高考物理复习:万有引力与航天学案(原卷+解析)

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高考物理复习:万有引力与航天学案(原卷+解析)

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万有引力与航天
1.重力和万有引力的关系.
(1)不考虑自转时,星球表面附近物体的重力等于物体与星球间的万有引力,即有G=mg,其中g为星球表面的重力加速度.
(2)考虑自转时,在两极上才有=mg,而赤道上则有-mg=mR.
2.一个重要公式:黄金代换式GM=gR2,应用于题目中没有给出引力常量G或天体质量M,而提供了天体表面重力加速度g的信息的情况.
3.万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力.
(1)列出五个连等式:G=ma=m=mω2r=mr.
(2)导出四个表达式:a=G,v=,ω=,T=
.
(3)定性结论:r越大,向心加速度a、线速度v、动能Ek、角速度ω均越小,而周期T和引力势能Ep均越大.
4.三类天体.
(1)近地卫星:G=mg=m.
(2)同步卫星:G=m(R+h)(T=24
h).
(3)双星:=m1ω2r1=m2ω2r2,r1+r2=L.
5.卫星变轨问题:当卫星速度减小时,F向小于F万,卫星做近心运动而轨道下降,此时F万做正功,使卫星速度增大,变轨成功后可在低轨道上稳定运动;当卫星速度增大时,与此过程相反.
1.(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的,半径约为地球半径的,则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(  )
A.0.2         B.0.4
C.2.0
D.2.5
解析:设物体质量为m,则在火星表面有F1=Geq
\f(M1m,R),在地球表面有F2=Geq
\f(M2m,R),由题意知有=,=,故联立以上公式可得=eq
\f(M1R,M2R)=×=0.4,故B正确.
答案:B
2.(2020·江苏卷)(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等,均绕地球做圆周运动,甲的轨道半径是乙的2倍.下列应用公式进行的推论正确的有(  )
A.由v=可知,甲的速度是乙的倍
B.由a=ω2r可知,甲的向心加速度是乙的2倍
C.由F=G可知,甲的向心力是乙的
D.由=k可知,甲的周期是乙的2倍
解析:卫星绕地球做圆周运动,万有引力提供向心力,则F向===mω2r=mr=ma,因为在不同轨道上g是不一样,故不能根据v=得出甲乙速度的关系,卫星的运行速度v=,代入数据可得==,故A错误;因为在不同轨道上两卫星的角速度不一样,故不能根据a=ω2r得出两卫星加速度的关系,卫星的运行加速度a=,代入数据可得=eq
\f(r,r)=,故B错误;根据F向=,两颗人造卫星质量相等,可得=eq
\f(r,r)=,故C正确;两卫星均绕地球做圆周运动,根据开普勒第三定律=k,可得=eq
\r(\f(r,r))=2,故D正确.
答案:CD
3.[2020·新高考卷Ⅰ(山东卷)]我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务.质量为m的着陆器在着陆火星前,会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程.已知火星的质量约为地球的0.1倍,半径约为地球的0.5倍,地球表面的重力加速度大小为g,忽略火星大气阻力.若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动,此过程中着陆器受到的制动力大小约为(  )
A.m      B.m
C.m
D.m
解析:忽略星球的自转,万有引力等于重力
G=mg,
则=·eq
\f(R,R)=0.1×=0.4,
解得
g火=0.4g地=0.4g.
着陆器做匀减速直线运动,根据运动学公式可知
0=v0-at0,
解得a=,
匀减速过程,根据牛顿第二定律得
f-mg=ma,
解得着陆器受到的制动力大小为
f=mg+ma=m.
A、C、D错误,B正确.
答案:B
考点一 开普勒行星运动定律的应用
1.开普勒第三定律=k中,k值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k值不同.
2.对于匀速圆周运动,根据G=mr,得=k=,可视为开普勒第三定律的特例.
 (2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星P,其轨道半径约为地球半径的16倍;另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍.P与Q的周期之比约为(  )
A.2∶1       B.4∶1
C.8∶1
D.16∶1
解析:根据题意可得P与Q的轨道半径之比为:
rP∶rQ=4∶1.
根据开普勒第三定律:eq
\f(r,T)=eq
\f(r,T),
可得周期之比为:TP∶TQ=8∶1,
故C项正确,A、B、D三项错误.
