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【题型一】弹力的分析与计算
迁移角度
解决办法
易错警示
弹力的有无及方向判断
假设法或条件法
准确找到物体接触的公切面是判断方向的关键
轻绳模型中的拉力
沿绳且指向绳收缩的方向
有无“结点”是绳中张力是否相等的判断条件
轻弹簧模型中的弹力
沿弹簧且与弹簧形变方向相反
满足胡克定律且轻弹簧两端受力始终大小相等，与其运动状态无关。弹簧的弹力不能突变，只能渐变
轻杆模型中的弹力
不一定沿杆方向
有无“铰链”是杆中弹力是否沿杆方向的判断依据
1．五种常见模型中弹力的方向
2．根据共点力的平衡条件或牛顿第二定律确定弹力的方向。
3．弹力大小计算的三种方法
(1)根据胡克定律进行求解。
(2)根据力的平衡条件进行求解。
(3)根据牛顿第二定律进行求解。
1.
弹力的有无及方向判断
【例1】如图所示，小车内一根轻质弹簧沿竖直方向和一条与竖直方向成α角的细绳拴接一小球。当小车和小球相对静止，一起在水平面上运动时，下列说法正确的是(　　)
A．细绳一定对小球有拉力的作用
B．轻弹簧一定对小球有弹力的作用
C．细绳不一定对小球有拉力的作用，但是轻弹簧对小球一定有弹力
D．细绳不一定对小球有拉力的作用，轻弹簧对小球也不一定有弹力
【答案】D
【解析】若小球与小车一起匀速运动，则细绳对小球无拉力；若小球与小车有向右的加速度
a＝gtan
α，则轻弹簧对小球无弹力，D正确．
【变式1】(多选)如图所示为位于水平面上的小车，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆的下端固定有质量为m的小球。下列关于杆对球的作用力F的判断中，正确的是(　　)
A．小车静止时，F＝mgsin
θ，方向沿杆向上
B．小车静止时，F＝mgcos
θ，方向垂直于杆向上
C．小车向右匀速运动时，一定有F＝mg，方向竖直向上
D．小车向右匀加速运动时，一定有F＞mg，方向可能沿杆向上
【答案】CD
【解析】小球受重力和杆的作用力F处于静止状态或匀速直线运动状态时，由力的平衡条件知，二力必等大反向，则F＝mg，方向竖直向上．小车向右匀加速运动时，小球有向右的恒定加速度，根据牛顿第二定律知，mg和F的合力应水平向右，如图所示．由图可知，F＞mg，方向可能沿杆向上，选项C、D正确．
【变式2】)图中各物体均处于静止状态。图中画出了小球A所受弹力的情况，其中正确(　　)
【答案】C
【解析】一般来讲轻质杆对物体的弹力不一定沿着杆的方向，选项A中小球只受重力和杆的弹力且处于静止状态，由二力平衡可得小球受到的弹力应竖直向上，所以A错．选项B中，如果左边的绳有拉力的话，竖直向上的那根绳就会发生倾斜，所以左边的绳没有拉力，故B错．对于球与面接触的弹力方向，过接触点垂直于接触面(即在接触点与球心的连线上)，即D中大半圆对小球的支持力FN2应是沿着过小球与圆弧接触点的半径且指向圆心的弹力，所以D错．球与球相接触的弹力方向，垂直于过接触点的公切面(即在两球心的连线上)，而指向受力物体，所以C正确．
2.
轻绳模型中的“死结”和“活结”问题
【例2】(多选)
如图所示，用滑轮将质量为m1、m2的两物体悬挂起来，忽略滑轮和绳的重力及一切摩擦，使得0＜θ＜180°，整个系统处于平衡状态，关于m1、m2的大小关系应为(　　)
A．m1必大于m2　
B．m1必大于
C．m1可能等于m2
D．m1可能大于m2
【答案】BCD
【解析】结点O受三个力的作用，如图所示，系统平衡时F1＝F2＝m1g，F3＝m2g，所以2m1gcos
＝m2g，m1＝，所以m1必大于.当θ＝120°时，m1＝m2；当θ＞120°时，＞m2；当θ＜120°时，m1＜m2，故B、C、D选项正确．
【变式】如图所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块，平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为(　　)
A．
B．m
C．m
D．2m
【答案】　C
【解析】　如图所示，圆弧的圆心为O，悬挂小物块的点为c，由于ab＝R，则△aOb为等边三角形，同一条细线上的拉力相等，FT＝mg，合力沿Oc方向，则Oc为角平分线，由几何关系知，∠acb＝120°，故细线的拉力的合力与物块的重力大小相等，则每条细线上的拉力FT＝G＝mg，所以小物块质量为m，故C对．
3.
轻弹簧模型中胡克定律的应用
【例3】(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，轻弹簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物块P，系统处于静止状态。现用一竖直向上的力F作用在P上，使其向上做匀加速直线运动。以x表示P离开静止位置的位移，在弹簧恢复原长前，下列表示F和x之间关系的图像可能正确的是(　　)
【答案】A
【解析】假设物块静止时弹簧的压缩量为x0，则由力的平衡条件可知kx0＝mg，在弹簧恢复原长前，当物块向上做匀加速直线运动时，由牛顿第二定律得F＋k(x0－x)－mg＝ma，由以上两式解得F＝kx＋ma，显然F和x为一次函数关系，且在F轴上有截距，则A正确，B、C、D错误．
【变式】如图所示，质量均为m的A、B两球，由一根劲度系数为k的轻弹簧连接静止于半径为R的光滑半球形碗中，弹簧水平，两球间距为R且球半径远小于碗的半径。则弹簧的原长为(　　)
A．＋R　　　　
B．＋R
C．＋R
D．＋R
【答案】D
【解析】以A球为研究对象，小球受重力、弹簧的弹力和碗的支持力，如图所示．
由平衡条件，得：tan
θ＝＝
解得：x＝
根据几何关系得：cos
θ＝＝，则tan
θ＝，所以x＝＝
故弹簧原长x0＝＋R，故D正确．
4　轻杆模型中的铰链问题
【例4】如图甲所示，轻杆OB可绕B点自由转动，另一端O点用细绳OA拉住，固定在左侧墙壁上，质量为m的重物用细绳OC悬挂在轻杆的O点，OA与轻杆的夹角∠BOA＝30°。乙图中水平轻杆OB一端固定在竖直墙壁上，另一端O装有小滑轮，用一根绳跨过滑轮后悬挂一质量为m的重物，图中∠BOA＝30°，求：
(1)甲、乙两图中细绳OA的拉力各是多大？
(2)甲图中轻杆受到的弹力是多大？
(3)乙图中轻杆对滑轮的作用力是多大？
【解析】(1)由于甲图中的杆可绕B转动，是转轴杆(是“活杆”)，故其受力方向沿杆方向，O点的受力情况如图(a)所示，则O点所受绳子OA的拉力FT1、杆的弹力FN1的合力与物体的重力是大小相等、方向相反的，在直角三角形中可得，FT1＝＝2mg；乙图中是用一细绳跨过滑轮悬挂物体的，由于O点处是滑轮，它只是改变绳中力的方向，并未改变力的大小，且AOC是同一段绳子，而同一段绳上的力处处相等，故乙图中绳子拉力为F′T1＝F′T2＝mg.
(2)由图(a)可知，甲图中轻杆受到的弹力为F′N1＝FN1＝＝mg.
(3)对乙图中的滑轮受力分析，如图(b)所示，由于杆OB不可转动，所以杆所受弹力的方向不一定沿OB方向．即杆对滑轮的作用力一定与两段绳的合力大小相等，方向相反，由图(b)可得，
F2＝2mgcos
60°＝mg，则所求力F′N2＝F2＝mg.
【答案】(1)2mg　mg　(2)mg　(3)mg
【变式】如图为两种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的轻杆，重量不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在图(a)、(b)中的受力分别为Fa、Fb，则下列关系正确的是(　　)
A．Fa＝Fb
B．Fa>Fb
C．FaD．大小不确定
【答案】　A
【解析】　对题图中的A点受力分析，则由图(a)可得Fa＝Fa′＝2mgcos
30°＝mg
由图(b)可得tan
30°＝
则Fb＝Fb′＝mg
故Fa＝Fb.
【题型二】摩擦力的分析与计算
1．静摩擦力的有无和方向的判断方法
(1)假设法：利用假设法判断的思维程序如下：
(2)状态法：先判断物体的状态(即加速度的方向)，再利用牛顿第二定律(F＝ma)确定合力，然后通过受力分析确定静摩擦力的大小及方向。
(3)牛顿第三定律法：先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向，再根据“力的相互性”确定另一物体受到的静摩擦力的方向。
【例4】如图所示，某粮库使用电动传输机向粮垛上输送麻袋包，现将一麻袋包放置在倾斜的传送带上，与传送带一起斜向上匀速运动，其间突遇故障，传送带减速直至停止．若上述匀速和减速过程中，麻袋包与传送带始终保持相对静止，则下列说法正确的是(　　)
A．匀速运动时，麻袋包只受重力与支持力作用
B．匀速运动时，麻袋包受到的摩擦力一定沿传送带向上
C．减速运动时，麻袋包受到的摩擦力一定沿传送带向下
D．减速运动时，麻袋包受到的摩擦力一定沿传送带向上
【答案】B
【解析】传送带匀速运动时，麻袋包受力平衡，麻袋包除受重力、垂直传送带向上的支持力外，还要受沿斜面向上的摩擦力的作用，A错误，B正确，传送带向上减速运动时，麻袋包的加速度沿斜面向下，设传送带倾角为θ，麻袋包的加速度大小为a；当a＝gsin
θ时，摩擦力为零；当a＞gsin
θ时，摩擦力沿传送带向下；当a＜gsin
θ时，摩擦力沿传送带向上，C、D错误．
【变式】如图所示，物体A置于倾斜的传送带上，它能随传送带一起向上或向下做匀速运动，下列关于物体A在上述两种情况下的受力描述，正确的是(　　)
A．物体A随传送带一起向上运动时，A所受的摩擦力沿斜面向下
B．物体A随传送带一起向下运动时，A所受的摩擦力沿斜面向下
C．物体A随传送带一起向下运动时，A不受摩擦力作用
D．无论A随传送带一起向上还是向下运动，传送带对物体A的作用力均相同
【答案】D
【解析】无论传送带向上还是向下运动，物体A随传送带匀速运动处于平衡状态，在重力作用下有相对于传送带沿斜面向下的运动趋势，传送带对物体有沿斜面向上的静摩擦力，如图所示，根据平衡条件可得Ff＝mgsin
θ，所以D正确．
2．摩擦力大小计算的思维流程
（1）滑动摩擦力的分析与计算
【例5】(2017·高考全国卷Ⅱ)
如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动．若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动．物块与桌面间的动摩擦因数为(　　)
A．2－　
B．
C．
D．
【答案】　C
【解析】当拉力水平时，物块做匀速运动，则F＝μmg，当拉力方向与水平方向的夹角为60°时，物块也刚好做匀速运动，则Fcos
60°＝μ(mg－Fsin
60°)，联立解得μ＝，A、B、D项错误，C项正确．
【变式1】如图所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑。已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A与B的质量的比值为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】　B
【解析】　B恰好不下滑时，μ1F＝mBg，A恰好不滑动，则F＝μ2(mAg＋mBg)，所以＝，选项B正确．
【变式2】如图所示，质量为m的木块P在质量为M的长木板ab上滑行，长木板放在水平地面上一直处于静止状态．若ab与地面间的动摩擦因数为μ1，木块P与长木板ab间的动摩擦因数为μ2，则长木板ab受到地面的摩擦力大小为(　　)
A．μ1Mg
B．μ1(m＋M)g
C．μ2mg
D．μ1Mg＋μ2mg
【答案】C
【解析】木块P相对长木板ab向右滑动，受到向左的滑动摩擦力，大小为Ff1＝μ2mg；力的作用是相互的，故木块P对长木板ab有向右的滑动摩擦力，故长木板ab有向右滑动的趋势，受到地面对其向左的静摩擦力；根据共点力平衡条件有Ff2＝Ff1，因而Ff2＝μ2mg，故选C.
