an＝＝1＋，
图象如图．
当n＝45时，n≥，∴a45最小．
当n＝44时，n＜，a44最大．故选C.
答案：C
授课提示：对应学生用书第22页
[课后小结]
　(1){an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．
(2)数列的表示方法
①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．
(3)通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
[素养培优]
　利用函数、不等式思想求解数列问题
数列是一种特殊的函数，当(n∈N
)变化时，an有大小不等关系的变化，可利用函数、不等式思想解决．
1．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝a＋an.
(1)求证：an＋1＞an；
(2)求证：1＜＋＋…＋＜2，其中n≥2，n∈N
.
证明：(1)因为an＋1＝a＋an，所以an＋1－an＝a≥0.
又因为a1＝＞0，所以an≥a1＞0，
即an＋1－an＞0，所以an＋1＞an.
(2)因为an＋1＝a＋an，所以＝＝＝－，
即＝－，累差叠加得＋＋…＋＝－＝2－.
因为an＋1≥a3＝()2＋＝，所以0＜≤＜1，所以1＜2－＜2，
即可证结论成立．
2．已知数列{an}中，a1＝1，且点P(an，an＋1)(n∈N
)在直线x－y＋1＝0上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若函数f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N
，n≥2)，求函数f(n)的最小值．
解析：(1)∵an－an＋1＋1＝0，
∴a1－a2＋1＝0，a2－a3＋1＝0，…，an－1－an＋1＝0，
以上各式相加，得a1－an＋n－1＝0，an＝a1＋n－1＝n.
(2)∵f(n)＝＋＋…＋，
f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，
∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＞＋－＝0.
∴f(n)是单调递增的．故f(n)的最小值是f(2)＝.
PAGE数列
2．1　数列的概念与简单表示法
第1课时　数列的概念与简单表示法
内　容　标　准
学　科　素　养
1.了解数列的概念和顺序性，学会用列表法、图象法、通项公式法来表示数列．2.理解数列是一种特殊的函数．3.掌握数列的通项公式，会求数列的通项公式.
发展逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第17页
[基础认识]
知识点一　数列及相关概念
古希腊毕达哥拉斯在沙滩上用小石子来表示数：
(1)三角形数
其数字为1　3　6　10　____
提示：15.
(2)正方形数
其数字为1　4　9　16　____
提示：25.
(3)1,3,10,6,15与1,3,6,10,15是相同的数列吗？
提示：不是．　　　
知识梳理　(1)数列：按照一定顺序排列的一列数．
(2)项：数列中的每一个数，第1项通常也叫做首项，排在第n位的数称为这个数列的第n项，记为an.
(3)表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
知识点二　数列的分类
(1)自然数列：0,1,2,3，…有多少项？各项的大小变化如何？
提示：无穷项，依次变大．
(2)从周一到周日每日上午12：00时气温组成一个数列，有多少个项，各项大小如何变化？
提示：有7项，各项大小变化不定．
(3)数列分类常见的有哪些分类标准？如何分类？
提示：按项的个数多少，按项的变化趋势．　　　
　知识梳理　
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，第一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
思考　(1)上述引入的问题中，自然数列：0,1,2,3…，是________数列，是________数列．
提示：无穷　递增
(2)举一个常数列的例子：________.
提示：0,0,0,0，…(答案不唯一)
知识点三　数列的通项公式
　正奇数组成的数列1,3,5,7，…，第n项可否用公式来表示？
提示：an＝2n－1，n∈N
.　　　