答案:C
如图为人造地球卫星的轨道示意图,LEO是近地轨道,MEO是中地球轨道,GEO是地球同步轨道,GTO是地球同步转移轨道.已知地球的半径R=6
400
km,该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)(  )
A.3
h    B.8
h    C.15
h    D.20
h
解析:根据题图中MEO卫星距离地面高度为4
200
km,可知轨道半径约为R1=10
600
km,同步轨道上GEO卫星距离地面高度为36
000
km,可知轨道半径约为R2=42
400
km,为MEO卫星轨道半径的4倍,即R2=4R1.地球同步卫星的周期为T2=24
h,运用开普勒第三定律,eq
\f(R,R)=eq
\f(T,T),解得T1=3
h,选项A正确.
答案:A
考点二 研究天体运动的两个基本关系式
1.核心关系式.
万有引力提供向心力G=m=mω2r=mr.
注意:M是中心天体质量,m是绕行天体质量,r是两球心间的距离.
2.替换关系式.
万有引力与重力的关系mg=G.即GM=gR2.
注意:当GM未知时,常用gR2替换.
3.利用天体表面的重力加速度计算天体质量.
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R
(1)由G=mg,得天体质量M=.
(2)天体密度ρ===.
4.利用卫星绕天体做匀速圆周运动计算天体质量.
已知卫星运动周期T和轨道半径r
(1)由G=m,得中心天体的质量M=.
(2)若已知中心天体的半径R,则天体的密度ρ===.
(3)当卫星绕天体表面运行时,轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ=.
可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度.
 
(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ,引力常量为G,则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是(  )
A.       B.
C.
D.
解析:卫星在星体表面附近绕其做圆周运动,则=mR,V=πR3,ρ=,知该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期T=.
答案:A
考向 “核心关系式”应用
1.土星最大的卫星叫“泰坦”(如图),每16天绕土星一周,其公转轨道半径为1.2×106
km.已知引力常量G=6.67×10-11
N·m2/kg2,则土星的质量约为(  )
A.5×1017
kg
B.5×1026
kg
C.7×1033
kg
D.4×1036
kg
解析:卫星受到的万有引力提供向心力,得:=
代入数据可得:M≈5×1026
kg,故B项正确,A、C、D三项错误.
答案:B
考向 “替换关系式”应用
2.(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆,着陆前曾绕月球飞行,某段时间可认为绕月做匀速圆周运动,圆周半径为月球半径的K倍.已知地球半径R是月球半径的P倍,地球质量是月球质量的Q倍,地球表面重力加速度大小为g.则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为(  )
A.
B.
C.
D.
解析:假设在地球表面和月球表面上分别放置质量为m和m0的两个物体,则在地球和月球表面处,分别有G=mg,G=m0g′,解得g′=g,设嫦娥四号卫星的质量为m1,根据万有引力提供向心力得G=m1,解得v=,故D正确.
答案:D
考点三 卫星运行参数的分析
1.熟记一个模型.
无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点,围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动.
2.天体运动中常用的公式.
(1)运行天体的线速度:
v===∝(当r≈R时,v=).
(2)运行天体的角速度:
ω===∝(当r≈R时,ω=).
(3)运行天体的周期:
T==2π=2π∝(当r≈R时,T=2π).
(4)运行天体所在处的重力加速度:
g′==()2g.
 (2020·天津卷)北斗问天,国之夙愿.我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星,其轨道半径约为地球半径的7倍.与近地轨道卫星相比,地球静止轨道卫星(  )
A.周期大       B.线速度大
C.角速度大
D.加速度大
解析:卫星有万有引力提供向心力有G=m=mrω2=mr=ma,可解得v=,ω=,T=2π,a=,可知半径越大线速度、角速度、加速度都越小,周期越大;故与近地卫星相比,地球静止轨道卫星周期大,故A正确,B、C、D错误.
答案:A
1.(2020·浙江卷)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示.若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动,火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2,则火星与地球绕太阳运动的(  )
A.轨道周长之比为2∶3
B.线速度大小之比为∶
C.角速度大小之比为2∶3
D.向心加速度大小之比为9∶4
解析:由周长公式可得C地=2πr地,C火=2πr火,则火星公转轨道与地球公转轨道周长之比为==,A错误;由万有引力提供向心力,可得G=ma=m=mω2r,则有a=,v=,ω=,即=eq
\f(r,r)=,==,=eq
\f(\r(r),\r(r))=,B、D错误,C正确.