【变式3】如图所示，物块A放在倾斜的木板上，木板的倾角α分别为30°和45°时物块所受摩擦力的大小恰好相等，则物块和木板间的动摩擦因数为
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当木板倾角为30°时，物块受到的是静摩擦力，其大小等于mgsin
θ.当木板倾角是45°时，物块受到的是滑动摩擦力，其大小等于μmgcos
45°.
由题意可得μmgcos
45°＝mgsin
30°，解得μ＝，故选C.
（2）静摩擦力的分析与计算
【例6】如图所示为武警战士用头将四块砖顶在墙上苦练头功的照片。假设每块砖的质量均为m，砖与墙面、砖与头间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。要使砖恰好静止不动，则武警战士的头对砖施加的水平力为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.以四块砖为研究对象，进行受力分析．砖恰好静止不动，则砖所受到的摩擦力刚好与其重力相等，即f1＋f2＝4mg，又f1＝f2＝μF，联立两式可得F＝，即武警战士施加的水平力为F＝，选项B正确．
【变式】如图所示，一足够长的斜面体静置于粗糙水平地面上，一小物块沿着斜面体匀速下滑，现对小物块施加一水平向右的力F，当物块运动到最低点之前，下列说法正确的是（
）
A．物块与斜面体间的弹力不变
B．物块与斜面体间的摩擦力增大
C．斜面体与地面间的弹力不变
D．斜面体与地面间的摩擦力始终为0
【答案】BD
【解析】AB、设斜面的倾角为α，不加推力F时，滑块匀速下滑，受重力、支持力和摩擦力，根据共点力平衡条件，支持力N=mgcosα，摩擦力f=mgsinα，故动摩擦因数μ=f/N=tanα；对小物块施加一水平向右的恒力F后，支持力N′=mgcosα+Fsinα，变大；滑动摩擦力f′=μN′，也变大；故A错误，B正确；CD、不加推力F时，根据平衡条件，滑块受的支持力和摩擦力的合力竖直向上；故根据牛顿第三定律，滑块对斜面体的压力和摩擦力的合力竖直向下，故斜面体相对地面没有滑动趋势，故斜面体不受摩擦力；加上水平推力后，滑块对斜面体的摩擦力和压力同比例增加，其合力方向依旧是竖直向上（大小变大，方向不变）；同理，根据牛顿第三定律，滑块对斜面体的压力和摩擦力的合力依旧是竖直向下（大小变大，方向不变），故斜面体相对地面仍然没有滑动趋势，故斜面体仍然不受摩擦力，但对地压力变大了；故C错误，D正确；故选BD。
3.
摩擦力的“四类突变”问题
静→静“突变”
当作用在物体上的其他力的合力发生突变时，两物体仍保持相对静止，则物体所受静摩擦力可能发生突变
动→动“突变”
某物体相对于另一物体在滑动的过程中，若相对运动方向变了，则滑动摩擦力方向也发生突变，突变点常常为两物体相对速度为零时
静→动“突变”
物体相对静止，当其他力变化时，如果不能保持相对静止状态，则物体受到的静摩擦力将突变为滑动摩擦力，突变点常常为静摩擦力达到最大值时
动→静“突变”
两物体相对滑动的过程中，若相对速度变为零，则滑动摩擦力突变为静摩擦力，突变点常常为两物体相对速度刚好为零时
静—静“突变”
【例7】一木块放在水平桌面上，在水平方向共受到三个力即F1、F2和摩擦力的作用，木块处于静止状态，如图所示，其中F1＝10
N，F2＝2
N，若撤去F1，则木块受到的摩擦力为(　　)
A．10
N，方向向左
B．6
N，方向向右
C．2
N，方向向右
D．0
【答案】　C
【解析】当木块受F1、F2及摩擦力的作用而处于平衡状态时，由平衡条件可知木块所受的摩擦力的大小为8
N，方向向左．可知最大静摩擦力Ffmax≥8
N．当撤去力F1后，F2＝2
N【变式】如图所示，质量为10
kg的物体A拴在一个被水平拉伸的弹簧一端，弹簧的拉力为5
N时，物体A处于静止状态。若小车以1
m/s2的加速度向右运动，g＝10
m/s2，则(　　)
A．物体A相对小车向右运动
B．物体A受到的摩擦力减小
C．物体A受到的摩擦力大小不变
D．物体A受到的弹簧的拉力增大
【答案】　C
【解析】　由题意得，物体A与小车的上表面间的最大静摩擦力Ffm≥5
N，小车加速运动时，假设物体A与小车仍然相对静止，则物体A所受合力F合＝ma＝10
N，可知此时小车对物体A的摩擦力为5
N，方向向右，且为静摩擦力，所以假设成立，物体A受到的摩擦力大小不变，故选项A、B错误，C正确；同理可知，物体A受到的弹簧的拉力大小不变，故D错误．
动—静“突变”
【例8】如图所示，质量为1
kg的物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，从t＝0开始以初速度v0沿水平地面向右滑行，同时受到一个水平向左的恒力F＝1
N的作用，g取10
m/s2，以向右为正方向，
该物体受到的摩擦力Ff随时间变化的图像是(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)
【答案】A
【解析】物体向右减速过程中，受滑动摩擦力作用，方向水平向左，Ff1＝μmg＝2
N，物体速度减为零后，因F<μmg，物体将保持静止，此时Ff2＝F＝1
N，方向水平向右，故A正确．
【变式】如图所示，把一重为G的物体，用一水平方向的推力F＝kt(k为恒量且大于0，t为时间)压在竖直的足够高的平整墙上，从t＝0开始物体所受的摩擦力Ff随t的变化关系是下图中的　(　　)
【答案】B
【解析】物体在竖直方向上只受重力G和摩擦力Ff的作用，由于Ff从零开始均匀增大，开始一段时间Ff＜G，物体加速下滑；当Ff＝G时，物体的速度达到最大值；之后Ff＞G，物体向下做减速运动，直至减速为零．在整个运动过程中，摩擦力为滑动摩擦力，其大小为Ff＝μFN＝μF＝μkt，即Ff与t成正比，是一条过原点的倾斜直线．当物体速度减为零后，滑动摩擦力突变为静摩擦力，其大小Ff＝G，所以物体静止后的图线为平行于t轴的直线．正确答案为B.
动—动“突变”
【例9】如图所示，足够长的传送带与水平面夹角为θ，以速度v0逆时针匀速转动。在传送带的上端轻轻放置一个质量为m的小木块，小木块与传送带间的动摩擦因数μθ，则图中能客观地反映小木块的速度随时间变化关系的是(　　)
【答案】　D
【解析】小物体从静止开始运动，相对传送带向后运动，则滑动摩擦力方向沿斜面向下，木块做匀加速直线运动；当木块速度与传送带速度相等时，摩擦力为0；木块继续加速，则木块相对传送带向前运动，滑动摩擦力方向沿斜面向上，由于μθ，可知木块继续做匀加速直线运动，但加速度减小，所以D正确．
【变式】如图所示，斜面固定在地面上，倾角为37°。质量为1
kg的滑块以初速度v0从斜面底端沿斜面向上滑行(斜面足够长，该滑块与斜面间的动摩擦因数为0.7)，则该滑块所受摩擦力F随时间变化的图像是下图中的(取初速度v0的方向为正方向，g＝10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8)
(　　)
【答案】C
【解析】滑块上升过程中受到滑动摩擦力作用，由F＝μFN和FN＝mgcos
θ联立得F＝5.6
N，方向为沿斜面向下．当滑块的速度减为零后，由于重力的分力mgsin
θ＞μmgcos
θ，滑块下滑，滑块受的摩擦力方向为沿斜面向上，故选项C正确．
静→动“突变”
【例10】如图所示，粗糙长木板l的一端固定在铰链上，木块放在木板上，开始时木板处于水平位置。当木板向下转动，θ角逐渐增大的过程中，摩擦力Ff的大小随θ角变化最有可能的(　　)
【答案】　B
【解析】　当Ff为静摩擦力时Ff＝mgsin
θ，即Ff按正弦规律变化；当木块滑动后Ff为滑动摩擦力，Ff＝μFN＝μmgcos
θ，即Ff按余弦规律变化，故选项B正确．
【变式】如图甲所示，A、B两个物体叠放在水平面上，B的上下表面均水平，A物体与一拉力传感器相连接，连接拉力传感器和物体A的细绳保持水平。从t＝0时刻起，用一水平向右的力F＝kt(k为常数)作用在B的物体上，力传感器的示数随时间变化的图线如图乙所示，已知k、t1、t2且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。据此可求
(　　)
A．A、B之间的最大静摩擦力
B．水平面与B之间的滑动摩擦力
C．A、B之间的动摩擦因数μAB
D．B与水平面间的动摩擦因数μ
【答案】AB
【解析】当B与地面间的摩擦力达到最大值后，力传感器才有示数，地面对B的最大静摩擦力为Ffm＝kt1，A、B相对滑动后，力传感器的示数保持不变，则FfAB＝kt2－Ffm＝k(t2－t1)，A、B正确；由于A、B的质量未知，则μAB和μ不能求出，C、D错误．
【题型三】力的合成
1．合力的大小范围的确定
(1)两个共点力的合成
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2
(2)三个共点力的合成
①三个力共线且同向时，其合力最大为F1＋F2＋F3。
②任取两个力，求出其合力大小的范围，如果第三个力在这个范围之内，则这三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的矢量和。
2．合成方法
(1)作图法。
(2)计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力。
3．几种特殊情况的共点力的合成
类型
作图
合力的计算
两力互相
垂直
F＝
eq
\r(F＋F)
tan
θ＝
两力等大，夹角为θ
F＝2F1cos
F与F1夹角为
两力等大且夹角为120°
合力与分力等大
4.
