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数与式
第４节
因式分解
考点1.因式分解的概念：就是把一个
化为几个整式的积形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．
因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.
考点2.?因式分解的方法：⑴提公因式法?，⑵公式法，⑶分组分解法，⑷十字相乘法
a.
提公因式法：
mambmc
______________.?
b.
公式法:
公式法:?⑴平方差公式：a2-b2=
;?⑵完全平方公式：a2+2ab+b2=
;⑶a2-2ab+b2=
两个常用的公式：
(1)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(2)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
?c.十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=
因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“套”（公式）．三“分”（组）四“查”（检查）
(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式来分解；
（３）如果项数较多，要分组分解．
(４)分解因式必须分解到不能再分解为止．每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式，这些统称分解彻底
?
易错知识辨析?（1）注意因式分解与整式乘法的区别；?（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式
考点3.因式分解的应用
考点1.因式分解的概念：
◇典例：
（2017?常德）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　）
A．a（m+n）=am+an
B．a2-b2-c2=（a-b）（a+b）-c2
C．10x2-5x=5x（2x-1）
D．x2-16+6x=（x+4）（x-4）+6x
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解的意义即可判断．
解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；
（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
故选（C）
【点评】本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
◆变式训练
1.（2017?盘锦）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x2+2x-1=（x-1）2
B．（a+b）（a-b）=a2-b2
C．x2+4x+4=（x+2）2
D．ax2-a=a（x2-1）
2.（2017春?永新县期末）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），则b、c的值为（　　）
A．b=3，c=-1
B．b=-6，c=2
C．b=-6，c=-4
D．b=-4，c=-6
考点2.?因式分解的方法
◇典例：
（2020年海南省）因式分解：x2﹣2x=_______．
【考点】因式分解-提公因式法
【分析】找出公因式x提取即可
解：原式提取x即可得到结果．原式=x（x﹣2），
【点评】本题考查了因式分解-提公因式法，运用十提公因式法分解因式时，要注意观察，找出公因式，分解因式一定要彻底．
（2020年内蒙古呼伦贝尔市数学中考试卷）分解因式：_____．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：
解：．
故答案为：．
【点评】本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
（2020年吉林省长春市）分解因式：
．
【考点】公式法因式分解
【分析】先把式子写成x2-22，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式．
解：x2-4=x2-22=（x+2）（x-2）．
故答案为.
【点评】此题考查的是利用公式法因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）分解因式：__________
【考点】分解因式
【分析】提取公因式，即可得解.
解：
故答案为：.
【点评】此题主要考查对分解因式的理解，熟练掌握，即可解题.
◆变式训练
（2020年广西玉林市）分解因式：a3－a=
（2020年安徽省）分解因式：ab2-a=______．
（2020年宁夏）分解因式：3a2﹣6a+3=____．
（2020年甘肃省天水市）分解因式：_________．
（2020年新疆）分解因式______．
考点3.因式分解的应用
◇典例：
（2018年山东省菏泽市）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　
　．
【考点】因式分解的应用．
【分析】根据a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2=ab[（a+b）2﹣4ab]，结合已知数据即可求出代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
解：∵a+b=2，ab=﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=ab[（a+b）2﹣2ab]
=3（4+6）
=30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键．
（2019年湖南省常德市）若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为　
　．
【考点】因式分解的应用
【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
解：∵x2+x＝1，
∴3x4+3x3+3x+1＝3x2（x2+x）+3x+1＝3x2+3x+1＝3（x2+x）+1＝3+1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了因式分解的应用，把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
◆变式训练
（2019年湖南省常德市）若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为　
　．
（2018年辽宁省大连市）【观察】1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．
【发现】根据你的阅读回答问题：
（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为　
　；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是　
　．
【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．
猜想mn的最大值为　
　，并用你学过的知识加以证明．
（襄阳市期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．
a（x﹣y）=ax﹣ay
B．
x2+2x+1=x（x+2）+1
C．
（x+1）（x+3）=x2+4x+3
D．
x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）
（2020年辽宁省鞍山市）因式分解：__________．
（2020年吉林省）分解因式：
=_______________．
（2020年江苏省镇江市）分解因式：9x2-1=______．
（2020年广东省深圳市）分解因式：__________．
（2020年云南省昆明市）分解因式：
=_____.
