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万有引力与航天
1．重力和万有引力的关系．
(1)不考虑自转时，星球表面附近物体的重力等于物体与星球间的万有引力，即有G＝mg，其中g为星球表面的重力加速度．
(2)考虑自转时，在两极上才有＝mg，而赤道上则有－mg＝mR.
2．一个重要公式：黄金代换式GM＝gR2，应用于题目中没有给出引力常量G或天体质量M，而提供了天体表面重力加速度g的信息的情况．
3．万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力．
(1)列出五个连等式：G＝ma＝m＝mω2r＝mr.
(2)导出四个表达式：a＝G，v＝，ω＝，T＝
.
(3)定性结论：r越大，向心加速度a、线速度v、动能Ek、角速度ω均越小，而周期T和引力势能Ep均越大．
4．三类天体．
(1)近地卫星：G＝mg＝m.
(2)同步卫星：G＝m(R＋h)(T＝24
h)．
(3)双星：＝m1ω2r1＝m2ω2r2，r1＋r2＝L.
5．卫星变轨问题：当卫星速度减小时，F向小于F万，卫星做近心运动而轨道下降，此时F万做正功，使卫星速度增大，变轨成功后可在低轨道上稳定运动；当卫星速度增大时，与此过程相反．
1．(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)
A．0.2　　　　　　　　　B．0.4
C．2.0
D．2.5
解析：设物体质量为m，则在火星表面有F1＝Geq
\f(M1m,R)，在地球表面有F2＝Geq
\f(M2m,R)，由题意知有＝，＝，故联立以上公式可得＝eq
\f(M1R,M2R)＝×＝0.4，故B正确．
答案：B
2．(2020·江苏卷)(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍．下列应用公式进行的推论正确的有(　　)
A．由v＝可知，甲的速度是乙的倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝G可知，甲的向心力是乙的
D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍
解析：卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则F向＝＝＝mω2r＝mr＝ma，因为在不同轨道上g是不一样，故不能根据v＝得出甲乙速度的关系，卫星的运行速度v＝，代入数据可得＝＝，故A错误；因为在不同轨道上两卫星的角速度不一样，故不能根据a＝ω2r得出两卫星加速度的关系，卫星的运行加速度a＝，代入数据可得＝eq
\f(r,r)＝，故B错误；根据F向＝，两颗人造卫星质量相等，可得＝eq
\f(r,r)＝，故C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，根据开普勒第三定律＝k，可得＝eq
\r(\f(r,r))＝2，故D正确．
答案：CD
3．[2020·新高考卷Ⅰ(山东卷)]我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务．质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程．已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力．若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为(　　)
A．m　　　　　　B．m
C．m
D．m
解析：忽略星球的自转，万有引力等于重力
G＝mg，
则＝·eq
\f(R,R)＝0.1×＝0.4，
解得
g火＝0.4g地＝0.4g.
着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知
0＝v0－at0，
解得a＝，
匀减速过程，根据牛顿第二定律得
f－mg＝ma，
解得着陆器受到的制动力大小为
f＝mg＋ma＝m.
A、C、D错误，B正确．
答案：B
考点一　开普勒行星运动定律的应用
1．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．
2．对于匀速圆周运动，根据G＝mr，得＝k＝，可视为开普勒第三定律的特例．
　(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为(　　)
A．2∶1　　　　　　　B．4∶1
C．8∶1
D．16∶1
解析：根据题意可得P与Q的轨道半径之比为：
rP∶rQ＝4∶1.
根据开普勒第三定律：eq
\f(r,T)＝eq
\f(r,T)，
可得周期之比为：TP∶TQ＝8∶1，
故C项正确，A、B、D三项错误．
答案：C
如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道．已知地球的半径R＝6
400
km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)(　　)
A．3
h　　　　B．8
h　　　　C．15
h　　　　D．20
h
解析：根据题图中MEO卫星距离地面高度为4
200
km，可知轨道半径约为R1＝10
600
km，同步轨道上GEO卫星距离地面高度为36
000
km，可知轨道半径约为R2＝42
400
km，为MEO卫星轨道半径的4倍，即R2＝4R1.地球同步卫星的周期为T2＝24
h，运用开普勒第三定律，eq
\f(R,R)＝eq
\f(T,T)，解得T1＝3
h，选项A正确．
答案：A
考点二　研究天体运动的两个基本关系式
1．核心关系式．
万有引力提供向心力G＝m＝mω2r＝mr.
