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数与式
第3节
整式及其运算
考点1整式的相关概念
1．单项式：由______或___________相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式，所有字母指数的和叫做__________，单项式中的数字因数叫做____________．
2．多项式：由几个_________
__组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个___________，不含字母的项叫做__________．
3．整式：_____________________．
4．同类项：多项式中，所含___________相同，并且____________也相同的项，叫做同类项．
5.代数式及求值
?(1)概念：用________运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把_____或表示数的______连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；?
(2)列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程；?
(3)代数式的值：用_________代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；
?(4)代数式求值的步骤：a.代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；b.计算．
考点2　整式的运算
1．整式的加减
(1)合并同类项：①字母和字母的指数不变；②_________________相加减作为新的系数．
(2)添(去)括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项运算________；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变_________，减号变___________．
2．幂的运算法则
(1)同底数幂相乘：
am·an＝________(m，n都是整数，a≠0)．
(2)幂的乘方：
(am)n＝______(m，n都是整数，a≠0)．
(3)积的乘方：
(ab)n＝________(n是整数，a≠0，b≠0)．
(4)同底数幂相除：
am÷an＝__________(m，n都是整数，a≠0)．
3．整式乘法
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
4．乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝____________．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝______________．
5．整式除法
单项式相除，把系数、同底数幂分别__________，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
考点1单项式、单项式、同类项、幂的运算性质
◇典例1：
（2019年湖南省怀化市）单项式﹣5ab的系数是（　　）
A．5
B．﹣5
C．2
D．﹣2
【考点】单项式
【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案
解：单项式﹣5ab的系数是﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
（2019年湖南省株洲市）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（　　）
A．2x5
B．3x3y2
C．﹣x2y3
D．﹣y5
【考点】同类项
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．
解：A、2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误，
B、3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误，
C、﹣x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确，
D、﹣y5与3x2y3是同类项，故本选项错误，
故选：C．
【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是理解同类项的定义．
（2020年陕西省）计算：（﹣x2y）3＝（　　）
A．﹣2x6y3
B．x6y3
C．﹣x6y3
D．﹣x5y4
【考点】幂的乘方与积的乘方
【分析】先根据积的乘方运算法则计算，再根据幂的乘方运算法则进行计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
解：（﹣x2y）3＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
（2020年江苏省淮安市）计算的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】同底数幂的除法
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可．
解：原式
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法运算，熟记运算法则是解题关键．
◆变式训练
（2020年湖南省株洲市）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年河北省）墨迹覆盖了等式“（）”中的运算符号，则覆盖的是（
）
A．＋
B．－
C．×
D．÷
■考点2整式的运算
◇典例：
（2020年广西柳州市）2ab?a2的计算结果是（　　）
A．2ab
B．4ab
C．2a3b
D．4a3b
【考点】单项式乘单项式
【分析】直接利用单项式乘单项式计算得出答案．
解：2ab?a2＝2a3b．
故选：C．
【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（2020年江苏省宿迁市）下列运算正确的是（　　）
A．m2?m3=m6
B．m8÷m4=m2
C．3m+2n=5mn
D．（m3）2=m6
【考点】合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算法则进行计算即可．
解：m2?m3=m2+3=m5，因此选项A不正确；
m8÷m4=m8﹣4=m4，因此选项B不正确；
3m与2n不是同类项，因此选项C不正确；
(m3)2=m3×2=m6，因此选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算方法，掌握计算方法是正确计算的前提．
（2020年浙江省杭州市）（1+y）（1﹣y）＝（　　）
A．1+y2
B．﹣1﹣y2
C．1﹣y2
D．﹣1+y2
【考点】平方差公式
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
解：（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握公式的结构特征是解答此题的关键．
（2020年四川省甘孜州）若，则代数式的值为________．
【考点】求代数式的值
【分析】把化为的形式，再整体代入求值即可.