（2020年贵州省铜仁市）因式分解：a2+ab﹣a＝_____．
（2018年山东省菏泽市）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　
　．
（山东省德州市期末）阅读下面材料完成分解因式
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）
=x（x+p）+q（x+p）
=（x+p）（x+q）
这样，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例把x2+3x+2分解因式
【分析】x2+3x+2中的二次项系数为1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+（p+q）x+pq型式子．
解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式：
1
x2+7x+10；
②2y2﹣14y+24．
（2018年黑龙江省大庆市）已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．
1、
选择题
（2020年西藏）下列分解因式正确的一项是（　　）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
B．2xy+4x＝2（xy+2x）
C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2
D．x2+y2＝（x+y）2
（2020年河北省）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（
）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
（2020年广西柳州市）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．a2﹣b2
B．﹣a2﹣b2
C．a2+b2
D．a2+2ab+b2
（2020年广西桂林市）因式分解a2﹣4的结果是（　　）
A．（a+2）（a﹣2）
B．（a﹣2）2
C．（a+2）2
D．a（a﹣2）
（2020年浙江省金华市、丽水市）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年湖南省益阳市）下列因式分解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2019年湖北省荆门市）下列运算不正确的是（　　）
A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1）
B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝（x+y+z）2
C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3
D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3
（2019年湖南省株洲市）下列各选项中因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2
B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）
D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
1、
填空题
（2020年辽宁省营口市）ax2﹣2axy+ay2＝_____．
（2020年江苏省扬州市）分解因式：
．
（2020年广东省）已知，，计算的值为_________．
（2020年贵州省黔南州）因式分解：__________．
（2020年黑龙江省绥化市）因式分解：_________．
（2020年山东省聊城市数学中考试卷）因式分解：________．
（2020年四川省自贡市）分解因式：=
．
（2020年湖北省咸宁市）因式分解：__________．
（2020年四川省内江市）分解因式：_____________
（2020年浙江省宁波市）分解因式：2a2﹣18=________．
（2020年湖南省常德市）分解因式：xy2-4x=_________________．
（2020年湖南省株洲市）因式分解：________．
（2020年湖北省鄂州市）因式分解：=___________________．
1、
解答题
（2020年四川省内江市）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．
例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）填空：；；
（2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空：
①；
②；
③；
④．
（2019年湖北省随州市）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+＝45，则x＝　
　，
②若﹣＝26，则y＝　
　，
③若+＝，则t＝　
　，
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被　
　整除，﹣一定能被　
　整除，?﹣mn一定能被　
　整除，（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为　
　，
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
9数与式
第４节
因式分解
考点1.因式分解的概念：就是把一个多项式化为几个整式的积形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．
因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.
考点2.?因式分解的方法：⑴提公因式法?，⑵公式法，⑶分组分解法，⑷十字相乘法
?a.?提公因式法：
mambmc
__m(a+b+c)_.?
b.?公式法:
公式法:?⑴平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);?⑵完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2;⑶a2-2ab+b2=(a-b)2
两个常用的公式：
(1)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(2)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
?c.?十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=(x+p)(x+q)
因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“套”（公式）．三“分”（组）四“查”（检查）
(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式来分解；
（３）如果项数较多，要分组分解．
(４)分解因式必须分解到不能再分解为止．每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式，这些统称分解彻底
?