答案:C
2.“天琴计划”是中国为了探测引力波而提出的项目,该计划具体为2035年前后在距离地球约10万千米的轨道上,部署3颗卫星,构成边长约为17万千米的等边三角形编队,在太空中建成一个引力波天文台,探测引力波.则这三颗卫星(  )
A.向心加速度大小不同
B.加速度大小不同
C.线速度大小不同
D.周期相同
解析:根据=ma,得a=,由于三颗卫星到地球的距离相等,则它们的向心加速度与加速度大小相等,故A、B错误;由公式an=可知,由于三颗卫星到地球的距离相等,则三颗卫星线速度大小相同,故C错误;由公式an=r可知,由于三颗卫星到地球的距离相等,则三颗卫星周期相同,故D正确.
答案:D
考点四 卫星的变轨问题
1.变轨问题中速度大小的比较.
(1)分别在圆轨道上和在椭圆轨道上经过同一点(圆轨道和椭圆轨道的切点)时的速度大小,可根据离心运动的条件或近心运动的条件判断.
(2)在半径不同的圆轨道上运动时的速度大小,可根据“越远越慢”判断.
(3)在同一椭圆轨道上经过远地点、近地点时的速度大小,可根据开普勒第二定律判断.
2.变轨问题中加速度大小的比较.
变轨前后,航天器的加速度大小可根据牛顿第二定律判断a==G.
3.变轨问题中周期大小的比较:航天器在不同轨道上的运行周期的大小可根据开普勒第三定律=k判断.
4.变轨问题中机械能大小的比较:运动过程中航天器的机械能是否变化,可根据功能关系W其他=ΔE判断.
 (多选)如图一颗在椭圆轨道Ⅰ上运行的地球卫星,通过轨道Ⅰ上的近地点P时,短暂点火加速后进入同步转移轨道Ⅱ.当卫星到达同步转移轨道Ⅱ的远地点Q时,再次变轨,进入同步轨道Ⅲ.下列说法正确的是(  )
A.卫星在轨道Ⅰ的P点进入轨道Ⅱ机械能增加
B.卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和在轨道Ⅱ经过Q点时速度相同
C.卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和在轨道Ⅱ经过Q点时加速度相同
D.由于不同卫星的质量不同,因此它们的同步轨道高度不同
解析:卫星在轨道Ⅰ上通过点P时,点火加速,使其所需向心力大于万有引力,做离心运动,才能进入轨道Ⅱ,所以卫星在轨道Ⅰ的P点进入轨道Ⅱ机械能增加,故A项正确.假设卫星从轨道Ⅲ返回轨道Ⅱ,卫星在轨道Ⅲ经过Q点时,点火减速,使其所需向心力小于万有引力,做向心运动,才能进入轨道Ⅱ,所以卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和在轨道Ⅱ经过Q点时速度不同,故B项错误.卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和在轨道Ⅱ经过Q点时,所受万有引力相同,根据牛顿第二定律,产生的加速度相同,故C项正确.对同步卫星G=mr,解得:r=.则同步轨道高度与卫星的质量无关,故D项错误.
答案:AC
考向 卫星的变轨与对接
1.我国嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器、上升器四个部分组成.根据计划,嫦娥五号探测器将实现月球软着陆及采样返回,其中采样返回是上升器携带样品从月球表面升空,先在近月圆轨道Ⅰ上运行,从P点经调整轨道Ⅱ在Q点与较高轨道Ⅲ上的轨道器对接,最后由轨道器携带样品返回地球,如图所示.已知P、Q分别是轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的切点,下列关于此过程中说法正确的是(  )
A.轨道器在轨道Ⅲ上的加速度必定大于上升器在轨道Ⅰ上的加速度
B.上升器应在轨道Ⅰ上的P点通过减速进入轨道Ⅱ
C.上升器与轨道器对接后,组合体速度比上升器在P点的速度小
D.若上升器和轨道器均在轨道Ⅲ运行,上升器在后,只要上升器向前加速,就可追上轨道器
解析:在轨道上运行的飞行器,所受万有引力产生向心加速度,即=ma,解得a=,则轨道半径越大,加速度越小,故A错误;上升器在轨道Ⅰ上的P点加速,万有引力不能提供足够的向心力而进入轨道Ⅱ,可知上升器在轨道Ⅰ上P点的速度小于在轨道Ⅱ上P点的速度,故B错误;由轨道运行速度与轨道半径关系v=可知,上升器与轨道器对接后,组合体速度比上升器在P点的速度小,故C正确;若上升器在轨道Ⅲ加速,则会做离心运动,不可能追上轨道器实现对接,故D错误.