解：∵，
∴．
故答案为：5．
【点评】本题考查了求代数式的值，运用整体的数学思想是解决问题的关键．
（2020年吉林省）先化简，再求值：，其中．
【考点】整式的混合运算，二次根式的化简求值
【分析】分别依据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项，然后将代入即可．
解：原式=
=
将代入
原式=．
【点评】本题考查整式的混合运算，二次根式的化简求值．熟练掌握完全平方公式和单项式乘多项式法则是解决此题的关键．
◆变式训练
（2020年辽宁省盘锦市）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年江西省）计算：_____．
（2020年山东省枣庄市）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A．
B．
C．
D．
（2020年四川省攀枝花市）已知，将下面代数式先化简，再求值．
■考点3：巧用乘法公式
◇典例
（2020年甘肃省天水市）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　)
A．
B．
C．
D．
【考点】同底数幂的乘法,规律型：数字的变化类
【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案．
解：由题意得：这组数据的和为：
∵，
∴原式=,
故选：A．
【点评】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
（2019年安徽省）已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（
）
A．b>0，b2-ac≤0
B．b＜0，b2-ac≤0
C．b>0，b2-ac≥0
D．b＜0，b2-ac≥0
【考点】等式的性质,完全平方公式的应用
【分析】根据题意得a+c=2b，然后将a+c替换掉可求得b＜0，将b2-ac变形为，可根据平方的非负性求得b2-ac≥0.
解：∵a-2b+c=0，
∴a+c=2b，
∴a+2b+c=4b＜0，
∴b＜0，
∴a2+2ac+c2=4b2，即
∴b2-ac=，
故选：D.
【点睛】本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
◆变式训练
（2019年云南省）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是(
)
A．(－1)n－1x2n－1
B．(－1)nx2n－1
C．(－1)n－1x2n＋1
D．(－1)nx2n＋1
（2019年四川省遂宁市）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i，
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i，
（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17，
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i
根据以上信息，完成下面计算：
（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝　
　．
（2020年山东省日照市）单项式﹣3ab的系数是（　　）
A．3
B．﹣3
C．3a
D．﹣3a
（2020年四川省泸州市）下列各式运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年安徽省）计算的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年浙江省台州市）计算2a2·3a4的结果是（
）
A．5a6
B．5a8
C．6a6
D．6a8
（2020年河北省）若，则（
）
A．12
B．10
C．8
D．6
（2020年江苏省淮安市）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（
）
A．205
B．250
C．502
D．520
（2020年吉林省长春市）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买张成人票和张儿童票，则共需花费___________元．
（2020年江苏省宿迁市）已知a+b=3，a2+b2=5，则ab的值是
（2020年甘肃省天水市）已知，，则的值为_________．
（2020年江苏省常州市）先化简，再求值：，其中．
选择题
（2020年重庆市中考数学试题B卷）已知a+b=4，则代数式的值为（　　）
A．3
B．1
C．0
D．-1
（2020年山东省潍坊市）若，则的值是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
（2020年河北省）若为正整数，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年广东省深圳市）下列运算正确的是（
）
A．a+2a=3a2
B．
C．
D．
（2020年湖南省郴州市）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（
）
A．
B．C．
D．
（2020年湖南省常德市）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（　　）
A．C、E
B．E、F
C．G、C、E
D．E、C、F
填空题
（2020年江苏省连云港市）按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是________．
（2020年贵州省黔南州）若与的和仍是一个单项式，则______．
（2020年山东省临沂市）若，则________．
（2020年湖南长沙市）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：
第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；
第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学，
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________．
（2020年四川省绵阳市）若多项式是关于x，y的三次多项式，则_____．
（2020年湖北省宜昌市）数学讲究记忆方法．如计算时若忘记了法则，可以借助，得到正确答案．你计算的结果是__________．
（2020年天津市）计算的结果等于_______．
（2020年宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．
（2020年四川省成都市）已知，则代数式的值为_________．
（2020年浙江省衢州市）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____．
（2020年湖北省咸宁市）按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．
解答题
（2020年浙江省嘉兴、舟山市
）（1）计算：（2020）0﹣+|﹣3|；
（2）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）．
（2020年北京市）已知，求代数式的值．
（2020年湖北省武汉市）计算：．
（2020年湖南省衡阳市）化简：．
（2020年浙江省嘉兴、舟山市
）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当x＝1时，x2+1　
　2x；
②当x＝0时，x2+1　
　2x；
③当x＝﹣2时，x2+1　
　2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
（2020年河北省）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，，两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
13数与式
第3节
整式及其运算
考点1整式的相关概念
1．单项式：由__数与字母__或__字母与字母__相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式，所有字母指数的和叫做__单项式的次数__，单项式中的数字因数叫做__单项式的系数__．
2．多项式：由几个__单项式相加__组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个__多项式的次数__，不含字母的项叫做__常数项__．
3．整式：__单项式和多项式统称为整式__．
4．同类项：多项式中，所含__字母__相同，并且__相同字母的指数__也相同的项，叫做同类项．
5.代数式及求值
?(1)概念：用__基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的__字母__连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；?