易错知识辨析?（1）注意因式分解与整式乘法的区别；?（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式
考点3.因式分解的应用
考点1.因式分解的概念：
◇典例：
（2017?常德）下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　）
A．a（m+n）=am+an
B．a2-b2-c2=（a-b）（a+b）-c2
C．10x2-5x=5x（2x-1）
D．x2-16+6x=（x+4）（x-4）+6x
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解的意义即可判断．
解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；
（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
故选（C）
【点评】本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
◆变式训练
1.（2017?盘锦）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x2+2x-1=（x-1）2
B．（a+b）（a-b）=a2-b2
C．x2+4x+4=（x+2）2
D．ax2-a=a（x2-1）
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解的意义即可求出答案．
解：（A）x2+2x-1≠（x-1）2，故A不是因式分解，
（B）a2-b2=（a+b）（a-b），故B不是因式分解，
（D）ax2-a=a（x2-1）=a（x+1）（x-1），故D分解不完全，
故选C
【点评】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
2.（2017春?永新县期末）已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），则b、c的值为（　　）
A．b=3，c=-1
B．b=-6，c=2
C．b=-6，c=-4
D．b=-4，c=-6
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
解：由多项式2x2+bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），得
2x2+bx+c=2（x-3）（x+1）=2x2-4x-6．
b=-4，c=-6，
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确运用多项式乘法法则是解题关键．
考点2.?因式分解的方法
◇典例：
（2020年海南省）因式分解：x2﹣2x=_______．
【考点】因式分解-提公因式法
【分析】找出公因式x提取即可
解：原式提取x即可得到结果．原式=x（x﹣2），
【点评】本题考查了因式分解-提公因式法，运用十提公因式法分解因式时，要注意观察，找出公因式，分解因式一定要彻底．
（2020年内蒙古呼伦贝尔市数学中考试卷）分解因式：_____．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：
解：．
故答案为：．
【点评】本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
（2020年吉林省长春市）分解因式：
．
【考点】公式法因式分解
【分析】先把式子写成x2-22，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式．
解：x2-4=x2-22=（x+2）（x-2）．
故答案为.
【点评】此题考查的是利用公式法因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．
（2020年甘肃省平凉、白银、庆阳、武威、酒泉、陇南、张掖、临夏、金昌、定西市）分解因式：__________
【考点】分解因式
【分析】提取公因式，即可得解.
解：
故答案为：.
【点评】此题主要考查对分解因式的理解，熟练掌握，即可解题.
◆变式训练
（2020年广西玉林市）分解因式：a3－a=
【考点】因式分解-运用公式法
【分析】先提取公因式a，再用平方差公式分解
解：a3－a=a(a2-1)=
【点评】掌握公式的特征是用公式法分解因式的关键，分解因式要彻底，即要分解到每个因式都不能再分解为止．
（2020年安徽省）分解因式：ab2-a=______．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】首先提取公因式a，再运用平方差公式继续分解因式．
解：原式=
=a（b+1）（b﹣1），
故答案为a（b+1）（b﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，关键在于提取公因式后要进行二次因式分解，因式分解一定要彻底，直到不能再分解为止．
（2020年宁夏）分解因式：3a2﹣6a+3=____．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因数，再利用完全平方公式分解即可
解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2．
故答案为：3（a﹣1）2．
【点评】本题考查提公因式法与公式法的综合运用．
（2020年甘肃省天水市）分解因式：_________．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．
解：
=
=．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（2020年新疆）分解因式______．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
解：原式，
故答案为
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.
因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
考点3.因式分解的应用
◇典例：
（2018年山东省菏泽市）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　
　．
【考点】因式分解的应用．
【分析】根据a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2=ab[（a+b）2﹣4ab]，结合已知数据即可求出代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
解：∵a+b=2，ab=﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=ab[（a+b）2﹣2ab]
=3（4+6）
=30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键．
（2019年湖南省常德市）若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为　
　．
【考点】因式分解的应用
【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
解：∵x2+x＝1，
∴3x4+3x3+3x+1＝3x2（x2+x）+3x+1＝3x2+3x+1＝3（x2+x）+1＝3+1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了因式分解的应用，把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
◆变式训练
（2019年湖南省常德市）若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为　
　．
【考点】因式分解的应用
【分析】直接利用提取公因式法分解因式，再把已知代入求出答案．
解：∵a+b=4，ab=1，
∴a2b+ab2=ab（a+b）
=1×4
=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
（2018年辽宁省大连市）【观察】1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．
【发现】根据你的阅读回答问题：
（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为　
　；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是　
　．
【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．
猜想mn的最大值为　
　，并用你学过的知识加以证明．
【考点】因式分解的应用
【分析】【发现】（1）观察题目给出的等式即可发现两数相乘，积的最大值为625；
（2）观察题目给出的等式即可发现a与b的数量关系是a+b=50；
【类比】由于m+n=60，将n=60﹣m代入mn，得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，利用二次函数的性质即可得出m=30时，mn的最大值为900．
解：【发现】（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625．
故答案为625；
（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a+b=50．
故答案为a+b=50；
【类比】由题意，可得m+n=60，
将n=60﹣m代入mn，
得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，
∴m=30时，mn的最大值为900．
故答案为900．
【点评】本题考查了因式分解的应用，配方法，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．
（襄阳市期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．
a（x﹣y）=ax﹣ay
B．
x2+2x+1=x（x+2）+1
C．
（x+1）（x+3）=x2+4x+3
D．
x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）
【考点】
因式分解的意义．
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
解：A．右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义。注意“积的形式”。
（2020年辽宁省鞍山市）因式分解：__________．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解：原式，
故答案为
【点评】本题考查提公因式，熟练掌握运算法则是解题关键.