答案:C
考向 卫星变轨的参数分析
2.近期,马斯克的SpaceX“猎鹰”重型火箭将一辆特斯拉跑车发射到太空,其轨道示意图如图中椭圆Ⅱ所示,其中A、C分别是近日点和远日点,图中Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道,B点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点,若运动中只考虑太阳的万有引力,则以下说法正确的是(  )
A.跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率
B.跑车经过B点时的加速度大于火星经过B点时的加速度
C.跑车在C点的速率大于火星绕日的速率
D.跑车由A到C的过程中动能减小,机械能也减小
解析:由题知Ⅰ、Ⅲ轨道分别是地球、火星围绕太阳做匀速圆周运动的轨道,则有G=m,解得v=,因地球轨道半径小于火星的轨道半径,故地球的线速度大于火星的线速度;而跑车从A点由Ⅰ轨道至Ⅱ轨道时要加速,即跑车经过A点时的速率大于跑车在轨道Ⅰ的线速度,故跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率,故A正确;根据牛顿第二定律得G=ma,解得a=,两轨道对应同一点,距离太阳的距离相同,故加速度相同,故B错误;跑车由A到C的过程中万有引力做负功,动能减少,势能增加,机械能守恒,故跑车在C点的速率小于其在A点的速率,但无法比较跑车在C点的速率与火星绕日的速率的大小关系,故C、D错误.
答案:A
考点五 双星与多星问题
1.多星系统的条件.
(1)各星彼此相距较近.
(2)各星绕同一圆心做匀速圆周运动.
2.多星系统的结构.
类型
双星模型
三星模型
结构图
向心力
由两星之间的万有引力提供,故两星的向心力大小相等
运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供
运动参量
两星转动方向相同,周期、角速度相等

(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100
s时,它们相距约400
km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈,将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星(  )
A.质量之积      B.质量之和
C.速率之和
D.各自的自转角速度
解析:设两颗中子星相距为L,质量分别为m1、m2,轨道半径分别为r1、r2,根据万有引力提供向心力,有=m1ω2r1=m2ω2r2,因为r1+r2=L,所以质量之和为m1+m2=(r1+r2)=,其中ω==24π,L=400
km,可求得B正确.根据v=ωr,得v1+v2=ω(r1+r2)=ωL,可求得C正确;可以求出两颗中子星互相绕着运动的角速度,不可以求出各自的自转角速度,D错误.
答案:BC
考向 双星系统
1.在天体运动中,将两颗彼此相距较近的恒星称为双星.它们在相互的万有引力作用下间距保持不变,并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动.如果双星间距为L,质量分别为M1和M2,试计算:
(1)各星的轨道半径;
(2)各星的线速度.
解析:(1)如图,对质量为M1的星球,由向心力公式可得
F1=G=M1ω2R1,
同理对质量为M2的星球有
F2=G=M2ω2R2,
两式联立得:=(即轨道半径与质量成反比).
又因为L=R1+R2,
所以R1=L,R2=L,
ω=
.
(2)因为v=ωr,所以v1=
×L=M2.
v2=
×L=M1.
答案:(1)L L
(2)M2 M1
考向 三角形三星系统
2.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统,其中有一种三星系统如图所示,三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为L,忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,引力常量为G,下列说法正确的是(  )
A.每颗星做圆周运动的角速度为
B.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍,则周期变为原来的2倍
D.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍,则线速度变为原来的4倍
解析:任意两星间的万有引力F=G,对任一星受力分析,如图所示.由图中几何关系和牛顿第二定律可得:F=ma=mω2,联立可得:ω=
,a=ω2=,选项A、B错误;由周期公式可得:T=
=2π
,当L和m都变为原来的2倍,则周期T′=2T,选项C正确;由速度公式可得:v=ω=
,当L和m都变为原来的2倍,则线速度v′=v,选项D错误.
答案:C
考向 直线三星系统
3.宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时,理论计算的周期与实际观测周期不符,且=k(k>1);因此,科学家认为,在两星球之间存在暗物质.假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质,两星球的质量均为m;那么,暗物质质量为(  )
A.m
B.m
C.(k2-1)m
D.(2k2-1)m
解析:设两星球间距为L,则根据万有引力定律:=meq
\f(4π2,T)·;若有暗物质,因均匀分布,故可认为集中在两星球连线中点,根据万有引力定律:+=meq
\f(4π2,T)·;其中=k,联立解得:M=m,故选A.