注意：M是中心天体质量，m是绕行天体质量，r是两球心间的距离．
2．替换关系式．
万有引力与重力的关系mg＝G.即GM＝gR2.
注意：当GM未知时，常用gR2替换．
3．利用天体表面的重力加速度计算天体质量．
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R
(1)由G＝mg，得天体质量M＝.
(2)天体密度ρ＝＝＝.
4．利用卫星绕天体做匀速圆周运动计算天体质量．
已知卫星运动周期T和轨道半径r
(1)由G＝m，得中心天体的质量M＝.
(2)若已知中心天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.
(3)当卫星绕天体表面运行时，轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.
可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
　
(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是(　　)
A.　　　　　　　B.
C.
D.
解析：卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则＝mR，V＝πR3，ρ＝，知该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期T＝.
答案：A
考向　“核心关系式”应用
1.土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×106
km.已知引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　)
A．5×1017
kg
B．5×1026
kg
C．7×1033
kg
D．4×1036
kg
解析：卫星受到的万有引力提供向心力，得：＝
代入数据可得：M≈5×1026
kg，故B项正确，A、C、D三项错误．
答案：B
考向　“替换关系式”应用
2．(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍．已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g.则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：假设在地球表面和月球表面上分别放置质量为m和m0的两个物体，则在地球和月球表面处，分别有G＝mg，G＝m0g′，解得g′＝g，设嫦娥四号卫星的质量为m1，根据万有引力提供向心力得G＝m1，解得v＝，故D正确．
答案：D
考点三　卫星运行参数的分析
1．熟记一个模型．
无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动．
2．天体运动中常用的公式．
(1)运行天体的线速度：
v＝＝＝∝(当r≈R时，v＝)．
(2)运行天体的角速度：
ω＝＝＝∝(当r≈R时，ω＝)．
(3)运行天体的周期：
T＝＝2π＝2π∝(当r≈R时，T＝2π)．
(4)运行天体所在处的重力加速度：
g′＝＝()2g.
　(2020·天津卷)北斗问天，国之夙愿．我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍．与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星(　　)
A．周期大　　　　　　　B．线速度大
C．角速度大
D．加速度大
解析：卫星有万有引力提供向心力有G＝m＝mrω2＝mr＝ma，可解得v＝，ω＝，T＝2π，a＝，可知半径越大线速度、角速度、加速度都越小，周期越大；故与近地卫星相比，地球静止轨道卫星周期大，故A正确，B、C、D错误．
答案：A
1.(2020·浙江卷)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
解析：由周长公式可得C地＝2πr地，C火＝2πr火，则火星公转轨道与地球公转轨道周长之比为＝＝，A错误；由万有引力提供向心力，可得G＝ma＝m＝mω2r，则有a＝，v＝，ω＝，即＝eq
\f(r,r)＝，＝＝，＝eq
\f(\r(r),\r(r))＝，B、D错误，C正确．
答案：C
2．“天琴计划”是中国为了探测引力波而提出的项目，该计划具体为2035年前后在距离地球约10万千米的轨道上，部署3颗卫星，构成边长约为17万千米的等边三角形编队，在太空中建成一个引力波天文台，探测引力波．则这三颗卫星(　　)
A．向心加速度大小不同
B．加速度大小不同
C．线速度大小不同
D．周期相同
解析：根据＝ma，得a＝，由于三颗卫星到地球的距离相等，则它们的向心加速度与加速度大小相等，故A、B错误；由公式an＝可知，由于三颗卫星到地球的距离相等，则三颗卫星线速度大小相同，故C错误；由公式an＝r可知，由于三颗卫星到地球的距离相等，则三颗卫星周期相同，故D正确．
答案：D
考点四　卫星的变轨问题
1．变轨问题中速度大小的比较．
(1)分别在圆轨道上和在椭圆轨道上经过同一点(圆轨道和椭圆轨道的切点)时的速度大小，可根据离心运动的条件或近心运动的条件判断．
(2)在半径不同的圆轨道上运动时的速度大小，可根据“越远越慢”判断．
(3)在同一椭圆轨道上经过远地点、近地点时的速度大小，可根据开普勒第二定律判断．
2．变轨问题中加速度大小的比较．
变轨前后，航天器的加速度大小可根据牛顿第二定律判断a＝＝G.