（2020年吉林省）分解因式：
=_______________．
【考点】因式分解-提公因式法
【分析】两项都含有公因式a，直接提取公因式
解：
=a（a﹣b）．
故答案为a（a﹣b）．
【点评】本题考查因式分解-提公因式法．
（2020年江苏省镇江市）分解因式：9x2-1=______．
【考点】因式分解
【分析】式子符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式分解即可．
解：9x2-1，
=(3x)2-12，
=(3x+1)(3x-1)．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解，熟记平方差公式的特点：两项平方项，符号相反是解题的关键．
（2020年广东省深圳市）分解因式：__________．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】综合利用提取公因式法和平方差公式法分解因式即可得．
解：原式
故答案为：．
【点评】本题考查了利用提取公因式法和平方差公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
（2020年云南省昆明市）分解因式：
=_____.
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】提取公因式法和公式法相结合因式分解即可.
解：原式
故答案为
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底.
（2020年贵州省铜仁市）因式分解：a2+ab﹣a＝_____．
【考点】提公因式法分解因式
【分析】原式提取公因式即可．
解：原式＝a（a+b﹣1）．
故答案为：a（a+b﹣1）．
【点评】此题主要考查提公因式法分解因式，熟练掌握公因式的组成是解题关键．
（2018年山东省菏泽市）若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为　
　．
【考点】因式分解的应用
【分析】根据a3b﹣2a2b2+ab3=ab（a2﹣2ab+b2）=ab（a﹣b）2=ab[（a+b）2﹣4ab]，结合已知数据即可求出代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．
解：∵a+b=2，ab=﹣3，
∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=ab[（a+b）2﹣2ab]
=3（4+6）
=30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键．
（山东省德州市期末）阅读下面材料完成分解因式
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解x2+（p+q）x+pq=x2+px+qx+pq=（x2+px）+（qx+pq）
=x（x+p）+q（x+p）
=（x+p）（x+q）
这样，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
利用上式可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
例把x2+3x+2分解因式
【分析】x2+3x+2中的二次项系数为1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+（p+q）x+pq型式子．
解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）
请仿照上面的方法将下列多项式分解因式：
①x2+7x+10；
②2y2﹣14y+24．
【考点】
因式分解-十字相乘法等．
【分析】
仿照上述的方法，将原式分解即可．
解：①x2+7x+10=（x+2）（x+5）；
②2y2﹣14y+24=2（y2﹣7y+12）=2（y﹣3）（y﹣4）．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
（2018年黑龙江省大庆市）已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．
【考点】因式分解的应用
【分析】先求出x﹣y=4，进而求出2x=7，而2x2﹣2xy=2x（x﹣y），代入即可得出结论．
解：∵x2﹣y2=12，
∴（x+y）（x﹣y）=12，
∵x+y=3①，
∴x﹣y=4②，
①+②得，2x=7，
∴2x2﹣2xy=2x（x﹣y）=7×4=28．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用,求出x-y=4是解本题的关键　
1、
选择题
（2020年西藏）下列分解因式正确的一项是（　　）
A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
B．2xy+4x＝2（xy+2x）
C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2
D．x2+y2＝（x+y）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
解：A、原式＝（x+3）（x﹣3），符合题意；
B、原式＝2x（y+2），不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（2020年河北省）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（
）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
【考点】因式分解的意义
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可；
解：①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；
②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；
故答案选C．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键．
（2020年广西柳州市）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．a2﹣b2