(2)列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程；?
(3)代数式的值：用__具体数__代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；
?(4)代数式求值的步骤：a.代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；b.计算．
考点2　整式的运算
1．整式的加减
(1)合并同类项：①字母和字母的指数不变；②__同类项的系数__相加减作为新的系数．
(2)添(去)括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项运算__不变__；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变__减号__，减号变__加号__．
2．幂的运算法则
(1)同底数幂相乘：
am·an＝__am＋n__(m，n都是整数，a≠0)．
(2)幂的乘方：
(am)n＝__amn__(m，n都是整数，a≠0)．
(3)积的乘方：
(ab)n＝__an·bn__(n是整数，a≠0，b≠0)．
(4)同底数幂相除：
am÷an＝__am－n__(m，n都是整数，a≠0)．
3．整式乘法
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
4．乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝__a2±2ab＋b2__．
5．整式除法
单项式相除，把系数、同底数幂分别__相除__，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
考点1单项式、单项式、同类项、幂的运算性质
◇典例1：
（2019年湖南省怀化市）单项式﹣5ab的系数是（　　）
A．5
B．﹣5
C．2
D．﹣2
【考点】单项式
【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案
解：单项式﹣5ab的系数是﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
（2019年湖南省株洲市）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（　　）
A．2x5
B．3x3y2
C．﹣x2y3
D．﹣y5
【考点】同类项
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．
解：A、2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误，
B、3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误，
C、﹣x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确，
D、﹣y5与3x2y3是同类项，故本选项错误，
故选：C．
【点评】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是理解同类项的定义．
（2020年陕西省）计算：（﹣x2y）3＝（　　）
A．﹣2x6y3
B．x6y3
C．﹣x6y3
D．﹣x5y4
【考点】幂的乘方与积的乘方
【分析】先根据积的乘方运算法则计算，再根据幂的乘方运算法则进行计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．
解：（﹣x2y）3＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
（2020年江苏省淮安市）计算的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】同底数幂的除法
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可．
解：原式
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法运算，熟记运算法则是解题关键．
◆变式训练
（2020年湖南省株洲市）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方
【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则及积的乘方的运算法则依次计算各项后即可解答．
解：选项A，根据同底数幂的乘法法则可得，选项A正确；
选项B，根据合并同类项法则可得，选项B错误；
选项C，根据幂的乘方的运算法则可得，选项C错误；
选项D，根据积的乘方的运算法则可得，选项D错误．
故选A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、幂的乘方的运算法则及积的乘方的运算法则，熟练运用相关法则是解决问题的关键．
（2020年河北省）墨迹覆盖了等式“（）”中的运算符号，则覆盖的是（
）
A．＋
B．－
C．×
D．÷
【考点】同底数幂的除法
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
解：∵（），
，
∴覆盖的是：÷．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
■考点2整式的运算
◇典例：
（2020年广西柳州市）2ab?a2的计算结果是（　　）
A．2ab
B．4ab
C．2a3b
D．4a3b
【考点】单项式乘单项式
【分析】直接利用单项式乘单项式计算得出答案．
解：2ab?a2＝2a3b．
故选：C．
【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（2020年江苏省宿迁市）下列运算正确的是（　　）
A．m2?m3=m6
B．m8÷m4=m2
C．3m+2n=5mn
D．（m3）2=m6
【考点】合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算法则进行计算即可．
解：m2?m3=m2+3=m5，因此选项A不正确；
m8÷m4=m8﹣4=m4，因此选项B不正确；
3m与2n不是同类项，因此选项C不正确；
(m3)2=m3×2=m6，因此选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方的计算方法，掌握计算方法是正确计算的前提．
（2020年浙江省杭州市）（1+y）（1﹣y）＝（　　）
A．1+y2
B．﹣1﹣y2
C．1﹣y2
D．﹣1+y2
【考点】平方差公式
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
解：（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握公式的结构特征是解答此题的关键．
（2020年四川省甘孜州）若，则代数式的值为________．
【考点】求代数式的值
【分析】把化为的形式，再整体代入求值即可.