重要结论
(1)两个分力一定时，夹角θ越大，合力越小。
(2)合力一定，两等大分力的夹角越大，两分力越大。
(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力。
【例11】如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为(　　)
A．kL　　　　　　　　　B．2kL
C.kL
D.kL
【答案】　D
【解析】根据胡克定律知，每根橡皮条的弹力F弹＝k(2L－L)＝kL.设此时两橡皮条的夹角为θ，
根据几何关系知sin＝.根据力的平行四边形定则知，弹丸被发射过程中所受的最大作用力
F＝2F弹cos＝2F弹＝F弹＝kL，选项D正确．
【变式1】如图所示，一个物体由绕过定滑轮的绳拉着，分别用图中所示的三种情况拉住物体静止不动．在这三种情况下，若绳的张力分别为FT1、FT2、FT3，定滑轮对轴心的作用力分别为FN1、FN2、FN3，滑轮的摩擦、质量均不计，则(　　)
A．FT1＝FT2＝FT3，FN1＞FN2＞FN3
B．FT1＞FT2＞FT3，FN1＝FN2＝FN3
C．FT1＝FT2＝FT3，FN1＝FN2＝FN3
D．FT1＜FT2＜FT3，FN1＜FN2＜FN3
【答案】　A
【解析】物体静止时绳的张力等于物体重力的大小，
所以FT1＝FT2＝FT3＝mg.
法一：用图解法确定FN1、FN2、FN3的大小关系．与物体连接的这一端，绳对定滑轮的作用力FT的大小也为mg，作出三种情况下的受力图如图所示，可知FN1＞FN2＞FN3，故选项A正确．
法二：用计算法确定FN1、FN2、FN3的大小关系．已知两个分力的大小，两分力的夹角θ，满足关系式：F＝eq
\r(F＋F＋2F1F2cos
θ)，θ越小，F越大，所以FN1＞FN2＞FN3，故选项A正确．
【变式2】如图甲所示，笔记本电脑散热底座一般有四个卡位用来调节角度。某同学将电脑放在散热底座上，为了获得更好的舒适度，由原卡位1缓慢调至卡位4(如图乙所示)，电脑始终处于静止状态，则(　　)
A．电脑受到的支持力变小
B．电脑受到的摩擦力变大
C．散热底座对电脑的作用力的合力不变
D．电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力大小
【答案】　C
【解析】选C.对电脑受力分析如图所示，电脑始终处于静止状态，故电脑受力平衡，电脑受到的支持力大小FN＝Gcos
θ，电脑受到的摩擦力大小f＝Gsin
θ，由原卡位1调至卡位4，θ减小，故FN增大，f减小，选项A、B错误；散热底座对电脑的作用力的合力即电脑受到的支持力与摩擦力两力的合力，大小等于电脑的重力，方向竖直向上，始终不变，选项C正确；电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和大于其重力大小，选项D错误．
【题型四】力的分解
1．把力按实际效果分解的一般思路
2．实际问题的分解——按力的作用效果分解，常见效果如下：
一面：垂直接触面和平行接触面分解（压和滑的效果）
两面：均垂直接触面分解（压的效果）
绳：沿绳分解（拉的效果）
杆：沿活杆分解（拉或压的效果）
【例12】如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物。在绳上距a端的c点有一固定绳圈．若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比为(　　)
A.
B．2
C.
D.
【答案】　C
【解析】　解法一(力的效果分解法)：
钩码的拉力F等于钩码重力m2g，将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa、Fb，如图甲所示，其中Fb＝m1g，由几何关系可得cos
θ＝＝，又由几何关系得cos
θ＝，联立解得＝.
解法二(正交分解法)：
绳圈受到Fa、Fb、F三个力作用，如图乙所示，将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得m1gcos
θ＝m2g；由几何关系得cos
θ＝，联立解得＝.
【变式1】2017年8月8日四川九寨沟发生7.0级地震，李克强总理和汪洋副总理作出重要批示，紧急成立生命救援队赶往灾区．此次救援队携带的救援工具，包括生命探测器、扩张机等，如图所示是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块B就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0
m，b＝0.05
m，F＝400
N，B与左壁接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为(滑块和杆的重力不计)(　　)
A．3
000
N
B．2
000
N
C．1
000
N
D．500
N
【答案】　B
【解析】选B.将F沿AC、AB方向分解为F1、F2，则F2＝，F2的作用效果是使滑块B对左壁有水平向左的挤压作用F3，对物体D有竖直向上的挤压作用F4，则物体D所受的向上顶的力为FN＝F4＝F2sin
α＝sin
α＝tan
α，由题图可知tan
α＝＝＝10，故FN＝2
000
N，选项B正确．
【变式2】如图所示，在竖直平面内，固定有半圆弧轨道，其两端点M、N连线水平。将一轻质小环套在轨道上，一细线穿过轻环A，一端系在M点，另一端系一质量为m的小球，小球恰好静止在图示位置。不计所有摩擦，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A．轨道对轻环的支持力大小为mg
B．细线对M点的拉力大小为mg
C．细线对轻环的作用力大小为mg
D．N点和轻环的连线与竖直方向的夹角为30°
【答案】　D
【解析】　轻环两边绳子的拉力大小相等，均为T＝mg，轻环两侧绳子的拉力与轻环对圆弧轨道的压力的夹角相等，设为θ，由OA＝OM知∠OMA＝∠MAO＝θ，则3θ＝90°，θ＝30°，轻环受力平衡，则轨道对轻环的支持力大小FN＝2mgcos
30°＝mg，选项A错误；细线对M点的拉力大小为mg，选项B错误；细线对轻环的作用力大小为F′N＝FN＝mg，选项C错误；由几何关系可知，N点和轻环的连线与竖直方向的夹角为30°，选项D正确．
【题型五】三类常考的“三力静态平衡”问题
（一）三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知。
解决平衡问题常用的方法有以下五种：
①力的合成法
②力的正交分解法
③正弦定理（拉米定理）法
④相似三角形法
⑤矢量三角形图解法
【例13】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，为球心，一质量为的小滑块，在水平力的作用下静止点。设滑块所受支持力为。与水平方向的夹角为。下列关系正确的是（
）
B．
C．
D．
【答案】　A
【解析】　解法一　力的合成法
滑块受力如图甲，由平衡条件知：＝tan
θ?F＝，FN＝。
解法二　力的分解法
将滑块受的力水平、竖直分解，如图丙所示，mg＝FNsin
θ，F＝FNcos
θ，
联立解得：F＝，FN＝。
解法三　力的三角形法（正弦定理）
如图丁所示，滑块受的三个力组成封闭三角形，解直角三角形得：F＝，FN＝。
【点睛】通过例题不难发现针对此类题型应采用“力的合成法”解决较为容易。
【变式1】（2019·新课标全国Ⅱ卷）物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，重力加速度取10
m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1
500
N，则物块的质量最大为（
）
A．150
kg
B．
kg
C．200
kg
D．
kg
【答案】A
【解析】
T=f+mgsinθ，f=μN，N=mgcosθ，带入数据解得：m=150kg，故A选项符合题意。
【变式2】（2019·新课标全国Ⅲ卷）用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示。两斜面I、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面I、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对圆筒进行受力分析知圆筒处于三力平衡状态，受力分析如图，由几何关系可知，，。解得，
由牛顿第三定律知，故D正确
（二）三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知。
【例14】一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A和B(中央有孔)，A、B间由细绳连接，它们处于如图所示位置时恰好都能保持静止状态。此情况下，B球与环中心O处于同一水平面上，AB间的细绳呈伸直状态，与水平线成30°夹角。已知B球的质量为m，求细绳对B球的拉力大小和A球的质量。
【答案】　2mg　2m
【解析】　对B球，受力分析如图所示。则有FTsin
30°＝mg，得FT＝2mg
对A球，受力分析如图所示。
在水平方向：FTcos
30°＝FNAsin
30°
在竖直方向：FNAcos
30°＝mAg＋FTsin
30°
由以上方程解得：mA＝2m。
【点睛】由于此类问题应用力的合成法无法构造直角三角形故往往采用“力的分解法或正弦定理进行求解”。
【变式】如图所示，四分之一光滑圆弧面AB与倾角为60°的光滑斜面AC顶部相接，A处有一光滑的定滑轮，跨过定滑轮用轻质细绳连接质量分别为m1、m2的两小球，系统静止时连接的绳子与水平方向的夹角为60°。两小球及滑轮大小可忽略，则两小球质量的比值m1∶m2为(　　)
A．1∶2　　　　　　　B．3∶2
C．2∶3
D.∶2
【答案】　B
【解析】　对m1、m2受力分析如图所示，
对m1有：m1g＝2FTcos
30°＝FT，解得FT＝m1g，
对m2有：FT＝m2gsin
60°＝m2g，解得m1∶m2＝3∶2.
（三）
三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系。
【例15】如图所示，表面光滑为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方Oˊ处有一个无摩擦定滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为，，则这两个小球的质量之比∶为(不计小球大小)（
）
A．24∶1
B．25∶1
C．24∶25
D．25∶24
【答案】C．
【解析】先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：重力、绳子的拉力T和半球的支持力N，作出受力图．由平衡条件得知，拉力T和支持力N的合力与重力mg大小相等、方向相反．设OO′=h，根据三角形相似得：得…①
同理，以右侧小球为研究对象，得…②
由①：②得
【变式】如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬于O点，A球固定在O点正下方L处，当小球B平衡时，绳子所受的拉力为FT1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为FT2，弹簧的弹力为F2。下列关于FT1与FT2、F1与F2大小之间的关系，正确的是(
)
A．FT1>FT2
B．FT1＝FT2
C．
F1D．F1＝F2
【答案】BC
【解析】以小球B为研究对象，进行受力分析．由平衡条件可知，弹簧的弹力F和绳子的拉力FT的合力F合与重力mg大小相等，方向相反，即F合＝mg，如图所示：
由三角形相似得：，又OA＝OB＝L，得FT=mg，
故绳子的拉力FT只与小球B的重力有关，与弹簧的劲度系数无关，所以FT1=FT2，当弹簧的劲度系数变大时，弹簧的压缩量减小，故长度x增加，F2>F1，故BC正确，AD错误。
【题型六】三类常考的“动态平衡”模型
（一）矢量三角形法类
特点：
1.