B．﹣a2﹣b2
C．a2+b2
D．a2+2ab+b2
【考点】用平方差公式进行因式分解
【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、a2﹣b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
B、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、a2+2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．
故选：A．
【点评】本题考查了用平方差公式进行因式分解．熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．平方差公式：．
（2020年广西桂林市）因式分解a2﹣4的结果是（　　）
A．（a+2）（a﹣2）
B．（a﹣2）2
C．（a+2）2
D．a（a﹣2）
【考点】因式分解-运用公式法
【分析】利用平方差公式进行分解即可．
解：原式＝（a+2）（a﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
（2020年浙江省金华市、丽水市）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】平方差公式，因式分解
【分析】根据平方差公式的特点分析即可．
解：A、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B、不能运用平方差公式分解，故此选项错误：
C、能运用平方差公式分解，故此选项正确：
D、不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
故答案为C．
【点评】本题考查了平方差公式和因式分解，运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式、两项都能写成平方的形式且符号相反．
（2020年湖南省益阳市）下列因式分解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】因式分解
【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．
解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
（2019年湖北省荆门市）下列运算不正确的是（　　）
A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1）
B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝（x+y+z）2
C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3
D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3
【考点】多项式乘多项式，完全平方公式，因式分解﹣分组分解法
【分析】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．
解：xy+x﹣y﹣1＝x（y+1）﹣（y+1）＝（x﹣1）（y+1），A正确，不符合题意，
x2+y2+z2+xy+yz+zx＝[（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2]，B错误，符合题意，
（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3，C正确，不符合题意，
（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，D正确，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查的是因式分解、多项式乘多项式，掌握它们的一般步骤、运算法则是解题的关键．
（2019年湖南省株洲市）下列各选项中因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣1＝（x﹣1）2
B．a3﹣2a2+a＝a2（a﹣2）
C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）
D．m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．
解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故此选项错误，
B、a3﹣2a2+a＝a（a﹣1）2，故此选项错误，
C、﹣2y2+4y＝﹣2y（y﹣2），故此选项错误，
D、m2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
1、
填空题
（2020年辽宁省营口市）ax2﹣2axy+ay2＝_____．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】首先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．
解：ax2﹣2axy+ay2
＝a（x2﹣2xy+y2）
＝a（x﹣y）2．
故答案为：a（x﹣y）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
（2020年江苏省扬州市）分解因式：
．
【考点】因式分解
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x再应用完全平方公式继续分解即可：
解：
故答案为:
【点评】考核知识点：因式分解.
（2020年广东省）已知，，计算的值为_________．
【考点】代数式求值,因式分解的应用
【分析】将代数式化简，然后直接将，代入即可．
解：由题意得，，
∴，
故答案为：7．
【点评】本题考查了提取公因式法，化简求值，化简是解题关键．
（2020年贵州省黔南州）因式分解：__________．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解：原式，
故答案为
【点评】本题考查提公因式，熟练掌握运算法则是解题关键.