3．变轨问题中周期大小的比较：航天器在不同轨道上的运行周期的大小可根据开普勒第三定律＝k判断．
4．变轨问题中机械能大小的比较：运动过程中航天器的机械能是否变化，可根据功能关系W其他＝ΔE判断．
　(多选)如图一颗在椭圆轨道Ⅰ上运行的地球卫星，通过轨道Ⅰ上的近地点P时，短暂点火加速后进入同步转移轨道Ⅱ.当卫星到达同步转移轨道Ⅱ的远地点Q时，再次变轨，进入同步轨道Ⅲ.下列说法正确的是(　　)
A．卫星在轨道Ⅰ的P点进入轨道Ⅱ机械能增加
B．卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和在轨道Ⅱ经过Q点时速度相同
C．卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和在轨道Ⅱ经过Q点时加速度相同
D．由于不同卫星的质量不同，因此它们的同步轨道高度不同
解析：卫星在轨道Ⅰ上通过点P时，点火加速，使其所需向心力大于万有引力，做离心运动，才能进入轨道Ⅱ，所以卫星在轨道Ⅰ的P点进入轨道Ⅱ机械能增加，故A项正确．假设卫星从轨道Ⅲ返回轨道Ⅱ，卫星在轨道Ⅲ经过Q点时，点火减速，使其所需向心力小于万有引力，做向心运动，才能进入轨道Ⅱ，所以卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和在轨道Ⅱ经过Q点时速度不同，故B项错误．卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和在轨道Ⅱ经过Q点时，所受万有引力相同，根据牛顿第二定律，产生的加速度相同，故C项正确．对同步卫星G＝mr，解得：r＝.则同步轨道高度与卫星的质量无关，故D项错误．
答案：AC
考向　卫星的变轨与对接
1.我国嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器、上升器四个部分组成．根据计划，嫦娥五号探测器将实现月球软着陆及采样返回，其中采样返回是上升器携带样品从月球表面升空，先在近月圆轨道Ⅰ上运行，从P点经调整轨道Ⅱ在Q点与较高轨道Ⅲ上的轨道器对接，最后由轨道器携带样品返回地球，如图所示．已知P、Q分别是轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的切点，下列关于此过程中说法正确的是(　　)
A．轨道器在轨道Ⅲ上的加速度必定大于上升器在轨道Ⅰ上的加速度
B．上升器应在轨道Ⅰ上的P点通过减速进入轨道Ⅱ
C．上升器与轨道器对接后，组合体速度比上升器在P点的速度小
D．若上升器和轨道器均在轨道Ⅲ运行，上升器在后，只要上升器向前加速，就可追上轨道器
解析：在轨道上运行的飞行器，所受万有引力产生向心加速度，即＝ma，解得a＝，则轨道半径越大，加速度越小，故A错误；上升器在轨道Ⅰ上的P点加速，万有引力不能提供足够的向心力而进入轨道Ⅱ，可知上升器在轨道Ⅰ上P点的速度小于在轨道Ⅱ上P点的速度，故B错误；由轨道运行速度与轨道半径关系v＝可知，上升器与轨道器对接后，组合体速度比上升器在P点的速度小，故C正确；若上升器在轨道Ⅲ加速，则会做离心运动，不可能追上轨道器实现对接，故D错误．
答案：C
考向　卫星变轨的参数分析
2.近期，马斯克的SpaceX“猎鹰”重型火箭将一辆特斯拉跑车发射到太空，其轨道示意图如图中椭圆Ⅱ所示，其中A、C分别是近日点和远日点，图中Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道，B点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点，若运动中只考虑太阳的万有引力，则以下说法正确的是(　　)
A．跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率
B．跑车经过B点时的加速度大于火星经过B点时的加速度
C．跑车在C点的速率大于火星绕日的速率
D．跑车由A到C的过程中动能减小，机械能也减小