三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）。
2.
另一个力方向不变，大小可变。
3.
第三个力大小方向均可变。
方法：矢量三角形法分析第三个力的方向变化引起的物体受力的动态变化情况。
【例16】半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有竖直挡板MN。在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态。如图所示是这个装置的纵截面图，若用外力使MN保持竖直并缓慢地向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终保持静止。在此过程中，下列说法中正确的是（
）
A．P、Q间的弹力逐渐增大
B．地面对P的摩擦力先增大后减小
C．MN对Q的弹力逐渐减小
D．Q受到P和MN的合力逐渐增大
【答案】A
【解析】解：取为研究对象,受到、、三个力的作用,由于缓慢向右移动,小圆柱体处于动态平衡状态,分析可知方向不变,与竖直方向夹角增大,转动过程中所受三力的变化情况如图所示,可以判断、都变大,A正确、C错误.由于受力平衡,合力始终为零,D项错误.取、整体为研究对象,地面对的摩擦力应与平衡,所以地面对的摩擦力逐渐增大,B项错误.
【变式1】（2019·新课标全国Ⅰ卷）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N。另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止，则在此过程中(　　)
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【答案】BD
【解析】如图所示，以物块N为研究对象，它在水平向左拉力F作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方向夹角为45°的过程中，水平拉力F逐渐增大，绳子拉力T逐渐增大；
对M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着绳子拉力T的增加，则摩擦力f也逐渐增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着绳子拉力T的增加，摩擦力f可能先减小后增加。故本题选BD。
【变式2】如图所示，一铁球用一轻绳悬挂于O点，用力F拉住小球，要使轻绳与竖直方向保持60°角不变，且F最小，则F与竖直方向的夹角θ应为(　　)
A.
90°
B.
60°
C.
30°
D.
0°
【答案】C
【解析】如图所示，小球受三个力而处于平衡状态，重力G的大小和方向都不变，绳子拉力T方向不变，因为绳子拉力T和外力F的合力等于重力，通过作图法知，当F的方向与绳子方向垂直时，由于垂线段最短，所以F最小，则由几何知识得，C正确．
【变式3】如图所示，将一物体用两根等长细绳OA、OB悬挂在半圆形架子上，B点固定不动，在悬挂点A由位置C向位置D移动的过程中，物体对OA绳的拉力变化是(　　)
A.
由小变大
B.
由大变小
C.
先减小后增大
D.
先增大后减小
【答案】C
【解析】对O点受力分析，抓住两根绳的合力等于物体的重力，大小和方向都不变，OB绳拉力方向不变，根据平行四边形定则得，如图；知OA绳上拉力大小先减小后增大．故C正确，ABD错误．故选C．
（二）相似三角形法类
特点：
1.
三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）。
2.
其余两个力方向、大小均在变。
3
.有明显长度变化关系。
方法：相似三角形法。
【例17】如图所示，水平地面上竖直地固定着一个光滑的圆环，一个质量为m的小球套在环上，圆环最高点有一小孔，细线一端被人牵着，另一端穿过小孔与小球相连，使球静止于A处，此时细线与竖直成θ角，重力加速度为g，将球由A处缓慢地拉至B处的过程中，球对细线的拉力如何变化，以及环对球的支持力如何变化？
【答案】T减小FN不变
【解析】对小球受力分析，构建封闭的三角形，几何三角形AOP与力三角形相似，对应边成比例；
因为PA减小；所以T减小，OA=OB所以FN不变；
【变式】如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前，下列说法正确的是（
）
A．BC绳中的拉力FT越来越大
B．BC绳中的拉力FT越来越小
C．AC杆中的支撑力FN越来越大
D．AC杆中的支撑力FN越来越小
【答案】B
【解析】　以C点为研究对象，分析受力：重物的拉力T(等于重物的重力G)。
轻杆的支持力FN和绳子的拉力FT做出受力图如右图所示，由平衡条件知：FN与FT的合力与G大小相等，方向相反，根据三角形相似可得：＝＝，解得：FN＝G，FT＝G
由于AC不变，所以FN不变，BC减小，FT减小，故选项B正确。
（三）单位圆或正弦定理类型
特点：
1.
三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）。
2.
其余两个力方向、大小均在变。
3.
有一个角恒定不变。
【例题18】(2017·全国卷Ⅰ)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
【答案】　AD
【解析】　解法一：以重物为研究对象，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角为π－α不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误．
解法二：将重物向右上方缓慢拉起，重物处于动态平衡状态，可利用平衡条件或力的分解画出动态图分析．将重物的重力沿两绳方向分解，画出分解的动态图如图所示．在三角形中，根据正弦定理有＝＝，由题意可知FMN的反方向与FOM的夹角γ＝180°－α不变，因sin
β(β为FMN与G的夹角)先增大后减小，故OM上的张力先增大后减小，当β＝90°时，OM上的张力最大，因sin
θ(θ为FOM与G的夹角)逐渐增大，故MN上的张力逐渐增大，选项A、D正确，B、C错误．
【变式】如图所示，一圆环位于竖直平面内，圆环圆心处的一小球，OP、OQ为两根细绳，一端与球相连另一端固定在圆环上。OP呈水平，OQ与竖直方向成30?角，现保持小球位置不动，将圆环沿顺时针方向转过90?角，则在此过程中（
）
A．OP绳所受拉力增大
B．OP绳所受拉力先增大后减小
C．OQ绳所受拉力先减小后增大
D．OQ绳所受拉力先增大后减小
【解析】将圆环沿顺时针方向转过90°角的过程中，小球的位置保持不动，受力保持平衡，由平衡条件可知，两绳拉力的合力不变，运用三角定则作出力的合成图，由正弦定理得出两绳的拉力与OP转动角度的关系，即可分析两力的变化情况.
（四）衣钩、滑环模型
【例题19】如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是(　　）
A．绳的右端上移到b',绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些,绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小,绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移
【答案】AB
【解析】设两杆间距离为d,绳长为l，Oa、Ob段长度分别为和，则，两部分绳子与竖直方向夹角分别为α和β，受力分析如图所示。绳子各部分张力相等，
Fa=Fb=F，则α=β。满足，，即，，d和l均不变，则为定值,α为定值，
为定值，绳子的拉力保持不变，故A正确，C、D错误；将杆N向右移一些，d增大，则增大，
减小，绳子的拉力增大，故B正确。
【变式1】如图所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦，小物块的质量为（
）
A．　　
　
B．m
C．m　　
　
D．2m
【答案】　C
【解析】　由于物块通过挂钩悬挂在线上，细线穿过圆环且所有摩擦都不计，可知线上各处张力都等于小球重力mg。如图所示，由对称性可知a、b位于同一水平线上，物块处于圆心O点正上方，则∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＝∠5。因圆弧对轻环的弹力沿圆弧半径方向，且轻环重力不计，由平衡条件知环两侧细线关于圆弧半径对称，即∠5＝∠6，由几何关系得∠1＝∠2＝∠5＝∠6＝30°，∠3＝∠4＝60°。再由物块与挂钩的受力平衡有mgcos
60°＋mgcos
60°＝Mg，故有M＝m，C正确。
【变式2】有甲、乙两根完全相同的轻绳，甲绳A、B两端按图甲的方式固定，然后将一挂有质量为M的重物的光滑轻质动滑轮挂于甲轻绳上，当滑轮静止后，设甲绳子的张力大小为FT1；乙绳D、E两端按图乙的方式固定，然后将同样的定滑轮且挂有质量为M的重物挂于乙轻绳上，当滑轮静止后，设乙绳子的张力大小为FT2。现甲绳的B端缓慢向下移动至C点，乙绳的E端缓慢向右移动至F点，在两绳的移动过程中，下列说法正确的是(　　)
A．FT1、FT2都变大
B．FT1变大、FT2变小
C．FT1、FT2都不变
D．FT1不变、FT2变大
【答案】　D
【解析】　设绳子总长为L，两堵竖直墙之间的距离为s，左侧绳长为L1，右侧绳长为L2.由于绳子上的拉力处处相等，所以两绳与竖直方向夹角相等，设为θ，则由几何知识，得：s＝L1sin
θ＋L2sin
θ＝(L1＋L2)sin
θ，又L1＋L2＝L，得到sin
θ＝；设绳子的拉力大小为FT，重物的重力为G.以滑轮为研究对象，根据平衡条件得2FTcos
θ＝G，解得：FT＝；可见，对题图甲，当绳子右端慢慢向下移时，s、L没有变化，则θ不变，绳子拉力FT1不变；对题图乙，当绳子的右端从E向F移动的过程中，由于绳子的长度不变，所以两个绳子之间的夹角θ增大，cos
θ减小，则绳子拉力FT2增大，故A、B、C错误，D正确
【题型演练】
1.
如图，在水平桌面上放置一斜面体P，两长方体物块a和b叠放在P的斜面上，整个系统处于静止状态．若将a与b、b与P、P与桌面之间摩擦力的大小分别用f1、f2和f3表示，则(　　)
A．f1＝0，f2≠0，f3≠0
B．f1≠0，f2＝0，f3＝0
C．f1≠0，f2≠0，f3＝0
D．f1≠0，f2≠0，f3≠0
【答案】C
【解析】对a、b、P整体受力分析可知，整体相对地面没有相对运动趋势，故f3＝0；将a和b看成一个整体，ab整体有相对斜面向下运动的趋势，故b与P之间有摩擦力，即f2≠0；对a进行受力分析可知，由于a处于静止状态，a相对于b有向下运动的趋势，故a和b之间存在摩擦力作用，即f1≠0，故选项C正确．
2.