（2020年黑龙江省绥化市）因式分解：_________．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提公因式m，再利用平方差公式即可分解因式．
解：，
故答案为：．
【点评】本题考查了利用提公因式法和公式法因式分解，解题的关键是找出公因式，熟悉平方差公式．
（2020年山东省聊城市数学中考试卷）因式分解：________．
【考点】提公因式法
【分析】先把二、三两项分为一组，提取一个负号，再提取公因式即可．
解：原式
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
（2020年四川省自贡市）分解因式：=
．
【考点】提公因式法和应用公式法因式分解
【分析】先提取公因式3后继续应用完全平方公式分解即可
解：．
【点评】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式
（2020年湖北省咸宁市）因式分解：__________．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式m，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
解：
故答案为：．
【点评】本题考查了因式分解的问题，掌握完全平方公式是解题的关键．
（2020年四川省内江市）分解因式：_____________
【考点】因式分解-运用公式法，因式分解-十字相乘法
【分析】先用十字相乘法分解，再用公式法分解
解：原式=
=
故答案为：．
【点评】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
（2020年浙江省宁波市）分解因式：2a2﹣18=________．
【考点】提公因式法与公式法
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：2a2﹣18＝2（a2﹣9）＝2（a+3）（a﹣3）．
故答案为：2（a+3）（a﹣3）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
（2020年湖南省常德市）分解因式：xy2-4x=_________________．
【考点】提公因式法和公式法综合
【分析】首先提公因式x，然后利用平方差公式分解即可；
解：
故答案为：x（y+2）（y-2）
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
（2020年湖南省株洲市）因式分解：________．
【考点】因式分解-提取公因式法
【分析】运用提公因式法分解因式即可．
解：．
故答案为：
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，准确确定公因式是解题关键．
（2020年湖北省鄂州市）因式分解：=___________________．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式2，再根据完全平方公式分解因式即可得到结果.
解：原式．
【点评】解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：
1、
解答题
（2020年四川省内江市）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．
例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）填空：；；
（2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空：
①；
②；
③；
④．
【考点】因式分解的应用
【分析】（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求＝；9=1×9=3×3，由已知可求=1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a?10a?b＝9（b?a）＝54，得到b?a＝6，可求t的值，故可得到的最大值；
（3）根据的定义即可依次求解．
解：（1）6＝1×6＝2×3，
∵6?1＞3?2，
∴＝；
9=1×9=3×3，
∵9?1＞3?3，
∴=1，
故答案为：；1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：
10b＋a?10a?b＝9（b?a）＝54，
∴b?a＝6，
∵1≤a≤b≤9，
∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，
∴t为39，28，17；
∵39＝1×39＝3×13，
∴＝；
28＝1×28＝2×14＝4×7，
∴＝；
17＝1×17，
∴；
∴的最大值．
（3）①∵=20×21
∴；
②=28×30
∴；
③∵=40×42
∴；
④∵=56×60
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．
（2019年湖北省随州市）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+＝45，则x＝　
　，
②若﹣＝26，则y＝　
　，
③若+＝，则t＝　
　，
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被　
　整除，﹣一定能被　
　整除，?﹣mn一定能被　
　整除，（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为　
　，
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
【考点】因式分解的应用
【分析】（1）①②③均按定义列出方程求解即可，
（2）按定义式子展开化简即可，
（3）①选取题干中数据，按照定义式子展开，化简到出现循环即可，
②按定义式子化简，注意条件a＞b＞c的应用，化简到出现循环数495即可．
解：（1）①∵＝10m+n
∴若+＝45，则10×2+x+10x+3＝45
∴x＝2
故答案为：2．
②若﹣＝26，则10×7+y﹣（10y+8）＝26
解得y＝4
故答案为：4．
③由＝100a+10b+c．及四位数的类似公式得
若+＝，则100t+10×9+3+100×5+10t+8＝1000×1+100×3+10t+1
∴100t＝700
∴t＝7
故答案为：7．
（2）∵+＝10m+n+10n+m＝11m+11n＝11（m+n）
∴则+一定能被
11整除
∵﹣＝10m+n﹣（10n+m）＝9m﹣9n＝9（m﹣n）
∴﹣一定能被9整除．
∵?﹣mn＝（10m+n）（10n+m）﹣mn＝100mn+10m2+10n2+mn﹣mn＝10（10mn+m2+n2）
∴?﹣mn一定能被10整除．
故答案为：11，9，10．
（3）①若选的数为325，则用532﹣235＝297，以下按照上述规则继续计算
972﹣279＝693
963﹣369＝594
954﹣459＝495
954﹣459＝495…
故答案为：495．
②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c﹣（100c+10b+a）＝99（a﹣c），
结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2
∴a﹣c≥2，又9≥a＞c≥0，
∴a﹣c≤9
∴a﹣c＝2，3，4，5，6，7，8，9
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
981﹣189＝792，972﹣279＝693，963﹣369＝594，954﹣459﹣495，954﹣459＝495…故都可以得到该黑洞数495．
【点评】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大．
9

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