解析：由题知Ⅰ、Ⅲ轨道分别是地球、火星围绕太阳做匀速圆周运动的轨道，则有G＝m，解得v＝，因地球轨道半径小于火星的轨道半径，故地球的线速度大于火星的线速度；而跑车从A点由Ⅰ轨道至Ⅱ轨道时要加速，即跑车经过A点时的速率大于跑车在轨道Ⅰ的线速度，故跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率，故A正确；根据牛顿第二定律得G＝ma，解得a＝，两轨道对应同一点，距离太阳的距离相同，故加速度相同，故B错误；跑车由A到C的过程中万有引力做负功，动能减少，势能增加，机械能守恒，故跑车在C点的速率小于其在A点的速率，但无法比较跑车在C点的速率与火星绕日的速率的大小关系，故C、D错误．
答案：A
考点五　双星与多星问题
1．多星系统的条件．
(1)各星彼此相距较近．
(2)各星绕同一圆心做匀速圆周运动．
2．多星系统的结构．
类型
双星模型
三星模型
结构图
向心力
由两星之间的万有引力提供，故两星的向心力大小相等
运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供
运动参量
两星转动方向相同，周期、角速度相等
—
(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100
s时，它们相距约400
km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A．质量之积　　　　　　B．质量之和
C．速率之和
D．各自的自转角速度
解析：设两颗中子星相距为L，质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，根据万有引力提供向心力，有＝m1ω2r1＝m2ω2r2，因为r1＋r2＝L，所以质量之和为m1＋m2＝(r1＋r2)＝，其中ω＝＝24π，L＝400
km，可求得B正确．根据v＝ωr，得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，可求得C正确；可以求出两颗中子星互相绕着运动的角速度，不可以求出各自的自转角速度，D错误．
答案：BC
考向　双星系统
1．在天体运动中，将两颗彼此相距较近的恒星称为双星．它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动．如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：
(1)各星的轨道半径；
(2)各星的线速度．
解析：(1)如图，对质量为M1的星球，由向心力公式可得
F1＝G＝M1ω2R1，
同理对质量为M2的星球有
F2＝G＝M2ω2R2，
两式联立得：＝(即轨道半径与质量成反比)．
又因为L＝R1＋R2，
所以R1＝L，R2＝L，
ω＝
.
(2)因为v＝ωr，所以v1＝
×L＝M2.
v2＝
×L＝M1.
答案：(1)L　L
(2)M2　M1
考向　三角形三星系统
2.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
A．每颗星做圆周运动的角速度为
B．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍
D．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍
解析：任意两星间的万有引力F＝G，对任一星受力分析，如图所示．由图中几何关系和牛顿第二定律可得：F＝ma＝mω2，联立可得：ω＝
，a＝ω2＝，选项A、B错误；由周期公式可得：T＝
＝2π
，当L和m都变为原来的2倍，则周期T′＝2T，选项C正确；由速度公式可得：v＝ω＝
，当L和m都变为原来的2倍，则线速度v′＝v，选项D错误．
答案：C
考向　直线三星系统
3．宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且＝k(k＞1)；因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质．假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，两星球的质量均为m；那么，暗物质质量为(　　)
A.m
B.m
C．(k2－1)m
D．(2k2－1)m
解析：设两星球间距为L，则根据万有引力定律：＝meq
\f(4π2,T)·；若有暗物质，因均匀分布，故可认为集中在两星球连线中点，根据万有引力定律：＋＝meq
\f(4π2,T)·；其中＝k，联立解得：M＝m，故选A.