如图甲所示，斜面体固定在水平面上，斜面上有一物块在拉力F的作用下始终处于静止状态，拉力F在如图乙所示的范围内变化，取沿斜面向上为正方向，则下列物块所受的摩擦力Ff与时间t的关系图像可能正确的是(　　)
【答案】BD
【解析】若t＝0时静摩擦力沿斜面向上，随F减小，Ff增大，当F反向后，Ff在原来基础上继续增大，D正确；若t＝0时静摩擦力沿斜面向下，随F减小，Ff减小，在F＝0前，Ff变为沿斜面向上，B正确．
3.
如图所示，两根光滑细棒在同一竖直平面内，两棒与水平面成37°角，棒上各穿有一个质量为m的相同小球，两球用轻质弹簧连接，两小球在图中位置处于静止状态，此时弹簧与水平面平行，则下列判断正确的是(　　)
A．弹簧处于拉伸状态
B．弹簧处于压缩状态
C．弹簧的弹力大小为mg
D．弹簧的弹力大小为mg
【答案】AC
【解析】以左侧小球为研究对象，假如弹簧处于压缩状态，弹簧对该球的弹力方向水平向左，小球还受到竖直向下的重力和垂直于棒的弹力，根据平行四边形定则可知，这三个力的合力不可能为零，则小球不可能处于静止状态，与题设矛盾，所以弹簧一定处于拉伸状态，故A正确，B错误；根据平衡条件得Fcos
37°＝mgsin
37°，解得弹簧的弹力大小F＝mg，故C正确，D错误．
4.
如图所示，物体A、B置于水平地面上，与地面间的动摩擦因数均为μ，物体A、B用一跨过动滑轮的细绳相连，现用逐渐增大的力向上提升滑轮，某时刻拉A物体的绳子与水平面的夹角为53°，拉B物体的绳子与水平面的夹角为37°，此时A、B两物体刚好处于平衡状态，则A、B两物体的质量之比为(认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8)(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设绳中张力为F，对A应用平衡条件可得Fcos
53°＝μ(mAg－Fsin
53°)，对B应用平衡条件可得Fcos
37°＝μ(mBg－Fsin
37°)，以上两式联立可解得＝，选项A正确．
5.
我国不少地方在节日期间有挂红灯笼的习俗，如图所示，质量为m的灯笼用两根不等长的轻绳OA、OB悬挂在水平天花板上，OA比OB长，O为结点．重力加速度大小为g，设OA、OB对O点的拉力分别为FA、FB，轻绳能够承受足够大的拉力，则(　　)
A．FA小于FB
B．FA、FB的合力大于mg
C．调节悬点A的位置，可使FA、FB都大于mg
D．换质量更大的灯笼，FB的增加量比FA的增加量大
【答案】ACD
【解析】对结点O受力分析，画出力的矢量图如图所示，由图可知，FA小于FB，FA、FB的合力等于mg，选项A正确，B错误；调节悬点A的位置，当∠AOB大于某一值时，则FA、FB都大于mg，选项C正确；换质量更大的灯笼，则重力mg增大，FB的增加量比FA的增加量大，选项D正确．
6．如图所示，质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，那么木块受到的滑动摩擦力为(　　)
A．μmg
B．μ(mg＋Fsin
θ)
C．μ(mg－Fsin
θ)
D．Fcos
θ
【答案】BD
【解析】木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg、推力F、支持力FN、摩擦力Ff.沿水平方向建立x轴，将F进行正交分解，如图所示(这样建立坐标系只需分解F)，由于木块做匀速直线运动，所以Fcos
θ＝Ff，FN＝mg＋Fsin
θ，又Ff＝μFN，解得Ff＝μ(mg＋Fsin
θ)，故选项B、D正确．
7.
如图甲所示，水平地面上固定一倾角为30°的表面粗糙的斜劈，一质量为m的小物块能沿着斜劈的表面匀速下滑．现对小物块施加一水平向右的恒力F，使它沿该斜劈表面匀速上滑，如图乙所示，则F大小应为(　　)
A.mg
B.mg
C.mg
D.mg
【解析】小物块沿着斜劈的表面匀速下滑时，对小物块受力分析可得mgsin
30°＝μmgcos
30°，解得μ＝.对小物块施加一水平向右的恒力F，使它沿该斜劈表面匀速上滑，对小物块受力分析如图所示，
将力沿平行于斜面和垂直于斜面两方向分解可得FN＝mgcos
30°＋Fsin
30°，Ff＝μFN，
Fcos
30°＝Ff＋mgsin
30°，联立解得F＝mg，故C项正确．
【答案】C
8.
如图所示，一固定的细直杆与水平面的夹角为α＝15°，一个质量忽略不计的小轻环C套在直杆上，一根轻质细线的两端分别固定于直杆上的A、B两点，细线依次穿过小环甲、小轻环C和小环乙，且小环甲和小环乙分居在小轻环C的两侧。调节A、B间细线的长度，当系统处于静止状态时β＝45°。不计一切摩擦。设小环甲的质量为m1，小环乙的质量为m2，则m1：m2等于(　　)
A．tan
15°
B．tan
30°
C．tan
60°
D．tan
75°
【答案】C
【解析】小环C为轻环，重力不计，受两边细线的拉力的合力与杆垂直，C环与乙环的连线与竖直方向的夹角为60°，C环与甲环的连线与竖直方向的夹角为30°，A点与甲环的连线与竖直方向的夹角为30°，乙环与B点的连线与竖直方向的夹角为60°，设细线拉力为T，根据平衡条件，对甲环有2Tcos
30°＝m1g，对乙环有2Tcos
60°＝m2g，得m1∶m2＝tan
60°，故选C.
9.
如图所示，某健身爱好者手拉着轻绳，在粗糙的水平地面上缓慢地移动，保持绳索始终平行于地面．为了锻炼自己的臂力和腿部力量，可以在O点悬挂不同的重物C，则(　　)
A．若健身者缓慢向右移动，绳OA的拉力变小
B．若健身者缓慢向左移动，绳OB的拉力变小
C．若健身者缓慢向右移动，绳OA、OB拉力的合力变大
D．若健身者缓慢向左移动，健身者与地面间的摩擦力变小
【答案】BD
【解析】由于OA、OB为两段细绳，因此两细绳的拉力大小不一定相等．设绳OA的拉力为FA，绳OB的拉力为FB，重物C的质量为m，因O点始终处于平衡状态，根据平衡条件有FAcos
θ－mg＝0，FAsin
θ－FB＝0，解得FA＝，FB＝mgtan
θ.当健身者缓慢向右移动时，θ角变大，则FA、FB均变大，A错误；当健身者缓慢向左移动时，θ角变小，则FA、FB均变小，因为健身者受到的摩擦力大小与绳OB的拉力大小相等，故健身者与地面间的摩擦力变小，B、D正确；不论健身者向哪个方向移动，绳OA与绳OB拉力的合力一定等于重物C的重力mg，保持不变，C错误．
10.
舰载机保持牵引力F大小不变在匀速航行的航母上降落时受到阻拦而静止，此时阻拦索夹角
θ＝120°，空气阻力和甲板阻力不计，则阻拦索承受的张力大小为(　　)
A．　
B．F
C．F
D．2F
【答案】B
【解析】由题意可知两阻拦索上的张力大小相等，其合力与飞机的牵引力F等大反向，由几何关系知阻拦索承受的张力大小为F′＝F，B正确．
11.
体育器材室里，篮球摆放在图示的球架上．已知球架的宽度为d，每个篮球的质量为m、直径为D，不计球与球架之间摩擦及球架圆柱面的粗细，则每个篮球对一侧球架的压力大小为(　　)
A．mg
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将篮球重力按效果分解如图．两个分力等于对球架的压力．由几何知识得：cos
α＝
由力的合成得：2Fcos
α＝mg，解得F＝，故C正确．
12.
如图所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接，在水平外力F作用下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等。弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB，且原长相等．弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°。设A、B中的拉力分别为FA、FB。小球直径相比弹簧长度可以忽略。则(　　）
A．tan
θ＝
B．kA＝kB
C．FA＝mg
D．FB＝2mg
【答案】　A
【解析】　对下面的小球进行受力分析，如图甲所示：
根据平衡条件得：F＝mgtan
45°＝mg，FB＝＝mg；
对两个小球整体受力分析，如图乙所示：
根据平衡条件得：tan
θ＝，又F＝mg，解得tan
θ＝，FA＝＝mg，由题可知两弹簧的形变量相等，则有：x＝＝，解得：＝＝，故A正确，B、C、D错误．
13.
我国2007年建成的国家大剧院外部呈椭球型。为了简化，将国家大剧院的屋顶近似为半球形，某警卫人员在执行特殊任务时，必须在屋顶上向上缓慢爬行，他在爬行的过程中屋顶对他的（
）
A．支持力不变
B．支持力变小
C．摩擦力变小
D．摩擦力变大
【答案】C
【解析】因为缓慢爬行，合力为零：，，向上爬的过程中，夹角减小，变大，变小，所以摩擦力变小，支持力变大，ABD错误，C正确。
14.
重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳按如图所示连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为(　　)
A．G
B．G
C．G
D．G
【答案】　A
【解析】　对A球受力分析可知，因O、A间绳竖直，则A、B间绳上的拉力为0.对B球受力分析如图所示，则可知当F与O、B间绳垂直时F最小，Fmin＝Gsin
θ，其中sin
θ＝＝，则Fmin＝G，故A项正确．
15.（2016全国卷I）如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则下列说法正确的是（
）
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
【答案】BD
【解析】由于物块a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力FT＝mag，所以物块a受到绳的拉力保持不变。由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图所示。由平衡条件得：FTcos
β＋Ff＝Fcos
α，Fsin
α＋FN＋FTsin
β＝mbg。其中FT和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确。
16.
（2017全国卷III）一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80
cm的两点上，弹性绳的原长也为80
cm。将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100
cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为（弹性绳的伸长始终处于弹性限度内）（
）
A．86
cm
B．
92
cm
C．
98
cm
D．
104
cm
【答案】B
【解析】设弹性绳的劲度系数为k，左、右两半段绳的伸长量，由共点力的平衡条件可知，钩码的重力，将弹性绳的两端缓慢移至天花板上同一点时，钩码的重力，解得，则弹性绳的总长度变为，故选B。
17.
如图所示，倾角为
θ＝30°的光滑斜面上固定有竖直光滑挡板P，横截面为直角三角形的物块A放在斜面与P之间。则物块A对竖直挡板P的压力与物块A对斜面的压力大小之比为（
）
A．2∶1
B．1∶2
C.∶1
D.∶4
【答案】B
【解析】将物体A受的重力按照力的效果进行分解，如图所示，则F1＝Gtan
θ，F2＝，故
＝sin
θ＝.