答案:A
考点六 天体与力学结合问题
1.常见类型.
天体表面上物体运动的常见类型有:竖直下落、竖直上抛、加速上升、平抛等.
2.解题关键.
天体表面的物体运动规律和在地球上相同,只是重力加速度不同,因此,求天体表面的重力加速度是解题的关键.
 (2019·全国卷Ⅰ)(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体P轻放在弹簧上端,P由静止向下运动,物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示.在另一星球N上用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程,其ax关系如图中虚线所示.假设两星球均为质量均匀分布的球体.已知星球M的半径是星球N的3倍,则(  )
A.M与N的密度相等
B.Q的质量是P的3倍
C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
解析:在星球表面,根据万有引力等于重力可得=mg,则GM=R2g,所以有Gρ·πR3=R2g,解得:ρ=,根据图象可知,在M星球表面的重力加速度为gM=3a0,在N表面的重力加速度为gN=a0,星球M的半径是星球N的3倍,则M与N的密度相等,故A项正确;加速度为0时受力平衡,根据平衡条件可得:mPgM=kx0,mQgN=2kx0,解得:=,故B项错误;根据动能定理可得max=Ek,根据图象的面积可得:EkP=mP·3a0·x0,EkQ=mQa0·2x0,==4,故C项正确;弹簧压缩量最大时,物体的速度为0,整个过程合力做功为0,根据图象的面积的对称性可知,P的最大压缩量为2x0,Q的最大压缩量为4x0,故D项错误.
答案:AC
已知地球质量为月球质量的81倍,地球半径约为月球半径的4倍.若在月球和地球表面同样高度处,以相同的初速度水平抛出物体,抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地,则s月∶s地约为(  )
A.9∶4   B.6∶1   C.3∶2   D.1∶1
解析:设月球质量为M′,半径为R′,地球质量为M,半径为R.
已知=81,=4,
根据万有引力等于重力,得=mg,
则有:g=,同理g′=,
因此=,①
由题意知从同样高度抛出,
h=gt2=g′t′2,②
联立①②,解得t′=t,
在地球上的水平位移s地=v0t,
在月球上的s月=v0t′,
因此s月∶s地约为9∶4,故A项正确,B、C、D三项错误.
答案:A
PAGE万有引力与航天
1.重力和万有引力的关系.
(1)不考虑自转时,星球表面附近物体的重力等于物体与星球间的万有引力,即有G=mg,其中g为星球表面的重力加速度.
(2)考虑自转时,在两极上才有=mg,而赤道上则有-mg=mR.
2.一个重要公式:黄金代换式GM=gR2,应用于题目中没有给出引力常量G或天体质量M,而提供了天体表面重力加速度g的信息的情况.
3.万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力.
(1)列出五个连等式:G=ma=m=mω2r=mr.
(2)导出四个表达式:a=G,v=,ω=,T=
.
(3)定性结论:r越大,向心加速度a、线速度v、动能Ek、角速度ω均越小,而周期T和引力势能Ep均越大.
4.三类天体.
(1)近地卫星:G=mg=m.
(2)同步卫星:G=m(R+h)(T=24
h).
(3)双星:=m1ω2r1=m2ω2r2,r1+r2=L.
5.卫星变轨问题:当卫星速度减小时,F向小于F万,卫星做近心运动而轨道下降,此时F万做正功,使卫星速度增大,变轨成功后可在低轨道上稳定运动;当卫星速度增大时,与此过程相反.
1.(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的,半径约为地球半径的,则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(  )
A.0.2         B.0.4
C.2.0
D.2.5
2.(2020·江苏卷)(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等,均绕地球做圆周运动,甲的轨道半径是乙的2倍.下列应用公式进行的推论正确的有(  )
A.由v=可知,甲的速度是乙的倍
B.由a=ω2r可知,甲的向心加速度是乙的2倍
C.由F=G可知,甲的向心力是乙的
D.由=k可知,甲的周期是乙的2倍
3.[2020·新高考卷Ⅰ(山东卷)]我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务.质量为m的着陆器在着陆火星前,会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程.已知火星的质量约为地球的0.1倍,半径约为地球的0.5倍,地球表面的重力加速度大小为g,忽略火星大气阻力.若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动,此过程中着陆器受到的制动力大小约为(  )
A.m      B.m
C.m
D.m
考点一 开普勒行星运动定律的应用
1.开普勒第三定律=k中,k值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k值不同.
