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1.什么是线段的垂直平分线？
2.你会画线段的垂直平分线？
3.我们曾经用什么方法得到了“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”？你能证明这一结论吗？
温故知新
北师大版八年级数学下册
第一章：三角形的证明
1.3.1线段的垂直平分线
1.经历探索，猜测，证明的过程，进一步发展推理证明意识和能力；
2.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理；
3.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线。
学习目标
探究活动一
证明：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
1.请你找出这个命题的条件和结论？
2.你能画出符合题意得图形吗？
3.请你根据图形写出已知和求证。
条件：线段的垂直平分线上的点
结论：这个点到这条线段的两个端点的距离相等
证明：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．
求证：PA=PB
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等
推理一
∵直线MN⊥AB，AC=BC，P是MN上的点
∴PA=PB
线段的垂直平分线性质定理
推理：
推理二
∵MN是线段AB垂直平分线
∴PA=PB
例1.已知:如图，AB是线段CD的垂直平分线，E,F是AB上的两点.
求证：∠ECF=∠EDF
典型例题
证明：方法一:
∵AB是线段CD的垂直平分线，
∴CE=DE，CF=DF，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
即∠1+∠3=∠2+∠4，
∴∠ECF=∠EDF．
例1.已知:如图，AB是线段CD的垂直平分线，E,F是AB上的两点.
求证：∠ECF=∠EDF
典型例题
方法二，
∵AB是线段CD的垂直平分线，
∴CE=DE，CF=DF，
又∵EF=EF
∴△ECF≌△EDF(SSS)
∴∠ECF=∠EDF．
1.你能写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题？
它是真命题吗？如果是，请证明，并与同伴交流.
探究活动二
到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
1.请你找出这个命题的条件和结论？
2.你能画出符合题意得图形吗？
3.请你根据图形写出已知和求证。
条件：到线段的两个端点的距离相等的点
结论：这个点线段的垂直平分线上
到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
已知：线段AB，PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作MN ⊥ AB，垂足为C
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵ PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．
∴AC=BC，即P点在AB的垂直平分线上．
线段的垂直平分线判定定理
推理：
到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
∵ PA=PB．
∴P点在AB的垂直平分线上．
线段的垂直平分线的判定方法有几种？
1.定义：垂直+平分
2.判定定理：
例2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,P是△ABC内一点，且PB=PC
求证：直线AP垂直平分线段BC.
典型例题
证明： ∵ AB=AC．
∴A点在AB的垂直平分线上
∵ PA=PB．
∴P点在AB的垂直平分线上
∴直线AP垂直平分线段BC
思考
利用线段的垂直平分线的判定定理证明需要几个点到相等两端的距离相等？
你还有其他方法吗？
1.已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在 上.
2.已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADB= .
随堂练习一
线段AB的垂直平分线
60°
3.如图，△ABC中，DE.FG分别是边AB.AC垂直平分线，则∠B ∠BAE，∠C ∠GAF ，
若∠BAC=1260，则∠EAG= ;
若BC=10,则△AEG的周长是 .
72°
10
例3.用尺规作出下图已知线段AB的垂直平分线MN，并说明为什么MN是线段AB的垂直平分线？
反思：如何用尺规作图确定已知线段的中点？如何用尺规作图找出线段的四等分点？
典型例题
随堂练习
如图，A,B表示两个仓库，要在A,B一侧的河岸建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？
课后作业
课本23-24页
习题1,2,34

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