即物块A对竖直挡板P的压力与物块A对斜面的压力大小之比为1∶2，B正确．
18.
如图所示，某钢制工件上开有一个楔形凹槽，凹槽的截面是一个直角三角形ABC，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°，在凹槽中放有一个光滑的金属球，当金属球静止时，金属球对凹槽的AB边的压力为F1，对BC边的压力为F2，则的值为(　　)
A．　　　　　　　　
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】金属球受到的重力产生两个作用效果，压AB面和压BC面，如图所示．
对AB面的压力等于分力F1′，对BC面的压力等于分力F2′，故＝tan
30°＝，B正确．
19.
如图所示，斜面上放有两个完全相同的物体a、b，两物体间用一根细线连接，在细线的中点加一与斜面垂直的拉力F，使两物体均处于静止状态。下列说法正确的是
(　　)
A．a、b两物体的受力个数一定相同
B．a、b两物体对斜面的压力相同
C．a、b两物体受到的摩擦力大小一定相等
D．当逐渐增大拉力F时，物体b先开始滑动
【答案】B
【解析】对a、b进行受力分析，如图所示．b物体处于静止状态，当细线沿斜面向上的分量与重力沿斜面向下的分量相等时，摩擦力为零，所以b可能只受3个力作用，而a物体必定受到摩擦力作用，肯定受4个力作用，故A错误；a、b两个物体，垂直于斜面方向受力都平衡，则有：FN＋FTsin
θ＝mgcos
α，解得：FN＝mgcos
α－FTsin
θ，则a、b两物体对斜面的压力相同，故B正确；根据A项的分析可知，b的摩擦力可以为零，而a的摩擦力一定不为零，故C错误；对a沿斜面方向有：FTcos
θ＋mgsin
α＝Ffa，对b沿斜面方向有：FTcos
θ－mgsin
α＝Ffb，正压力相等，所以最大静摩擦力相等，则a先达到最大静摩擦力，故a先滑动，故D错误．
20.
质量为M的半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端固定一个竖直挡板AB，在P上放两个大小相同的光滑小球C和D，质量均为m，整个装置的纵截面如图所示。开始时P、C球心连线与水平面的夹角为θ，点P、D球心连线处于竖直方向，已知重力加速度为g。下列说法正确的是
(　　)
A．P和挡板对C的弹力分别为和
B．地面对P的摩擦力大小为零
C．使挡板缓慢地向右平行移动，但C仍在P和挡板AB作用下悬于半空中，则地面对P的摩擦力将不断增大
D．使挡板绕B点顺时针缓慢转动，P始终保持静止，则D一定缓慢下滑
【答案】C
【解析】对D受力分析，受到重力mg和P的支持力FN；对C受力分析，受到重力mg、挡板AB的支持力FN1和P对C的支持力FN2，如图所示，根据平衡条件，得FN1＝，FN2＝，选项A错误；以P、C、D整体为研究对象，进行受力分析，受到三者的重力、挡板AB的支持力FN1，地面的支持力FN3，地面的静摩擦力f，根据共点力平衡条件，有FN3＝(M＋2m)g，f＝FN1，选项B错误；使挡板缓慢地向右平行移动，由于θ不断减小，故f不断增大，选项C正确；由于P、D球心连线处于竖直方向，当使挡板绕B点顺时针缓慢地转动时，小球D可继续保持静止，选项D错误．
21.
如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上。一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手对线的拉力F和轨道对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　)
A．F不变，FN增大　　　　
B．F不变，FN减小
C．F减小，FN不变
D．F增大，FN减小
【答案】　C
【解析】　小球沿圆环缓慢上移可看作处于平衡状态，对小球进行受力分析，作出受力示意图如图所示，由图可知△OAB∽△GF′A即：＝＝，当A点上移时，半径不变，AB长度减小，故F减小，FN不变，故C正确．
m2
m1
l2
l1
Oˊ
O
m2
m1
l2
l1
Oˊ
O【题型一】弹力的分析与计算
迁移角度
解决办法
易错警示
弹力的有无及方向判断
假设法或条件法
准确找到物体接触的公切面是判断方向的关键
轻绳模型中的拉力
沿绳且指向绳收缩的方向
有无“结点”是绳中张力是否相等的判断条件
轻弹簧模型中的弹力
沿弹簧且与弹簧形变方向相反
满足胡克定律且轻弹簧两端受力始终大小相等，与其运动状态无关。弹簧的弹力不能突变，只能渐变
轻杆模型中的弹力
不一定沿杆方向
有无“铰链”是杆中弹力是否沿杆方向的判断依据
1．五种常见模型中弹力的方向
2．根据共点力的平衡条件或牛顿第二定律确定弹力的方向。
3．弹力大小计算的三种方法
(1)根据胡克定律进行求解。
(2)根据力的平衡条件进行求解。
(3)根据牛顿第二定律进行求解。
1.
弹力的有无及方向判断
【例1】如图所示，小车内一根轻质弹簧沿竖直方向和一条与竖直方向成α角的细绳拴接一小球。当小车和小球相对静止，一起在水平面上运动时，下列说法正确的是(　　)
A．细绳一定对小球有拉力的作用
B．轻弹簧一定对小球有弹力的作用
C．细绳不一定对小球有拉力的作用，但是轻弹簧对小球一定有弹力
D．细绳不一定对小球有拉力的作用，轻弹簧对小球也不一定有弹力
【变式1】(多选)如图所示为位于水平面上的小车，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆的下端固定有质量为m的小球。下列关于杆对球的作用力F的判断中，正确的是(　　)
A．小车静止时，F＝mgsin
θ，方向沿杆向上
B．小车静止时，F＝mgcos
θ，方向垂直于杆向上
C．小车向右匀速运动时，一定有F＝mg，方向竖直向上
D．小车向右匀加速运动时，一定有F＞mg，方向可能沿杆向上
【变式2】图中各物体均处于静止状态。图中画出了小球A所受弹力的情况，其中正确(　　)
2.
轻绳模型中的“死结”和“活结”问题
【例2】(多选)
如图所示，用滑轮将质量为m1、m2的两物体悬挂起来，忽略滑轮和绳的重力及一切摩擦，使得0＜θ＜180°，整个系统处于平衡状态，关于m1、m2的大小关系应为(　　)
A．m1必大于m2　
B．m1必大于
C．m1可能等于m2
D．m1可能大于m2
【变式】如图所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块，平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为(　　)
A．
B．m
C．m
D．2m
3.
轻弹簧模型中胡克定律的应用
【例3】
如图，轻弹簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物块P，系统处于静止状态。现用一竖直向上的力F作用在P上，使其向上做匀加速直线运动。以x表示P离开静止位置的位移，在弹簧恢复原长前，下列表示F和x之间关系的图像可能正确的是(　　)
【变式】如图所示，质量均为m的A、B两球，由一根劲度系数为k的轻弹簧连接静止于半径为R的光滑半球形碗中，弹簧水平，两球间距为R且球半径远小于碗的半径。则弹簧的原长为(　　)
A．＋R　　　　
B．＋R
C．＋R
D．＋R
4　轻杆模型中的铰链问题
【例4】如图甲所示，轻杆OB可绕B点自由转动，另一端O点用细绳OA拉住，固定在左侧墙壁上，质量为m的重物用细绳OC悬挂在轻杆的O点，OA与轻杆的夹角∠BOA＝30°。乙图中水平轻杆OB一端固定在竖直墙壁上，另一端O装有小滑轮，用一根绳跨过滑轮后悬挂一质量为m的重物，图中∠BOA＝30°，求：
(1)甲、乙两图中细绳OA的拉力各是多大？
(2)甲图中轻杆受到的弹力是多大？
(3)乙图中轻杆对滑轮的作用力是多大？
【变式】如图为两种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的轻杆，重量不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在图(a)、(b)中的受力分别为Fa、Fb，则下列关系正确的是(　　)
A．Fa＝Fb
B．Fa>Fb
C．FaD．大小不确定
【题型二】摩擦力的分析与计算
1．静摩擦力的有无和方向的判断方法
(1)假设法：利用假设法判断的思维程序如下：
(2)状态法：先判断物体的状态(即加速度的方向)，再利用牛顿第二定律(F＝ma)确定合力，然后通过受力分析确定静摩擦力的大小及方向。
(3)牛顿第三定律法：先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向，再根据“力的相互性”确定另一物体受到的静摩擦力的方向。
【例4】如图所示，某粮库使用电动传输机向粮垛上输送麻袋包，现将一麻袋包放置在倾斜的传送带上，与传送带一起斜向上匀速运动，其间突遇故障，传送带减速直至停止。若上述匀速和减速过程中，麻袋包与传送带始终保持相对静止，则下列说法正确的是(　　)
A．匀速运动时，麻袋包只受重力与支持力作用
B．匀速运动时，麻袋包受到的摩擦力一定沿传送带向上
C．减速运动时，麻袋包受到的摩擦力一定沿传送带向下
D．减速运动时，麻袋包受到的摩擦力一定沿传送带向上
【变式】如图所示，物体A置于倾斜的传送带上，它能随传送带一起向上或向下做匀速运动，下列关于物体A在上述两种情况下的受力描述，正确的是(　　)
A．物体A随传送带一起向上运动时，A所受的摩擦力沿斜面向下
B．物体A随传送带一起向下运动时，A所受的摩擦力沿斜面向下
C．物体A随传送带一起向下运动时，A不受摩擦力作用
D．无论A随传送带一起向上还是向下运动，传送带对物体A的作用力均相同
2．摩擦力大小计算的思维流程
（1）滑动摩擦力的分析与计算
【例5】
如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动．若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为(　　)
A．2－　
B．
C．
D．
【变式1】如图所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑。已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A与B的质量的比值为(　　)
A．
B．
C．
D．
【变式2】如图所示，质量为m的木块P在质量为M的长木板ab上滑行，长木板放在水平地面上一直处于静止状态．若ab与地面间的动摩擦因数为μ1，木块P与长木板ab间的动摩擦因数为μ2，则长木板ab受到地面的摩擦力大小为(　　)
A．μ1Mg
B．μ1(m＋M)g
C．μ2mg
D．μ1Mg＋μ2mg
【变式3】如图所示，物块A放在倾斜的木板上，木板的倾角α分别为30°和45°时物块所受摩擦力的大小恰好相等，则物块和木板间的动摩擦因数为
(　　)
A．
B．
C．
D．
（2）静摩擦力的分析与计算
【例6】如图所示为武警战士用头将四块砖顶在墙上苦练头功的照片。假设每块砖的质量均为m，砖与墙面、砖与头间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。要使砖恰好静止不动，则武警战士的头对砖施加的水平力为(　　)
A．
B．
C．
D．
【变式】如图所示，一足够长的斜面体静置于粗糙水平地面上，一小物块沿着斜面体匀速下滑，现对小物块施加一水平向右的力F，当物块运动到最低点之前，下列说法正确的是（
）
A．物块与斜面体间的弹力不变
B．物块与斜面体间的摩擦力增大
C．斜面体与地面间的弹力不变
D．斜面体与地面间的摩擦力始终为0
3.