2.对于匀速圆周运动,根据G=mr,得=k=,可视为开普勒第三定律的特例.
 (2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星P,其轨道半径约为地球半径的16倍;另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍.P与Q的周期之比约为(  )
A.2∶1       B.4∶1
C.8∶1
D.16∶1
如图为人造地球卫星的轨道示意图,LEO是近地轨道,MEO是中地球轨道,GEO是地球同步轨道,GTO是地球同步转移轨道.已知地球的半径R=6
400
km,该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)(  )
A.3
h    B.8
h    C.15
h    D.20
h
考点二 研究天体运动的两个基本关系式
1.核心关系式.
万有引力提供向心力G=m=mω2r=mr.
注意:M是中心天体质量,m是绕行天体质量,r是两球心间的距离.
2.替换关系式.
万有引力与重力的关系mg=G.即GM=gR2.
注意:当GM未知时,常用gR2替换.
3.利用天体表面的重力加速度计算天体质量.
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R
(1)由G=mg,得天体质量M=.
(2)天体密度ρ===.
4.利用卫星绕天体做匀速圆周运动计算天体质量.
已知卫星运动周期T和轨道半径r
(1)由G=m,得中心天体的质量M=.
(2)若已知中心天体的半径R,则天体的密度ρ===.
(3)当卫星绕天体表面运行时,轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ=.
可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T,就可估算出中心天体的密度.
 
(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ,引力常量为G,则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是(  )
A.       B.
C.
D.
考向 “核心关系式”应用
1.土星最大的卫星叫“泰坦”(如图),每16天绕土星一周,其公转轨道半径为1.2×106
km.已知引力常量G=6.67×10-11
N·m2/kg2,则土星的质量约为(  )
A.5×1017
kg
B.5×1026
kg
C.7×1033
kg
D.4×1036
kg
考向 “替换关系式”应用
2.(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆,着陆前曾绕月球飞行,某段时间可认为绕月做匀速圆周运动,圆周半径为月球半径的K倍.已知地球半径R是月球半径的P倍,地球质量是月球质量的Q倍,地球表面重力加速度大小为g.则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为(  )
A.
B.
C.
D.
考点三 卫星运行参数的分析
1.熟记一个模型.
无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点,围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动.
2.天体运动中常用的公式.
(1)运行天体的线速度:
v===∝(当r≈R时,v=).
(2)运行天体的角速度:
ω===∝(当r≈R时,ω=).
(3)运行天体的周期:
T==2π=2π∝(当r≈R时,T=2π).
(4)运行天体所在处的重力加速度:
g′==()2g.
 (2020·天津卷)北斗问天,国之夙愿.我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星,其轨道半径约为地球半径的7倍.与近地轨道卫星相比,地球静止轨道卫星(  )
A.周期大       B.线速度大
C.角速度大
D.加速度大
1.(2020·浙江卷)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示.若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动,火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2,则火星与地球绕太阳运动的(  )
A.轨道周长之比为2∶3
B.线速度大小之比为∶
C.角速度大小之比为2∶3
D.向心加速度大小之比为9∶4
2.“天琴计划”是中国为了探测引力波而提出的项目,该计划具体为2035年前后在距离地球约10万千米的轨道上,部署3颗卫星,构成边长约为17万千米的等边三角形编队,在太空中建成一个引力波天文台,探测引力波.则这三颗卫星(  )
A.向心加速度大小不同
B.加速度大小不同
C.线速度大小不同
D.周期相同
考点四 卫星的变轨问题
1.变轨问题中速度大小的比较.
(1)分别在圆轨道上和在椭圆轨道上经过同一点(圆轨道和椭圆轨道的切点)时的速度大小,可根据离心运动的条件或近心运动的条件判断.
(2)在半径不同的圆轨道上运动时的速度大小,可根据“越远越慢”判断.
(3)在同一椭圆轨道上经过远地点、近地点时的速度大小,可根据开普勒第二定律判断.
2.变轨问题中加速度大小的比较.
变轨前后,航天器的加速度大小可根据牛顿第二定律判断a==G.
3.变轨问题中周期大小的比较:航天器在不同轨道上的运行周期的大小可根据开普勒第三定律=k判断.
4.变轨问题中机械能大小的比较:运动过程中航天器的机械能是否变化,可根据功能关系W其他=ΔE判断.