答案：A
考点六　天体与力学结合问题
1．常见类型．
天体表面上物体运动的常见类型有：竖直下落、竖直上抛、加速上升、平抛等．
2．解题关键．
天体表面的物体运动规律和在地球上相同，只是重力加速度不同，因此，求天体表面的重力加速度是解题的关键．
　(2019·全国卷Ⅰ)(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示．在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其ax关系如图中虚线所示．假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星球M的半径是星球N的3倍，则(　　)
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
解析：在星球表面，根据万有引力等于重力可得＝mg，则GM＝R2g，所以有Gρ·πR3＝R2g，解得：ρ＝，根据图象可知，在M星球表面的重力加速度为gM＝3a0，在N表面的重力加速度为gN＝a0，星球M的半径是星球N的3倍，则M与N的密度相等，故A项正确；加速度为0时受力平衡，根据平衡条件可得：mPgM＝kx0，mQgN＝2kx0，解得：＝，故B项错误；根据动能定理可得max＝Ek，根据图象的面积可得：EkP＝mP·3a0·x0，EkQ＝mQa0·2x0，＝＝4，故C项正确；弹簧压缩量最大时，物体的速度为0，整个过程合力做功为0，根据图象的面积的对称性可知，P的最大压缩量为2x0，Q的最大压缩量为4x0，故D项错误．
答案：AC
已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍．若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地，则s月∶s地约为(　　)
A．9∶4　　　B．6∶1　　　C．3∶2　　　D．1∶1
解析：设月球质量为M′，半径为R′，地球质量为M，半径为R.
已知＝81，＝4，
根据万有引力等于重力，得＝mg，
则有：g＝，同理g′＝，
因此＝，①
由题意知从同样高度抛出，
h＝gt2＝g′t′2，②
联立①②，解得t′＝t，
在地球上的水平位移s地＝v0t，
在月球上的s月＝v0t′，
因此s月∶s地约为9∶4，故A项正确，B、C、D三项错误．
答案：A
PAGE万有引力与航天
1．重力和万有引力的关系．
(1)不考虑自转时，星球表面附近物体的重力等于物体与星球间的万有引力，即有G＝mg，其中g为星球表面的重力加速度．
(2)考虑自转时，在两极上才有＝mg，而赤道上则有－mg＝mR.
2．一个重要公式：黄金代换式GM＝gR2，应用于题目中没有给出引力常量G或天体质量M，而提供了天体表面重力加速度g的信息的情况．
3．万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力．
(1)列出五个连等式：G＝ma＝m＝mω2r＝mr.
(2)导出四个表达式：a＝G，v＝，ω＝，T＝
.
(3)定性结论：r越大，向心加速度a、线速度v、动能Ek、角速度ω均越小，而周期T和引力势能Ep均越大．
4．三类天体．
(1)近地卫星：G＝mg＝m.
(2)同步卫星：G＝m(R＋h)(T＝24
h)．
(3)双星：＝m1ω2r1＝m2ω2r2，r1＋r2＝L.
5．卫星变轨问题：当卫星速度减小时，F向小于F万，卫星做近心运动而轨道下降，此时F万做正功，使卫星速度增大，变轨成功后可在低轨道上稳定运动；当卫星速度增大时，与此过程相反．
1．(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)
A．0.2　　　　　　　　　B．0.4
C．2.0
D．2.5
2．(2020·江苏卷)(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍．下列应用公式进行的推论正确的有(　　)
A．由v＝可知，甲的速度是乙的倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝G可知，甲的向心力是乙的
D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍
3．[2020·新高考卷Ⅰ(山东卷)]我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务．质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程．已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力．若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为(　　)
A．m　　　　　　B．m
C．m
D．m
考点一　开普勒行星运动定律的应用
1．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．
2．对于匀速圆周运动，根据G＝mr，得＝k＝，可视为开普勒第三定律的特例．
　(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为(　　)
A．2∶1　　　　　　　B．4∶1
C．8∶1
D．16∶1
如图为人造地球卫星的轨道示意图，LEO是近地轨道，MEO是中地球轨道，GEO是地球同步轨道，GTO是地球同步转移轨道．已知地球的半径R＝6
400
km，该图中MEO卫星的周期约为(图中数据为卫星近地点、远地点离地面的高度)(　　)
A．3
h　　　　B．8
h　　　　C．15
h　　　　D．20
h
考点二　研究天体运动的两个基本关系式
1．核心关系式．
万有引力提供向心力G＝m＝mω2r＝mr.