摩擦力的“四类突变”问题
静→静“突变”
当作用在物体上的其他力的合力发生突变时，两物体仍保持相对静止，则物体所受静摩擦力可能发生突变
动→动“突变”
某物体相对于另一物体在滑动的过程中，若相对运动方向变了，则滑动摩擦力方向也发生突变，突变点常常为两物体相对速度为零时
静→动“突变”
物体相对静止，当其他力变化时，如果不能保持相对静止状态，则物体受到的静摩擦力将突变为滑动摩擦力，突变点常常为静摩擦力达到最大值时
动→静“突变”
两物体相对滑动的过程中，若相对速度变为零，则滑动摩擦力突变为静摩擦力，突变点常常为两物体相对速度刚好为零时
静—静“突变”
【例7】一木块放在水平桌面上，在水平方向共受到三个力即F1、F2和摩擦力的作用，木块处于静止状态，如图所示，其中F1＝10
N，F2＝2
N，若撤去F1，则木块受到的摩擦力为(　　)
A．10
N，方向向左
B．6
N，方向向右
C．2
N，方向向右
D．0
【变式】如图所示，质量为10
kg的物体A拴在一个被水平拉伸的弹簧一端，弹簧的拉力为5
N时，物体A处于静止状态。若小车以1
m/s2的加速度向右运动，g＝10
m/s2，则(　　)
A．物体A相对小车向右运动
B．物体A受到的摩擦力减小
C．物体A受到的摩擦力大小不变
D．物体A受到的弹簧的拉力增大
动—静“突变”
【例8】如图所示，质量为1
kg的物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，从t＝0开始以初速度v0沿水平地面向右滑行，同时受到一个水平向左的恒力F＝1
N的作用，g取10
m/s2，以向右为正方向，
该物体受到的摩擦力Ff随时间变化的图像是(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　　)
【变式】如图所示，把一重为G的物体，用一水平方向的推力F＝kt(k为恒量且大于0，t为时间)压在竖直的足够高的平整墙上，从t＝0开始物体所受的摩擦力Ff随t的变化关系是下图中的　(　　)
动—动“突变”
【例9】如图所示，足够长的传送带与水平面夹角为θ，以速度v0逆时针匀速转动。在传送带的上端轻轻放置一个质量为m的小木块，小木块与传送带间的动摩擦因数μθ，则图中能客观地反映小木块的速度随时间变化关系的是(　　)
【变式】如图所示，斜面固定在地面上，倾角为37°。质量为1
kg的滑块以初速度v0从斜面底端沿斜面向上滑行(斜面足够长，该滑块与斜面间的动摩擦因数为0.7)，则该滑块所受摩擦力F随时间变化的图像是下图中的(取初速度v0的方向为正方向，g＝10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8)
(　　)
静→动“突变”
【例10】如图所示，粗糙长木板l的一端固定在铰链上，木块放在木板上，开始时木板处于水平位置。当木板向下转动，θ角逐渐增大的过程中，摩擦力Ff的大小随θ角变化最有可能的(　　)
【变式】如图甲所示，A、B两个物体叠放在水平面上，B的上下表面均水平，A物体与一拉力传感器相连接，连接拉力传感器和物体A的细绳保持水平。从t＝0时刻起，用一水平向右的力F＝kt(k为常数)作用在B的物体上，力传感器的示数随时间变化的图线如图乙所示，已知k、t1、t2且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。据此可求
(　　)
A．A、B之间的最大静摩擦力
B．水平面与B之间的滑动摩擦力
C．A、B之间的动摩擦因数μAB
D．B与水平面间的动摩擦因数μ
【题型三】力的合成
1．合力的大小范围的确定
(1)两个共点力的合成
|F1－F2|≤F合≤F1＋F2
(2)三个共点力的合成
①三个力共线且同向时，其合力最大为F1＋F2＋F3。
②任取两个力，求出其合力大小的范围，如果第三个力在这个范围之内，则这三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的矢量和。
2．合成方法
(1)作图法。
(2)计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力。
3．几种特殊情况的共点力的合成
类型
作图
合力的计算
两力互相
垂直
F＝
eq
\r(F＋F)
tan
θ＝
两力等大，夹角为θ
F＝2F1cos
F与F1夹角为
两力等大且夹角为120°
合力与分力等大
4.
重要结论
(1)两个分力一定时，夹角θ越大，合力越小。
(2)合力一定，两等大分力的夹角越大，两分力越大。
(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力。
【例11】如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为(　　)
A．kL　　　　　　　　　
B．2kL
C．kL
D．kL
【变式1】如图所示，一个物体由绕过定滑轮的绳拉着，分别用图中所示的三种情况拉住物体静止不动．在这三种情况下，若绳的张力分别为FT1、FT2、FT3，定滑轮对轴心的作用力分别为FN1、FN2、FN3，滑轮的摩擦、质量均不计，则(　　)
A．FT1＝FT2＝FT3，FN1＞FN2＞FN3
B．FT1＞FT2＞FT3，FN1＝FN2＝FN3
C．FT1＝FT2＝FT3，FN1＝FN2＝FN3
D．FT1＜FT2＜FT3，FN1＜FN2＜FN3
【变式2】如图甲所示，笔记本电脑散热底座一般有四个卡位用来调节角度。某同学将电脑放在散热底座上，为了获得更好的舒适度，由原卡位1缓慢调至卡位4(如图乙所示)，电脑始终处于静止状态，则(　　)
A．电脑受到的支持力变小
B．电脑受到的摩擦力变大
C．散热底座对电脑的作用力的合力不变
D．电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力大小
【题型四】力的分解
1．把力按实际效果分解的一般思路
2．实际问题的分解——按力的作用效果分解，常见效果如下：
一面：垂直接触面和平行接触面分解（压和滑的效果）
两面：均垂直接触面分解（压的效果）
绳：沿绳分解（拉的效果）
杆：沿活杆分解（拉或压的效果）
【例12】如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物。在绳上距a端的c点有一固定绳圈．若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比为(　　)
A．
B．2
C．
D．
【变式1】2017年8月8日四川九寨沟发生7.0级地震，李克强总理和汪洋副总理作出重要批示，紧急成立生命救援队赶往灾区．此次救援队携带的救援工具，包括生命探测器、扩张机等，如图所示是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块B就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0
m，b＝0.05
m，F＝400
N，B与左壁接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为(滑块和杆的重力不计)(　　)
A．3
000
N
B．2
000
N
C．1
000
N
D．500
N
【变式2】如图所示，在竖直平面内，固定有半圆弧轨道，其两端点M、N连线水平。将一轻质小环套在轨道上，一细线穿过轻环A，一端系在M点，另一端系一质量为m的小球，小球恰好静止在图示位置。不计所有摩擦，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A．轨道对轻环的支持力大小为mg
B．细线对M点的拉力大小为mg
C．细线对轻环的作用力大小为mg
D．N点和轻环的连线与竖直方向的夹角为30°
【题型五】三类常考的“三力静态平衡”问题
（一）三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知。
解决平衡问题常用的方法有以下五种：
①力的合成法
②力的正交分解法
③正弦定理（拉米定理）法
④相似三角形法
⑤矢量三角形图解法
【例13】如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，为球心，一质量为的小滑块，在水平力的作用下静止点。设滑块所受支持力为。与水平方向的夹角为。下列关系正确的是（
）
B．
C．
D．
【变式1】（2019·新课标全国Ⅱ卷）物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，重力加速度取10
m/s2。若轻绳能承受的最大张力为1
500
N，则物块的质量最大为（
）
A．150
kg
B．
kg
C．200
kg
D．
kg
【变式2】（2019·新课标全国Ⅲ卷）用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示。两斜面I、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面I、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2则（
）
A．
B．
C．
D．
（二）三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知。
【例14】一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A和B(中央有孔)，A、B间由细绳连接，它们处于如图所示位置时恰好都能保持静止状态。此情况下，B球与环中心O处于同一水平面上，AB间的细绳呈伸直状态，与水平线成30°夹角。已知B球的质量为m，求细绳对B球的拉力大小和A球的质量。
【变式】如图所示，四分之一光滑圆弧面AB与倾角为60°的光滑斜面AC顶部相接，A处有一光滑的定滑轮，跨过定滑轮用轻质细绳连接质量分别为m1、m2的两小球，系统静止时连接的绳子与水平方向的夹角为60°。两小球及滑轮大小可忽略，则两小球质量的比值m1∶m2为(　　)
A．1∶2　　　　　　　B．3∶2
C．2∶3
D.∶2
（三）
三个力互相不垂直，且夹角（方向）未知但存在几何边长的变化关系。
【例15】如图所示，表面光滑为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方Oˊ处有一个无摩擦定滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为，，则这两个小球的质量之比∶为(不计小球大小)（
）
A．24∶1
B．25∶1
C．24∶25
D．25∶24
【变式】如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬于O点，A球固定在O点正下方L处，当小球B平衡时，绳子所受的拉力为FT1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为FT2，弹簧的弹力为F2。下列关于FT1与FT2、F1与F2大小之间的关系，正确的是(
)
A．FT1>FT2
B．FT1＝FT2
C．
F1D．F1＝F2
【题型六】三类常考的“动态平衡”模型
（一）矢量三角形法类
特点：
1.
三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）。
2.
另一个力方向不变，大小可变。
3.
第三个力大小方向均可变。
方法：矢量三角形法分析第三个力的方向变化引起的物体受力的动态变化情况。
【例16】半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有竖直挡板MN。在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态。如图所示是这个装置的纵截面图，若用外力使MN保持竖直并缓慢地向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终保持静止。在此过程中，下列说法中正确的是（
）
A．P、Q间的弹力逐渐增大
B．地面对P的摩擦力先增大后减小
C．MN对Q的弹力逐渐减小
D．Q受到P和MN的合力逐渐增大
【变式1】（2019·新课标全国Ⅰ卷）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N。另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止，则在此过程中(　　)
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【变式2】如图所示，一铁球用一轻绳悬挂于O点，用力F拉住小球，要使轻绳与竖直方向保持60°角不变，且F最小，则F与竖直方向的夹角θ应为(　　)
A.