解：∵，
∴．
故答案为：5．
【点评】本题考查了求代数式的值，运用整体的数学思想是解决问题的关键．
（2020年吉林省）先化简，再求值：，其中．
【考点】整式的混合运算，二次根式的化简求值
【分析】分别依据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项，然后将代入即可．
解：原式=
=
将代入
原式=．
【点评】本题考查整式的混合运算，二次根式的化简求值．熟练掌握完全平方公式和单项式乘多项式法则是解决此题的关键．
◆变式训练
（2020年辽宁省盘锦市）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方计算法则即可得出答案．
解：A.，此选项错误；
B.不是同类项不能合并，此项错误；
C.，此选项错误；
D.
，此选项正确．
故选D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项，熟记幂的运算法则和乘法公式是解答本题的关键．
（2020年江西省）计算：_____．
【考点】完全平方公式
【分析】运用完全平方公式展开，即可完成解答.
解：
【点评】本题考查了完全平方公式，即；灵活运用该公式是解答本题的关键.
（2020年山东省枣庄市）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A．
B．
C．
D．
【考点】完全平方公式的几何背景
【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得
解：由题意可得，正方形的边长为，故正方形的面积为．
又∵原矩形的面积为，∴中间空的部分的面积=．
故选C．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出小正方形的边长是关键.
（2020年四川省攀枝花市）已知，将下面代数式先化简，再求值．
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式以及多项式乘法法则展开，再合并同类项，最后将x=3代入即可.
解：
=
=
将x=3代入，
原式=9
【点评】本题考查了整式的混合运算—化简求值，解题时要掌握完全平方公式和平方差公式以及多项式乘法法则.
■考点3：巧用乘法公式
◇典例
（2020年甘肃省天水市）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　)
A．
B．
C．
D．
【考点】同底数幂的乘法,规律型：数字的变化类
【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案．
解：由题意得：这组数据的和为：
∵，
∴原式=,
故选：A．
【点评】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
（2019年安徽省）已知三个实数a,b,c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（
）
A．b>0，b2-ac≤0
B．b＜0，b2-ac≤0
C．b>0，b2-ac≥0
D．b＜0，b2-ac≥0
【考点】等式的性质,完全平方公式的应用
【分析】根据题意得a+c=2b，然后将a+c替换掉可求得b＜0，将b2-ac变形为，可根据平方的非负性求得b2-ac≥0.
解：∵a-2b+c=0，
∴a+c=2b，
∴a+2b+c=4b＜0，
∴b＜0，
∴a2+2ac+c2=4b2，即
∴b2-ac=，
故选：D.
【点睛】本题考查了等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
◆变式训练
（2019年云南省）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是(
)
A．(－1)n－1x2n－1
B．(－1)nx2n－1
C．(－1)n－1x2n＋1
D．(－1)nx2n＋1
【考点】规律题-数字的变化类
【分析】观察可知奇数项为正，偶数项为负，除符号外，底数均为x，指数比所在项序数的2倍多1，由此即可得.