 (多选)如图一颗在椭圆轨道Ⅰ上运行的地球卫星,通过轨道Ⅰ上的近地点P时,短暂点火加速后进入同步转移轨道Ⅱ.当卫星到达同步转移轨道Ⅱ的远地点Q时,再次变轨,进入同步轨道Ⅲ.下列说法正确的是(  )
A.卫星在轨道Ⅰ的P点进入轨道Ⅱ机械能增加
B.卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和在轨道Ⅱ经过Q点时速度相同
C.卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和在轨道Ⅱ经过Q点时加速度相同
D.由于不同卫星的质量不同,因此它们的同步轨道高度不同
考向 卫星的变轨与对接
1.我国嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器、上升器四个部分组成.根据计划,嫦娥五号探测器将实现月球软着陆及采样返回,其中采样返回是上升器携带样品从月球表面升空,先在近月圆轨道Ⅰ上运行,从P点经调整轨道Ⅱ在Q点与较高轨道Ⅲ上的轨道器对接,最后由轨道器携带样品返回地球,如图所示.已知P、Q分别是轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的切点,下列关于此过程中说法正确的是(  )
A.轨道器在轨道Ⅲ上的加速度必定大于上升器在轨道Ⅰ上的加速度
B.上升器应在轨道Ⅰ上的P点通过减速进入轨道Ⅱ
C.上升器与轨道器对接后,组合体速度比上升器在P点的速度小
D.若上升器和轨道器均在轨道Ⅲ运行,上升器在后,只要上升器向前加速,就可追上轨道器
考向 卫星变轨的参数分析
2.近期,马斯克的SpaceX“猎鹰”重型火箭将一辆特斯拉跑车发射到太空,其轨道示意图如图中椭圆Ⅱ所示,其中A、C分别是近日点和远日点,图中Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道,B点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点,若运动中只考虑太阳的万有引力,则以下说法正确的是(  )
A.跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率
B.跑车经过B点时的加速度大于火星经过B点时的加速度
C.跑车在C点的速率大于火星绕日的速率
D.跑车由A到C的过程中动能减小,机械能也减小
考点五 双星与多星问题
1.多星系统的条件.
(1)各星彼此相距较近.
(2)各星绕同一圆心做匀速圆周运动.
2.多星系统的结构.
类型
双星模型
三星模型
结构图
向心力
由两星之间的万有引力提供,故两星的向心力大小相等
运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供
运动参量
两星转动方向相同,周期、角速度相等

(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100
s时,它们相距约400
km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈,将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星(  )
A.质量之积      B.质量之和
C.速率之和
D.各自的自转角速度
考向 双星系统
1.在天体运动中,将两颗彼此相距较近的恒星称为双星.它们在相互的万有引力作用下间距保持不变,并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动.如果双星间距为L,质量分别为M1和M2,试计算:
(1)各星的轨道半径;
(2)各星的线速度.
考向 三角形三星系统
2.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统,其中有一种三星系统如图所示,三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为L,忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,引力常量为G,下列说法正确的是(  )
A.每颗星做圆周运动的角速度为
B.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍,则周期变为原来的2倍
D.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍,则线速度变为原来的4倍
考向 直线三星系统
3.宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时,理论计算的周期与实际观测周期不符,且=k(k>1);因此,科学家认为,在两星球之间存在暗物质.假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质,两星球的质量均为m;那么,暗物质质量为(  )
A.m
B.m
C.(k2-1)m
D.(2k2-1)m
考点六 天体与力学结合问题
1.常见类型.
天体表面上物体运动的常见类型有:竖直下落、竖直上抛、加速上升、平抛等.
2.解题关键.
天体表面的物体运动规律和在地球上相同,只是重力加速度不同,因此,求天体表面的重力加速度是解题的关键.
 (2019·全国卷Ⅰ)(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体P轻放在弹簧上端,P由静止向下运动,物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示.在另一星球N上用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程,其ax关系如图中虚线所示.假设两星球均为质量均匀分布的球体.已知星球M的半径是星球N的3倍,则(  )
A.M与N的密度相等
B.Q的质量是P的3倍
C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
已知地球质量为月球质量的81倍,地球半径约为月球半径的4倍.若在月球和地球表面同样高度处,以相同的初速度水平抛出物体,抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地,则s月∶s地约为(  )
A.9∶4   B.6∶1   C.3∶2   D.1∶1
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