90°
B.
60°
C.
30°
D.
0°
【变式3】如图所示，将一物体用两根等长细绳OA、OB悬挂在半圆形架子上，B点固定不动，在悬挂点A由位置C向位置D移动的过程中，物体对OA绳的拉力变化是(　　)
A.
由小变大
B.
由大变小
C.
先减小后增大
D.
先增大后减小
（二）相似三角形法类
特点：
1.
三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）。
2.
其余两个力方向、大小均在变。
3
.有明显长度变化关系。
方法：相似三角形法。
【例17】如图所示，水平地面上竖直地固定着一个光滑的圆环，一个质量为m的小球套在环上，圆环最高点有一小孔，细线一端被人牵着，另一端穿过小孔与小球相连，使球静止于A处，此时细线与竖直成θ角，重力加速度为g，将球由A处缓慢地拉至B处的过程中，球对细线的拉力如何变化，以及环对球的支持力如何变化？
【变式】如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前，下列说法正确的是（
）
A．BC绳中的拉力FT越来越大
B．BC绳中的拉力FT越来越小
C．AC杆中的支撑力FN越来越大
D．AC杆中的支撑力FN越来越小
（三）单位圆或正弦定理类型
特点：
1.
三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）。
2.
其余两个力方向、大小均在变。
3.
有一个角恒定不变。
【例题18】(2017·全国卷Ⅰ)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
【变式】如图所示，一圆环位于竖直平面内，圆环圆心处的一小球，OP、OQ为两根细绳，一端与球相连另一端固定在圆环上。OP呈水平，OQ与竖直方向成30?角，现保持小球位置不动，将圆环沿顺时针方向转过90?角，则在此过程中（
）
A．OP绳所受拉力增大
B．OP绳所受拉力先增大后减小
C．OQ绳所受拉力先减小后增大
D．OQ绳所受拉力先增大后减小
（四）衣钩、滑环模型
【例题19】如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是(　　）
A．绳的右端上移到b',绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些,绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小,绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移
【变式1】如图所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦，小物块的质量为（
）
A．　　
　
B．m
C．m　　
　
D．2m
【变式2】有甲、乙两根完全相同的轻绳，甲绳A、B两端按图甲的方式固定，然后将一挂有质量为M的重物的光滑轻质动滑轮挂于甲轻绳上，当滑轮静止后，设甲绳子的张力大小为FT1；乙绳D、E两端按图乙的方式固定，然后将同样的定滑轮且挂有质量为M的重物挂于乙轻绳上，当滑轮静止后，设乙绳子的张力大小为FT2。现甲绳的B端缓慢向下移动至C点，乙绳的E端缓慢向右移动至F点，在两绳的移动过程中，下列说法正确的是(　　)
A．FT1、FT2都变大
B．FT1变大、FT2变小
C．FT1、FT2都不变
D．FT1不变、FT2变大
【题型演练】
1.
如图，在水平桌面上放置一斜面体P，两长方体物块a和b叠放在P的斜面上，整个系统处于静止状态．若将a与b、b与P、P与桌面之间摩擦力的大小分别用f1、f2和f3表示，则(　　)
A．f1＝0，f2≠0，f3≠0
B．f1≠0，f2＝0，f3＝0
C．f1≠0，f2≠0，f3＝0
D．f1≠0，f2≠0，f3≠0
2.
如图甲所示，斜面体固定在水平面上，斜面上有一物块在拉力F的作用下始终处于静止状态，拉力F在如图乙所示的范围内变化，取沿斜面向上为正方向，则下列物块所受的摩擦力Ff与时间t的关系图像可能正确的是(　　)
3.
如图所示，两根光滑细棒在同一竖直平面内，两棒与水平面成37°角，棒上各穿有一个质量为m的相同小球，两球用轻质弹簧连接，两小球在图中位置处于静止状态，此时弹簧与水平面平行，则下列判断正确的是(　　)
A．弹簧处于拉伸状态
B．弹簧处于压缩状态
C．弹簧的弹力大小为mg
D．弹簧的弹力大小为mg
4.
如图所示，物体A、B置于水平地面上，与地面间的动摩擦因数均为μ，物体A、B用一跨过动滑轮的细绳相连，现用逐渐增大的力向上提升滑轮，某时刻拉A物体的绳子与水平面的夹角为53°，拉B物体的绳子与水平面的夹角为37°，此时A、B两物体刚好处于平衡状态，则A、B两物体的质量之比为(认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8)(　　)
A．
B．
C．
D．
5.
我国不少地方在节日期间有挂红灯笼的习俗，如图所示，质量为m的灯笼用两根不等长的轻绳OA、OB悬挂在水平天花板上，OA比OB长，O为结点．重力加速度大小为g，设OA、OB对O点的拉力分别为FA、FB，轻绳能够承受足够大的拉力，则(　　)
A．FA小于FB
B．FA、FB的合力大于mg
C．调节悬点A的位置，可使FA、FB都大于mg
D．换质量更大的灯笼，FB的增加量比FA的增加量大
6．如图所示，质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速运动。已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，那么木块受到的滑动摩擦力为(　　)
A．μmg
B．μ(mg＋Fsin
θ)
C．μ(mg－Fsin
θ)
D．Fcos
θ
7.
如图甲所示，水平地面上固定一倾角为30°的表面粗糙的斜劈，一质量为m的小物块能沿着斜劈的表面匀速下滑．现对小物块施加一水平向右的恒力F，使它沿该斜劈表面匀速上滑，如图乙所示，则F大小应为(　　)
A．mg
B．mg
C．mg
D．mg
8.
如图所示，一固定的细直杆与水平面的夹角为α＝15°，一个质量忽略不计的小轻环C套在直杆上，一根轻质细线的两端分别固定于直杆上的A、B两点，细线依次穿过小环甲、小轻环C和小环乙，且小环甲和小环乙分居在小轻环C的两侧。调节A、B间细线的长度，当系统处于静止状态时β＝45°。不计一切摩擦。设小环甲的质量为m1，小环乙的质量为m2，则m1
:
m2等于(　　)
A．tan
15°
B．tan
30°
C．tan
60°
D．tan
75°
9.
如图所示，某健身爱好者手拉着轻绳，在粗糙的水平地面上缓慢地移动，保持绳索始终平行于地面。为了锻炼自己的臂力和腿部力量，可以在O点悬挂不同的重物C，则(　　)
A．若健身者缓慢向右移动，绳OA的拉力变小
B．若健身者缓慢向左移动，绳OB的拉力变小
C．若健身者缓慢向右移动，绳OA、OB拉力的合力变大
D．若健身者缓慢向左移动，健身者与地面间的摩擦力变小
10.
舰载机保持牵引力F大小不变在匀速航行的航母上降落时受到阻拦而静止，此时阻拦索夹角
θ＝120°，空气阻力和甲板阻力不计，则阻拦索承受的张力大小为(　　)
A．　
B．F
C．F
D．2F
11.
体育器材室里，篮球摆放在图示的球架上．已知球架的宽度为d，每个篮球的质量为m、直径为D，不计球与球架之间摩擦及球架圆柱面的粗细，则每个篮球对一侧球架的压力大小为(　　)
A．mg
B．
C．
D．
12.
如图所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接，在水平外力F作用下，系统处于静止状态，弹簧实际长度相等。弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB，且原长相等。弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°。设A、B中的拉力分别为FA、FB。小球直径相比弹簧长度可以忽略。则(　　）
A．tan
θ＝
B．kA＝kB
C．FA＝mg
D．FB＝2mg
13.
我国2007年建成的国家大剧院外部呈椭球型。为了简化，将国家大剧院的屋顶近似为半球形，某警卫人员在执行特殊任务时，必须在屋顶上向上缓慢爬行，他在爬行的过程中屋顶对他的（
）
A．支持力不变
B．支持力变小
C．摩擦力变小
D．摩擦力变大
14.
重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳按如图所示连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为(　　)
A．G
B．G
C．G
D．G
15.（2016全国卷I）如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则下列说法正确的是（
）
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
16.
（2017全国卷III）一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80
cm的两点上，弹性绳的原长也为80
cm。将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100
cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为（弹性绳的伸长始终处于弹性限度内）（
）
A．86
cm
B．92
cm
C．98
cm
D．104
cm
17.
如图所示，倾角为
θ＝30°的光滑斜面上固定有竖直光滑挡板P，横截面为直角三角形的物块A放在斜面与P之间。则物块A对竖直挡板P的压力与物块A对斜面的压力大小之比为（
）
A．2∶1
B．1∶2
C．∶1
D．∶4
18.
如图所示，某钢制工件上开有一个楔形凹槽，凹槽的截面是一个直角三角形ABC，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°，在凹槽中放有一个光滑的金属球，当金属球静止时，金属球对凹槽的AB边的压力为F1，对BC边的压力为F2，则的值为(　　)
A．　　　　　　　　
B．
C．
D．
19.
如图所示，斜面上放有两个完全相同的物体a、b，两物体间用一根细线连接，在细线的中点加一与斜面垂直的拉力F，使两物体均处于静止状态。下列说法正确的是
(　　)
A．a、b两物体的受力个数一定相同
B．a、b两物体对斜面的压力相同
C．a、b两物体受到的摩擦力大小一定相等
D．当逐渐增大拉力F时，物体b先开始滑动
20.
质量为M的半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端固定一个竖直挡板AB，在P上放两个大小相同的光滑小球C和D，质量均为m，整个装置的纵截面如图所示。开始时P、C球心连线与水平面的夹角为θ，点P、D球心连线处于竖直方向，已知重力加速度为g。下列说法正确的是
(　　)
A．P和挡板对C的弹力分别为和
B．地面对P的摩擦力大小为零
C．使挡板缓慢地向右平行移动，但C仍在P和挡板AB作用下悬于半空中，则地面对P的摩擦力将不断增大
D．使挡板绕B点顺时针缓慢转动，P始终保持静止，则D一定缓慢下滑
21.
如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上。一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手对线的拉力F和轨道对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　)
A．F不变，FN增大　　　　
B．F不变，FN减小
C．F减小，FN不变
D．F增大，FN减小
m2
m1
l2
l1
Oˊ
O
m2
m1
l2
l1
Oˊ
O

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