解：观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，
∴可以用或，(为大于等于1的整数)来控制正负，
指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为，
∴第n个单项式是
(－1)n－1x2n＋1
，
故选C.
【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，正确分析出哪些不变，哪些变，是按什么规律发生变化的是解题的关键.
（2019年四川省遂宁市）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i，
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i，
（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17，
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i
根据以上信息，完成下面计算：
（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝　
　．
【考点】实数的运算，完全平方公式，多项式乘多项式
【分析】直接利用完全平方公式以及多项式乘法分别化简得出答案．
解：（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝2﹣i+4i﹣2i2+4+i2﹣4i
＝6﹣i﹣i2
＝6﹣i+1
＝7﹣i．
故答案为：7﹣i．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确运用相关计算法则是解题关键．
（2020年山东省日照市）单项式﹣3ab的系数是（　　）
A．3
B．﹣3
C．3a
D．﹣3a
【考点】单项式
【分析】根据单项式系数的定义即可求解．
解：单项式﹣3ab的系数是﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查单项式，解题关键是单项式的系数是单项式字母前的数字因数．
（2020年四川省泸州市）下列各式运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方
【分析】分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则逐一判断即可．
解：A、，故选项A不合题意；
B、，故选项B不合题意；
C、，故选项C不合题意；
D、，正确，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项的方法，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
（2020年安徽省）计算的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】同底数幂的除法
【分析】先处理符号，化为同底数幂的除法，再计算即可．
解：
故选C．
【点评】本题考查的是乘方符号的处理，考查同底数幂的除法运算，掌握以上知识是解题的关键．
（2020年浙江省台州市）计算2a2·3a4的结果是（
）
A．5a6
B．5a8
C．6a6
D．6a8
【考点】单项式乘单项式
【分析】按照单项式与单项式相乘的运算法则求解即可.
解：由题意知：2a2·3a4=6a2+4=6a6.
故答案为：C.
【点评】本题考查了单项式与单项式的乘法，其运算法则为：数字与数字相乘，字母为同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
（2020年河北省）若，则（
）
A．12
B．10
C．8
D．6
【考点】平方差公式
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
解：原等式变形得：
．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
（2020年江苏省淮安市）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（
）
A．205
B．250
C．502
D．520
【考点】平方差公式的应用
【分析】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案．
解：设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为
由这两个奇数得到的“幸福数”为
观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4
即
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键．
（2020年吉林省长春市）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买张成人票和张儿童票，则共需花费___________元．
【考点】列代数式
【分析】根据单价×数量=总价，用代数式表示结果即可．
解：根据单价×数量=总价得，共需花费元，
故答案为：．
【点评】本题考查代数式表示数量关系，理解和掌握单价×数量=总价是解题的关键，注意当代数式是多项式且后面带单位时，代数式要加括号．
（2020年江苏省宿迁市）已知a+b=3，a2+b2=5，则ab的值是
【考点】完全平方公式
【分析】根据完全平方公式可得，再整体代入求解即可．
解：当，时，
，，解得．
故答案为：2．
【点评】本题考查了完全平方公式，解题的关键熟练掌握完全平方公式：．
（2020年甘肃省天水市）已知，，则的值为_________．
【考点】代数式求值
【分析】观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．
解：①，②，
②-①得，2a+2b=2，
解得：a+b=1,
故答案为：1．
【点评】此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键．
（2020年江苏省常州市）先化简，再求值：，其中．
【考点】整式的化简求值
【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式化简，再代入求值即可．
解：
=
=
将x=2代入，
原式=3.
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确的化简．
1、
选择题
（2020年重庆市中考数学试题B卷）已知a+b=4，则代数式的值为（　　）
A．3
B．1
C．0
D．-1
【考点】代数式求值
【分析】通过将所求代数式进行变形，然后将已知代数式代入即可得解.