注意：M是中心天体质量，m是绕行天体质量，r是两球心间的距离．
2．替换关系式．
万有引力与重力的关系mg＝G.即GM＝gR2.
注意：当GM未知时，常用gR2替换．
3．利用天体表面的重力加速度计算天体质量．
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R
(1)由G＝mg，得天体质量M＝.
(2)天体密度ρ＝＝＝.
4．利用卫星绕天体做匀速圆周运动计算天体质量．
已知卫星运动周期T和轨道半径r
(1)由G＝m，得中心天体的质量M＝.
(2)若已知中心天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.
(3)当卫星绕天体表面运行时，轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.
可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
　
(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是(　　)
A.　　　　　　　B.
C.
D.
考向　“核心关系式”应用
1.土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为1.2×106
km.已知引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　)
A．5×1017
kg
B．5×1026
kg
C．7×1033
kg
D．4×1036
kg
考向　“替换关系式”应用
2．(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍．已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g.则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为(　　)
A.
B.
C.
D.
考点三　卫星运行参数的分析
1．熟记一个模型．
无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动．
2．天体运动中常用的公式．
(1)运行天体的线速度：
v＝＝＝∝(当r≈R时，v＝)．
(2)运行天体的角速度：
ω＝＝＝∝(当r≈R时，ω＝)．
(3)运行天体的周期：
T＝＝2π＝2π∝(当r≈R时，T＝2π)．
(4)运行天体所在处的重力加速度：
g′＝＝()2g.
　(2020·天津卷)北斗问天，国之夙愿．我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍．与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星(　　)
A．周期大　　　　　　　B．线速度大
C．角速度大
D．加速度大
1.(2020·浙江卷)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示．若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)
A．轨道周长之比为2∶3
B．线速度大小之比为∶
C．角速度大小之比为2∶3
D．向心加速度大小之比为9∶4
2．“天琴计划”是中国为了探测引力波而提出的项目，该计划具体为2035年前后在距离地球约10万千米的轨道上，部署3颗卫星，构成边长约为17万千米的等边三角形编队，在太空中建成一个引力波天文台，探测引力波．则这三颗卫星(　　)
A．向心加速度大小不同
B．加速度大小不同
C．线速度大小不同
D．周期相同
考点四　卫星的变轨问题
1．变轨问题中速度大小的比较．
(1)分别在圆轨道上和在椭圆轨道上经过同一点(圆轨道和椭圆轨道的切点)时的速度大小，可根据离心运动的条件或近心运动的条件判断．
(2)在半径不同的圆轨道上运动时的速度大小，可根据“越远越慢”判断．
(3)在同一椭圆轨道上经过远地点、近地点时的速度大小，可根据开普勒第二定律判断．
2．变轨问题中加速度大小的比较．
变轨前后，航天器的加速度大小可根据牛顿第二定律判断a＝＝G.