　知识梳理　(1)如果数列{an}的第n项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)数列除了可以用通项公式来表示外，还可以通过图象或列表来表示．
(1)任何数列都有通项公式吗？举例说明？
提示：不是，有的数列没有通项公式，如某次考试数学成绩按学号1,2,3…排列的数列，无通项公式．
(2)数列的图象是怎样的？
提示：一群孤立的点．
(3)数列的通项公式与函数有什么关系？
提示：数列的通项公式实际上是一个以正整数集N
或它的有限子集为定义域的函数表达式，即an＝f(n)．　　　
[自我检测]
1．下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
A．1，，，，…
B．sin
，sin
，sin
，sin
，…
C．－1，－，－，－，…
D．1,2,3,4，…，30
答案：C
2．下列说法正确的是(　　)
A．数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}
B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C．数列的第k项是1＋
D．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n}
答案：C
授课提示：对应学生用书第18页
探究一　已知数列的前n项求通项公式
　[阅读教材P29－30]方法步骤：
(1)有＋、－相互间隔的，用(－1)n或(－1)n＋1来调节符号．
(2)奇、偶项分别相等的用(－1)n及“＋、－”法运算来表示．
[例1]　教材P29例1(2)：2,0,2,0，…还可以用其他的通项公式表示吗？
[解析]　可表示为an＝，
还可表示为an＝2|sin
|，n∈N
.
[例2]　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)，2，，8；
(2)9,99,999,9
999.
[解析]　(1)an＝，n∈N
.
(2)an＝10n－1，n∈N
.
延伸探究　1.将本例(1)改为，，，，
求通项公式．
解析：an＝，n∈N
.
2．将本例(2)改为7,77,777,7
777，求通项公式．
解析：an＝(10n－1)，n∈N
.
方法技巧　根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．
(3)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
探究二　数列的通项公式的应用
[阅读教材P33习题A组第2题]根据数列的通项公式，写出它的前5项：
an＝(－1)n＋1(n2＋1)．
解析：a1＝2，a2＝－5，a3＝10，a4＝－17，a5＝26.
[例3]　数列{an}的通项公式为an＝，则3－2是此数列的第________项．
[解析]　an＝
＝＝－，
因为3－2＝－.
所以3－2是该数列的第8项．
[答案]　8
[例4]　已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)试问是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
[解析]　(1)因为an＝，所以a4＝＝，a6＝＝.
(2)令＝，则n2＋3n－40＝0，解得n＝5或n＝－8，注意到n∈N
，故将n＝－8舍去，所以是该数列的第5项．
延伸探究　3.例4中，数列{an}是递增数列还是递减数列？
解析：n2＋3n＝2－，随着n的增大，分母变大，故数列的项减小，故数列{an}是递减数列．
4．若将例4(2)中的“”变为“”，其他条件不变，结果如何？
解析：令＝，则4n2＋12n－27＝0，解得n＝或n＝－，
注意到n∈N
，所以不是此数列中的项．
方法技巧　数列通项公式的两类应用
(1)求数列的项或项数：代入n值到通项公式中求项；通过解方程求项数，注意项数为正的自然数．
(2)判断数列的增减性：一是通过观察项随着n的增加的变化，数列项的增减；二是通过已知的函数的单调性判断．
跟踪探究　已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N
)，则
(1)计算a3＋a4的值；
(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
解析：(1)∵an＝，
∴a3＝＝，a4＝＝，
∴a3＋a4＝＋＝.
(2)若为数列{an}中的项，则＝，
∴n(n＋2)＝120
∴n2＋2n－120＝0，∴n＝10或n＝－12(舍)，
即是数列{an}的第10项．
授课提示：对应学生用书第19页
[课后小结]
(1)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
②可重复性：数列中的数可以重复．
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
(2)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(3)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
[素养培优]
1．对数列概念的理解不清致误
写出由集合{x|x∈N
，且x≤4}中的所有元素构成的数列(要求首项为1，且集合中的元素只出现一次)．
易错分析　集合中的元素用列举法表示为{1,2,3,4}，所以所求数列为1,2,3,4.混淆数列与集合的概念．
自我纠正　集合可表示为{1,2,3,4}．由集合中的元素组成的数列要求首项为1，且集合中的元素只出现一次，故所求数列有6个，分别是1,2,3,4；1,3,2,4；1,2,4,3；1,3,4,2；1,4,2,3；1,4,3,2.
2．忽视数列与函数的区别
数列{an}的通项公式an＝2n2－10n＋3，则数列{an}的最小项等于________．
易错分析　本题出错的根本原因是忽视了数列项数取值应该为正整数，取不到，只能取2或3.
自我纠正　因为an＝2n2－10n＋3＝22－，
因为n∈N
，所以n＝2或3时，an为最小项，最小项a2＝2×4－20＋3＝－9.
答案：－9
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