解：由题意，得
故选：A.
【点评】此题主要考查已知代数式求代数式的值，熟练掌握，即可解题.
（2020年山东省潍坊市）若，则的值是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【考点】代数式求值
【分析】把所求代数式变形为，然后把条件整体代入求值即可．
解：∵，
∴
=
=4×1-3
=1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式变形为．
（2020年河北省）若为正整数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】乘方,幂的乘方与积的乘方
【分析】根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解．
解：=，
故选A．
【点评】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
（2020年广东省深圳市）下列运算正确的是（
）
A．a+2a=3a2
B．
C．
D．
【考点】合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐项分析即可．
解：A．a+2a=3a,该选项错误;
B．,该选项正确;
C．,该选项错误;
D．,该选项错误;
故选B．
【点评】本题考查了整式的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
（2020年湖南省郴州市）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（
）
A．
B．C．
D．
【考点】平方差公式的几何背景
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
解：第一个图形空白部分的面积是x2-1，
第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．
则x2-1=（x+1）（x-1）．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．
（2020年湖南省常德市）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（　　）
A．C、E
B．E、F
C．G、C、E
D．E、C、F
【考点】规律型-数字变化类
【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
解：设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，
这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，
k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若7＜k≤2020，
设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），
由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，
故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．
故选：D．
【点睛】本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字变化规律是解答的关键.
1、
填空题
（2020年江苏省连云港市）按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是________．
【考点】有理数的混合运算，代数式求值
【分析】首先把x=2代入计算出结果，判断是否小于0，若小于0，直到输出的结果是多少，否则将计算结果再次代入计算，直到小于0为止．
解：当x=2时，，
故执行“否”，返回重新计算，
当x=6时，，
执行“是”，输出结果：-26．
故答案为：-26．
【点评】此题主要考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，要熟练掌握．解题关键是理解计算流程．
（2020年贵州省黔南州）若与的和仍是一个单项式，则______．
【考点】同类项，代数式求值
【分析】根据合并同类项法则可知这两个单项式是同类项，再根据同类项的字母和字母上的指数也要对应相等即可求出答案．
解：由题意可知：
与是同类项，
解之得：
故
故答案为
【点评】本题主要考查了合同同类项，明确同类项的定义是解题关键．
（2020年山东省临沂市）若，则________．
【考点】代数式求值，平方差公式
【分析】将原式变形为，再将代入求值即可.
解：
=
将代入，
原式=
=
=1-2
=-1
故答案为：-1.
【点睛】本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为.
（2020年湖南长沙市）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A，B，C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成下列三个步骤：
第一步，A同学拿出三张扑克牌给B同学；
第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；
第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学，
请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为___________________．
【考点】列代数式，整式的加减
【分析】把每个同学的扑克牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案．
解：设每个同学的扑克牌的数量都是；
第一步，A同学的扑克牌的数量是，B同学的扑克牌的数量是；
第二步，B同学的扑克牌的数量是，C同学的扑克牌的数量是；
第三步，A同学的扑克牌的数量是2()，B同学的扑克牌的数量是
()；
∴B同学手中剩余的扑克牌的数量是：
()．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，解决此题的关键根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．
（2020年四川省绵阳市）若多项式是关于x，y的三次多项式，则_____．
【考点】多项式
【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．
解：多项式是关于，的三次多项式，
，，
，，
或，
或，
或8．
故答案为：0或8．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．
（2020年湖北省宜昌市）数学讲究记忆方法．如计算时若忘记了法则，可以借助，得到正确答案．你计算的结果是__________．
【考点】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方
【分析】根据幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则进行计算即可得到结果．
解：
=
=
=0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
（2020年天津市）计算的结果等于_______．