3．变轨问题中周期大小的比较：航天器在不同轨道上的运行周期的大小可根据开普勒第三定律＝k判断．
4．变轨问题中机械能大小的比较：运动过程中航天器的机械能是否变化，可根据功能关系W其他＝ΔE判断．
　(多选)如图一颗在椭圆轨道Ⅰ上运行的地球卫星，通过轨道Ⅰ上的近地点P时，短暂点火加速后进入同步转移轨道Ⅱ.当卫星到达同步转移轨道Ⅱ的远地点Q时，再次变轨，进入同步轨道Ⅲ.下列说法正确的是(　　)
A．卫星在轨道Ⅰ的P点进入轨道Ⅱ机械能增加
B．卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和在轨道Ⅱ经过Q点时速度相同
C．卫星在轨道Ⅲ经过Q点时和在轨道Ⅱ经过Q点时加速度相同
D．由于不同卫星的质量不同，因此它们的同步轨道高度不同
考向　卫星的变轨与对接
1.我国嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器、上升器四个部分组成．根据计划，嫦娥五号探测器将实现月球软着陆及采样返回，其中采样返回是上升器携带样品从月球表面升空，先在近月圆轨道Ⅰ上运行，从P点经调整轨道Ⅱ在Q点与较高轨道Ⅲ上的轨道器对接，最后由轨道器携带样品返回地球，如图所示．已知P、Q分别是轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的切点，下列关于此过程中说法正确的是(　　)
A．轨道器在轨道Ⅲ上的加速度必定大于上升器在轨道Ⅰ上的加速度
B．上升器应在轨道Ⅰ上的P点通过减速进入轨道Ⅱ
C．上升器与轨道器对接后，组合体速度比上升器在P点的速度小
D．若上升器和轨道器均在轨道Ⅲ运行，上升器在后，只要上升器向前加速，就可追上轨道器
考向　卫星变轨的参数分析
2.近期，马斯克的SpaceX“猎鹰”重型火箭将一辆特斯拉跑车发射到太空，其轨道示意图如图中椭圆Ⅱ所示，其中A、C分别是近日点和远日点，图中Ⅰ、Ⅲ轨道分别为地球和火星绕太阳运动的圆轨道，B点为轨道Ⅱ、Ⅲ的交点，若运动中只考虑太阳的万有引力，则以下说法正确的是(　　)
A．跑车经过A点时的速率大于火星绕日的速率
B．跑车经过B点时的加速度大于火星经过B点时的加速度
C．跑车在C点的速率大于火星绕日的速率
D．跑车由A到C的过程中动能减小，机械能也减小
考点五　双星与多星问题
1．多星系统的条件．
(1)各星彼此相距较近．
(2)各星绕同一圆心做匀速圆周运动．
2．多星系统的结构．
类型
双星模型
三星模型
结构图
向心力
由两星之间的万有引力提供，故两星的向心力大小相等
运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供
运动参量
两星转动方向相同，周期、角速度相等
—
(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100
s时，它们相距约400
km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A．质量之积　　　　　　B．质量之和
C．速率之和
D．各自的自转角速度
考向　双星系统
1．在天体运动中，将两颗彼此相距较近的恒星称为双星．它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动．如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：
(1)各星的轨道半径；
(2)各星的线速度．
考向　三角形三星系统
2.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
A．每颗星做圆周运动的角速度为
B．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍
D．若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍
考向　直线三星系统
3．宇宙空间中两颗质量相等的星球绕其连线中心转动时，理论计算的周期与实际观测周期不符，且＝k(k＞1)；因此，科学家认为，在两星球之间存在暗物质．假设以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质，两星球的质量均为m；那么，暗物质质量为(　　)
A.m
B.m
C．(k2－1)m
D．(2k2－1)m
考点六　天体与力学结合问题
1．常见类型．
天体表面上物体运动的常见类型有：竖直下落、竖直上抛、加速上升、平抛等．
2．解题关键．
天体表面的物体运动规律和在地球上相同，只是重力加速度不同，因此，求天体表面的重力加速度是解题的关键．
　(2019·全国卷Ⅰ)(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示．在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其ax关系如图中虚线所示．假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星球M的半径是星球N的3倍，则(　　)
A．M与N的密度相等
B．Q的质量是P的3倍
C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍．若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地，则s月∶s地约为(　　)
A．9∶4　　　B．6∶1　　　C．3∶2　　　D．1∶1
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