【考点】
【分析】根据平方差公式计算即可．
解：原式=
=7-1=6
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
（2020年宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．
【考点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】根据题意得出a2+b2=15，（b-a）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可．
解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，（b-a）2=3，
图2中大正方形的面积为：（a+b）2，
∵（b-a）2=3
a2-2ab+b2=3，
∴15-2ab=3
2ab=12，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=15+12=27，
故答案为：27．
【点评】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．
（2020年四川省成都市）已知，则代数式的值为_________．
【考点】完全平方公式
【分析】先将条件的式子转换成a+3b=7，再平方即可求出代数式的值．
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：49．
【点评】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换．
（2020年浙江省衢州市）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____．
【考点】定义新运算，平方差公式
【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
解：根据题意得：
（x﹣1）※x=（x﹣1）（x+1）=x2﹣1．
故答案为：x2﹣1．
【点睛】本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键．
（2020年湖北省咸宁市）按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．
【考点】探索规律：数字的变化类
【分析】根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到a，b，c之间满足的关系式．
解：∵一列数：3，，，，，，，，…，
可发现：第n个数等于前面两个数的商，
∵a，b，c表示这列数中的连续三个数，
∴bc=a，
故答案为：bc=a．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a，b，c之间的关系式．
1、
、解答题
（2020年浙江省嘉兴、舟山市
）（1）计算：（2020）0﹣+|﹣3|；
（2）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）．
【考点】零指数幂，二次根式的性质与化简，绝对值，平方差公式，单项式乘多项式
【分析】（1）直接利用零指数幂的性质和二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用平方差公式以及单项式乘以多项式计算得出答案．
解：（1）（2020）0﹣+|﹣3|
＝1﹣2+3
＝2；
（2）（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）
＝a2﹣4﹣a2﹣a
＝﹣4﹣a．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，准确运用零指数幂、二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．
（2020年北京市）已知，求代数式的值．
【考点】整式化简求值
【分析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把变形后，整体代入求值即可．
解：原式=
∵，
∴，
∴，
∴原式=．
【点评】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，整体代入求值是解题的关键．
（2020年湖北省武汉市）计算：．
【考点】整式的混合运算
【分析】根据同底数幂相乘、乘积的幂、幂的乘方、同底数幂相除运算法则逐步求解即可．
解：原式
．
【点评】本题考查了整式的乘除中幂的运算法则，熟练掌握公式及其运算法则是解决此类题的关键．
（2020年湖南省衡阳市）化简：．
【考点】整式的混合运算
【分析】根据整式的四则混合运算法则以及平方差公式解答即可．
解：
=
=．
【点评】本题考查了整式的四则混合运算、平方差公式等知识，灵活运用整式的四则混合运算法则是解答本题的关键．
（2020年浙江省嘉兴、舟山市
）比较x2+1与2x的大小．
（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：
①当x＝1时，x2+1　
　2x；
②当x＝0时，x2+1　
　2x；
③当x＝﹣2时，x2+1　
　2x．
（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．
【考点】代数式求值，有理数的大小比较，配方法的应用
【分析】（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；
（2）根据完全平方公式，可得答案．
解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；
②当x＝0时，x2+1＞2x；
③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．
故答案为：＝；＞；＞．
（2）x2+1≥2x．
证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，
∴x2+1≥2x．
【点睛】本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，两个整式大小比较及证明，公式法因式分解、不完全归纳法，解题关键是理解根据“A-B”的符号比较“A、B”的大小．
（2020年河北省）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，，两区分别显示：
（1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【考点】完全平方式,整式的混合运算
【分析】（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，区就会自动减去，可直接求出初始状态按2次后A，B两区显示的结果．
（2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A，B两区显示的代数式，再求A，B两区显示的代数式的和，判断能否为负数即可．
解：（1）A区显示结果为：
，
B区显示结果为：；
（2）初始状态按4次后A显示为：
B显示为：
∴A+B=
=
=
∵恒成立，
∴和不能为负数．
【点评】本题考查了代数式运算，合并同类项，完全平方公式问题，解题关键在于理解题意，列出代数式进行正确运算，并根据完全平方公式判断正负．
29

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